Trang 4 Mửc lửcMởt số kỵ hiằu v viát tưt ivM Ưu 1Chữỡng 1 Mởt số kián thực chuân b 31.1 Sỹ hởi tử yáu trong khổng gian tuyán tẵnh nh chu©n.. 19 Trang 5 Mởt số kỵ hiằu v viát tưtE khổng
Sỹ hởi tử yáu trong khổng gian tuyán tẵnh ành chuân
ành nghắa 1.1.1 DÂy {x n }trong khổng gian tuyán tẵnh ành chuân X ữủc gồi l hởi tử yáu vã mởt phƯn tỷ x∈X v ữủc kỵ hiằu l x n * x, náu n→∞limhx n , x ∗ i=hx, x ∗ i, vợi mồi x ∗ ∈ X ∗
Nhên x²t 1.1.2 Náu dÂy {x n } hởi tử mÔnh vã x, tực l kx n − xk → 0, thẳ dÂy {x n } hởi tử yáu vã x Tuy nhiản, iãu ngữủc lÔi khổng úng Ch¯ng hÔn, x²t khổng gian Hilbert l 2 , dÂy {e n } xĂc ành bði e n = (0, ,0, 1 và trẵ thự n
,0, ),vợi mồi n ≥ 1, hởi tử yáu vã khổng (xem [1]), những khổng hởi tử mÔnh vã khổng (vẳ ke n k= 1 vợi mồi n ≥1).
Mằnh ã 1.1.3 Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân thỹc v {x n } ⊂X Khi õ, náu x n * x 0 thẳ {x n } bà ch°n v kx 0 k ≤ lim inf n→∞ kx n k.
Chựng minh Gồi H l ph²p nhúng chuân tưc X v o X ∗∗ Vợi mội n ≥ 1 v x ∗ ∈ X ∗ ta cõ hx ∗ ,H x n i = hx n , x ∗ i → hx 0 , x ∗ i Do õ, theo hằ quÊ cừa nguyản lỵ giợi nởi ãu Banach-Stenhaox ta cõ sup n
Theo Hằ quÊ cừa ành lỵ Hanh-Banach, tỗn tÔi x ∗ ∈ X ∗ sao cho kx ∗ k = 1 v hx 0 , x ∗ i=kx 0 k Vẳ x n * x 0 , nản ta cõ kx 0 k=hx 0 , x ∗ i= lim n→∞hx n , x ∗ i ≤lim inf n→∞ kx n k.
Mằnh ã 1.1.4 Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân, A ⊂ X l mởt têp compact tữỡng ối v {x n } ⊂ A thọa mÂn x n * x Khi õ, x n → x.
Chựng minh GiÊ sỷx n 9x, khi õ tỗn tÔi ε >0v mởt dÂy con {x n k } ⊂ {x n } sao cho kx n k −xk ≥ ε, (1.1) vợi mồi k ≥ 1.
Vẳ {x n k } ⊂ A v A l têp compact tữỡng ối, nản tỗn tÔi dÂy con {x n kl} ⊂ {x n k }sao cho x n kl → y Vẳ sỹ hởi tử mÔnh k²o theo hởi tử yáu nản x n kl * y v do â y =x Trong b§t ¯ng thùc (1.1), thay x n k bði x n kl ta ữủc kx n kl −yk ≥ ε, mƠu thuăn vợi x n kl * y. Vêy x n → x.
Hằ quÊ 1.1.5 Trong khổng gian ành chuân hỳu hÔn chiãu sỹ hởi tử yáu v hởi tử mÔnh trũng nhau.
Mằnh ã dữợi Ơy cho ta mối liản hằ giỳa têp õng v têp õng yáu trong khổng gian tuyán tẵnh ành chuân.
Mằnh ã 1.1.6 NáuC l têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian tuyán tẵnh ành chuân X, thẳ C l têp õng yáu.
Chựng minh Ta chựng minh bơng phÊn chựng GiÊ sỷ tỗn tÔi dÂy {x n } ⊂ C sao cho x n * x, những x /∈ C Theo ành lỵ tĂch cĂc têp lỗi, tỗn tÔi x ∗ ∈ X ∗ tĂch ng°t x v C, tực l tỗn tÔi ε >0 sao cho hy, x ∗ i ≤ hx, x ∗ i −ε, vợi mồi y ∈C °c biằt, ta cõ hx n , x ∗ i ≤ hx, x ∗ i −ε, vợi mồi n ≥ 1 Ngo i ra, vẳ x n * x, nản hx n , x ∗ i → hx, x ∗ i Do õ, trong bĐt ¯ng thực trản, cho n → ∞, ta nhên ữủc hx, x ∗ i ≤ hx, x ∗ i −ε, iãu n y l vổ lỵ Do õ, iãu giÊ sỷ l sai, hay C l têp õng yáu.
