Đang tải... (xem toàn văn)
Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCVŨ NGỌC THỨVỀ CÁC DÃY KIỂU HALPERN VỚI CÁC ỨNGDỤNG TRONG BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨCBIẾN PHÂNChun ngành: Tốn ứng dụngMã số: 8460112LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNGƯỜI
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ NGỌC THỨ VỀ CÁC DÃY KIỂU HALPERN VỚI CÁC ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Hướng dẫn 1: TS Nguyễn Song Hà Hướng dẫn 2: TS Đinh Diệu Hằng THÁI NGUYÊN - 2023 ii LỜI CẢM ƠN Bằng tất cả lòng kính trọng của mình, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến TS Nguyễn Song Hà và TS Đinh Diệu Hằng luôn tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và làm luận văn này Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy Cô giáo Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã đã tận tình giảng dạy, truyền đạt những kiến thức và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập Em xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã động viên, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, thực hiện và hoàn thành luận văn này Xin chân thành cảm ơn! Tác giả Vũ Ngọc Thứ Mục lục Trang bìa phụ i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt iv Mở đầu 1 Chương 1 Dãy lặp kiểu Halpern 3 1.1 Phiếu chiếu mêtric trên tập đóng lồi 3 1.2 Dãy đơn điệu Fejér 9 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 15 1.4 Dãy lặp kiểu Halpern 16 Chương 2 Một số áp dụng trong bài toán bất đẳng thức biến phân 27 2.1 Bất đẳng thức biến phân 27 2.2 Lược đồ lặp cho các ánh xạ có tính liên tục Lipschitz 32 2.3 Lược đồ lặp cho các ánh xạ không có tính liên tục Lipschitz 44 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt N Tập các số tự nhiên R Tập các số thực Rn Không gian Euclide n chiều H Không gian Hilbert thực |x| Giá trị tuyệt đối của x ∥x∥ Chuẩn của x ⟨x, y⟩ Tích vô hướng của x và y ∀ Với mọi co(F ) Bao lồi của F cl(F ) Bao đóng của F ωw(xn) Tập các điểm tụ yếu của dãy {xn} xn → a Dãy {xn} hội tụ mạnh đến a xn ⇀ a Dãy {xn} hội tụ yếu đến a PF Phép chiếu mêtric từ H lên F ⊂ H dC (x) Khoảng cách từ x tới C S[x, r] Hình cầu đóng tâm x bán kính r S(x, r) Hình cầu mở tâm x bán kính r V I(C, A) Tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển M V I(C, A) Tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân Minty Fix(h) Tập điểm bất động của ánh xạ h EGM Phương pháp đạo hàm tăng cường SEGM Phương pháp dưới đạo hàm - đạo hàm tăng cường TEGM Phương pháp đạo hàm tăng cường Tseng Mở đầu "Phương pháp lặp Halpern" được B Halpern đề xuất vào năm 1967, dùng để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn từ hình cầu đơn vị của một không gian Hilbert thực vào chính nó [5] Kể từ đó, nó đã được sử dụng khá phổ biến trong việc xây dựng các phương pháp xấp xỉ nghiệm trong lí thuyết tối ưu lồi, bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng hay bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu Nhiều kết quả về sự hội tụ (thường là hội tụ yếu) của