Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMPhaengchai BOUNLUETAIBỔ ĐỀ SCHWARZ VÀ METRIC KOBAYASHI CHOCÁC HÀM ĐIỀU HÒA VÀ HÀM CHỈNH HÌNHTRONGCnLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Trang 2 ĐẠI
Một số kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.1.1 i) Với x ∈ R n và u ∈ TnR n , ta ký hiệu |u| = |u| e là chuẩn Euclide của u Giả sử G là tập mở trong R n Với ánh xạ f : G→ R m khả vi tại x ∈ G, ta ký hiệu ánh xạ tuyến tính tương ứng từ không gian tiếp xúc T n R n vào không gian tiếp xúc T f (x) R m bởi f(x) 0 hoặc (df) x và kí hiệu chuẩn của nó bởi |f 0 (x)| hay |(df) x | tương ứng với các chuẩn đã cho trên G và f(G).
S(−1,1) Lưu ý S(a, b) là một dải nếu −∞ < a < b < ∞ và S(a,+∞) là nửa mặt phẳng nếu a là một số thực và S(−∞,+∞) =C. iii) Nếu ω là một số phức, thì ta ký hiệu phần thực tương ứngu = Re ω và nếu f là hàm có giá trị phức xác định trên tập G, ta thường viết f = u+iv, trong đó u và v là các hàm có giá trị thực xác định trên G, u(z) =Ref(z) và v(z) = Im f(z), z ∈ G Ta viết u = Ref và v = Imf và gọi nó là phần thực và phần ảo tương ứng của hàm f; kí hiệu 5f(z) = (f x 0 , f y 0 ) là gradient phức của f Theo định nghĩa của gradient thì ta xác định
2|f 0 (z)|. Định nghĩa 1.1.2 Với mỗi hàm có giá trị phức f xác định trên miền D trong mặt phẳng phức, ta sử dụng ký hiệu f x 0 và f y 0 là các đạo hàm riêng tương ứng của f theo x và y Nếu tồn tại các đạo hàm riêng f x 0 và f y 0 , ta định nghĩa
Với z ∈ D, Λ f (z) là chuẩn của toán tử tuyến tính f 0 (z) = (df) z , do đó theo ký hiệu trong Định nghĩa 1.1.1, ta có Λ f (z) = |f 0 (z)| = |(df) z |, z ∈ D.
Gọi ds là metric Riemann trên D bảo giác với metric Euclid Khi đó, ds được cho bởi dạng cơ bản ds = ρ|dz|, ρ > 0.
Trong luận văn này, ta luôn giả sử ρ là hàm liên tục trên miền tương ứng và gọi là mật độ metric, ta kí hiệu d ρ là metric tương ứng với ρ.
Với một miền phẳng hyperbolic D, kí hiệu ρD hoặc λD là mật độ hy- perbolic, dD là metric hyperbolic và σD là metric giả hyperbolic trên D, Hyp D (z1, z2) là khoảng cách hyperbolic giữa z1, z2 ∈ D. Đặc biệt, ký hiệu λ 0 và ρ 0 là metric hyperbolic tương ứng trên đĩa đơn vị và trên dải S 0
Mật độ hyperbolic (metric) trên đĩa đơn vị U = {z ∈ C||z| < 1} xác định bởi
1− |z| 2 , z ∈ U. Khi đó độ cong Gauss của metric này là −1. Để thuận tiện cho việc theo dõi các kết quả phần sau, ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất sau:
(i) Nếu φ là một ánh xạ bảo giác từ miền phẳng D vào U, ta định nghĩa mật độ hyperbolic trên D bởi
(ii) Nếu G và D là các miền đơn liên khác nhau trong C và φ là ánh xạ bảo giác của D vào G, thì
Bổ đề 1.1.3 [5] Cho D và G là các miền phẳng với mật độ metric tương ứng là σ và ρ Nếu f là một ánh xạ lớp C 1 từ D vào G và
Bổ đề 1.1.4 [7] Nếu G là một miền đơn liên trong C và ω là một ánh xạ chỉnh hình từ U vào G, thì k(dω) z k ≤ 1,∀z ∈ U, trong đó k(dω) z k được xác định ứng với các chuẩn hyperbolic trên các không gian tiếp xúc tương ứng T z C và T ω(z) C. Đặc biệt nếu G = S 0, từ khẳng định trên ta có kết quả sau
Bổ đề 1.1.5 [7] Giả sử rằng ω là ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị U vào
Hyp S 0 (ω(z))|ω 0 (z)| ≤ Hyp U (z), z ∈ U,đẳng thức đạt được tại z ∈ U nếu và chỉ nếu ω là ánh xạ bảo giác từ U vào S 0 ii) Nếu ω là một ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị U vào S0 và ω(0) = 0, thì
|ω 0 (0)| ≤ 4 π, đẳng thức đạt được nếu và chỉ nếu ω là một ánh xạ bảo giác từ U vào
Ta có sự liên hệ giữa hàm điều hòa và hàm chỉnh hình như sau:
Bổ đề 1.1.6 [7] Nếu f = u +iv là một hàm điều hòa có giá trị phức và
F = U +iV là hàm chỉnh hình trên một miền D sao cho Ref = ReF trên
D (khi đó ta nói rằng F là liên hợp với f) thì a) F 0 = U x + iV x = U x −iU y = u x −iu y = ∇u và ∇u = (u x , u y ), b) Đặc biệt, |F 0 | = |∇u| = |∇u|.
Bổ đề 1.1.7 Giả sử f là một ánh xạ điều hòa có giá trị phức từ đĩa đơn vị U vào U với f(0) = 0 Khi đó Λ f (0) ≤ 4 π. Chứng minh Sử dụng hai phép quay xung quanh 0, ta có thể giả sử rằng k(df) 0 k = df(e 1 ) > 0 vì df 0 (e 1 ) = u 0 x (0) +iv x 0 (0), nên df 0 (e 1 ) =u 0 x (0).
Hơn nữa, nếu F = U +iV là một hàm giải tích trên U sao cho Ref = ReF trên U với F(0) = 0, thì theo Bổ đề 1.1.4 ta có u 0 x (0) = U x 0 (0) ≤ |F 0 (0)| ≤ 4 π.
Do vậy Λ f (0) ≤ π 4 Đặc biệt, nếu ω là một ánh xạ bảo giác từ U vào S 0 với ω(0) = 0 và u = Re ω, theo Bổ đề 1.1.5 ii) ta có
Bổ đề Schwarz cho các hàm điều hòa thực
Trước tiên, ta trình bày lại các KV - kết quả, đây là các phiên bản của bổ đề Schwarz cho các trường hợp của hàm điều hòa thực và chuẩn của các ánh xạ điều hòa. Định lí 1.2.1 [3] Cho f là một hàm điều hòa thực từ đĩa đơn vị U vào (−1,1) Ta có bất đẳng thức sau
1− |z| 2 ,|z| < 1 (1.1) Hơn nữa bất đẳng thức này là ngặt.