Nhên x²t 1.1.7 Náu C l têp õng yáu thẳ C l têp õng.
Khổng gian Banach phÊn xÔ
ành nghắa 1.2.1 Khổng gian Banach E ữủc gồi l phÊn xÔ, náu vợi mồi phƯn tỷ x ∗∗ cừa khổng gian liản hủp thự hai E ∗∗ cừa E, tỗn tÔi phƯn tỷ x∈E sao cho hx, x ∗ i=hx ∗ , x ∗∗ i vợi mồi x ∗ ∈E ∗ Vẵ dử 1.2.2 (xem [1] trang 35) Khổng gian R n , khổng gian Hilbert H, khổng gian l p , L p [a, b] (1< p 0 sao cho vợi mồi x, y ∈ E m kxk= 1, kyk= 1,kx−yk ≥ε ta luổn cõ x+y 2
Dạ thĐy rơng náu E l mởt khổng gian Banach lỗi ãu thẳ nõ l khổng gian Banach lỗi ch°t Tuy nhiản iãu ngữủc lÔi khổng úng, vẵ dử dữợi Ơy ch¿ ra iãu õ.
Vẵ dử 1.3.5 (xem [1] trang 54) X²t E = c 0 (khổng gian cĂc dÂy số hởi tử vã khổng) vợi chuân k.k β xĂc ành bði kxk β =kxk c 0 +β
Khi õ,(E,k.k β ), β > 0l mởt khổng gian lỗi ch°t những khổng l khổng gian lỗi ãu. º o tẵnh lỗi cừa khổng gian Banach E, ngữới ta ữa v o khĂi niằm sau:
Mổ un lỗi cừa khổng gian Banach E l h m số δ E (ε) = inf
Nhên x²t 1.3.6 Mổ un lỗi cừa khổng gian Banach E l h m số xĂc ành, liản tửc v tông trản oÔn [0; 2] Khổng gian Banach E lỗi ch°t khi v ch¿ khi δ E (2) = 1 (xem [1] trang 59) Ngo i ra, khổng gian Banach E l lỗi ãu khi v ch¿ khi δ E (ε)> 0, ∀ε >0 (xem [1] trang 60).
Nhên x²t 1.3.7 Náu E l mởt khổng gian Banach lỗi ãu náu {x n } v {y n } l hai d¢y trong E sao cho lim n→∞ kx n k = lim n→∞ ky n k = d ≥ 0 v lim n→∞ kx n +y n k
2 =d, thẳ ta cõ lim n→∞ kx n −y n k = 0. Vẵ dử 1.3.8 Cho H l khổng gian Hilbert, khi õ mổ un lỗi cừa H ữủc xĂc ành bði δ H (ε) = 1− r
Mằnh ã 1.3.9 (xem [1] trang 56) Mồi khổng gian Banach lỗi ãu bĐt kẳ l khổng gian phÊn xÔ. ành nghắa 1.3.10 Khổng gian BanachE ữủc gồi l cõ tẵnh chĐt Kadec-Klee náu mồi dÂy {x n } ⊂ E thọa mÂn x n * x v kx n k →x, thẳ x n → x.
Vẵ dử 1.3.11 Mồi khổng gian Hilbert H ãu cõ tẵnh chĐt Kadec-Klee.
Thêt vêy, giÊ sỷ {x n } l mởt dÂy bĐt ký trong H thọa mÂn x n * x v kx n k →x Khi â, ta câ kx n −xk 2 =hx n −x, x n −xi
Mằnh ã dữợi Ơy cho ta biát vã lợp khổng gian rởng hỡn cõ tẵnh chĐt Kadec-Klee.
Mằnh ã 1.3.12 Mồi khổng gian Banach lỗi ãu cõ tẵnh chĐt Kadec-Klee.
Chựng minh GiÊ sỷ E l mởt khổng gian Banach lỗi ãu v {x n } l mởt dÂy bĐt ký trong E thọa mÂn x n * x v kx n k → kxk.