các phương pháp đó được đảm bảo bởi tính đơn điệu Fejér của dãy lặp xấp xỉ Sự hội tụ yếu có được là nhờ một vài điều kiện bổ sung trên tập các điểm tụ yếu của nó và dựa theo điều kiện Opial [9] "Phương pháp đạo hàm tăng cường" (EGM) tìm một nghiệm bất đẳng thức biến phân [4], được thiết lập dựa trên công bố của G.M Korpelevich năm 1976, khi nghiên cứu về bài toán điểm yên ngựa [7] Đặc điểm chính của nó là cần tính toán hai lần phép chiếu lên miền ràng buộc và ưu điểm là có thể sử dụng cho trường hợp ánh xạ giá có tính đơn điệu (thậm chí là giả đơn điệu) và liên tục Lipschitz Sau này, nhiều nghiên cứu đã cải biên quy tắc xác định cỡ bước lặp hoặc thay thế phép chiếu thứ hai bởi một phép chiếu dễ thực thi hơn dưới các giả thiết thích hợp Tuy vậy, hầu hết những kết quả mở đầu, đều chỉ cho kết luận về sự hội tụ yếu của các phương pháp Để có được các định lí hội tụ mạnh, nhiều tác giả đã cải tiến theo hướng kết hợp với phương pháp lặp Halpern nói trên Mục đích nghiên cứu của luận văn là về các dãy kiểu Halpern cùng các điều kiện cần và đủ đảm bảo sự hội tụ mạnh của chúng Đồng thời, nghiên cứu áp dụng "xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân" trên các không gian Hilbert thực Nội dung chính được tham khảo từ [6] Với mục tiêu như vậy, luận văn gồm mở đầu, hai chương, kết luận và tài liệu tham khảo Chương 1, chúng tôi trình bày vài khái niệm và tính chất cốt 2 yếu về dãy đơn điệu Fejér, phép chiếu mêtric, dãy lặp kiểu Halpern cùng hai ứng dụng cơ bản của nó trong việc tìm điểm bất động của ánh xạ loại không giãn Chương 2 dành để trình bày một số áp dụng về dãy lặp kiểu Halpern trong bài toán bất đẳng thức biến phân trên các không gian Hilbert thực Chương 1 Dãy lặp kiểu Halpern Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn Cấu trúc của chương được chia thành bốn phần: Mục 1.1 dành để nhắc lại các khái niệm và tính chất thường dùng về phép chiếu mêtric trên tập con đóng lồi Mục 1.2 chúng tôi trình bày vài khái niệm và tính chất cốt yếu về dãy đơn điệu Fejér Một số bổ đề thường dùng trong các ước lượng hoặc chứng minh sẽ được cụ thể hóa trong Mục 1.3 Phần cuối chương, Mục 1.4 dùng để giới thiệu dãy lặp kiểu Halpern cùng hai ứng dụng cơ bản của nó trong việc tìm điểm bất động của ánh xạ loại không giãn 1.1 Phiếu chiếu mêtric trên tập đóng lồi Cho F là tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert thực H Mệnh đề 1.1 Với mỗi phần tử p ∈ H đều tồn tại duy nhất một phần tử y ∈ F có tính chất ∥p − y∥ ≤ ∥p − s∥, ∀s ∈ F Chứng minh Nếu p thuộc F thì hiển nhiên y = p là phần tử thỏa mãn yêu cầu Vì thế, ở phần tiếp sau đây của chứng minh, ta sẽ xem xét trường hợp p ∈/ F Vì F là tập đóng nên ζ = inf ∥p − s∥ > 0 s∈F Theo định nghĩa infimum, tồn tại một dãy {yn} ⊂ F sao cho lim ∥p − yn∥ → ζ n→+∞ Ngoài ra, ta thấy ước lượng sau đây luôn bảo đảm nhờ tính chất của chuẩn ∥yn − ym∥2 = ∥yn − p + p − ym∥2 4 = ∥(p − yn) − (p − ym)∥2 = 2∥p − yn∥2 + 2∥p − ym∥2 − ∥2p − (yn + ym)∥2 = 2∥p − yn∥2 + 2∥p − ym∥2 − 4 p − yn + ym 2 2 Mặt khác, vì F là tập lồi