Một số phương pháp lặp giải bài toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ ÁNH HỒNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TỐN SONG ĐIỀU HỊA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP MẠNH LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 36 Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Các kiến thức 1.1 Các kiến thức không gian hàm ¯ 1.1.1 Không gian C k (Ω) 1.1.2 Không gian Lp (Ω) 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) 1.1.4 Khái niệm vết hàm 1.2 Lý thuyết phương trình elliptic 1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu phương trình 1.2.2 Phát biểu toán biên 1.3 Phương pháp lặp sơ đồ lặp 4 5 10 10 12 13 Một số phương pháp giải tốn elliptic với biên kì dị 2.1 Phương pháp chia miền giải toán biên elliptic cấp với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 2.1.1 Cơ sở phương pháp 2.1.2 Sự hội tụ phương pháp 2.2 Phương pháp lặp giải toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp 2.2.1 Mơ hình tốn 2.2.2 Phương pháp lặp 15 Bài toán Crack số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ 3.1 Phương pháp tích phân biên hàm kì dị cho tốn song điều hịa với điểm đứt gãy kì dị 3.1.1 Mơ hình tốn 3.1.2 Phương pháp tích phân biên kì dị 27 i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 15 17 22 22 22 27 28 30 MỤC LỤC 3.2 3.1.3 Kết số Phương pháp chia miền giải toán crack 3.2.1 Sơ đồ lặp chia miền 3.2.2 Các kết thực nghiệm Tài liệu tham khảo ii Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 37 37 39 46 http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học TS Vũ Vinh Quang Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, TS Vũ Vinh Quang, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hồn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường THPT Chu Văn An - Thái Nguyên bạn lớp Cao học K4A, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Khi nghiên cứu toán học vật lý kỹ thuật, thơng qua việc mơ hình hóa, tốn thường dẫn đến dạng phương trình elliptic cấp dạng phương trình song điều hòa với hệ số điều kiện biên khác Trong trường hợp điều kiện biên tốn xét khơng tồn điểm kì dị có nhiều phương pháp tác giả giới tìm nghiệm gần toán tương ứng phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn Tuy nhiên, trường hợp biên tồn điểm kì dị điểm phân cách loại điều kiện biên hàm đạo hàm, điều thường xảy mơ hình tốn học vật liệu đàn hồi gặp tốn elliptic tốn song điều hịa với điều kiện biên kì dị Khi phương pháp thơng thường gặp nhiều khó khăn Đối với tốn này, để tìm nghiệm xấp xỉ, người ta thường sử dụng phương pháp phương pháp tích phân biên hàm kì dị tìm nghiệm dạng khai triển thông qua hệ hàm sở Một hướng nghiên cứu thứ hai xây dựng sơ đồ lặp dựa tư tưởng chia miền Mục đích luận văn tìm hiểu tốn vết nứt hay cịn gọi tốn crack tác giả giới đưa Mơ hình toán học toán toán song điều hồ với điều kiện biên kì dị Trình bày sở phương pháp tích phân biên hàm kì dị giải toán đồng thời xây