Náu x = 0, thẳ hiºn nhiản x n → 0 GiÊ sỷ x 6= 0 v x n 9 x Khi õ, ta cõ x n kx n k 9 x kxk Do õ, tỗn tÔi ε >0 v dÂy con {x n k } cừa {x n } sao cho x n k kx n k k − x kxk
≥ ε, vợi mồi k ≥ 1 Vẳ E l khổng gian lỗi ãu nản tỗn tÔi δ > 0 sao cho
Tứ x n * x v kx n k → kxk ta cõ x n kx n k * x kxk Suy ra
≤1−δ,suy ra mƠu thuăn Vêy x n → x hay E cõ tẵnh chĐt Kadec-Klee.
Mằnh ã 1.3.13 ( xem [1] trang 105) Cho E l mởt khổng gian Banach Khi â c¡c kh¯ng ành sau t÷ìng ÷ìng: i) E l khổng gian lỗi ãu. ii) Vợi bĐt ký 1< k < ∞ v r >0, tỗn tÔi mởt h m lỗi tông ng°t g r : R+ →
R + thọa mÂn g r (0) = 0 v ktx+ (1−t)yk k ≤ tkxk k + (1−t)kyk k −t(1−t)g r (kx−yk) vợi mồi t∈[0,1] v mồi x, y ∈E vợi max{kxk,kyk} ≤r. ành nghắa 1.3.14 Khổng gian Banach E ữủc gồi l trỡn náu vợi mội x∈S E , tỗn tÔi duy nhĐt f x ∈ E ∗ sao cho hx, f x i=kxk v kf x k= 1. ành nghắa 1.3.15 Cho E l mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân Chuân trản E ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux tÔi iºm x∈S E náu vợi mội y ∈S E , tỗn tÔi giợi hÔn d dt(kx+tyk) t=0 = lim t→0 kx+tyk − kxk t (1.2) ành nghắa 1.3.16 Cho E l mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân Khi õ: a) Chuân trản E ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux náu nõ khÊ vi GƠteaux tÔi mồi x∈S E b) Chuân trản E ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux ãu náu vợi mồi y ∈ S E giợi hÔn (1.2) tỗn tÔi ãu vợi mồi x∈ S E c) Chuân trản E ữủc gồi l khÊ vi Fr²chet náu vợi mồi x ∈ S E , giợi hÔn (1.2) tỗn tÔi ãu vợi mồi y ∈ S E d) Chuân trản E ữủc gồi l khÊ vi Fr²chet ãu náu giợi hÔn (1.2) tỗn tÔi ãu vợi mồi x, y ∈ S E ành lỵ 1.3.17 (xem [1] trang 92) Cho E l mởt khổng gian Banach Khi õ, ta câ c¡c kh¯ng ành sau: a) Náu E ∗ l khổng gian lỗi ch°t thẳ E l khổng gian trỡn. b) Náu E ∗ l khổng gian trỡn thẳ E l khổng gian lỗi ch°t.
Chựng minh i) GiÊ sỷ phÊn chựngE khổng l khổng gian trỡn Khi õ, tỗn tÔi x 0 ∈S E v j 1 , j 2 ∈S E ∗ vợi j 1 6=j 2 sao cho hx 0 , j 1 i=hx 0 , j 2 i= 1, iãu n y cõ nghắa rơng, x 0 xĂc ành mởt phiám h m tuyán tẵnh liản tửc trản
E ∗ m nõ Ôt giĂ trà lợn nhĐt trản B E ∗ tÔi hai iºm phƠn biằt j 1 v j 2 Ta biát rơng têp iºm cỹc tiºu cừa mởt phiám h m lỗi (trong trữớng hủp n y l phiám h m tuyán tẵnh) l mởt têp lỗi, nản tj 1 + (1−t)j 2 ∈ S E ∗ vợi mồi t ∈[0,1] Suy ra E ∗ khổng l khổng gian lỗi ch°t, iãu n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát Vêy E l khổng gian trỡn. ii) GiÊ sỷ phÊn chựng rơng E khổng l khổng gian lỗi ch°t Khi õ, tỗn tÔi x, y ∈SE vợi x 6=y sao cho kx+yk
Theo hằ quÊ cừa ành lỵ Hanh-Banach, tỗn tÔi j ∈ S E ∗ sao cho x+y
Gồi H l ph²p nhúng chuân tưc E v o E ∗∗ Khi õ, ta cõ
Do õ, hj,H x i = hj,H y i = 1 iãu n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát E ∗ l khổng gian trỡn Vêy E l khổng gian lỗi ch°t. ành nghắa 1.3.18 Mổ un trỡn cừa khổng gian Banach E l h m số xĂc ành bði ρ E (τ) = sup{2 −1 kx+yk+kx−yk
Nhên x²t 1.3.19 Mổ un trỡn cừa khổng gian Banach E l h m số xĂc ành, liản tửc v tông trản khoÊng [0; +∞) (xem [1] trang 95).