Chứng minh Gọi h là liên hợp điều hòa của f Khi đó a = f + ih ánh xạ đĩa đơn vị U vào dải S = {ω : −1< Re ω < 1}.
Sử dụng ánh xạ bảo giác g(z) = 2i π log1 +z
1−z của đĩa đơn vị U vào dải S, ta có tồn tại một hàm giải tích b : U → U, sao cho a(z) = 2i π log 1 +b(z)
1−b(z). Áp dụng bổ đề Schwarz cho các hàm giải tích, ta có
Ta sẽ tìm một hằng số C tốt nhất có thể sao cho
1− |z| 2 nên ta chỉ cần tìm hằng số C tốt nhất có thể sao cho
Do vậy, bất đẳng thức trên đạt được với hằng số C = π 4 và với t ∈ (− π 2 , π 2 ) là do
Vậy ta có bất đẳng thức (1.1).
Tiếp theo ta chỉ ra bất đẳng thức (1.1) là ngặt.
Lấy hàm điều hòa f(z) = 2 π arctan
Tiếp theo là kết quả về dạng Bổ đề Schwarz cho chuẩn của ánh xạ điều hòa Ta có định lý sau Định lí 1.2.2 [3] Nếu f là một ánh xạ điều hòa từ đĩa đơn vị vào hình cầu đơn vị B n ⊂ R n , thì
1− |z| 2 , |z| < 1 (1.2)Hơn nữa bất đẳng thức (1.2) là ngặt.
Chứng minh Xét hàm g(z) =hf(z), bi, trong đó |b| = 1, b ∈ R n
Theo Định lí 1.2.1, với |h| = 1, h ∈ C, ta có h5f(z)h, bi ≤ 4 π.1− |g(z)| 2
1− |z| 2 Định lí 1.2.3 [3] Cho f là một hàm điều hòa từ đĩa đơn vị U vào (−1,1).
Ta có d h (f(z), f(ω)) ≤ 4 πd h (z, ω), trong đó d h là khoảng cách hyperbolic tương ứng trong (−1,1) và U.
Chứng minh Goi m là phép biến đổi Mobius của đĩa đơn vị vào chính nó mà ánh xạ các điểm 0 và r > 0 thành các điểm z và ω.
Ta có hàm f ◦m là điều hòa, ta cũng kí hiệu nó bởi f, không mất tổng quát ta có thể giả sử rằng f(z) ≤ f(ω).
LấyC = t∈ [0, r] : f 0 (t) > 0 , thìC = S ∞ n=0 Cn, ở đâyCnlà các khoảng trong [0, r]. Đặt A 1 = C 1 , A 2 = C 2 \ {t :f(t) ∈ f(A 1 )} Bằng quy nạp, ta có
Lấy A = S n k=1 A k , kớ hiệu |ã| là độ đo Lebergue trờn đường thẳng thực. Thì
[f(z), f(ω)] ⊂f ([0, r]) và A là tập con đo được của [0, r] sao cho
|[f(z), f(ω)]| = |f(A)| và f là đơn ánh trong A.
Bằng sử dụng bất đẳng thức (1.1), ta có dh(f(z), f(ω)) Z f (ω) f (z)
Tiếp theo, ta trình bày một phiên bản của bổ đề Schwarz cho hàm điều hòa giá trị thực nếu đối miền là khoảng, đoạn và phiên bản của bổ đề Schwarz cho các ánh xạ điều hòa giá trị phức nếu đối miền là dải S(a, b) với hàm Finsler E Ta có định lý sau Định lí 1.2.4 [7] Giả sử rằng D là một miền phẳng hyperbolic, G S(a, b),−∞ < a < b ≤ ∞, và f : D → G là ánh xạ điều hòa có giá trị phức trên miền D Cho z ∈ D,h ∈ T z C,|h| = 1, và h 0 = df z (h) = λv, trong đó λ = |h 0 | > 0,p = f(z) và v ∈ T p C,|v| e = 1 Nếu độ đo của góc lồi giữa v và e 1 = e 1 (p) ∈ T p C (e 1 (p) là véc tơ (1,0) với gốc tại p) là α = α(v) =α(p,v), thì
(i) |h 0 ||cosα|Hyp G (f(z)) ≤ |Hyp D (z), z ∈ D, trong đó Hyp G được cho bởi công thức sau: với w = u+iv ∈ S(a, b), thì
(ii) Tồn tại h 0 ∈ T z C,|h 0 | = 1, sao cho f 0 (z) = |df z (h 0 )|, và
(iii) |cosα 0 ||f 0 (z)|Hyp G (f(z) ≤ Hyp D (z), z ∈ D, trong đó h 0 0 = df z (h 0 ) và α 0 = α 0 (z) =α(p,h 0 0 ).
1− |z| 2 , z ∈ U. (vii) Nếu f là một hàm có giá trị thực, thì a) |f 0 (z)|Hyp G (f(z)) ≤ Hyp D (z), z ∈ D. b) Hyp G (f(z1), f(z2)) ≤Hyp D (z1, z2), z1, z2 ∈ D. Để chứng minh định lý này, trước hết ta chứng minh các bổ đề sau
Nếu u là một ánh xạ điều hòa từ đĩa đơn vị U vào I0 = (−1,1), đặt
1− |z| 2 , z ∈ U (1.5) Chứng minh Gọi f là một ánh xạ điều hòa giá trị phức từ đĩa đơn vị U vào
S 0 , khi đó có một hàm chỉnh hình F = F f liên kết với f Nếu u = ReF, thì theo Bổ đề 1.1.6 b),
|∇u(z)|= |F 0 (z)|, z ∈ U. Áp dụng Bổ đề Schwarz-Ahlfors-Pick, ta có
Từ đó ta có công thức (1.4).
Vì 1−cos( π 2 x) = 2 sin 2 ( π 4 x) và từ bất đẳng thức
4, ta chứng minh được cos(π
2x) ≤ 1−x 2 , |x| ≤ 1 và do vậy ta có π(1ưu 2 ) ư1 ≤ ρ (w) (1.6)
Sử dụng cos( π 2 u) = sin( π 2 (1− |u|)) ≤ π 2 (1− |u|), ta được π
Từ (1.6), (1.7) ta suy ra được (1.5).
