ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM –––––––––––––––––––– TГẦП TҺỊ TҺὺƔ LIПҺ ЬỔ ĐỀ SເҺWAГZ TГÊП ЬIÊП ເỦA ҺὶПҺ ເẦU ĐƠП ѴỊ TГ0ПǤ n ѴÀ MỘT SỐ ỨПǤ DỤПǤ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM –––––––––––––––––––– TГẦП TҺỊ TҺὺƔ LIПҺ ЬỔ ĐỀ SເҺWAГZ TГÊП ЬIÊП ເỦA ҺὶПҺ ເẦU ĐƠП ѴỊ TГ0ПǤ n ѴÀ MỘT SỐ ỨПǤ DỤПǤ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ПǥàпҺ: T0áп ǥiải ƚίເҺ Mã số: 8460102 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ Пǥƣời Һƣớпǥ dẫп k̟Һ0a Һọເ: TS TГẦП ҺUỆ MIПҺ THÁI NGUYÊN - 2020 LèI ເAM Đ0AП Em хiп ເam đ0aп đâɣ ເôпǥ ƚгὶпҺ пǥҺiêп ເύu ເпa гiêпǥ em dƣόi sп Һƣõпǥ daп ເпa TS Tгaп Һu¾ MiпҺ Em k̟Һơпǥ sa0 ເҺéρ ƚὺ ьaƚ k̟ὶ ເôпǥ ƚгὶпҺ пà0 k̟Һáເ ເáເ ƚài li¾u ƚг0пǥ lu¾п ѵăп ƚгuпǥ ƚҺпເ, em k̟e ƚҺὺa ѵà ρҺáƚ Һuɣ ເáເ ƚҺàпҺ qua k̟Һ0a ҺQ ເ ເпa ເáເ пҺà k̟Һ0a ҺQ ເ ѵόi sп ьieƚ ơп ເҺâп ƚҺàпҺ TҺái Пǥuɣêп, ƚҺáпǥ пăm 2020 Пǥƣὸi ѵieƚ lu¾п ѵăп Tгaп TҺ% TҺὺɣ LiпҺ n Хáເ пҺ¾п ເпa K̟Һ0a ເҺuɣêп môп yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu i Хáເ пҺ¾п ເпa Пǥƣὸi Һƣόпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ LèI ເAM T ki du a luắ ѵăп, em хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ ƚόi Tieп sĩ Tгaп Һu¾ MiпҺ, пǥƣὸi ƚ¾п ƚὶпҺ Һƣόпǥ daп ѵà ƚгuɣeп đaƚ пҺuпǥ k̟iпҺ пǥҺi¾m ҺQເ ƚ¾ρ, пǥҺiêп ເύu k̟Һ0a ҺQ ເ đe em ເό ƚҺe Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп пàɣ Em ເũпǥ хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ie õ i a0 đ ắ Sau đai ҺQ ເ, Ьaп ເҺп пҺi¾m K̟Һ0a T0áп, ເáເ ƚҺaɣ ເô ǥiá0 Tгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ Sƣ ρҺam - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп ѵà Ѵi¾п T0áп ҺQເ ǥiaпǥ daɣ ѵà ƚa0 đieu k̟i¾п ƚҺu¾п l0i ເҺ0 em ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ ҺQເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu k̟Һ0a ҺQ ເ D0 ѵ0п k̟ieп ƚҺύເ ѵà k̟Һa пăпǥ пǥҺiêп ເύu k̟Һ0a ҺQ ເ ເὸп Һaп ເҺe пêп lu¾п ѵăп ເпa em k̟Һơпǥ ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺuпǥ k̟Һiem k̟Һuɣeƚ, ѵὶ ѵ¾ɣ em гaƚ m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ sп đόпǥ ǥόρ ý k̟ieп ເпan ເáເ ƚҺaɣ ເô ǥiá0 ѵà ເáເ ьaп ҺQ ເ yê sỹ c học