Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMPhaengchai BOUNLUETAIBỔ ĐỀ SCHWARZ VÀ METRIC KOBAYASHI CHOCÁC HÀM ĐIỀU HÒA VÀ HÀM CHỈNH HÌNHTRONGCnLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Trang 2 ĐẠI
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Phaengchai BOUNLUETAI BỔ ĐỀ SCHWARZ VÀ METRIC KOBAYASHI CHO CÁC HÀM ĐIỀU HÒA VÀ HÀM CHỈNH HÌNH TRONG Cn LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— Phaengchai BOUNLUETAI BỔ ĐỀ SCHWARZ VÀ METRIC KOBAYASHI CHO CÁC HÀM ĐIỀU HÒA VÀ HÀM CHỈNH HÌNH TRONG Cn Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN HUỆ MINH Thái Nguyên - Năm 2021 Lời cam doan Em xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng của em dưới sự hướng dẫn của TS Trần Huệ Minh Em không sao chép từ bất kì công trình nào khác Các tài liệu trong luận văn là trung thực, em kế thừa và phát huy các thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự biết ơn chân thành Tác giả Phaengchai BOUNLUETAI i Lời cảm ơn Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS Trần Huệ Minh Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô, người đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt những những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu khoa học để em có thể hoàn thành luận văn này Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Viện Toán học đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã luôn động viên, khích lệ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn Do vốn kiến thức và khả năng nguyên cứu khoa học còn hạn chế nên luận văn của em không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn Thái Nguyên, tháng 10 năm 2021 Người viết luận văn Phaengchai BOUNLUETAI ii Mục lục Lời cam doan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Bổ đề Schwarz và metric Kobayashi cho các hàm điều hoà và hàm chỉnh hình 3 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.2 Bổ đề Schwarz cho các hàm điều hòa thực 7 1.3 Bổ đề Schwarz cho các hàm chỉnh hình 14 2 Bổ đề Schwarz cho các hàm điều hoà trên đĩa đơn vị 18 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 18 2.2 Tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho các hàm điều hoà trên đĩa đơn vị 21 2.3 Tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho hình cầu đơn vị 25 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 iii Mở đầu 1 Lý do chọn đề tài Bổ đề Schwarz là một trong những kết quả có ảnh hưởng nhất trong giải tích phức và nó có tác động lớn để phát triển một số lĩnh vực nghiên cứu, chẳng hạn như lý thuyết hàm hình học, hình học phức hypebolic, các hệ động lực phức và lý thuyết về ánh xạ tựa chuẩn tắc Có rất nhiều kết quả của các nhà toán học liên quan đến bổ đề Schwarz như các kết quả của L Ahlfors, H Royden, H Boas, R Osserman, D Khavinson, G Kresin, B Burgeth, S.G Krantz, Kalaj và Vuorinen, H Chen Trong suốt thập kỷ qua, các hàm điều hòa đã được nghiên cứu rộng rãi và có rất nhiều kết quả từ lý thuyết hàm giải tích đã được mở rộng sang cho các hàm điều hòa bằng cách sử dụng Bổ đề Schwarz Gần đây, Kalaj và Vuorinen (viết gọn là KV-kết quả) đã tìm thấy một phiên bản của bổ đề Schwarz cho các hàm điều hòa, tác giả đã chứng minh được các kết quả đẹp đẽ cho các trường hợp của hàm điều hòa thực và chuẩn của các ánh xạ điều hòa; Năm 2018, Miodrag Mateljevi´c đã sử dụng bổ đề Schwarz cổ điển cho các hàm chỉnh hình và đưa ra một cách tiếp cận đơn giản hơn với các KV- kết quả và nhìn chúng một cách khái quát hơn Mục đích của luận văn là tìm hiểu và trình bày hệ thống lại các kết quả về các phiên bản khác nhau của Bổ đề Schwarz và quan hệ của nó với các hàm điều hòa và các hàm chỉnh hình nhiều biến 2 Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống lại các kết quả của H Chen, Miodrag Mateljevi´c và David Kalaj về các phiên bản khác nhau của Bổ đề Schwarz và quan hệ của nó với các hàm điều hòa và các hàm chỉnh hình nhiều biến liên quan đến khoảng cách Kobayashi 1 3 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kết hợp các phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết, phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết 4 Bố cục của luận văn Luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [3], [7], [11] gồm 36 trang trong đó có phần mở đầu, 2 chương nội dung, phần kết luận và tài liệu tham khảo Cụ thể là: - Chương 1: Bổ đề Schwarz và metric Kobayashi cho các hàm điều hoà và hàm chỉnh hình trình bày các dạng bổ đề Schwarz cho các hàm chỉnh hình, hàm điều hòa thực và chuẩn của các ánh xạ điều hòa - Chương 2: Bổ đề Schwarz cho các