Ta có nhận xét sau
Nhận xét 1.2.6 NếuG 1 , G 2 là các miền phẳng hyperbolic sao cho G 1 ⊂ G 2 thì
Liên quan đến chứng minh của Bổ đề 1.2.5, từ (1.8), Hyp S 0 ≤ Hyp U và từ (1.6), ta tìm được
Hyp U (x 1 , x 2 ) ≤ 4 πHyp S 0 (x 1 , x 2 ), x 1 , x 2 ∈ (−1; 1) (1.9) Nếu F là ánh xạ chỉnh hình từ U vào S 0 và u = Re F thì
Do vậy từ (1.9) ta có
Giả sử rằng D là miền phẳng hyperbolic và v : D → (−1,1) là một ánh xạ điều hòa thực trên D, thì
Chứng minh Nếu D là đĩa đơn vị U thì kết quả này suy ra từ (1.10). Trong trường hợp tổng quát, ta sử dụng phủ chỉnh hình P : U →D và xác định bv = v◦ P Với z, w ∈ D, lấy z 0 ∈ P −1 (z), w 0 ∈ P −1 (w) Theo định nghĩa của bv thì rõ ràng bv(z 0 ) = v(z) và v(wb 0 ) = v(w) Vì bv : U → (−1,1), nên từ (1.10) ta có
Vì vậy ta có thể chọn z 0 , w 0 ∈ U sao cho
Vậy bổ đề được chứng minh
Ta chứng minh Định lý 1.2.4
Ta sẽ chứng minh các kết quả (i)−(iv) trong trường hợp D = U Trong trường hợp tổng quát, ta sử dụng phủ chỉnh hình P :U →D như trong chứng minh Bổ đề 1.2.7 Viết f dưới dạngf = u+iv, trong đóu và v là các hàm có giá trị thực và lấy F = U+iV là hàm giải tích sao cho Ref = ReF trên U.
(i) Lấy z ∈ D, h∈ TzC và |h| = 1 Trước hết ta xét trường hợp G = S 0. Lưu ý rằng Re (df) z (h) = (du) z (h) và |du z (h)| ≤ |F 0 (z)|.
(du) z (h) = Re(df) z (h) = Re(λv) =λ cosα, nên áp dụng Bổ đề 1.2.5 cho u, ta tìm được λ|cosα| = |(du) z (h)| ≤ 4 π
Hyp G (f(z)) = Hyp G (F(z)) = Hyp G (Ref(z)), nên ta có (i).
Nếu G = S(a,∞) và F là ánh xạ chỉnh hình từ U vào G, thì
|F 0 (z)| ≤ 2(1− |z| 2 ) −1 /ρ(F(z)) = 2(Rew −a)(1− |z| 2 ) −1 , z ∈ U, trong đó ρ là mật độ hyperbolic trên G.
(ii) Do df z có thể được đồng nhất bởi dfz(h) =ph+ qh, trong đó p = ∂f(z) và q = ∂f(z), ta có thể chỉ ra rằng tồn tại h 0 ∈
(iii) được suy ra từ (i), và (iv) được suy ra từ định nghĩa của |f 0 (z)|. Đặc biệt từ (i) ta suy được (v) và (vi).
(vii) Lấy h0 ∈ T z C được xác định bởi (ii) và h 0 0 = df z (h) Vì f có giá trị thực nênh 0 0 có thể được đồng nhất bởi một số thực và do đó α 0 bằng 0hoặc bằng π, vì vậy |cosα0| = 1 Áp dụng phần (iii) ta có (vii)a) Hiển nhiên, theo Bổ đề 1.1.3 thì a) kéo theo b). Định lý được chứng minh. Định nghĩa 1.2.8 Chuẩn Finsler F trên S(a, b),−∞ < a < b ≤ ∞ được xác định bởi
F(v) =F w (v) = Hyp S (a,b) (w)| hv, e 1 (w)i |, với mọi vecto tiếp xúc v ∈ T w , w ∈ S(a, b). Đặc biệt,
Sử dụng chuẩn Finsler F trên S(a, b) phần (iii) của Định lí 1.2.4 có thể phát biểu như sau: Định lí 1.2.9 [7] Giả sử D là một miền phẳng hyperbolic, G = S(a, b) (a, b)×R,−∞ < a < b ≤ ∞ và f : D → G là ánh xạ điều hòa có giá trị phức trên D Nếu z ∈ D, h ∈ TzC và h ∗ = dfz(h), thì
Chứng minh Theo định nghĩa của chuẩn Finsler F , F(h 0 ) = |h 0 ||cosα|, do đó kết quả được suy ra từ phần (i) của Định lí 1.2.4.
Bổ đề Schwarz cho các hàm chỉnh hình
Trên C n ta định nghĩa tích trong Hermite chính tắc bởi
< z, z > là chuẩn của véc tơ z Với các đa tạp phức Banach X và Y, ký hiệu O(X, Y) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y.
Ta nhắc lại một số tính chất của tự đẳng cấu song chỉnh hình của hình cầu đơn vị Bn trong C n Định nghĩa 1.3.1 Với a ∈ B n , đặt s a = (1 − |a| 2 ) 1/2 và với một điểm z ∈ B n cố định, ta xác định tập cho bởi
Gọi R(z) là bán kính của hình cầu B z , theo định lí Pytagor, R(z) =s z Với a ∈ C n , kí hiệu Pa(z) là phép chiếu trực giao ứng với tích trong Hermit chính tắc vào không gian con phức [a] n λa : λ ∈ C o sinh bởi a và đặt Q a = I −P a là phép chiếu lên phần bù trực giao của [a] Rõ ràng
Với z, a ∈ B n ta định nghĩa ˜ z = ϕ a (z) = a−P z −saQz
1− hz, ai , trong đó P z = P a (z) và Qz = Q a (z) Đặt U a = [a]∩B n và ϕ 1 a (z) = a−P z
Rõ ràng ϕ a = ϕ 1 a +ϕ 2 a , ϕ a = ϕ 1 a trên U a và ϕ a = ϕ 2 a trên B a
Với mỗi a, ta định nghĩa s = s a = p1− |a| 2 , ta nhắc lại một số kết quả sau của Rudin [13] Định lí 1.3.2 [13] Với mọi a ∈ B n , ϕa có các tính chất như sau
|1− < z, a >| 2 ; (iv) ϕ a là một phép đối hợp: ϕ a (ϕ a (a)) = z;
(v) ϕ a là một phép đồng phôi của Bn vào Bn và ϕ a ∈ Aut(B n );
Giả sử G và G 0 là các miền tròn đầy tương ứng trong C n , C m , G 0 lồi và bị chặn, F : G→ G 0 là chỉnh hình Khi đó
Giả sử f : B n → B m là chỉnh hình, a ∈ B n và b = f(a) Khi đó φ b (f(z)) ≤ |φ a (z)|, z ∈ B n hoặc tương đương
Sử dụng các kết quả trên, ta chứng minh được dạng bổ đề Schwarz cho các hàm chỉnh hình Ta có định lý sau Định lí 1.3.5 [6] Giả sử rằng f ∈ O(B n ,B m), a∈ B n và b = f(a).