dựng sơ đồ lặp dựa tư tưởng chia miền tìm nghiệm xấp xỉ toán Đồng thời tiến hành thực nghiệm tính tốn để kết luận hội tụ phương pháp lặp so sánh tính hiệu hai phương pháp đưa Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức không gian hàm đặc biệt không gian Sobolev, bất đẳng thức quan trọng, khái niệm nghiệm yếu, lý thuyết sơ đồ lặp hai lớp định lý hội tụ sơ đồ lặp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Chương 2: Trình bày sở phương pháp chia miền để giải toán biên elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh sở phương pháp lặp giải tốn song điều hồ với điều kiện biên hỗn hợp Chương 3: Nghiên cứu mơ hình tốn vết nứt, trình bày sở phương pháp tích phân biên hàm kì dị giải tốn Trên sở phương pháp chia miền giải phương trình cấp phương pháp lặp giải phương trình cấp 4, luận văn đưa sơ đồ lặp giải toán vết nứt, tiến hành thực nghiệm kiểm tra tính đắn phương pháp đưa Từ đưa kết luận so sánh hai phương pháp Trong luận văn, chương trình thực nghiệm lập trình ngơn ngữ Matlab chạy máy tính PC Mặc dù cố gắng song nội dung luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến Thầy, Cô bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hồn thiện Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức Trong chương này, luận văn trình bày kết lý thuyết quan trọng khơng gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu định lý tồn nghiệm, bất đẳng thức Poincare, lý thuyết phương pháp lặp giải phương trình tốn tử 1.1 Các kiến thức không gian hàm 1.1.1 ¯ Không gian C k (Ω) ¯ Giả sử Ω miền bị chặn không gian Euclid n chiều Rn Ω ¯ bao đóng Ω Ta kí hiệu C k (Ω)(k = 0, 1, 2, ) tập hàm có đạo ¯ Ta đưa vào C k (Ω) ¯ chuẩn hàm đến cấp k kể k Ω, liên tục Ω max |Dα u(x)|, ||u||C k (Ω) ¯ = |α|=k ¯ x∈Ω (1.1) α = (α1 , α2 , , αn ) gọi đa số véc tơ với tọa độ nguyên không âm, |α| = α1 + α2 + + αn , ∂ α1 + +αn u D u = α1 ∂x1 ∂xαn n α Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức ¯ hàm tất Sự hội tụ theo chuẩn hội tụ Ω ¯ với chuẩn đạo hàm chúng đến cấp k kể k Rõ ràng tập C k (Ω) (1.1) không gian Banach 1.1.2 Không gian Lp(Ω) Giả sử Ω miền Rn p số thực dương Ta kí hiệu Lp (Ω) lớp hàm đo f xác định Ω cho |f (x)|p dx < ∞ (1.2) Ω Trong Lp (Ω ta đồng hàm hầu khắp Ω Như phần tử Lp (Ω) lớp tương đương hàm đo thỏa mãn (1.2) hai hàm tương đương chúng hầu khắp Ω Vì |f (x) + g(x)|p ≤ (|f (x) + g(x)|)p ≤ 2p (|f (x)|p + |g(x)|p ) nên rõ ràng Lp (Ω) không gian véc tơ Ta đưa vào Lp (Ω) phiếm hàm || · ||p xác định ||u||p =    1.1.3 |u(x)|p dx Ω 1/p  (1.3)  Không gian W 1,p(Ω) Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω miền Rn Hàm u(x) gọi khả tích địa phương Ω u(x) hàm Ω với x0 ∈ Ω tồn lân cận ω x0 để u(x) khả tích Ω Định nghĩa 1.1.2 Cho Ω miền Rn Giả sử u(x), v(x) hai hàm khả tích địa phương Ω cho ta có hệ thức Ω ∂kϕ u k1 dx = (−1)k kn ∂x1 ∂xn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên vϕdx, Ω http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức ϕ(x) ∈ C0k (Ω), k = k1 + + kn , ki ≤ 0(i = 1, 2, , n) Khi đó, v(x) gọi đạo hàm suy rộng cấp k u(x) Kí hiệu ∂ku v(x) = k1 ∂x1 ∂xknn Định nghĩa 1.1.3 Giả sử p số thực, < p < ∞, Ω miền Rn Không gian Sobolev W 1,p (Ω) định nghĩa sau: W 1,p (Ω) = {u|u ∈ Lp (Ω), ∂u ∈ Lp (Ω), i = 1, 2, , n}, ∂xi đạo hàm đaọ hàm suy rộng Với p = 2, ta kí hiệu W 1,p (Ω) = H (Ω), nghĩa H (Ω) = {u|u ∈ L2 (Ω), ∂u ∈ L2 (Ω), i = 1, 2, , n} ∂xi Bổ đề 1.1.4 i) Không gian W 1,p (Ω) không gian Banach với chuẩn n ||u||W 1,p (Ω) = ||u||Lp (Ω) + || i=1 ∂u ||Lp (Ω) ∂xi ii) Không gian H (Ω) không gian Hilbert với tích vơ hướng n (u, v)H (Ω) = (u, v)L2 (Ω) + i=1 1.1.4 ∂u ∂v , ∂xi ∂xi , ∀u, v ∈ H (Ω) L2 (Ω) Khái niệm vết hàm Định nghĩa 1.1.5 Không gian Sobolev W 1,p (Ω) định nghĩa bao đóng khơng gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω tương ứng với chuẩn W 1,p (Ω) Không gian H01 (Ω) định nghĩa H01 (Ω) = W01,2 (Ω) Định lý 1.1.6 Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz Khi đó: i) Nếu ≤ p < n W01,p (Ω) ⊂ Lq (Ω) là: 1 - Nhúng compact q ∈ [1, p∗ ), ∗ = − p p n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức - Nhúng liên tục với q = p∗ ii) Nếu p = n W01,n (Ω) ⊂ Lq (Ω) nhúng compact q ∈ [1, +∞) ¯ nhúng compact iii) Nếu p > n W01,p (Ω) ⊂ C (Ω) Định lý 1.1.7 (Định lý vết) Giả sử Ω tập mở Rn với biên ∂Ω liên tục Lipschitz Khi tồn ánh xạ tuyến tính liên tục γ : H (Ω) → L2 (∂Ω) ¯ ta có γ(u) = u|∂Ω Hàm γ(u) cho với u ∈ H (Ω) ∩ C (Ω) gọi vết u ∂Ω Định nghĩa 1.1.8 Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz Không gian H 1/2 (∂Ω) gọi miền giá trị ánh xạ vết γ, tức H 1/2 (∂Ω) = γ(H (Ω)) Định lý 1.1.9 i) Kí hiệu H 1/2 (∂Ω) không gian Hilbert với chuẩn ||u||2H 1/2 (∂Ω) |u(x) − u(y)|2 dSx dSy |x − y|n+1 |u(x)| dSx + = ∂Ω ∂Ω ∂Ω ii) Tồn số Cγ (Ω) cho: ||γ(u)||H 1/2 (∂Ω) ≤ Cγ (Ω)||u||H (Ω) , ∀u ∈ H (Ω) Khi đó, Cγ (Ω) gọi số vết Bổ đề 1.1.10 Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz Khơng gian H 1/2 (∂Ω) có tính chất sau: i) Tập {u|∂Ω , u ∈ C ∞ (Rn )} trù mật H 1/2 (∂Ω) ii) Nhúng H 1/2 (∂Ω) ⊂ L2 (∂Ω) compact iii) Tồn ánh xạ tuyến tính liên tục g ∈ H 1/2 (∂Ω) → ug ∈ H (Ω) với γ(ug ) = g tồn số C1 (Ω) phụ thuộc vào miền Ω cho ||u||H (Ω) ≤ C1 (Ω)||g||H 1/2 (∂Ω) , ∀g ∈ H 1/2 (∂Ω) Bổ đề 1.1.11 Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz Khi H01 (Ω) = {u|u ∈ H (Ω), γ(u) = 0} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài tốn Crack số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ Bảng 3.2: 2Nα d1 d2 d3 d4 d5 d10 0.845547 -0.08543 -0.07622 -0.04024 -0.00089 0.00041 0.843941 -0.08230 -0.07613 -0.04061 -0.00071 0.00024 0.843264 -0.08103 -0.07602 -0.04064 -0.00108 0.00031 0.843262 -0.08101 -0.07606 -0.04060 -0.00110 0.00031 11 0.844011 -0.08672 -0.06290 -0.05428 0.00540 13 0.841944 -0.14174 -0.02388 -0.02233 0.04304 -0.00284 2Nα c1 c2 c3 -0.13185 0.00607 0.03950 0.01341 -0.01050 -0.00058 -0.13371 0.00574 0.03915 0.01450 -0.00897 -0.00011 -0.13443 0.00556 0.03894 0.01471 -0.00874 -0.00014 -0.13448 0.00562 0.03891 