Về giới hạn của dãy điểm bất động của dãy các ánh xạ trong không gian mêtric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - - - - -*- - - - - - - - - NGUYỄN HỮU DANH VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA DÃY CÁC ÁNH XẠ TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC NĨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN GIẢI TÍCH Nghệ An - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - - - - -*- - - - - - - - - NGUYỄN HỮU DANH VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA DÃY CÁC ÁNH XẠ TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC NĨN Luận văn Thạc sĩ Tốn học Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS KIỀU PHƯƠNG CHI Nghệ An - 2018 i LỜI CẢM ƠN Luận văn thực Trường Đại Học Vinh hướng dẫn Thầy giáo, PGS TS Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Tác giả đến Thầy Nhân dịp này, Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Cơ giáo mơn Giải tích, Viện Sư phạm tự nhiên, Trường Đại Học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, đồng nghiệp Tổ Toán Trường THCS-THPT Mỹ Thuận giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Tác giả xin cảm ơn Gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học K-24 Toán Giải tích học Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Vĩnh Long cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy giáo, Cơ giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Tác giả xin cam đoan luận văn tác giả thực hướng dẫn Thầy giáo PGS TS Kiều Phương Chi Các kết trích dẫn luận văn trung thực ii MỤC LỤC Lời cảm ơn Mục lục i ii Mở đầu iii Sự tồn điểm bất động ánh xạ co ánh xạ co suy rộng khơng gian mêtric nón 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian mêtric nón 1.3 Sự tồn điểm bất động lớp ánh xạ co khơng gian mêtric nón 13 Giới hạn dãy điểm bất động dãy ánh xạ khơng gian mêtric nón 25 2.1 Về hội tụ dãy điểm bất động dãy ánh xạ khơng gian mêtric nón 25 2.2 Về dãy điểm bất động dãy ánh xạ co khơng gian mêtric nón 28 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 iii MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài: Nguyên lý điểm bất động Banach (1922) ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ kết kinh điển toán học Ngày nay, định lý tồn điểm bất động ánh xạ nghiên cứu nhiều lớp ánh xạ loại không gian tổng quát Các định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực toán học Sự phát triển lý thuyết điểm bất động có nguồn gốc từ ứng dụng rộng lớn Các định lý điểm bất động sở quan trọng để chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân phương trình tích phân Ngồi người ta cịn tìm thấy nhiều ứng dụng chúng lĩnh vực khác kinh tế, kỹ thuật Khái niệm khơng gian mêtric nón Huang Long-Guang Zhang Xian (xem [6]) đề xuất năm 2007 cách thay tập số thực định nghĩa mêtric nón định hướng khơng gian định chuẩn Trong cơng trình [6], tác giả xây dựng khái niệm hội tụ dãy, tính đầy đủ khơng gian, định lý điểm bất động ánh xạ co, thu kết sâu sắc lớp không gian Sau đó, số ứng dụng lớp khơng gian mêtric nón tìm thấy giải tích phi tuyến, tối ưu vectơ, Việc nghiên cứu tính chất tôpô, định lý điểm bất động ánh xạ co, khơng gian mêtric nón nhận quan tâm nghiên cứu số nhà tốn học ngồi nước Một hướng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động không gian mêtric vấn đề xấp xỉ điểm bất động iv cấu trúc tập điểm bất động họ ánh xạ Giới hạn dãy điểm bất động dãy ánh xạ không gian mêtric Nadler, Fraser quan tâm nghiên cứu vào cuối năm 60 kỷ trước Họ tìm số ứng dụng việc xấp xỉ nghiệm phương trình tích phân (xem [5], [11] ) Một toán đặt tự nhiên nghiên cứu giới hạn dãy điểm bất động dãy ánh xạ không gian mêtric nón Vì vậy, khn khổ luận văn thạc sĩ này, chúng tơi tìm hiểu tồn điểm bất động ánh xạ co, ánh xạ co suy rộng giới hạn dãy điểm bất động dãy ánh xạ không gian mêtric nón Với mục đích đó, chúng tơi lựa chọn đề tài cho luận văn là: Giới hạn dãy điểm bất động dãy ánh xạ khơng gian mêtric nón Mục đích nghiên cứu : Luận văn tập trung nghiên cứu khái niệm tính chất khơng gian mêtric nón; định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng khơng gian mêtric nón đầy đủ ; thiết lập số kết hội tụ dãy điểm bất động ánh xạ không gian mêtric nón đưa số ví dụ minh họa cho kết Phạm vi nghiên cứu : Sự tồn điểm bất động, giới hạn dãy điểm bất động dãy ánh xạ khơng gian mêtric nón Nội dung nghiên cứu Các vấn đề sở khơng gian mêtric nón; tồn điểm bất động, số lớp ánh xạ co suy rộng khơng gian mêtric nón; giới hạn dãy điểm bất động dãy ánh xạ khơng gian mêtric nón Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết dựa vào tài liệu để giải vấn đề đặt v Cấu trúc luận văn : Chương Sự tồn điểm bất động ánh xạ co ánh xạ co suy rộng khơng