Tính đầy đủ của không gian metric nón

Mặt khác, với mọi không gian metric không đầy đủ ta đều xây dựng được một không gian metric đầy đủ chứa nó và gọi là bổ sung của không gian metric... Xian đã giới thiệu khái niệm metric

NGUYỄN THỊ THU TRANG

TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHÔNG GIAN METRIC NÓN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

NGUYỄN THỊ THU TRANG

TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHÔNG GIAN METRIC NÓN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG

HÀ NỘI, 2016

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS Hà Đức Vượng,

người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn

thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các

thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư

phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn

thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người

thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong

quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Trang

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng, luận văn

Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Tính đầy đủ của không

gian metric nón” do tôi tự làm

Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những

thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Trang

Mục lục

1.1 Không gian metric 8

1.2 Bổ sung của không gian metric 15

2 Tính đầy đủ của các không gian metric nón 23

2.1 Không gian metric nón 23

2.2 Bổ sung của không gian metric nón 30

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Cho một tập hợp X tùy ý khác rỗng và ánh xạ T : X → X Nếu tồn

tại x0 ∈ X mà T x0 = x0 thì x0 được gọi là điểm bất động của ánh xạ T

trên tập hợpX Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên

lý thuyết điểm bất động (fixed point theory).

Lý thuyết điểm bất động có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của

khoa học kỹ thuật nói chung và toán học nói riêng Các kết quả về điểm

bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, như Định lý điểm bất

động Brouwer (1912), Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922), Định lý điểm

bất động Caristi (1976)

Các kết quả quan trọng về điểm bất động đã công bố đều gắn liền với

tính đầy đủ của không gian metric Mặt khác, với mọi không gian metric

không đầy đủ ta đều xây dựng được một không gian metric đầy đủ chứa

nó và gọi là bổ sung của không gian metric

Năm 2007, hai nhà toán học người Trung Quốc là H Long Guang và

Z Xian đã giới thiệu khái niệm metric nón, bằng cách thay tập số thực Rtrong định nghĩa metric bởi không gian Banach thựcE [4].

Năm 2009, nhà toán học Thabet Abdeljawad người Thổ Nhĩ Kỳ đã mở

rộng cách bổ sung một không gian metric thành không gian metric đầy đủ

sang lớp không gian metric nón được đăng trong bài báo: “ Completion of

cone metric spaces” trên tạp chí Hacettepe Journal of Mathematics and

Statistics Trong bài báo này tác giả đã giới thiệu định lý về kỹ thuật bổ

sung của không gian metric nón để có không gian metric nón đầy đủ

Với mong muốn tìm hiểu sâu về kỹ thuật bổ sung làm đầy đủ một không

gian metric, không gian metric nón, được sự giúp đỡ và hướng dẫn của TS

Hà Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên cứu:

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về tính đầy đủ của không gian metric nón

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống các kết quả về tính đầy đủ của các không gian metric nón

- Nghiên cứu cách bổ sung để được không gian metric nón đầy đủ từ

một không gian metric nón cho trước

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu tính đầy đủ của không gian metric nón dựa trên hai bài báo:

1 Comepletion of cone metric space [3] của Thabet Abdeljawad.

2 Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings

[4] của H Long-Guang và Z Xian

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu

6 Đóng góp của luận văn

Qua đề tài này chúng tôi sẽ xây dựng luận văn là một tài liệu tổng quan

về kỹ thuật bổ sung để được một không gian metric và không gian metric

nón đầy đủ Luận văn được trình bày gồm hai chương nội dung:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không

gian metric, không gian metric đầy đủ Kỹ thuật làm đầy đủ không gian

metric Sau mỗi khái niệm chúng tôi đã đưa ra ví dụ hoặc phản ví dụ để

minh họa

Chương 2 Tính đầy đủ của không gian metric nón

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về nón, nón

chuẩn tắc, metric nón và không gian metric nón đầy đủ Sau mỗi khái niệm

chúng tôi cũng đưa ra ví dụ hoặc phản ví dụ để minh họa

Cuối cùng chúng tôi trình bày định lý về kỹ thuật làm đầy đủ một không

gian metric nón

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không

gian metric, sự hội tụ trong không gian metric Khái niệm không gian

metric đầy đủ và kỹ thuật làm đầy đủ một không gian metric không đầy

đủ Sau mỗi khái niệm chúng tôi đều đưa ra ví dụ để minh họa

Định nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là một tập hợpX 6= ∅ cùng với

một ánh xạ d : X × X → R, thỏa mãn các điều kiện sau:

1 d(x, y)> 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X

2 d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X

3 d(x, y)6 d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X

Ánh xạ dgọi là metric trên X.

Sốd(x, y)gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x vày

Các phần tử của X gọi là các điểm

Không gian metric được kí hiệu là(X, d)

là một metric trên Rm, gọi là metric thông thường của Rm

Khim = 1, trên R ta có d (x, y) = |x − y| là khoảng cách thông thường Trên Rm ta cũng có các metric khác như:

Khi đóC[a,b] là một không gian metric

Nhận xét 1.1.1 Trên cùng một tập hợp ta có thể trang bị các metric khác

nhau để nhận được các không gian metric khác nhau

Định nghĩa 1.1.2 [1] Cho không gian metric(X, d), dãy điểm{xn} ⊂ X.Dãy điểm{xn}được gọi là hội tụ đến điểm x0, nếu với∀ε > 0,∃n0 ∈ N∗:

∀n> n0 thìd(xn, x0) < ε

Kí hiệu lim

n→∞xn = x0 hayxn → x0 khi n → ∞

Điểmx0 được gọi là giới hạn của dãy {xn}

Nhận xét 1.1.2 Cho(X, d) là không gian metric

1 Dãy {xn} ⊂ X là dãy hội tụ thì giới hạn là duy nhất

2 Dãy {xn} ⊂ X,{yn} ⊂ X, nếu lim

Vì vậy sự hội tụ trong(Rm, d)được gọi là hội tụ theo tọa độ.

Định nghĩa 1.1.3 [1] Cho không gian metric(X, d) Dãy điểm{xn} ⊂ X

được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀n, m > n0 thì d(xn, xm) < ε

lim

n,m→∞d(xn, xm) = 0

Nhận xét 1.1.3 Cho(X, d) là không gian metric

1 Mỗi dãy hội tụ trong X đều là dãy Cauchy

Thật vậy, giả sử {xn} ⊂ X là dãy hội tụ, ta có lim

n→∞xn = x0 Tức là

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho∀n ≥ n0, ∀m ≥ n0 ta có

d(xn, x0) < ε

2,d(xm, x0) < ε

2.

Vậy ta có

d(xn, xm) ≤ d(xn, x0) + d(x0, xm) < ε

Do đó dãy{xn} là dãy Cauchy

2 Ngược lại, một dãy Cauchy có thể không hội tụ

Thật vậy, ta có tập số hữu tỷ Q với metric

d(x, y) = |x − y| , ∀x, y ∈ Q

Xét dãy{xn} =



1 + 1n

n

⊂Q, n = 1, 2,

Ta cód(xn, xm) =



1 + 1n

n

−



1 + 1m

m



1 + 1n

n

−



1 + 1m

m