Vẵ dử 1.3.20 [11] Náu E l khổng gian l p ho°c L p (Ω), thẳ ta cõ ρ E (τ)
2 τ 2 , p ≥ 2. ành lỵ dữợi Ơy cho ta biát vã mối liản hằ giỳa mổ un trỡn cừa khổng gian Banach E vợi mổ un lỗi cừa E ∗ v ngữủc lÔi. ành lỵ 1.3.21 (xem [10] trang 70) Cho E l mởt khổng gian Banach Khi õ ta câ a) ρ E ∗ (τ) = sup{τ ε
2 −δ E ∗ (ε) : ε∈ [0,2]}, τ > 0. Nhên x²t 1.3.22 Tứ ành lỵ 1.3.21, suy ra ρ0(E) = ε 0 (E ∗ )
2 , trong â ε 0 (E) = sup{ε: δ E (ε) = 0}, ρ 0 (E) = lim τ →0 ρ E (τ) τ ành nghắa 1.3.23 Khổng gian Banach E ữủc gồi l trỡn ãu náu τlim→0 ρ E (τ) τ = 0.
Tứ Nhên x²t 1.3.22, ta cõ ành lỵ dữợi Ơy: ành lỵ 1.3.24 (xem [10] trang 70) Cho E l mởt khổng gian Banach Khi õ ta câ c¡c kh¯ng ành sau: a) Náu E l khổng gian trỡn ãu thẳ E ∗ l khổng gian lỗi ãu; b) Náu E l khổng gian lỗi ãu thẳ E ∗ l khổng gian trỡn ãu.
Vẵ dử 1.3.25 Mồi khổng gian Hilbert, khổng gian l p hay L p (Ω) vợi
1< p 0, ∀x∈X; iii) J X bà ch°n, tực l náu D l mởt têp con bà ch°n cừa X thẳ J X (D) l mởt têp hủp bà ch°n trong X ∗ ; iv) Náu X ∗ l lỗi ch°t thẳ J X l ỡn trà. v) J X l ỡn trà v liản tửc ãu trản mội têp con bà ch°n cừa X khi v ch¿ khi X l khổng gian Banach trỡn ãu. vi) Náu X l khổng gian phÊn xÔ thẳ J X l mởt to n Ănh.
Mằnh ã 1.4.5 (xem [1] trang 69) Cho E l mởt khổng gian Banach trỡn cõ
J E l ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t c Khi â, hx−y, J E (x)−J E (y)i ≥0, vợi mồi x, y∈ E Hỡn nỳa, náu E l khổng gian lỗi ch°t thẳ hx−y, J E (x)−J E (y)i= 0, khi v ch¿ khi x =y. ành nghắa 1.4.6 Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân Cho g : X −→ (−∞,∞] l mởt h m lỗi, x 0 ∈ dom(g) Khi õ, dữợi vi phƠn cừa g tÔi x 0 kỵ hiằu l ∂g(x 0 ) v ữủc xĂc ành bði
Ta nõi g l khÊ dữợi vi phƠn tÔi x 0 náu ∂g(x 0 ) 6=∅.