gian mêtric nón Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị sau tồn điểm bất động ánh xạ co ánh xạ co suy rộng khơng gian mêtric nón đầy đủ Nó viết thành mục Mục 1.1 trình bày vài kiến thức chuẩn bị cần dùng sau; Mục 1.2 trình bày khái niệm, ví dụ số tính chất khơng gian mêtric nón; Mục 1.3 trình bày số định lý điểm bất động ánh xạ co, co suy rộng khơng gian mêtric nón đầy đủ Chương Giới hạn dãy điểm bất động dãy ánh xạ khơng gian mêtric nón Chương nghiên cứu tính chất giới hạn dãy điểm bất động dãy ánh xạ khơng mêtric nón Mục 2.1 trình bày số kết giới hạn dãy điểm bất động dãy ánh xạ liên tục không gian mêtric nón Mục 2.2 trình bày số kết giới hạn dãy điểm bất động dãy ánh xạ co khơng gian mêtric nón đầy đủ Các kết chương đề xuất chứng minh dựa vài kết tương tự có trường hợp không gian mêtric Nghệ An, tháng năm 2018 Nguyễn Hữu Danh CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CO VÀ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC NĨN Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị sau tồn điểm bất động ánh xạ co ánh xạ co suy rộng không gian mêtric đầy đủ 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số kiến thức cần dùng sau 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Hàm d : X × X → R gọi mêtric X thoả mãn điều kiện sau: 1) d(x, y) 0, với x, y ∈ X; d(x, y) = x = y 2) d(x, y) = d(y, x), với x, y ∈ X 3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), với x, y, z ∈ X Khi đó, (X, d) gọi không gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric Dãy {xn } ⊂ X gọi hội tụ tới x ∈ X ký hiệu xn → x,(x gọi giới hạn dãy {xn }), lim d(xn , x) = n→∞ Trong không gian mêtric giới hạn dãy có 1.1.3 Định nghĩa 1) Không gian mêtric X gọi compact dãy thuộc X có dãy hội tụ X 2) Không gian mêtric X gọi compact địa phương với a ∈ X tồn r > cho bao đóng B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r} tập compact 1.1.4 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy lim d(xm , xn ) = m,n→∞ Không gian (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ X Cho B ⊂ X Khi δ[B] = sup{d(x, y) : x, y ∈ B} gọi đường kính B Tập B gọi bị chặn có đường kính hữu hạn 1.1.5 Định nghĩa Dãy tập {Bn } ⊂ X gọi thắt dần Bn+1 ⊂ Bn lim δ[Bn ] = n→∞ Kết tiếng sau gọi nguyên lý Cantor 1.1.6 Định lý Trong không gian mêtric đầy đủ dãy tập đóng thắt dần có điểm chung 1.1.7 Định nghĩa Cho (X, d), (Y, ρ) không gian mêtric ánh xạ f : X → Y 1) ánh xạ f gọi liên tục với dãy {xn } ⊂ X xn → x f (xn ) → f (x) 2) ánh xạ f gọi liên tục với ε > tồn δ = δ(ε) cho: ρ(f x, f y) < ε, ∀x, y ∈ X, d(x, y) < δ Ta chứng minh ánh xạ liên tục liên tục Mệnh đề ngược lại không Dễ dàng chứng minh ánh xạ khoảng cách d : X × X → R liên tục, tức dãy (xn , yn ) hội tụ tới (x, y) ∈ X × X d(xn , yn ) hội tụ tới d(x, y) R 1.1.8 Định nghĩa Cho {Tn } dãy ánh xạ từ không gian mêtric (X, d) vào không gian mêtric (Y, ρ) 1) {Tn } gọi hội tụ điểm X tới T : X → Y với x ∈ X {Tn x} hội tụ tới T x 2) {Tn } gọi hội tụ X tới T : X → Y lim sup ρ(Tn x, T x) = n→∞ x∈X 3) {Tn } gọi hội tụ tập compact X tới T : X → Y với tập compact K X ta có lim sup ρ(Tn x, T x) = n→∞ x∈K Rõ ràng hội tụ {Tn } kéo theo hội tụ điểm 1.1.9 Định nghĩa Cho E không gian định chuẩn trường K Tập P E gọi nón E thỏa mãn điều kiện sau: a) P đóng, khơng trống P = {0} b) Với x, y ∈ P a, b ∈ R; a, b ax + by ∈ P ; c) Nếu x ∈ P −x ∈ P x = 1.1.10 Ví dụ 1) Khơng gian R với chuẩn thơng thường Khi P ={x ∈ R : x nón R 2)Trong khơng gian định chuẩn R2 , tập P ={(x, y) ∈ R2 : x, y nón 3)Xét khơng gian định chuẩn C[a,b] với chuẩn f =maxx∈[a,b] | f (x) | Khi 0} 25 CHƯƠNG GIỚI HẠN CỦA DÃY ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA DÃY CÁC ÁNH XẠ TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC NĨN Chương nghiên cứu tính chất giới hạn dãy điểm bất động dãy ánh xạ khơng gian mêtric nón thông qua số dạng hội tụ dãy ánh xạ Trong chương này, nói đến khơng gian mêtric nón ta ln quy ước mêtric nhận giá trị nón P khơng gian định chuẩn 2.1 Về hội tụ dãy điểm bất động dãy ánh xạ không gian mêtric nón Mục nghiên cứu hội tụ dãy điểm bất động dãy ánh xạ khơng gian mêtric nón 2.1.1 Định nghĩa Cho (X, d) khơng mêtric nón {fn } dãy ánh xạ từ X vào X Dãy {vn } phần tử X gọi dãy điểm bất động {fn } fn (vn ) = với n = 1, 2, Chúng thiết lập kết sau đây: 2.1.2 Định lý Giả sử (X, d) khơng gian mêtric nón chuẩn tắc, {fn } dãy ánh xạ liên tục từ X vào X {vn } dãy điểm bất động {fn } Khi đó, {fn } hội tụ X tới ánh xạ f lim = v n→∞ v điểm bất động f Chứng minh Từ {fn } hội tụ đến f Mệnh đề 1.2.15 suy f ánh xạ liên tục Do đó, từ lim = v suy lim f = f v Suy ra, n→∞ n→∞ 26 với c ∈ P tồn n1 cho c (2.1) với n ≥ n1 Mặt khác, từ {fn } hội tụ tới f , tồn n2 cho c d(fn x, f x)