(ii) Nếu m = 1, thì s 2 a |f 0 (a)| ≤ s 2 b 0 ; (iii) Nếu m > 1, thì bất đẳng thức σ m (f(z), f(w)) ≤ σ n (z, w), z, w ∈ B n nói chung không đạt được trong trường hợp tổng quát, nhưng nếu f ∈ O(B n ,B 1 ), thì σ 1 (f(z), f(w)) ≤σ n (z, w), tức là ta có bất đẳng thức sau đạt được với mọi z ∈ B n σ 1 (f(z), f(a)) = |f(z)−f(a)| 2
Chứng minh (i) Giả sử rằng f(0) = 0 và lấy z ∈ B n Với z ∗ = z/|z|, đặt
Dz = {ζz ∗ : ζ ∈ U} và F(ζ) = f(ζz ∗ ), ζ ∈ U Gọi p là phép chiếu của
B m lên D f (z) Theo bổ đề Schwarz trường hợp 1 chiều, |F(ζ)| ≤ |ζ| và đặc biệt với ζ = |z|, thì |f(z)| ≤ |z| Do vậy ta có
Với u ∈ T a C m , theo Định lí 1.3.2 (ii), v = ϕ 0 a (a)u = −P u/s 2 −Qu/s và theo định lí Pitago
|P u| 2 + |Qu| 2 ,|v| 2 = |P u| 2 /s 4 +|Qu| 2 /s 2 và do đó ta có
Nếu f(a) = b, gọi h = ϕ b ◦f ◦ϕ a Theo quy tắc dây chuyền h 0 (0) = ϕ 0 b (b)◦f 0 (a)◦ϕ 0 a (0).
Lấy u ∈ TaC n , v = f 0 (a)u ∈ TaC m , u 0 = ϕ 0 a (a)u và v 0 = ϕ 0 b (b)v Từ (1.13) suy ra |v 0 | ≤ |u 0 |.
1− |f(a)| 2 , và do đó (i) được chứng minh.
(ii) Nếu m = 1, thì s 2 b |v 0 | = |v| Vì vậy s 2 a |f 0 (a)| ≤s 2 b 0.
Vớiz, ω ∈ C n , |1−< z, ω > | 2 = 1+| < z, ω > | 2 −(|z| 2 +|ω| 2 )+|z−ω| 2 và do đó |1− < z, ω > | 2 ≤ (s z s ω ) 2 +|z−ω| 2 , z, ω ∈ C, tức là σn(z, w) ≤1 + |z−w| 2
(s z s a ) 2 và do đó ta có (1.12).
Bổ đề Schwarz cho các hàm điều hoà trên đĩa đơn vị
Nội dung chương này trình bày tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho các hàm điều hòa trên đĩa đơn vị mà giá trị của các hàm này và chuẩn của vi phân của chúng tại điểm z = 0 đã được cho trước.
Một số kiến thức chuẩn bị
Ta nhắc lại định lí sau, có thể xem như bổ đề Schwarz cổ điển cho các hàm điều hòa. Định lí 2.1.1 [12] Giả sử f : U →U là một hàm điều hòa trên đĩa đơn vị
|f(z)| ≤ 4 π arctan|z|,∀z ∈ U, và bất đẳng thức này là chặt với mỗi z ∈ U.
Năm 1977, H.W Hethcote đã cãi tiến kết quả này bằng cách bỏ đi giả thiết f(0) = 0 và đã chứng minh được định lí sau: Định lí 2.1.2 [10] Giả sử f : U →U là một hàm điều hòa trên đĩa đơn vị
≤ 4 π arctan|z|,∀z ∈ U.Bằng cách sửa đổi chứng minh của định lí này, M.Matejecic đã cải tiến kết quả của H.W Hethcote như sau: Định lí 2.1.3 [9] Lấy u : U → (−1,1) là một hàm điều hòa thỏa mãn u(0) = b Khi đó
4 π arctanϕ a (−|z|) ≤ u(z) ≤ 4 π arctanϕ a (|z|),∀z ∈ U. trong đó a = tan bπ 4 Các bất đẳng thức này là chặt với mỗi z ∈ U.
Như một hệ quả của Định lí 2.1.3, M.Matejecic cũng chứng minh được định lí sau: Định lí 2.1.4 [8] Lấy u : U → (−1,1) là một hàm điều hòa thỏa mãn u(0) = b Khi đó
Trong chương này, ta trình bày lại kết quả của Marek Svetlik [11] về tổng quát hóa hai định lí 2.1.3 và định lí 2.1.4 bằng cách xét các hàm điều hòa trên đĩa đơn vi U mà giá trị của các hàm này và chuẩn của các vi phân của chúng tại điểm z = 0 đã được biết.
Trước tiên, ta trình bày lại một số khái niệm và các kết quả liên quan. Lấy α ∈ U tùy ý Với mỗi z ∈ U ta định nghĩa ϕ α (z) = α+z
Rõ ràng ϕ α là một tự đồng cấu bảo giác trên U Với α ∈ (−1,1) ta có
(1) ϕ là tăng trên (−1,1) và ánh xạ (−1,1) vào chính nó;
Kí hiệu dải S = {z ∈ C : −1 < Re z < 1} Ánh xạ ϕ xác định bởi ϕ(z) tan( π 4 z) là một đẳng cấu bảo giác từ S vào U và φ là ánh xạ ngược của ϕ.
Sử dụng ánh xạ ϕ ta nhận được đẳng thức sau ρ S (z) = ρ U (ϕ(z))|ϕ 0 (z)| = π
Ta gọi phương pháp dải gồm các bước căn bản sau:
(I) Giả sử f : U → U là một hàm chỉnh hình, theo [[2], Theorem 6.4] , ta có
(II) Nếu f = u + iv là một hàm điều hòa và F = U + iV là một hàm chỉnh hình trên một miền D sao cho Ref = Re F trên D, thì
F 0 = Ux+iV = Ux−iUy = ux−iuy.
(III) Giả sử D là một miền phẳng liên thông đơn và f : D → S là một hàm điều hòa, khi đó tồn tại một hàm chỉnh hình F trên D sao cho Ref = Re F trên D và rõ ràng F :D → S.
(IV) Mật độ hyperbolic ρ S tại mỗi điểm z chỉ phụ thuộc vào Re z.
Lấy r ∈ (0; 1) tùy ý, kí hiệu D λ (ζ) = {z ∈ U :d U (z, ζ) ≤ λ} (tương ứng
S λ (ζ) ={z ∈ S : d S (z, ζ) ≤λ}) là đĩa đóng hyperbolic trong U (tương ứng trong S) với tâm ζ ∈ U (tương ứng ζ ∈ S) và bán kính λ.