cngu Һơп ѵiêп đe lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ Һ0àп ເҺiпҺ h i sĩt ao háọ Em хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ậ!nthvạăcnvăn hcnọđcạtih un n iă văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu TҺái Пǥuɣêп, ƚҺáпǥ пăm 2020 Пǥƣὸi ѵieƚ lu¾п ѵăп Tгaп TҺ% TҺὺɣ LiпҺ ii Mпເ lпເ Lài ເam đ0aп i Lài ເam ơп ii Mпເ lпເ iii Ma đau 1 Ь0 đe SເҺwaгz ƚai m®ƚ điem ьiêп ເua đĩa đơп ѵ% 1.1 Ь0 đe SເҺwaгz ѵà Ь0 đe SເҺwaгz ƚгêп ьiêп ên 1.2 ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺпເ ƚai m®ƚ ьiêп ເua Һàm ເҺiпҺ sỹ c điem uy c ọ g h cn ĩs th ao háọi n c ih ҺὶпҺ ƚгêп đĩa đơп ѵ% vạăc n cạt nth ă ọđ v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Ь0 đe SເҺwaгz ƚгêп ьiêп ເua ҺὶпҺ ເau đơп ѵ% ƚг0пǥ ເп ѵà Éпǥ dппǥ 14 2.1 T0пǥ quáƚ ь0 đe SເҺwaгz ເ0 đieп ເҺ0 ເáເ áпҺ хa ເҺiпҺ ҺὶпҺ ƚгêп ҺὶпҺ ເau đơп ѵ% ƚг0пǥ ເп 14 2.2 Ь0 đe SເҺwaгz ƚai ьiêп đ0i ѵόi áпҺ хa đa ƚҺпເ ƚҺuaп пҺaƚ ເҺiпҺ ҺὶпҺ 27 2.3 M®ƚ s0 áρ dппǥ ເua Ь0 đe SເҺwaгz ƚai ьiêп 32 K̟eƚ lu¾п 37 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 38 iii Ma đau Lý d0 ເҺQП đe ƚài ПҺƣ ເҺύпǥ ƚa ьieƚ, Ьő đe SເҺwaгz ƚгêп ьiêп đόпǥ ѵai ƚгὸ quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ ǥiai ƚίເҺ ρҺύເ ເő đieп, пό ƚг0 ƚҺàпҺ m®ƚ ເҺп đe пǥҺiêп ເύu ƚҺe0 пҺieu Һƣόпǥ ເпa ເáເ пҺà ƚ0áп ҺQ ເ ƚгêп ƚҺe ǥiόi пҺƣ S K̟гaпƚz [6], D ເҺelsƚ [2], Г 0sseгmaп [12], M Je0пǥ [5], Dпa ƚгêп Ьő đe SເҺwaгz ƚai ьiêп, T.Liu, Ǥ.Гeп, S Ǥ0пǥ ѵà W ZҺaпǥ đaƚ đƣ0ເ ເáເ k̟eƚ qua пǥҺiêп ເύu đ®ƚ ρҺá ѵe ເáເ áпҺ хa l0i s0пǥ ເҺiпҺ ҺὶпҺ ເҺuaп ƚaເ Һ0¾ເ ເáເ áпҺ хa ƚпa l0i ƚгêп ເáເ mieп k̟Һáເ пҺau ([4], [8]) Ѵi¾ເ ƚőпǥ ên sỹ c lêп uy quáƚ Һόa Ьő đe SເҺwaгz ƚгêп ьiêп ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пҺieu ເҺieu ѵà áρ c ọ g h cn ĩth ao háọi s n c ạtih duпǥ пό đe ເό đƣ0ເ ເáເ k̟eƚ qua ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ Һàm ҺὶпҺ ҺQເ vạăc n cmόi nth vă ăhnọđ ậ n u ận ạvi l ă v n пҺieu ьieп ρҺύເ ເũпǥ ƚҺu ậҺύƚ n vălu unậnđđƣ0ເ sп quaп ƚâm ເпa пҺieu пҺà ƚ0áп lu ận n văl lu ậ ҺQ ເ, ເҺaпǥ Һaп пăm 2015, T.Liu, J Waпǥ, lu Х Taпǥ ƚőпǥ quáƚ Һόa Ьő đe SເҺwaгz ƚгêп ьiêп ເпa ҺὶпҺ ເau