Tính đầy đủ của không gian định chuẩn có trọng các hàm chỉnh hình

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LƯU THỊ THU THUYEN TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN CĨ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC sĩ TỐN HỌC Bình Định - 2020 LƯU THỊ THU THUYEN TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN CĨ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC sĩ TỐN HỌC Người hưởng dẫn: PGS.TS THÁI THUAN QUANG Mục 3.1 lục Tập dương trọng tính đầy đủ không gian trọng 36 3.2 Các không gian Banach có trọng 41 3.3 Một số ví dụ phản ví dụ 45 Danh mục kí hiệu iii Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 48 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU K E' : Trường số thực R số phức C : Đối ngẫu tôpô E (E,F) H(G) : Một cặp đối ngẫu : Đại số tất hàm chỉnh hình G H“(G) : Không gian tất hàm chỉnh hình bị chặn G HV (G) : Khơng gian vởi trọng v hàm chỉnh hình bị chặn G H„( G) C : Không gian vởi trọng v hàm chỉnh hình G : Tập số phức mở rộng Ha( C\G) : Không gian mầm chỉnh hình C\G bị triệt tiêu 00 HCo( A) : Bao lồi chỉnh hình A QY E v V : Phần hình phẳng giới hạn đường cong Y nằm tro ng Q : Tập dương trọng v : Bao đóng V ƠV : Biên V D : Hình cầu đơn vị MỞ ĐẦU Từ 50 năm trước, sở phát triển mạnh mẽ Giải tích hàm, nhà toán học bắt đầu quan tâm đến việc nghiên cứu Giải tích phức khơng gian véctơ tơpơ vơ hạn chiều Một đối tượng nghiên cứu Giải tích phức hàm chỉnh hình Vì phần thực phần ảo hàm chỉnh hình thỏa mãn phương trình Laplace, nên Giải tích phức ứng dụng rộng rãi toán vật lý hai chiều Trong trình nghiên cứu điều kiện tăng trưởng hàm chỉnh hình, người ta dẫn đến giói thiệu trọng có liên quan Từ đó, hưởng nghiên cứu khơng gian Banach có trọng hàm chỉnh hình thực đời Trong luận văn ta gọi tập mở liên thông mặt phẳng phức C miền phang Một trọng miền G hàm không âm v : G —> [0, m] Nói chung ta khơng u cầu trọng v bị chặn dương thực Kí hiệu H(G) đại số tất hàm chỉnh hình G T co tơpơ hội tụ tất tập compact G (thường gọi tôpô compact mở) Không gian (H(G),Tco) khơng gian Frechet Khơng gian có trọng hàm chỉnh hình /// (G) liên kết vởi v định nghĩa sau: HV(G) := {fe H(G) : supv(z)|f(z)| < +®} zeG trang bị nửa chuẩn Ilf I |v := sup v(z)|f(z)| zeG Khi trọng v dương thực liên tục, không gian kiểu xuất nghiên cứu điều kiện tăng trưởng hàm chỉnh hình quan tâm nghiên cứu sâu rộng kể từ cơng trình Shields Williams (xem, chẳng hạn, [5, 6, 9, 17, 18, 21]) Nếu v = hiển nhiên H'V (G) trùng với khơng gian H®(G) tất hàm chỉnh hình bị chặn G với chuẩn “sup” Trong thực tế, hầu hết trường hợp khảo sát, trọng v dương thực liên tục Trong trường hợp dễ dàng kiểm tra không gian trọng nói đầy đủ Tuy vậy, khơng có u cầu nói cho trọng v khơng gian trọng có cịn đầy đủ, chí có “định chuẩn” hay không, câu hỏi cần trả lời Mục đích luận văn trả lời câu hỏi sau trường hợp trọng v không giả thiết dương thực liên tục: HV (G) có đầy đủ hay khơng? Với điều kiện H?