Vẵ dử 1.4.7 Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân, g(x) = 1
Thêt vêy, f ∈ ∂g(0) khi v ch¿ khi
Thay y bði λy vợi λ > 0, ta nhên ữủc λ
Choλ → 0, ta nhên ữủc hy, fi ≤0 vợi mồiy ∈ X Thay y bði −y ta thu ữủc hy, fi ≥ 0 Suy ra, hy, fi= 0 vợi mồi y ∈ X Do õ, f = 0 Vêy ∂g(0) ={0}. GiÊ sỷ x6= 0, dạ d ng kiºm tra ữủc rơng
Thêt vêy, giÊ sỷ f ∈ X ∗ thọa mÂn kxk 2 =kfk 2 Khi õ, vợi mồi y ∈X, ta cõ hy−x, fi=hy, fi − kxk 2
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ f ∈∂g(x) Khi õ, ta cõ hy−x, fi ≤ 1
2(kyk 2 − kxk 2 ) vợi mồi y ∈X Thay y =x+λz vợi λ ∈R v z ∈ X, ta nhên ữủc λhz, fi ≤ 1
2(λ 2 kzk 2 + 2|λ|kxkkzk) (1.3) Khi λ >0, tứ (1.3), ta nhên ữủc hz, fi ≤ 1
Cho λ → 0 + , ta thu ữủc hz, fi ≤ kxkkzk vợi mồi z ∈ X Suy ra, |hz, fi| ≤ kxkkzk vợi mồi z ∈ X Vợi z = x, ta nhên ữủc
|hx, fi| ≤ kxk 2 , kfk ≤ kxk (1.4) Trong bĐt ¯ng thực Ưu tiản cừa (1.3), vợi x= z v λ < 0, ta nhên ữủc hx, fi ≥ λ+ 2
2 kxk 2 Cho λ→ 0 − , ta ữủc hx, fi ≥ kxk 2 (1.5)
Tứ (1.4) v (1.5), ta nhên ữủc hx, fi=kxk 2 =kfk 2
Tứ Vẵ dử 1.4.7 v ành nghắa 1.4.1, ta cõ mằnh ã dữợi Ơy.
Mằnh ã 1.4.8 ChoX l mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân,g(x) = 1
Chú ỵ 1.4.9 Tứ Mằnh ã 1.4.8, náu E l mởt khổng gian Banach trỡn, thẳ
2kxk 2 vợi mồi x ∈ E v trong trữớng hủp n y Ănh x¤ èi ng¨u chu©n t c J E l ìn trà.
Ph²p chiáu mảtric
Trữợc hát, ta cõ mằnh ã dữợi Ơy l cỡ sð º xƠy dỹng ph²p chiáu mảtric trong khổng gian Banach phÊn xÔ v lỗi ch°t.
Mằnh ã 1.5.1 (xem [1] trang 118) Cho C l mởt têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian Banach phÊn xÔ v lỗi ch°t E Khi õ, vợi mội x∈ E, tỗn t¤i duy nh§t ph¦n tû y ∈C sao cho kx−yk=d(x, C), (1.6) vợi d(x, C) = inf z∈C kx−zk.
Chựng minh °td = inf{kyk: y ∈ C} Khi õ, tỗn tÔi dÂy {x n } ⊂C sao cho kx n k →d, khi n → ∞ Tứ tẵnh bà ch°n cừa {x n } v Mằnh ã 1.2.3, tỗn tÔi dÂy con {x n k } ⊂ {x n } sao cho x n k * x Tứ tẵnh õng yáu cừa C (Mằnh ã 1.1.6), suy ra x∈C Do õ, tứ tẵnh nỷa liản tửc dữợi yáu cừa chuân, ta cõ kxk ≤ lim n→∞kx n k=d.
Suy ra kxk=d = inf{kyk: y ∈C}.
Ta chựng minh tẵnh duy nhĐt GiÊ sỷ tỗn tÔi y 6= x v kyk=d Tứ tẵnh lỗi ch°t cừa C, ta cõ ktx+ (1−t)yk < d vợi mồi t ∈ (0,1), iãu n y mƠu thuăn vợi d = inf{kyk: y ∈C}.
Hằ quÊ 1.5.2 GiÊ sỷ C l mởt têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian Banach lỗi ch°t v phÊn xÔ E Khi õ, vợi mội x∈E tỗn tÔi duy nhĐt phƯn tỷ
P C x∈C sao cho kx−P C xk= inf y∈Ckx−yk.
Chựng minh p dửng Mằnh ã 1.5.1 cho têp x− C ta nhên ữủc iãu phÊi chùng minh. ành nghắa 1.5.3 ChoC l mởt têp con lỗi, õng, khĂc rộng cừa khổng gian Banach phÊn xÔ v lỗi ch°t E, khi õ Ănh xÔ
P C : E → C x 7→ P C x=y, vợi y ∈C xĂc ành bði (1.6), ữủc gồi l ph²p chiáu mảtric tứ E lản C. °c trững cừa ph²p chiáu mảtric ữủc cho bði mằnh ã dữợi Ơy.