đơп ѵ% ƚг0пǥ ເп [9], Muເ đίເҺ ເпa lu¾п ѵăп пǥҺiêп ເύu, ƚὶm Һieu ѵà ƚгὶпҺ ьàɣ lai m®ƚ s0 k̟eƚ qua ѵe Ьő đe SເҺwaгz ƚгêп ьiêп ѵà m®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ເпa пό ПҺi¾m ѵп пǥҺiêп ເÉu Һ¾ ƚҺ0пǥ lai ເáເ k̟eƚ qua ѵe Ьő đe SເҺwaгz ƚai m®ƚ điem ьiêп ເпa đĩa đơп ѵ% ѵà ƚai m®ƚ điem ьiêп ເпa ҺὶпҺ ເau đơп ѵ% ƚг0пǥ ເп ເὺпǥ ѵόi m®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ເпa пό ΡҺƣơпǥ ρҺáρ пǥҺiêп ເÉu Su duпǥ k̟eƚ Һ0ρ ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ρҺâп ƚίເҺ ѵà ƚőпǥ Һ0ρ lý ƚҺuɣeƚ, ρҺƣơпǥ ρҺáρ ρҺâп l0ai ѵà Һ¾ ƚҺ0пǥ Һόa lý ƚҺuɣeƚ Ь0 ເпເ ເua lu¾п ѵăп Lu¾п ѵăп đƣ0ເ ѵieƚ ເҺп ɣeu dпa ƚгêп ເáເ ƚài li¾u [5], [9], [10], [11] ǥ0m 38 ƚгaпǥ ƚг0пǥ đό ເό ρҺaп m0 đau, ເҺƣơпǥ п®i duпǥ, ρҺaп k̟eƚ lu¾п ѵà ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 ເu ƚҺe là: - ເҺƣơпǥ 1: TгὶпҺ ьàɣ lai Ьő đe SເҺwaгz ѵà Ьő đe SເҺwaгz ƚai m®ƚ điem ьiêп ເпa đĩa đơп ѵ% ѵà m®ƚ s0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚai m®ƚ điem ьiêп ເҺ0 ເáເ daпǥ k̟Һáເ пҺau ເпa ເáເ Һàm ເҺiпҺ ҺὶпҺ ƚгêп đĩa đơп ѵ% Tὺ đό ƚὶm ເáເ đieu k̟i¾п đe đaƚ đƣ0ເ dau đaпǥ ƚҺύເ - ເҺƣơпǥ 2: Ьő đe SເҺwaгz ƚгêп ьiêп ເпa ҺὶпҺ ເau đơп ѵ% ƚг0пǥ ເп ѵà ύпǥ duпǥ ΡҺaп đau ເпa ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟eƚ qua ƚőпǥ quáƚ Һόa Ьő đe SເҺwaгz ƚгêп ьiêп ເő đieп ເҺ0 ເáເ áпҺ хa ເҺiпҺ ҺὶпҺ f ƚгêп п điem ьiêп z0 mà f (z0) = z0 ѵà ƚai ҺὶпҺ ເau đơп ѵ%fƚг0пǥ ເп ω ƚai m®ƚ điem ьiêп zҺόa (z = ; ω0 ьiêп = z0 đ0i ΡҺaп sauхaƚгὶпҺ ьàɣ màЬő 0)SເҺwaгz ∂Ь ƚгêп ƚőпǥ quáƚ đe ѵόiƚieρ áпҺ đa ƚҺύເ ƚҺuaп ∈ đơп ѵ% ƚг0пǥ ເп ΡҺaп ເu0i ƚгὶпҺ ьàɣ пҺaƚ ເҺiпҺ ҺὶпҺ ƚгêп ҺὶпҺ ເau áρ duпǥ ເпa Ьő đe SເҺwaгz ƚгêп ьiêп đe ເҺύпǥ miпҺ ເáເ k̟eƚ qua ѵe ƒ c sỹ ọc guyên h ເáເ cn đ%пҺ lý ьieп daпǥ ƚőпǥ quáƚ sເҺ0 áпҺ хa ҺὶпҺ sa0 s0пǥ ເҺiпҺ ҺὶпҺ ĩth o ọi n ca ạtihhá c ă vạ ăn ọđcƚг0пǥ ເп ເҺuaп ƚaເ ƚгêп ҺὶпҺ ເau đơп nth ѵ% nậ n v iăhn u văl ălunậ nđạv ận n v vălunậ u l ậ n lu ậ lu - ເu0i ເὺпǥ ρҺaп k̟eƚ lu¾п ƚгὶпҺ ьàɣ ƚόm ƚaƚ ເáເ k̟eƚ qua đaƚ đƣ0ເ ѵà daпҺ muເ ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 ເҺƣơпǥ Ь0 đe SເҺwaгz ƚai m®ƚ điem ьiêп ເua đĩa đơп ѵ% 1.1 Ь0 đe SເҺwaгz ѵà Ь0 đe SເҺwaгz ƚгêп ьiêп Đ%пҺ lý 1.1.1 (Ьő đe SເҺwaгz) ເҺ0 f : ∆ → ∆ m®ƚ Һàm ເҺsпҺ ҺὶпҺ ƚгêп đĩa đơп ѵ% má ên sỹ c uy c ọ g ∆ = {z ∈ ເ : |z| < 1} ѵái f (0) = 0.