Kí hiệu Ur = {z ∈ C :|z| ≤ r} là đĩa đóng Euclid. Đặt λ (r) = d U (r; 0) = ln1 +r
Vì d U (z; 0) = ln 1+|z| 1−|z| = 2 arctan|z|, ∀z ∈ U, ta có
Lấy b ∈ (−1; 1) tùy ý và a = tan bπ 4 Áp dụng Bổ đề Schwarz cho miền liên thông, ta có
S λ(r) (b) =S λ(r) (φ(ϕ a (0))) =φ(ϕ a (D λ(r) )) = φ(ϕ a (U r )), trong đó φ là đẳng cấu bảo giác từ U vào S.
Bổ đề 2.1.5 [[9], Lemma 3] Lấy r ∈ (0; 1) và b ∈ (−1; 1) tùy ý Thì
, trong đó a = tan bπ 4 và R e : C → R được xác định bởi R e (z) = Rez.
Bổ đề 2.1.6 [[4], Lemma 1] Lấy z, w ∈ C Khi đó max0∈ R
Xét hàm h : (−1,1) →R xác định bởi h(t) = t+|z|
1 +t|z|, vì h 0 (t) = (1+t|z|) 1−|z| 2 2 > 0 với mọi t∈ (−1,1) nên ta có bổ đề sau
Bổ đề 2.1.7 Cố định z ∈ U Hàm h : (−1,1)→ R xác định bởi h(t) = t+ |z|
Bổ đề 2.1.8 [1] Giả sử Ω 1 , Ω 2 là các miền hyperbolic và f : Ω 1 → Ω 2 là một hàm chỉnh hình Khi đó với mọi z, ω ∈ Ω 1 , dΩ 2 (f(z), f(ω)) ≤ log(cosh dΩ 1 (z, ω) + |f h (ω)|sinhd Ω 1 (z, ω)).
Tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho các hàm điều hoà trên đĩa đơn vị
Ta có định lí sau: Định lí 2.2.1 [11] Giả sử u : U →(−1; 1) là một hàm điều hòa thỏa mãn điều kiện
Khi đó với mọi u thuộc U,
4 π arctanϕ a (−|z|ϕ c (|z|)) ≤ u(z) ≤ 4 π arctanϕ a (|z|ϕ c (|z|)), (2.1) trong đó a = tan bπ 4 và c = π 4 cos 1 π
2 d Các bất đẳng thức này là chặt với mỗi z ∈ U theo nghĩa sau: với z ∈ U tùy ý, tồn tại các hàm điều hòa ub z ,ue z : U → (−1,1), phụ thuộc vào z, sao cho thỏa mãn hai điều kiện (i) và (ii) và ub z = 4 π arctanϕ a (−|z|ϕ c (|z|)) và eu z = 4 π arctanϕ a (|z|ϕ c (|z|)).
Chứng minh Sử dụng phương pháp dải suy ra tồn tại một hàm chỉnh hình f : U →S sao cho Ref = u, f(0) = b và |f 0 (0)| = d Vì vậy ta có f h (0) = ρ S (f(0)) ρ U (0) f 0 (0)
Lấy tùy ý z ∈ U, theo Bổ đề 2.1.8, bằng cách lấy Ω 1 = U và Ω 2 = S ta có d S (f(z), b) ≤ log coshd U (z,0) + f h (0) sinhd U (z,0)
Bây giờ ta chọn một điểm R(z) ∈ [0,1) sao cho d U (R(z),0) = log
Bất đẳng thức này tuơng đương với
Và do đó ta có
Vì vậy d S (f(z), b) ≤ d U (|z|ϕ c (|z|),0), tức là f(z) ∈ S λ(|z|ϕ c (|z|)) Áp dụng Bổ đề 2.1.5, ta được u(z) = Ref(z) ∈
Nếu z = 0 thì rõ ràng bất đẳng thức (2.2) là chặt.
Nếu z 6= 0, để chứng tỏ bất đẳng thức (2.2) là chặt, trước tiên ta định nghĩa hai hàm Φ,b Φ :e U → S như sau Φ(ζb ) =φ(ϕ a (−ζ ãϕ c (ζ))) và Φ(ζe ) = φ(ϕ a (ζ ãϕ c (ζ))).
Lấy z ∈ U\ {0} Xác định hàm ub z ,ue z : U → (−1,1) (chỉ phụ thuộc vào z) như sau ub z (ζ) = Re Φb e −i arg z ζ và ue z (ζ) = Re Φe e −i arg z ζ
Dễ dàng kiểm tra rằng các hàm ub z và ue z là điều hòa và đều thỏa mãn các giả thiết (i),(ii) Hơn nữa ub z (z) = 4 π arctanϕa(−|z|ϕ c (|z|)) và eu z (z) = 4 π arctanϕ a (|z|ϕ c (|z|)). Định lý này cho ta hệ quả sau
Hệ quả 2.2.2 Lấy u : U →(−1,1) là một hàm điều hòa sao cho u(0) = 0 và ∇u(0) = (0,0) Khi đó với mọi z ∈ U, ta có
|u(z)| ≤ 4 π arctan|z| 2 Định lí 2.2.3 [11] Giả sử f : U → U là một hàm điều hòa thỏa mãn (i) f(0) = 0.
Chứng minh Kí hiệu u, v tương ứng là phần thực và phần ảo của f Lấy θ ∈ R tùy ý Rõ ràng hàm F xác định bởi
F(z) = cosθ u(z) + sinθ v(z) là điều hòa trên đĩa đơn vị U, F(0) = 0 và |F(z)| ≤ |f(z)| < 1 với mọi z ∈ U.
Theo Định lí 2.2.1 ta có
= cosθ(u x (z) +iu y (z)) + sinθ(v x (z) +iv y (z)), theo Bổ đề 2.1.6 ta có max0∈ R
Theo Bổ đề 2.1.7 và từ (2.4) ta có
|U(z)| ≤ 4 π arctan (|z|ϕ C (|z|)),∀z ∈ U (2.5) Cuối cùng, lâý z ∈ U sao cho f(z) 6= 0 và lấy θ sao cho cosθ = u(z)
Khi đó F(z) = |f(z)|, từ (2.5) ta có bất đẳng thức (2.3).
Nếu z ∈ U sao cho f(z) = 0 thì bất đẳng thức (2.3) là tầm thường.