hàm điều hoà trên đĩa đơn vị, chương này trình bày tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho các hàm điều hòa trên đĩa đơn vị mà giá trị của các hàm này và chuẩn của vi phân của chúng tại điểm z = 0 đã được cho trước Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt các kết quả đạt được và danh mục tài liệu tham khảo 2 Chương 1 Bổ đề Schwarz và metric Kobayashi cho các hàm điều hoà và hàm chỉnh hình Như chúng ta đã biết, có rất nhiều kết quả từ lý thuyết các hàm giải tích đã được mở rộng sang cho các hàm điều hòa bằng cách sử dụng Bổ đề Schwarz Năm 2012, Kalaj và Vuorinen [3] (viết gọn là KV-kết quả) đã tìm thấy một phiên bản của bổ đề Schwarz cho các hàm điều hòa, tác giả đã chứng minh được các kết quả đẹp đẽ cho các trường hợp của hàm điều hòa thực và chuẩn của các ánh xạ điều hòa; Năm 2018, Miodrag Mateljevi´c [7] đã sử dụng bổ đề Schwarz cổ điển cho các hàm chỉnh hình và đưa ra một cách tiếp cận đơn giản hơn với các KV- kết quả và nhìn chúng một cách khái quát hơn Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một cách hệ thống các kết quả nghiên cứu này Trước tiên, ta nhắc lại một số khái niệm và các kết quả sau: 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1.1 i) Với x ∈ Rn và u ∈ TnRn, ta ký hiệu |u| = |u|e là chuẩn Euclide của u Giả sử G là tập mở trong Rn Với ánh xạ f : G → Rm khả vi tại x ∈ G, ta ký hiệu ánh xạ tuyến tính tương ứng từ không gian tiếp xúc TnRn vào không gian tiếp xúc Tf(x)Rm bởi f (x) hoặc (df )x và kí hiệu chuẩn của nó bởi |f (x)| hay |(df )x| tương ứng với các chuẩn đã cho trên G và f (G) ii) Đặt S(a, b) = {(a, b) × R, −∞ ≤ a < b ≤ ∞} và đặc biệt ta viết S0 = 3 S(−1, 1) Lưu ý S(a, b) là một dải nếu −∞ < a < b < ∞ và S(a, +∞) là nửa mặt phẳng nếu a là một số thực và S(−∞, +∞) = C iii) Nếu ω là một số phức, thì ta ký hiệu phần thực tương ứng u = Re ω và nếu f là hàm có giá trị phức xác định trên tập G, ta thường viết f = u + iv, trong đó u và v là các hàm có giá trị thực xác định trên G, u(z) = Ref (z) và v(z) = Im f (z), z ∈ G Ta viết u = Ref và v = Imf và gọi nó là phần thực và phần ảo tương ứng của hàm f ; kí hiệu f (z) = (fx, fy) là gradient phức của f Theo định nghĩa của gradient thì ta xác định | f (z)|2 = |fx|2 + |fy|2, và do đó có √ |f (z)| ≤ | f (z)| ≤ 2|f (z)| Định nghĩa 1.1.2 Với mỗi hàm có giá trị phức f xác định trên miền D trong mặt phẳng phức, ta sử dụng ký hiệu fx và fy là các đạo hàm riêng tương ứng của f theo x và y Nếu tồn tại các đạo hàm riêng fx và fy, ta định nghĩa 1 ¯1 ∂f = (fx − ify) và ∂f = (fx + ify); 2 2 và λf (z) = |∂f (z)| − |∂¯f (z)| , Λf (z) = |∂f (z)| + |∂¯f (z)| Với z ∈ D, Λf (z) là chuẩn của toán tử tuyến tính f (z) = (df )z, do đó theo ký hiệu trong Định nghĩa 1.1.1, ta có Λf (z) = |f (z)| = |(df )z|, z ∈ D Gọi ds là metric Riemann trên D bảo giác với metric Euclid Khi đó, ds được cho bởi dạng cơ bản ds = ρ|dz|, ρ > 0 Trong luận văn này, ta luôn giả sử ρ là hàm liên tục trên miền tương ứng và gọi là mật độ metric, ta kí hiệu dρ là metric tương ứng với ρ Với một miền phẳng hyperbolic D, kí hiệu ρD hoặc λD là mật độ hy- perbolic, dD là metric hyperbolic và σD là metric giả hyperbolic trên D, HypD(z1, z2) là khoảng cách hyperbolic giữa z1, z2 ∈ D Đặc biệt, ký hiệu λ0 và ρ0 là metric hyperbolic tương ứng trên đĩa đơn vị và trên dải S0 4 Mật độ hyperbolic (metric) trên đĩa đơn vị U = {z ∈ C ||z| < 1} xác định bởi 2 HypU(z) = 1 − |z|2 , z ∈ U Khi đó độ cong Gauss của metric này là −1 Để thuận tiện cho việc theo dõi các kết quả phần sau, ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất sau: (i) Nếu φ là một ánh xạ bảo giác từ miền phẳng D vào U, ta định nghĩa mật độ hyperbolic trên D bởi HypD(z) = HypU(φ(z))|φ (z)|, z ∈ D (ii) Nếu G và D là các miền đơn liên khác nhau trong C và φ là ánh xạ bảo giác của D vào G, thì HypG(φ(z))|φ (z)| = HypD(z), z ∈ D Bổ đề 1.1.3 [5] Cho D và G là các miền phẳng với mật độ metric tương ứng là σ và ρ Nếu f là một ánh xạ lớp C1 từ D vào G và |f (z)|ρ(f (z)) ≤ σ(z), z ∈ D, thì dρ(f (z), f (w)) ≤ dσ(z, w), z, w ∈ D Bổ đề 1.1.4 [7] Nếu G là một miền đơn liên trong C và ω là một ánh xạ chỉnh hình từ U vào G, thì (dω)z ≤ 1, ∀z ∈ U, trong đó (dω)z được xác định ứng với các chuẩn hyperbolic trên các không gian tiếp xúc tương ứng TzC và Tω(z)C Đặc biệt nếu G = S0, từ khẳng định trên ta có kết quả sau Bổ đề 1.1.5 [7] Giả sử rằng ω là ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị U vào S0 Khi đó i) HypS0(ω(z))|ω (z)| ≤ HypU(z), z ∈ U, đẳng thức đạt được tại z ∈ U nếu và chỉ nếu ω là ánh xạ bảo giác từ U vào S0 5