Mằnh ã 1.5.4 (xem [1] trang 119) Cho E l mởt khổng gian Banach phÊn xÔ, lỗi ch°t v trỡn Cho C l mởt têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa E, x∈E v z ∈ C Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng. i) z =P C x; ii) hz−y, J E (x−z)i ≥0 vợi mồi y ∈C.
Chùng minh Gi£ sû b) óng, khi â ta câ h(y −x)−(x−z), J E (x−z)i ≤0.
Suy ra kx−zk 2 ≤ hy −x, J E (x−z)i ≤ ky−xkkx−zk, vợi mồi y ∈ C Do õ, ta nhên ữủc kx−zk ≤ kx− yk vợi mồi y ∈ C hay z =P C x.
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ z =P C x, tực l
2kx−yk 2 , vợi mồi y ∈ C VẳC l têp lỗi,y, z ∈C, nản ty+ (1−t)z ∈C vợi mồi t ∈(0,1).
2kx−[ty+ (1−t)z]k 2 , vợi mồi y ∈C v mồi t ∈(0,1).
Do õ, tứ ành nghắa 1.4.6 v Chú ỵ 1.4.9, ta nhên ữủc
0≥ hx−z−[x−ty+ (1−t)z], J E (x−[ty+ (1−t)z)i, vợi mồi y ∈C v mồi t ∈(0,1) Suy ra hy−z, J E (x−[ty + (1−t)z)i ≤0.
Cho t→ 0 + , ta nhên ữủc hy −z, J E (x−z)i ≤0.
ToĂn tỷ ỡn iằu v mð rởng cừa nõ
ToĂn tỷ ỡn iằu
Cho X v Y l hai khổng gian tuyán tẵnh ành chuân, A : X ⇒ Y l mởt toĂn tỷ a trà Khi õ, miãn hỳu hiằu, miãn giĂ trà v ỗ thà cừa A ữủc ành nghắa tữỡng ựng nhữ sau:
ToĂn tỷ nghàch Êo A −1 cừa A ành nghắa bði x ∈A −1 y khi v ch¿ khi y ∈ Ax.
Têp cĂc khổng iºm cừa A ữủc kỵ hiằu l Zer(A) v ữủc xĂc ành bði
Zer(A) ={x∈X | 0∈Ax}. ành nghắa 1.6.1 Trong khổng gian Banach E, toĂn tỷ a trà A : D(A) ⊂
E ⇒ E ∗ ữủc gồi l i) ỡn iằu náu vợi mồi x, y ∈D(A) v mồi u∈ Ax, v∈ Ay, ta luổn cõ hx−y, u−vi ≥0; ii) ỡn iằu cỹc Ôi náu A ỡn iằu v ỗ thà G(A) cừa nõ khổng thỹc sỹ chựa trong ỗ thà cừa mởt toĂn tỷ ỡn iằu n o khĂc.
Vẵ dử 1.6.2 [15] Chof : E → (−∞,+∞] l mởt h m lỗi, chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi Khi õ, toĂn tỷ dữợi vi phƠn
∂f(x) ={u∈ E ∗ | f(y)−f(x) ≥ hy−x, ui, ∀y ∈E} vợi mội x ∈E, l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi.
Mằnh ã 1.6.3 [3] NáuA l toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi trản khổng gian Banach lỗi ãu v trỡn E thẳ R(J E +rA) = E ∗ vợi mồi r > 0, trong õ J E l Ănh xÔ èi ng¨u chu©n t c cõa E.
Nhên x²t 1.6.4 Tứ mằnh ã trản, náu E l khổng gian Banach lỗi ãu v trỡn, A l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi trản E, thẳ vợi mội x ∈ E v r > 0, luổn tỗn tÔi duy nhĐt x r ∈E sao cho
0∈j(x r −x) +rAx r (1.7) Thêt vêy, °t y =x r −x Khi õ, phữỡng trẳnh (1.7) trð th nh
0∈j(y) +rA(y +x) (1.8) °t By= A(y +x) vợi mồi y ∈ D(A) Dạ thĐy B l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi v phữỡng trẳnh (1.8) trð th nh
Theo Mằnh ã 1.6.3, phữỡng trẳnh (1.9) luổn cõ nghiằm v do õ phữỡng trẳnh (1.7) cõ nghiằm x r
Ta ch¿ ra nghiằm n y l duy nhĐt GiÊ sỷ y r cụng l mởt nghiằm cừa (1.7). Khi â ta câ
Tứ tẵnh ỡn iằu cừa A, suy ra
BĐt ¯ng thực trản tữỡng ữỡng vợi h(x r −x)−(y r −x), j(x r −x)−j(y r −x)i ≤0.