Từ định lý này ta có hệ quả sau
Hệ quả 2.2.4 Lấy f : U → U là một hàm điều hòa sao cho f(0) = 0 và
||df(0)|| = 0 Khi đó với mọi z ∈ U, ta có
Tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho hình cầu đơn vị
Trong phần này, ta sẽ tính toán các chuẩn Kobayashi-Finsler trên hình cầu đơn vị và trên tích các miền hyperbolic, từ đó suy ra các bất đẳng thức tương ứng liên quan đến các hàm chỉnh hình và các hàm đa điều hòa. Định nghĩa 2.3.1 Cho G là một tập con mở lên thông bị chặn của không gian phức Banach, p ∈ G và v ∈ T p G Ta định nghĩa k G (p, v) = inf|h|, trong đó infimum được lấy trên tất cả h ∈ T 0 C mà tại đó tồn tại một hàm chỉnh hình φ : U → G sao cho φ(0) = p và dφ 0 (h) = v.
Ta cũng sử dụng kí hiệu Kob G thay cho k G , Ta gọi Kob G là chuẩn Kobayashi-Finsler trên phân thớ tiếp xúc tương ứng. Định nghĩa 2.3.2 (i) Cho G là một tập con mở liên thông bị chặn của không gian phức Banach, p ∈ G và v ∈ T p G.
|λ| : φ(0) = p, dφ 0 (1) = λv, λ ∈ C o, trong đó supremum được lấy trên tất cả các ánh xạ φ : U → G là giải tích trong U với φ(0) = p Lưu ý rằng L G (p, v)k G (p, v) = 1 và do đó theo Định nghĩa 2.3.1
(i2) Kí hiệu H(p, v) là họ của tất cả các ánh xạ giải tích φ : U → G, với φ(0) = p và dφ 0 ánh xạ T 0 C vào [v] Với φ ∈ H(p, v), ta xác định
L G φ(p, v) : φ ∈ H(p, v) o.Nếu G là hình cầu đơn vị , ta viết L φ (p, v) thay cho L G φ(p, v).
(i3) Nếu với (p, v), tồn tại φ 0 ∈ H(p, v) sao cho L G (p, v) = L G φ(p, v), ta nói rằng φ 0 là cực trị (với chuẩn Kobayashi tại (p, v)).
(ii) Với u ∈ TpC n ký hiệu |u| e là chuẩn Euclid và u ∗ = u/|u| e (ta cũng sử dụng uˆ thay cho u ∗ ) nếu u khác 0.
Với đa tạp phức Banach X và Y, xác định bởi O(X, Y) lớp tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y Nếu φ ∈ O(U, Y) và f ∈ O(X, Y), thì f ◦φ ∈ O(U, Y)
Sử dụng bổ đề Schwarz cổ điển cho đĩa đơn vị trong C, ta có thể chứng minh được mệnh đề sau
Mệnh đề 2.3.3 [7] Giả sử rằng f ∈ O(B n ,B m ) và f(0) = 0 Khi đó (a) |f 0 (0)| ≤ 1.
Chứng minh Lấy một điểm tùy ý a ∈ B n và đặt b = f(a).
Với z ∈ U ta xác định g(z) =hf(za ∗ ), b ∗ i.
Vì g ∈ Hol(U,U), khi đó theo phiên bản của bổ đề Schwarz trên đĩa đơn vị ta tìm được
Nếu ta chọn z 0 sao cho a = z 0 a ∗ , khi đó áp dụng (i) cho z 0 , suy ra
Sử dụng (ii), dễ dễ dàng chỉ ra rằng (a) và (b) đúng. Định nghĩa 2.3.4 Lấy u ∈ T p C n và p ∈ B n Đặt ϕ p (z) = p−P z −s p Q z
1− hz, pi , s p = (1− |p| 2 ) 1/2 Nếu A= (dϕ p ) p , thì Au ∈ T 0 C n Đặt |Au| e = M 0 (p, u)|u| e , tức là
Nói chung, nếu p ∈ Ω ⊂ C n và u ∈ T p C n , ta định nghĩa M(p, u) M Ω (p, u) là mật độ Kobayashi tại p theo hướng u bởi
(V2) Đặc biệt, nếu Ω là một miền hyperbolic phẳng thì
Lưu ý ở đây nếu Ω là hình cầu hoặc đa đĩa thì ta có thể tính chuẩn Kobayashi-Finsler tại gốc 0 bằng sử dụng phiên bản của bổ đề Schwarz và sử dụng (V0) cùng các tính chất củaAut(Ω)để tính chuẩn Kobayash-Finsler tại điểm a ∈ Ω tùy ý trong các trường hợp này.
Mệnh đề 2.3.5 [7] Nếu độ đo của góc giữa u ∈ T p C n và p ∈ B = B n là α = α(p, u), thì
Rõ ràng từ phương trình trên
Chứng minh Ta sử dụng kí hiệu mô tả trong Định nghĩa 2.3.4. Đặt A k = (dϕ k p ) p và u = u 1 + u 2 , trong đó u 1 ∈ T p U p và u 2 ∈ T p Q p , u 0 k = A k (u k ), k = 1,2 Theo bổ đề Schwarz cổ điển cho 2 đĩa đơn vị và Mệnh đề 2.3.3
Khi đố, từ u 0 = A(u) = u 0 1 +u 0 2 , u 0 1 và u 0 2 là trực giao.
Do vậy, |u 1 | e = cosα|u| e ,|u 2 | e = (sinα)|u| e và |u 0 | e = p|u 0 1 | 2 e +|u 0 2 | 2 e , ta suy ra (2.8).
Giả sử rằngf ∈ O(B n ,B m ), a ∈ B n vàb = f(a), u ∈ T p C n vàu ∗ = f 0 (a)u. Đặt A = dϕ a , B = dϕ b , g = ϕ b ◦f ◦ϕ a , v = Au và v ∗ = Bu ∗
(dg) 0 = B ◦(df) a ◦A và do đó v ∗ = (dg) 0 (v).
Khi đó theo Định nghĩa 2.3.4, ta có |Au| e = M 0 (a, u)|u| e và |Bu ∗ | e M 0 (b, u ∗ )|u ∗ | e
Cuối cùng, theo Mệnh đề 2.3.3, |v ∗ | e ≤ |v| e , tức là |Bu ∗ | e ≤ |Au| e
Do vậy, theo (2.9), ta tìm được s 2 a |u ∗ | e ≤s b |u| e Định lí 2.3.6 [7] Cho a ∈ B n và v ∈ T p C n Khi đó
Chứng minh Lấy φ là ánh xạ chỉnh hình từ U vào B n , φ(0) = a, v ∈
Gọi P là phép chiếu trên[v] và đặt φ 1 = P ◦φ Khi đó P là ánh xạ đồng nhất Id trên [v] và do đó
Mặt khác, φ 1 là ánh xạ chỉnh hình của U vào U v và
Theo bổ đề Schwarz cổ điển (trường hợp một biến phức), |λ| = |φ 0 1 (0)| ≤
1 và do đó vì (dφ 0 ) 0 (1) = v, trong đó φ 0 (ζ) = vζ, φ 0 là cực trị Vậy Kob(0, v) = 1.