nên yn + ym = 1yn + 1ym ∈ F 2 22 Từ ước lượng trên và định nghĩa ζ, ta phải có ∥yn − ym∥2 ≤ 2∥p − yn∥2 + 2∥p − ym∥2 − 4ζ2, ∀m, n ∈ N Cho m, n → +∞ trong ước lượng trên, ta nhận được ∥yn − ym∥ → 0 Giới hạn trên suy ra {yn} là một dãy Cauchy trong H và vì thế tồn tại giới hạn của dãy {yn} Giả sử yn → y Hiển nhiên, y ∈ F vì F là tập đóng Hơn nữa, chú ý rằng lim ∥p − yn∥ = ∥p − y∥ n→+∞ nên ta thu được ζ = ∥p − y∥ Để kết thúc chứng minh, giả sử tồn tại một phần tử s ∈ F cũng có tính chất như trên, đó là ζ = ∥p − s∥ Khi đó, từ ước lượng ∥y − s∥2 = ∥(p − y) − (p − s)∥2 = 2∥p − y∥2 + 2∥p − s∥2 − ∥2p − (y + s)∥2 = 2∥p − y∥2 + 2∥p − s∥2 − 4 p − y + s 2 2 ≤ 2ζ2 + 2ζ2 − 4ζ2 = 0, dẫn đến y = s hay y là phần tử tồn tại duy nhất Chú ý 1.1 Điểm y ∈ C trong Mệnh đề 1.1 còn được gọi là xấp xỉ tốt nhất của p ∈ H bởi F 5 Định nghĩa 1.1 Ánh xạ PF : H → F cho tương ứng mỗi p ∈ H với một phần tử xấp xỉ tốt nhất y ∈ F, được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên F Phần tử y = PF (p) được gọi là hình chiếu của p trên F Theo Mệnh đề 1.1, hình chiếu y = PF (p) luôn tồn tại nhưng việc xác định y trên thực tế không phải là công việc đơn giản Đó là lời giải của một bài toán tối ưu có ràng buộc Trong một số trường hợp, nếu C có cấu trúc đặc biệt, là các nửa không gian đóng hoặc hình cầu đóng, thì ta có thể xác định cụ thể các hình chiếu này Ví dụ 1.1 [3] Giả sử F := {x ∈ H : ⟨K, x⟩ ≤ γ} là nửa không gian con đóng không tầm thường (F̸ = ∅, H) trong H với γ ∈ R và K ∈ H là phần tử cố định Khi ấy, ta có p nếu ⟨K, p⟩ ≤ γ, nếu ⟨K, p⟩ > γ PF (p) = γ − ⟨K, p⟩ p + ∥K∥2 K Ví dụ 1.2 [3] Giả sử F = S[x0, r] := {x ∈ H : ∥x − x0∥ ≤ r} là hình cầu đóng tâm x0 ∈ H và bán kính 0 < r < +∞ Khi ấy, ta có p nếu ∥p − x0∥ ≤ r, PF (p) = x0 + r p − x0 nếu ∥p − x0∥ > r ∥p − x0∥ Mệnh đề 1.2 Phần tử y = PF (p) là hình chiếu của p trên F nếu và chỉ nếu y ∈ F và thỏa mãn ⟨p − y, y − s⟩ ≥ 0, ∀s ∈ F Chứng minh Theo định nghĩa y = PF (p), tức là ∥p − y∥ = inf ∥p − s∥ s∈F Vì F là tập lồi nên zϱ = ϱ(s − y) + y ∈ F , ∀s ∈ F , ϱ ∈ (0, 1) 6 Do đó, y = PF (p) nếu và chỉ nếu ∥p − y∥ ≤ ∥p − zϱ∥, ∀s ∈ F , ∀ϱ ∈ (0, 1) Điều này tương đương với ∥p − y∥2 ≤ ∥p − y + ϱ(y − s)∥2 ∀s ∈ F, ∀ϱ ∈ (0, 1), = ∥p − y∥2 + 2ϱ⟨p − y, y − s⟩ + +ϱ2∥y − s∥2, hay với mọi s ∈ F và ϱ ∈ (0, 1) ta luôn có ⟨p − y, s − y⟩ ≤ ϱ∥y − s∥2 2 Vì vậy, y = PF (p) bất cứ khi nào ⟨p − y, y − s⟩ ≥ 0, ∀s ∈ F Đó là điều cần chứng minh Mệnh đề 1.3 Phép chiếu mêtric PF : H → F có tính chất ∀p, v ∈ H (a) ∥PF (p) − PF (v)∥ − ∥p − v∥ ≤ 0, ∀p, v ∈ H (b) ∥PF (p) − PF (v)∥2 ≤ ∥p − v∥2 − ∥(p − v) − (PF (p) − PF (v))∥2, Chứng minh Với mọi p, v ∈ H, theo Mệnh đề 1.2 ta có ⟨PF (v) − PF (p), p − PF (p)⟩ ≤ 0, và ⟨PF (p) − PF (v), v − PF (v)⟩ ≤ 0 Từ hai bất đẳng thức trên suy ra và vì thế ⟨PF (p) − PF (v), (v − PF (v)) − (p − PF (p))⟩ ≤ 0 ⟨PF (p) − PF (v), PF (p) − PF (v)⟩ + ⟨PF (p) − PF (v), v − p⟩ =⟨PF (p) − PF (v), PF (p) − PF (v) + v − p⟩ =⟨PF (p) − PF (v), (v − PF (v)) − (p − PF (p))⟩ ≤ 0 Điều này dẫn đến ∥PF (p) − PF (v)∥2 = ⟨PF (p) − PF (v), PF (p) − PF (v)⟩