Theo Mằnh ã 1.4.5, suy ra x r −x=y r −x v do õ x r =y r Vêy phữỡng trẳnh (1.7) cõ duy nhĐt nghiằm x r
Tứ õ ta cõ ành nghắa sau. ành nghắa 1.6.5 ChoA l toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi trản khổng gian Banach
E lỗi ãu v trỡn, r >0 Khi õ Ănh xÔ Q A r : E −→ E xĂc ành vợi mội x∈E,
Q A r x= xr trong õ xr thọa mÂn
0∈j(x r −x) +rAx r , ữủc gồi l giÊi mảtric cừa A ối vợi r.
ε -mð rởng cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi
Trữợc hát ta nhưc lÔi khĂi niằm ε-xĐp x¿ dữợi vi phƠn cừa mởt h m lỗi. ành nghắa 1.6.6 Cho E l mởt khổng gian Banach v f : E → [−∞,∞] l h m lỗi, chẵnh thữớng Ta kẵ hiằu ∂ ε f(x) l ε-xĐp x¿ dữợi vi phƠn cừa f v ữủc xĂc ành nhữ sau
Burachik v Svaiter [7] Â ữa ra khĂi niằm ε-mð rởng cừa toĂn tỷ ỡn iằu trong khổng gian Banach nhữ sau. ành nghắa 1.6.7 Cho A : E ⇒ E ∗ l toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi Vợi mội ε ≥ 0, ε-mð rởng cừa A ữủc kỵ hiằu l A ε v ữủc xĂc ành vợi mội x ∈ E nh÷ sau
Nhên x²t 1.6.8 Dạ thĐy A 0 x= Ax v náu 0≤ ε 1 ≤ ε 2 , thẳ A ε 1 x ⊆ A ε 2 x vợi b§t ký x∈ E.
Mằnh ã 1.6.9 [7] Cho E l mởt khổng gian Banach v f : E → [−∞,∞] l h m lỗi, õng, chẵnh thữớng Náu A= ∂f thẳ ∂ ε f(x)⊂ A ε x vợi mồi x∈E.
Vẵ dử 1.6.10 [6] Cho X =R, f(x) =p −1 |x| p vợi p≥ 1 v A =∂f. i) Vợi p= 1 ta cõ f(x) =|x| Khi õ
2ε], vẳ vêy A ε (x) =∂ 2ε f(x). iii) Vợi p >1 bĐt kẳ v x = 0 ta cõ
Mằnh ã 1.6.11 [7] Cho A: E ⇒ E ∗ l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi Khi õ ỗ thà cừa A ε : R + ìE ⇒ E ∗ l demi-õng, nghắa l ta cõ cĂc kh¯ng ành sau: i) Náu dÂy {x n } ⊂ E hởi tử mÔnh án x 0 , {u n ∈ A ε n x n } hởi tử yáu án u 0 trong E ∗ v {ε n } ⊂R+ hởi tử án ε, thẳ u 0 ∈ A ε x 0 ; ii) Náu dÂy {x n } ⊂ E hởi tử yáu án x 0 , {u n ∈ A ε n x n } hởi tử mÔnh án u 0 trong E ∗ v {ε n } ⊂R + hởi tử án ε, thẳ u 0 ∈ A ε x 0
Phữỡng phĂp chiáu xoay vỏng giÊi b i toĂn khổng iºm
Ph¡t biºu b i to¡n
ChoE l mởt khổng gian Banach lỗi ãu v trỡn v choE i ,i = 1,2, , N, l cĂc khổng gian Banach trỡn ChoA : E ⇒ E ∗ v A i : E i ⇒ E i ∗ ,i = 1,2, , N, l cĂc toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi Cho T i : E → E i , i = 1,2, , N, l cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n GiÊ sỷ rơng
Tẳm mởt phƯn tỷ trongΩ (SCZPPMOS)
Phữỡng phĂp chiáu lai gh²p
GiÊ sỷ {à n } l mởt dÂy số thỹc dữỡng v {ε n } l mởt dÂy số thỹc khổng Ơm Ta nghiản cựu sỹ hởi tử cừa cĂc thuêt toĂn ữủc ã xuĐt bði Reich v
Tuyen [14] vợi cĂc iãu kiằn °t lản cĂc tham số à n v ε n nhữ sau.