0.01471 -0.00873 -0.00012 11 -0.11680 -0.14869 0.05044 0.01365 -0.01153 -0.00329 13 -0.03809 -0.02302 0.04203 -0.02431 -0.02142 -0.00192 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên c4 0.00031 c5 http://www.lrc-tnu.edu.vn c10 Chương Bài tốn Crack số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ Bảng 3.3: Giá trị hệ số c¯i d¯i i di ci 0.843264 - 0.13443 -0.08103 0.00556 -0.07602 0.03894 -0.04064 0.01471 -0.00108 -0.00874 0.00927 -0.00353 -0.00054 0.00153 -0.00160 0.00061 -0.00006 -0.00030 10 0.00031 -0.00014 11 -0.00002 0.00007 12 -0.00007 0.00003 13 -0.00000 -0.00002 14 0.00002 -0.00001 15 -0.00000 0.00000 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán Crack số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ Bảng 3.4: So sánh kết SIFs với kết Li[4] SIFs [4] SFBIM d1 0.8432657 0.843264 d2 -0.081032 -0.08103 d3 -0.076019 -0.07602 d4 -0.040641 -0.04064 d5 -0.001080 -0.00108 d6 0.009265 0.00927 d7 -0.000538 -0.00054 d8 -0.001596 -0.00160 d9 -0.000060 -0.00006 d10 0.000313 0.00031 c1 -0.134425 - 0.13443 c2 0.005557 0.00556 c3 0.038943 0.03894 c4 0.014708 0.01471 c5 -0.008738 -0.00874 c6 -0.003529 -0.00353 c7 0.001525 0.00153 c8 0.000619 0.00061 c9 -0.000296 -0.00030 c10 -0.000137 -0.00014 Nhận xét 3.1.2 Thông qua phương pháp tích phân biên hàm kì dị, nghiệm xấp xỉ toán nhận khai triển hữu hạn thơng qua hệ hàm sở Có thể thấy tính chất hội tụ chuỗi cần giữ lại 15 hệ số đầu độ xác nghịêm đạt tới 10−4 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán Crack số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ 3.2 Phương pháp chia miền giải toán crack Trong phần này, luận văn đưa phương pháp giải toán crack phương pháp kết hợp thuật toán chia miền thuật tốn lặp giải phương trình song điều hồ, sở lý thuyết phương pháp đưa Chương luận văn Ưu điểm phương pháp đưa giải toán crack trường hợp tổng quát 3.2.1 Sơ đồ lặp chia miền Xuất phát từ phương pháp đưa toán (2.11) hai toán (2.12) (2.13) với sơ đồ lặp xác định hàm ϕ SA Kết hợp với phương pháp chia miền Chúng tơi đưa sơ đồ lặp giải tốn (2.11) sau Chia miền Ω = Ω3 ∪ Ω4 , Ω3 ∩ Ω4 = ∅ biên chung Γ Hình 3.2: Kí hiệu u3 = u|Ω3 , u4 = u|Ω4 , v3 = ∆u3 |Ω3 , v4 = ∆u4 |Γ4 , η = ξ= ∂u3 , ϕ = v|SA v = ∆u|Ω ∂ν Γ Bước 1: Xuất phát từ ϕ(0) L2 (SA ) chẳng hạn ϕ(0) = 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∂∆u3 , ∂ν Γ Chương Bài toán Crack số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ Bước 2: Với ∀ϕ(k) , (k = 0, 1, 2, ) tiến hành giải hai cặp toán hỗn hợp cấp Bước 2.1: Xuất phát η (0) = 0, ∀l = 0, 1, 2, tiến hành (l) 2.1.1: Giải toán với v3 Ω3  (l)   ∆v3 = f, x ∈ Ω3     (l) (k)    v3 = ϕ , x ∈ SA (l) ∂v  = g3 , x ∈ SD , SE   ∂ν   (l)     ∂v3 = η (l) , x ∈ Γ ∂ν (3.11) (l) 2.1.2: Giải toán với v4 Ω4  (l)   ∆v4 = f, x ∈ Ω4       v (l) = g , x ∈ S C (l) ∂v4 (3.12)   = g3 , x ∈ SD , SB   ∂ν     v (l) = v (l) , x ∈ Γ 2.1.3: Xuất phát từ ξ (0) = 0, ∀m = 0, 1, 2, tiến hành 2.1.3.1: Giải toán với u3 Ω3  (m) (l)   ∆u3 = v3 , x ∈ Ω3     (m)    u3 = g0 , x ∈ SA (m) ∂u  = g1 , x ∈ SD , SE   ∂ν   (m)     ∂u3 = ξ (m) , x ∈ Γ ∂ν 2.1.3.2: Giải toán với u4 Ω4  (m) (l)   ∆u4 = v4 , x ∈ Ω4       u(m) = g , x ∈ S C (m) ∂u4   = g1 , x ∈ SD , SB   ∂ν     u(m) = u(m) , x ∈ Γ 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.13) http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.14) Chương Bài tốn Crack số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ 2.1.3.3: Hiệu chỉnh ξ (m) Γ (m) ξ (m+1) = τ1 ξ (m) ∂u − (1 − τ1 ) ∂ν (3.15) 2.1.4: Hiệu chỉnh η (l) Γ (l) η (l) ∂v − (1 − τ2 ) ∂ν = ϕ − τ3 ∂u3 − g1 ∂ν (l+1) = τ2 η (3.16) Bước 2.2: Hiệu chỉnh ϕ(k) SA (k) ϕ (k+1) k (3.17) Sự hội tụ phương pháp hoàn toàn phụ thuộc vào hội tụ sơ đồ lặp (3.15), (3.16), (3.17) Xét sơ đồ (3.15) (3.16) Đây sơ đồ lặp giải tốn biên hỗn hợp mạnh phương pháp chia miền Sự hội tụ chứng minh tài liệu [2] Xét sơ đồ (3.17) Đây sơ đồ lặp cho phương trình tốn tử Bϕ = F Sự hội tụ khẳng định định lý (2.2.2) Nhận xét 3.2.1 Các toán (3.11), (3.12), (3.13), (3.14) toán elliptic cấp với điều kiện hỗn hợp yếu Do việc tìm nghiệm số sử dụng thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn với độ phức tạp O(M N log N ) M × N số nút lưới 3.2.2 Các kết thực nghiệm Trên cở sở phương pháp đề ra, sau luận văn đưa kết thực nghiệm để kiểm tra hội tụ phương pháp chia miền giải tốn crack tổng qt Trong thực nghiệm chúng tơi sử dụng phương pháp lưới với số lưới M × N = 64 Chuyển toán vi phân toán sai phân tương ứng với hệ phương trình đại số tuyến tính Sau sử dung thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn để xác định nghiệm xấp xỉ không gian lưới Trong thực nghiệm sử dụng chương trình viết ngôn ngữ Matlab sử dụng hệ thống hàm thư viện chương trình RC 2009 cơng bố tài liệu [13] Trong 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán Crack số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ kết thực nghiệm, luận văn kiểm tra hai trường hợp biết trước nghiệm trước nghiệm đúng, đồng thời đưa độ xác phương pháp lặp tương ứng với tham số với đồ thị tương ứng nghiệm gần Điều kiện dừng lặp luôn chọn với sai số ε = 10−4 Bảng 3.5: Hàm nghiệm u = sin x sin y, miền [−1, 1] × [0, 1], điểm kì dị a = 0, τ = 0.7 Tham số lặp Số bước lặp Sai số 1.0 25 3.10−4 1.1 22 2.10−4 1.2 22 1.10−4 1.3 20 1.10−4 1.4 22 1.10−4 1.5 20 1.10−4 1.6 31 1.10−4 1.7 40 0.0017 1.8 không hội tụ 1.9 khơng hội tụ 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán Crack số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ Bảng 3.6: Hàm nghiệm u = ex sin y + ey sin x, miền [−1, 1] × [0, 1], điểm kì dị a = 0, τ = 0.5 Tham số lặp Số bước lặp Sai số 1.0 40 3.10−4 1.1 40 2.10−4 1.2 35 1.10−4 1.3 36 1.10−4 1.4 40 1.10−4 1.5 40 1.10−4 1.6 40 1.10−4 1.7 45 0.0017 1.8 khơng hội tụ Hình 3.3: Đồ thị nghiệm xấp xỉ trường hợp biết trước nghiệm Nhận xét 3.2.2 Về mặt ý nghĩa học, điểm kì dị giá trị đạo hàm nghiệm tăng vô hạn, điều biểu thơng qua Hình 3.4 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài tốn Crack số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ Hình 3.4: Dáng điệu đạo hàm điểm kì dị x = Bảng 3.8: Kết thực nghiệm trường hợp tổng quát với liệu sau: g0 = x2 + y + g1 = (x − 1)2 ey + (y − 1)2 ex g2 = ex+y g3 = sin x sin y f = x2 + y Tham số lặp Số bước lặp Sai số 1.0 40 0.0014 1.1 40 0.0013 1.2 40 0.0011 1.3 40 0.0010 1.4 32 0.0010 1.5 30 0.0010 1.6 40 0.0010 1.7 không hội tụ 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán Crack số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ Hình 3.5: Đồ thị nghiệm xấp xỉ trường hợp trước nghiệm Sử dụng phương pháp chia miền tìm nghiệm xấp xỉ tốn crack với điều kiện biên vế phải 0, nhận nghiệm xấp xỉ toán qua đồ thị sau: Hình 3.6: Đồ thị nghiệm xấp xỉ tốn crack mơ tả vết nứt đàn hồi 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán Crack số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ Nhận xét 3.2.3 1) Thông qua kết thực nghiệm khẳng định hội tụ phương pháp lặp dựa tư tưởng chia miền giải toán crack Thơng qua thực nghiệm thấy tham số tối ưu sơ đồ lặp biên xấp xỉ 1.5 tham số lặp chia miền xấp xỉ 0.5 2) Có thể khẳng định phương pháp chia miền tổng quát phương pháp xấp xỉ biên Bởi phương pháp xấp xỉ biên giải toán trường hợp đặc biệt phương pháp chia miền giải toán trường hợp tổng quát 3) Việc so sánh hiệu độ xác hai phương pháp khó mặt lý thuyết Tuy nhiên, thơng qua kết thực nghiệm, tiến hành giải toán crack tác giả Li đặt hai phương pháp kết thu tương đương 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Nội dung luận văn trình bày sở lý thuyết thực nghiệm giải mơ hình tốn vết nứt nhiều nhà toán học quan tâm Kết luận văn bao gồm: Nghiên cứu sở lý thuyết không gian hàm, phương trình elliptic lý thuyết sơ đồ lặp Trình bày sở phương pháp chia miền giải tốn hỗn hợp mạnh phương trình elliptic sở phương pháp lặp giải tốn song điều hồ với điều kiện biên hỗn hợp Trình bày phương pháp tích phân biên hàm kì dị cho tốn song điều hịa với vết nứt kì dị, đưa kết số để kết luận hội tụ phương pháp tích phân biên hàm kì dị giải tốn vết nứt Trên sở phương pháp chia miền toán biên cấp toán song điều hoà cấp 4, luận văn đưa sơ đồ lặp giải toán vết nứt, tiến hành xây dựng chương trình thực nghiệm kiểm tra tính đắn sơ đồ Từ đưa kết luận so sánh phương pháp tích phân biên hàm kì dị phương pháp chia miền Hướng nghiên cứu luận văn phát triển phương pháp chia miền phương pháp lặp để giải mơ hình học phức tạp 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] N.Saito, H.Fujita (2001), Operater Theoremrical Analysis to Domain Decomposition Methods, 12th Int Conf, on Domain Decomposition Methods Editos: Tony Chan, Takashy, Hideo, Oliver Pinoncau, 63-70, www.ddm.org/DDI2/saito.pdf [2] Dang Quang A and Vu Vinh Quang, A domain decomposition methods for solving an elliptic boundary value problem, Methods of Complex and Clifford Analysis (Proceedings pf ICAM Hanoi 2004), SAS International Publications.Delhi, 309-319 [3] Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang (2005), "Nghiên cứu thực nghiệm phương pháp chia miền giải toán với điều kiện biên hỗn hợp miền hình học phức tạp", Tạp chí Tin học Điều khiển học, T.21, S.3, 216-229 [4] Li ZC, Lu TT, Hu HY (2004), The collocation Trefftz method for biharmonic equations with crack singularities, Eng Anal Bound Elem, 28:79–96 [5] Irwin GR (1957), Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate, Trans ASME J Appl Mech, 24, 361–4 [6] Elliotis M, Georgiou G, Xenophontos C (2006), The singular function boundary integral method for a two-dimensional fracture problem, Eng Anal Bound Elem, 30:100–6 [7] Elliotis M, Georgiou G, Xenophontos C (2002), The solution of a Laplacian problem over an L-shaped domain with a singular function boundary integral method, Commun Numer Meth Eng, 18:213–22 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [8] ElliotisM, Georgiou G, Xenophontos C (2005) Solving Laplacian problems with boundary singularities: a comparison of a singular function boundary integral method with the p/hp version of the finite element method, Appl Math Comput, 169:485–99 [9] Elliotis M, Georgiou G, Xenophontos C (2005), Solution of the planar Newtonian stick-slip problem with the singular function boundary integral method, Int J Numer Meth Fluids, 48:1000–21 [10] Szilard R (, 1974), Theory and Analysis of Plates, Prentice-Hall [11] Timoshenko S.P and Woinowsky-Krieger S, (1970), Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill,NewYork [12] A.A Samarskii, (2001), The Theory of Difference Schemes, New York Marcel Dekker [13] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Nguyễn Thị Tuyển (2010), Xây dựng chương trình RC2009 giải số tốn elliptic với hệ số hằng, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Thái Nguyên, T.69(07):56-63 [14] Dang Quang A (1998), "Iterative Method for solving the second Boundary Value Problem (BVP) for Biharmonic type Equation", Tạp chí tin học điều khiển học, 14(4), pp.66-72 [15] Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang (2006), Một số kết nghiên cứu phương pháp chia miền giải phương trình elliptic phương trình song điều hồ, Hội nghị khoa học Kỉ niệm 30 năm thành lập viện Công nghệ Thông tin, Nhà xuất Khoa học Công nghệ, 40-50 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phụ lục 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh sở phương pháp lặp giải toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp Chương 3: Nghiên cứu mơ hình tốn vết nứt, trình bày sở phương pháp tích phân biên hàm... 10 12 13 Một số phương pháp giải toán elliptic với biên kì dị 2.1 Phương pháp chia miền giải toán biên elliptic cấp với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 2.1.1 Cơ sở phương pháp ... phương pháp lặp giải tốn song điều hồ với điều kiện biên hỗn hợp Trình bày phương pháp tích phân biên hàm kì dị cho tốn song điều hịa với vết nứt kì dị, đưa kết số để kết luận hội tụ phương pháp