2 ◦ Trường hợp a 6= 0, A = (dϕ a ) a và v ∗ = A(v) Khi đó theo 1 ◦ ,
Với u ∈ T p C 2 ta kí hiệu độ đo của góc giữa u ∈ T p C 2 và mặt phẳng z 1 bởi α = α u = α u (p) Việc tính toán về chuẩn Kobayashi-Finsler trên U 2 dựa trên kết quả sau:
Chứng minh Giả sử v = (v 1 , v 2 ) ∈ T 0 C 2 và |v 1 | ≥ |v 2 | Gọi φ = (φ 1 , φ 2 ) là một hàm giải tích từ U vào U 2 , φ(0) = (0,0) và dφ 0 ánh xạ T 0 C vào [v]. Khi đó dφ 0 (h) = λv = (λv 1 , λv 2 ) với h ∈ T 0 C, trong đó λ = λ(h) ∈ C.
Vì φ 1 và φ 2 ánh xạ U vào U, nên |λ(h)||v 1 | ≤ 1, với mọi |h| e = 1 Do đó (i) |dφ 0 | ≤ |v| e /|v 1 | e Xét ánh xạφ 0 xác định bởiz 7→ (zv 1 , zv 2 )/|v 1 |, z ∈ U. Lưu ý rằng (ii): |dφ 0 | = |v| e /|v 1 | e ≤ √
2 Từ (i) và (ii) ta kết luận φ 0 là cực trị và do đó
Lấy p = (c, d) ∈ U 2 Đặt T 1 = ϕ c , T 2 = ϕ d , T = (T 1 , T 2 ) và A = dT p Chú ý rằng T(z) = (T 1 (z), T 2 (z)), z ∈ U và A = (A 1 , A 2 ), trong đó A 1 (dT 1 ) c và A 2 = (dT 2 ) 2 Lấy u ∈ T p C 2 và α = α u (p) Nếu u 0 = A(u), ta có thể kiểm tra rằng |u 0 | e = M 0 (p, u)|u| e , trong đó
U 2 (p, u) s 1 s 4 c cos 2 α+ 1 s 4 d sin 2 α (2.10) Bây giờ ta sẽ chứng tỏ rằng:
M(p, u) = M U 2 (p, u) = maxncosα/s 2 c ,sinα/s 2 d o.Đặc biệt, nếu s 2 d /s 2 c ≥tanα, thì k(p, u) = |v 1 | e = (cosα)|u| e /s 2 c
Chứng minh Nhắc lại rằng T(p) = 0 và A = (A 1 , A 2 ) = dT p Dễ để kiểm tra được u = (u1, u2) = u1e1(p) +u2e2(p), u 0 = A(u) =u 0 1 e1(0) +u 0 2 e2(0), trong đó u 0 k = A k (uk), k = 1,2.
Do vậy, từ |u 1 | e = (cosα)|u| e ,|u 2 | e = (sinα)|u| e và theo định lí Pitagor
|u 0 | e = p|u 0 1 | 2 e +|u 0 2 | 2 e , ta chứng tỏ được (C1), (C2) và (2.10).
Suy ra ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 2.3.7 [7] Cho p = (c, d) ∈ U 2 và α = α u = α(p, u) Khi đó k U 2 (p.u) = maxn cos s 2 α c , sin s 2 α d o|u| e
Mệnh đề 2.3.8 [7] Cho D và G là các miền hyperbolic phẳng,
M(p, u) = MΩ(p, u) = max n Hyp D (c) cosα,Hyp G (d) sinα o , và
Ta cũng có thể trình bày kết quả này lại dưới dạng
(a) Nếu Hyp 2 D cos 2 α ≥ Hyp 2 G sin 2 α, thì
(b) Nếu Hyp 2 D cos 2 α ≤ Hyp 2 G sin 2 α, thì
Chứng minh Gọi ψ c và ψ d là các ánh xa bảo giác củaD vàG vào Usao cho ψ c (c) = ψ d (d) = 0 Nếu T = (ψ c , ψ d ), A = dT p và v = A(u) = (v 1 , v 2 ) ∈
T 0 C 2 , có thể kiểm tra rằng
|u| e = Kob 0 (p, u) =M Ω 0 (p, u) q Hyp 2 D (c) cosα 2 + Hyp 2 G (d) sin 2 α.
Sử dụng Mệnh đề 2.3.5, 2.3.8, ta chứng minh được kết quả sau về dạng bổ đề Schwarz cho tích các miền hyperbolic. Định lí 2.3.9 [7] Cho D và G là các miền hyperbolic phẳng, Ω =D ×G. Giả sử rằng f ∈ O(B 2 ,Ω), a ∈ B 2 và b = f(a), u ∈ TpC 2 và u∗ = f 0 (a)u. Khi đó
Kob Ω (b, u ∗ ) = M Ω (b, u ∗ )|u ∗ | e ≤M B 2 (a, u)|u| e , trong đó Kob Ω được mô tả như trong Mệnh đề 2.3.8 và công thức của
M B 2 (a, u) được cho như trong Mệnh đề 2.3.5.
Cuối cùng, ta sẽ trình bày một phiên bản của bổ đề Schwarz cho các ánh xạ giải tích của Bn vào một miền phẳng hyperbolic G Trước tiên ta giới thiệu mật độ hyperbolic trên đĩa thủng và định nghĩa gradient phức.
Vì ánh xạ w = e iz ánh xạ nửa mặt phẳng trên H vào đĩa thủng, ta có thể chứng tỏ metric Poincare trên nửa mặt phẳng trên cảm sinh một metric trên đĩa thủng U
Nếu G ⊂ C n và f : G → C là hàm thuộc lớp C 1 , ta kí hiệu đạo hàm riêng cấp một ∂x ∂f j và ∂y ∂f j tương ứng với x j và y j , trong đó z j = x j +iy j Hơn nữa ta định nghĩa
X|D j f(z)| 2 ) 1/2 , trong đó |Df(z)| e là chuẩn Euclid.
Nếu f là một hàm giá trị phức lớp C 1 , xác định trên Bn, ta định nghĩa
Df˜ (a) = D(f ◦ϕa)(0), a ∈ B n , trong đó ϕa là tự đẳng cấu tương ứng của B n Lưu ý rằng nếu h ∈ T0C n và u = (dϕ a ) 0 (h) thì d(f ◦ϕ a ) 0 (h) small> a (u).