ĩthạK̟o Һi h ọi cn đό há s a ăcn c ạtih hvạ văn nọđc t n h unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ n v n u ậ lu ận n văl lu ậ u l (i) |f (0)| ≤ J (ii) |f (z)| ≤ |z| ѵái MQI z ∈ ∆, dau đaпǥ ƚҺύເ ƚг0пǥ (i) đaƚ đƣaເ k̟Һi (iii) f (z) = ເz, ѵái ເ Һaпǥ s0 ρҺύເ ເό môđuп ьaпǥ ເҺύпǥ miпҺ Хéƚ k̟Һai ƚгieп ເпa ເҺu0i lũɣ ƚҺὺa ƚai ເпa f ƚai ƚг0пǥ ∆ ∞ f (z) = Σ ເп Đ¾ƚ z , ∀z ∈ ∆, ເп = п f (п) (0) п! (1.1) п=0 ∞ ǥ (z) = Σ ເпzп − 1, ∀z ∈ ∆ (1.2) п=1 Ѵὶ ເ0 = f (0) = 0, z.ǥ (z) = f (z) (1.3) Пeu z ∈ ∆ ѵà ƚa laɣ > г > |z| , ƚҺὶ ƚҺe0 пǥuɣêп lý môđuп ເпເ đai, f (ω) |ǥ (z)| ≤ suρ |ǥ (ω)| = suρ ≤ г г |ω|=г |ω|=г n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ເҺ0 г ↑ 1, ƚa ເό |ǥ (z)| ≤ 1, ∀z ∈ ∆ (1.4) Tὺ (1.4) ѵà (1.3) ເҺ0 ƚa (ii) Laɣ z = ƚг0пǥ (1.4) ѵà ເҺύ ý гaпǥ ǥ (0) = ເ1 f J (0) , ƚa ເό (i) Пeu đaпǥ ƚҺύເ đaƚ đƣ0ເ ƚг0пǥ (i) ƚҺὶ (1.4) ເҺi гa гaпǥ |ǥ |đaƚ ເпເ đai ƚг0пǥ ∆ ƚai 0, ƚҺe0 пǥuɣêп lý môđuп ເпເ đai ǥ Һaпǥ ƚгêп ∆ Пeu ເ Һaпǥ s0 đό ƚҺὶ |ເ| = |ǥ (0)| = |f J (0)| = ѵà ƚa ເό (iii) đaƚ đƣ0ເ : f (z) = zǥ (z) = ເz Пeu đaпǥ ƚҺύເ ƚг0пǥ (ii) đaƚ đƣ0ເ ѵόi zƒ= 0, ƚҺὶ| ǥ (z)| = ѵà d0 đό (1.4) ເҺ0 ƚa ƚҺaɣ |ǥ| đaƚ ເпເ đai ƚг0пǥ ∆ ƚai z D0 đό ǥ Һaпǥ s0 ѵà (iii) đaƚ đƣ0ເ пҺƣ ƚгêп Đ%пҺ lý 1.1.2 [12] (Ьő đe SເҺwaгz ƚгêп ьiêп) ເ1} Һ0 f : ∆ → ∆ m®ƚ Һàm ເҺsпҺ ҺὶпҺ ƚгêп đĩa đơп ѵ% ∆ = {z ∈ ເ : |z| < Ǥia su zгaпǥ f (0) = ѵà Jƚai điem z0 ƚὺɣ ý mà ƚпເ ƚái TҺe ƚҺὶ |z0 | = 1, f ƚҺáເ ƚгieп liêп , |f (z0 )| = ѵà f (z0 ) ƚ0п ƚai n ê )| ≥ sỹ c guy J (1.5) cn |f (0)| |f J (z0 nsĩthạccao1hihọháọi+ vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ Đe ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý пàɣ, ƚiêп ƚa ເҺύпǥ miпҺ ເáເ ьő đe sau: n i u nƚгƣόເ văl nậ nđạv ălu ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Ь0 đe 1.1.3 ເҺ0 f : ∆ →∆ Һàm ເҺsпҺ ҺὶпҺ ƚҺόa mãп f (0) = K̟Һi đό |ζ|+f (0) | f (ζ) | f(ζ) ≤ | | ζ 1+|f (0)|.|ζ| ѵái |ζ| < ເquaɣ ҺύпǥҺ0¾ເ miпҺ = ζ < TҺe0 Ьő đe SເҺwaгz ƚҺὶ Һ0¾ເ f ρҺéρ ǥ Đ¾ƚ (ζ)