(G) đầy đủ? Bằng hai cách tiếp cận: Giải tích hàm Lý thuyết hàm, luận văn tập trung giải toán sau: Nghiên cứu số điều kiện cần số điều kiện đủ trọng v để HV (G) đầy đủ Nghiên cứu số ví dụ có liên quan mơ tả tính đầy đủ trường hợp khơng gian có trọng xun tâm miền phẳng cân Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn đuợc chia thành chuơng Trong chuơng chúng tơi tóm tắt sơ luợc số kiến thức không gian véctơ tơpơ Giải tích hàm số kiến thức khơng gian tơpơ hàm chỉnh hình khơng gian có trọng hàm chỉnh hình miền phẳng Chuơng dành cho việc giói thiệu số điều kiện cần số điều kiện đủ trọng v để /// (G) đầy đủ đuờng tiếp cận Giải tích hàm Chuơng trình bày số ví dụ có liên quan mơ tả tính đầy đủ truờng hợp khơng gian có trọng xun tâm miền phẳng cân đuờng tiếp cận Lý thuyết hàm Luận văn đuợc hoàn thành duởi huởng dẫn khoa học thầy PGS TS Thái Thuần Quang, Khoa Toán Thống kê, TrUỜng Đại học Quy Nhơn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến thầy giúp đỡ suốt q trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô khoa Toán Thống kê - TrUỜng Đại học Quy Nhơn - truyền tải cho kiến thức chuyên môn ngành suốt thời gian học tập để tơi có đuợc tảng kiến thức lởn hổ trợ tơi q trình làm luận văn thạc sĩ Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu TrUỜng Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau Đại học, Khoa Toán Thống kê tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè ln hỗ trợ động viên tơi suốt năm học tập trình nghiên cứu luận văn Mặc dù luận văn thực vói nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý quý thầy giáo để luận văn hồn thiện hon Tôi xin chân thành cảm On Chương Một số kiến thức sở 1.1 Một số vấn đề Giải tích hàm Kí hiệu K trường số thực R phức C 1.1.1 Không gian véctơ tôpô Giả sử E không gian véctơ K, tơpơ E gọi tương thích với cấu trúc đại số E phép toán cộng đại số nhân + : E X E —» E (x, y \—» x + y X : K X E —» E (A, x} \—» Ax liên tục theo tôpô Một không gian véctơ vói tơpơ tương thích vói cấu trúc đại số gọi khơng gian véctơ tơpơ Nếu E khơng gian véctơ tơpơ phép tịnh tiến phép vị tự E phép đồng phơi lẽn Điều suy trực tiếp từ tính tương thích tơpơ E Nói riêng, U lân cận Oe E a + U lan cạn a a U lân cận O với a / O Mệnh đề 1.1.1 ([2]) Giả sử E không gian véctơ tôpô Nếu U sở lân cận Oe E thỉ (i) Mọi U E U tập hút, tức x E E tồn E > cho Ax E U với |A| < E (ii) Với U E U tồn lân cận V củ a ch V + V |z1 — zo| + E với E > 0, hội tụ Ev Khi hàm chỉnh hình G hội tụ đến f Ev Chú ý hgn E HV(G) gn bị chặn Ev Ta có nE N sup v(z)\(hgn)(z) - (hf)(z)| < \\h\\vsup |gn(z)~ f(z)\^> zeEv zeEv n —> Bởi Bổ đề 3.1.1 hàm hf : Ev —> C có thác triển chỉnh hình đến G Tuy nhiên hf có cực z1 Điều mâu thuẫn □ Hệ 3.1.1 ([10]) Cho v : G —> [0 , oo] trọng miền phang G (Gậ C cho HV (G) không gian định chuẩn không tầm thường (1) Nếu Ev bị chứa tập thực sự, lồi đóng A G, thỉ HV (G) khơng không gian Banach (2) Nếu Ev C tập compact G, HV(G) khơng khơng gian Banach Chứng minh Hệ suy trực tiếp từ Mệnh đề 3.1.1 □ Như kết Hệ 3.1.1 người ta suy ví dụ sau: Trọng v(z) = max{0, Rez} liên tục hình trịn đơn vị D, triệt tiêu nửa bẽn trái hình trịn, dương thực nửa mở bên phải cịn lại hình trịn, HV (D) khơng không gian Banach Hệ 3.1.2 ([10]) Cho v : G —> [0 , oo] trọng miền phang G (G / C cho HV (G) không gian định chuẩn không tầm thường Nếu ỔG ặ Ev C, thì, (HV(G),r) khơng khả định chuẩn Chứng minh Giả sử phản chứng, (H® (G), T) khả định chuẩn Bởi Mệnh đề 2.2.2 tồn tập compact K G cho trọng w(z) := v(z) + XK(z), z € G,\hm cho HW(G) không gian Banach Vì ỔG ặ Ev K tập compact G nên ỔG không bị chứa Ew = Ev u K Bởi Mệnh đề 3.1.1 suy HW(G) không không gian Banach; Đây mâu thuẫn Lấy A (V G 11'011g C Nhắc □ bao lồi chỉnh hình A G tập HcXA := {zeG : fz)\ sup fz),f H(ỡ)} Mọi miền G C lồi chỉnh hình nghĩa là, vởi tập compact K G bao lồi Hco(K) compact chứa G Với khái niệm này, bổ sung cho Mệnh đề 3.1.1 vói trọng bị chặn bao gồm trường hợp G = C Ví dụ ///(C) không không gian Banach v trọng bị chặn C cho Ev compact tương đối Mệnh đề 3.1.2 ([10]) Cho v : G —> [0 , oo] trọng bị chặn miền phang G Nếu HV(G) khơng gian Banach, thỉ G = HcEv)Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn z0 E G hàm g0 E H{G) cho \go( zo)| >a> sup \go( 01 GEV với a > Đặt g := g0 E H(G) Khi |g(z0)| > 1001 < với z G Ev Ta chứng minh dãy (g k)k bị chặn tro ng /// (G) Vì v bị chặn nên tồn M > với Oz) < M với z G G Nếu z £ Ev, 00lgk(z)| = với k E N Mặt khác, z E Ev, 00100k| 0z) M Do supsup00100k| keN zeG M Bởi giả thiết, HV(G) không gian Banach, (gk)k dãy bị chặn (H(G),Tco) (Mệnh đề 2.2.1 (ii)) Tuy nhiên, I0z0)k| 00 k —> 00, điều mâu thuẫn □ Bổ đề 3.1.1 đuọc sử dụng để có kết Mệnh đề 3.1.3 ([10]) Cho v : G —> [0 , oo] trọng miền phẳng G Giả sử với z E G tồn tập mở bị chặn U C dãy (fn)n HV (G) cho OOlfO0 _ f(z)| —► Ev Bởi Bổ đề 3.1.1, ta cần chứng minh f có thác triển chỉnh hình đến G Lấy U co G tập mở bị chặn khác rỗng cho ÕU d Ev v bị chặn cách xa ỔU Khi v(z\fn( z ~ f(z)| —> ỔU \fn( z} — fm( z)| —> n, m —> 00 đền ỔU Theo nguyên lý mô-đun cực đại suy (fn)n hội tụ U đến hàm fu chinh hình U, liên tục U trùng với f U c\Ev Lấy U, V hai tập mở bị chặn với U n V / cho ỔU u ỔV cz E v v bị chặn cách xa ỔU ỔV Thì Ổ(U (ì V) c ỔU u ỔV cz E v v bị chặn cách xa Ổ(U n VỴ Do ba hàm fu, fv, /ưcv đuọc xác định Vì fu f v trùng nhan tr ên Ổ(U nV) nên chúng trùng U n V Điều cho thấy U c G tập bị chặn chứa z cho ÕU [0 , oo] trọng liên tục miền phẳng G cho G\Ev rời rạc, tức không điểm v cô lập Khi HV (G) khơng gian Banach Chứng minh Hệ đuọc suy trực tiếp từ Mệnh đề 3.1.3 □ Nhu kết Hệ 3.1.3, F E H{G) hàm chỉnh hình khác miền phẳng G v(z} := |F(z)|, z E G, ///(G) khơng gian Banach Hệ 3.1.4 ([10]) Cho v : G —> [0 , oo] trọng miền phang G cho G\Ev tập compact G Nếu inf v(zi> với tập zeK compact K cz G\(G\Ev), HV(G) không gian Banach Chứng minh Chọn V tập mở bị chặn cho V tập compact G tập compact (G\Ev) củ a G bị chứa V Khi ỔV tập compact G inf v(z) > Nếu z e G\Ev, ta lấy tập mở V ze