Ta nhắc lại một số kết quả sau
(i) Giả sử rằng D và Glà các miền hyperbolic và f là ánh xạ giải tích của
(ii) Với h ∈ T 0 C n , đặt u = (dϕ a ) 0 (h), A = (dϕ a ) a và B = (dϕ a ) 0 thì h = A(u) và theo (2.9) ta có s 2 a |h| ≤ |u| = |(Dϕ a ) 0 (h)| ≤s a |h| (2.12)
(iii) Với a = (a1, , an) ∈ C n , xác định R(ζ) = Ra(ζ) = (a1ζ, , anζ), ζ ∈
C và với điểm ζ0 ∈ C, đặt z0 = R(ζ0) Giả sử rằng f là hàm có giá trị phức xác định trên một lân cận V của z 0 ∈ C n Khi đó hàm g(ζ) =g a (ζ) =f(a 1 ζ, , a n ζ) là xác định trên một lân cận W của ζ 0 a) nếu f là giải tích trên V, thì g 0 (ζ 0 ) = P n k=1 D k f(ζ 0 a)a k = df z 0 (a) và theo bất đẳng thức Cauchy-Shwarz.
|g 0 (ζ 0 )| ≤ |Df(z 0 )| e |a| e b) nếu f là ánh xạ giải tích có giá trị phức xác định trong lân cận của z ∈ C n , thì
|f 0 (z)| = |Df(z) và đặc biệt nếu z = 0,|f 0 (0)| = |Df(0)|.
Ta sẽ trình bày một số ước lượng với |Df˜ (z)|.
Mệnh đề 2.3.10 [7] Giả sử rằng f là một ánh xạ giải tích có giá trị phức trên B n Khi đó
Chứng minh (i) Tồn tại u ∈ T z C n sao cho |Df(z)| e = |df z (u)| Nếu v (dφ z ) z (u), thì (d(f ◦ϕ z )) 0 (v) small> z (u) Do đó
Theo bất đẳng thức bên trái trong (2.12), |v| e ≤ 1/s 2 z Vậy ta có (i). Chứng minh (ii) Với z ∈ B n , đặt F = f ◦ϕ z Theo định nghĩa, ta có
Df˜ (z) = D(f ◦ϕ z )(0) = DF(0) và do đó theo phần (b) của (iii), tồn tại v 0 ∈ T 0 C n sao cho |DF(0)| e |dF 0 (v 0 )|.
Nếu ta đặt u 0 = (dϕ) 0 (v 0 ) ta được dF 0 (v 0 ) small> z (u 0 ) Do bất đẳng thức bên phải trong (2.12), |u 0 | e ≤ sz, vậy ta tìm được
|df z (u0)| ≤ |df z ||u 0 | ≤ sz|df z | và từ |f 0 (z)| = |df z | = |Df(z)| (theo phần (b) của (iii)) ta nhận được (ii).
Từ (i) và (ii) suy ra nếu f là một ánh xạ giải tích có giá trị phức trên
B n thì s 2 z |Df(z)| e ≤ |Df˜ (z)| ≤sz|Df(z)| e , z ∈ B n (2.13) Định lý sau là một dạng của bổ đề Schwarz cho các ánh xạ giải tích của
Bn vào một miền phẳng hyperbolic G. Định lí 2.3.11 [7] Cho G là miền phẳng hyperbolic và gọi f là ánh xạ giải tích của Bn vào G, a ∈ B n , b = f(a), u ∈ T p C n và u ∗ = f 0 (a)u Khi đó
Chứng minh (i) Được suy ra từ bổ đề Schwarz.
(ii) Đặt F = f z = f ◦ ϕz Theo định nghĩa của Df˜ (z), ta có Df˜ (z) Dfz(0) Vì |Df˜ (z)| e = |f 0 (0)|, nên (ii) đúng với z = 0 Áp dụng (i) cho hàm f z tại 0 và từ định nghĩa của Df˜ (z), ta chứng minh được (ii) là đúng.
Luận văn "Bổ đề Schwarz và metric Kobayashi cho các hàm điều hòa và hàm chỉnh hình trong C n " đã trình bày được một số kết quả như sau:
1 Trình bày phiên bản của bổ đề Schwarz cho các hàm điều hòa giá trị thực và chuẩn của các ánh xạ điều hòa (KV - kết quả) (Định lý 1.2.1, Định lý 1.2.2, Định lý 1.2.3).
2 Trình bày phiên bản của bổ đề Schwarz cho các hàm điều hòa giá trị thực mà đối miền là khoảng, đoạn và phiên bản của bổ đề Schwarz cho các ánh xạ điều hòa giá trị phức mà đối miền là dải S(a, b) (Định lý 1.2.4, Định lý 1.2.9).
3 Trình bày phiên bản của bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình giữa hai hình cầu B n , B m (Định lý 1.3.5).
4 Tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho các hàm điều hòa trên đĩa đơn vị U mà đã biết giá trị của hàm và chuẩn của vi phân của chúng (Định lý 2.2.1; Định lý 2.2.3).
5 Trình bày bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình từ Bn vào tích các miền hyperbolic (Định lý 2.3.9) và ánh xạ giải tích từ Bn vào một miền phẳng hyperbolic (Định lý 2.3.11).
[1] A.F Beardon, T.K Carne (1992), "A strengthening of the Schwarz-Pick Inequality",Amer Math Monthly, 99 ,pp 216-217.
[2] A.F Beardon and D Minda (2007), "The Hyperbolic Metric and Ge- ometric Function Theory", Proceedings of the International Workshop on Quasiconformal Mappings and their Applications (New Delhi, In- dia), Narosa Publishing House, pp 10-56
[3] D Kalaj and M Vuorinen (2012), "On harmonic functions and the Schwarz lemma", Proc Amer Math Soc 140 , no 1, pp 161-165.
[4] F Colonna (1989), "The Bloch constant of bounded harmonic map- pings", Indiana Univ Math J., 38, pp 829-840.
[5] M Knezevic, M Mateljevic (2007), "On the quasi-isometries of har- monic quasi-conformal mappings", J Math Anal Appl, 334(1), pp. 404-413.
[6] M Mateljevic (2017), "Schwarz Lemma and Kobayashi Metrics for Holomorphic Functions", Published by Faculty of Sciences and Math- ematics, University of Nis, Serbia, pp 3253 - 3262
[7] M Mateljevic (2018)," Schwarz lemma and Kobayashi metrics for har- monic and holomorphic functions", J Math Anal Appl 464 , pp. 78-100.
[8] M Mateljevic, A Khalfallah, "Schwarz lemmas for mappings with bounded Laplacian", arXiv:1810.08823v1 [math.CV] 20 Oct 2018, http://arxiv.org/abs/1810.08823
[9] M Mateljevic, M Svetlik (2020), "Hyperbolic metric on the strip and the Schwarz lemma for HQR mappings", Appl Anal Discrete Math.