(C2) lim n→∞ ε n à n = 0. ành nghắa 2.2.1 Cho N = {0,1, , N} Ta nhưc lÔi rơng mởt Ănh xÔ
Ind : N → N ữủc gồi l mởt Ănh xÔ iãu khiºn ch¿ số náu vợi mội i ∈ N, tỗn tÔi số tỹ nhiản M i sao cho i ∈ {Ind(n),Ind(n+ 1), ,Ind(n+M i −1)} ∀n∈ N.
Vẵ dử 2.2.2 Cho N ={0,1,2, , N}. nh x¤ Ind : N → N x¡c ành bði
Ind(n) =n mod (N + 1) ∀n ∈N l mởt Ănh xÔ iãu khiºn ch¿ số. °t E 0 =E, A 0 = A v cho T 0 = I E l toĂn tỷ ỗng nhĐt trản E Reich v Tuyen [14] Â ã xuĐt thuêt toĂn dữợi Ơy º giÊi B i toĂn (SCZPPMOS).
Thuêt toĂn 2.2.3 Thuêt toĂn chiáu lai gh²p giÊi B i toĂn (SCZPPMOS). Vợi bĐt ký phƯn tỷ ban Ưu x0 ∈E, xĂc ành dÂy {x n } nhữ sau:
Bữợc 2 Tẳm mởt phƯn tỷ z n ∈E Ind(n) sao cho
0∈ J E Ind(n) (z n −y n ) +à n A ε Ind(n) n (z n ) (2.1) Bữợc 3 XĂc ành cĂc têp Cn v Qn bði
Bữợc 4 Tẵnh x n+1 =P C n ∩Q n x 0 , n≥ 0 v trð lÔi Bữợc 1.
Sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn 2.2.3 ữủc thiát lêp trong ành lỵ dữợi Ơy. ành lỵ 2.2.4 Náu cĂc dÂy{à n } v {ε n } thọa mÂn cĂc iãu kiằn (C1) v (C2), thẳ dÂy {x n } xĂc ành bði Thuêt toĂn 2.2.3 hởi tử mÔnh vã P Ω x 0
Chựng minh Ta chia chựng minh cừa ành lỵ n y th nh cĂc bữợc nhữ sau. Bữợc 1 DÂy {x n } ho n to n xĂc ành.
Trữợc hát, ta ch¿ ra rơng C n v Q n l cĂc nỷa khổng gian õng cừa E.
Ta viát lÔi cĂc têp C n v Q n ð cĂc dÔng sau:
C n ={z ∈E : hT Ind(n) z, J E Ind(n) (y n −z n )i ≤ hz n , J E Ind(n) (y n −z n )i+à n }
={z ∈E : hz, T Ind(n) ∗ J E Ind(n) (y n −z n )i ≤ hz n , J E Ind(n) (y n −z n )i+à n ε n } v
Dạ thĐy Cn v Qn l cĂc nỷa khổng gian õng cừa E.
Tiáp theo, ta ch¿ ra rơng Ω⊂ C n ∩Q n vợi mồi n ≥ 0 Thêt vêy, lĐy bĐt ký p∈Ω Tứ (2.1) suy ra
Do õ, sỷ dửng (2.2), 0 ∈ A Ind(n) T Ind(n) p v ành nghắa cừa A ε Ind(n) n , ta nhên ữủc hT Ind(n) p−z n ,− 1 à n J E Ind(n) (y n −z n )i ≥ −ε n iãu n y tữỡng ữỡng vợi hT Ind(n) p−z n , J E Ind(n) (y n −z n )i ≤ε n à n , suy ra p∈ C n
Ró r ng Q 0 = E v do õ Ω ⊂ Q 0 GiÊ sỷ rơng Ω ⊂ Q n vợi n ≥ 0 Tứ x n+1 =P C n ∩Q n x 0 , p∈Ω ⊂C n ∩Q n v Mằnh ã 1.5.4 suy ra hp−x n+1 , J E Ind(n) (x 0 −x n+1 )i ≤ 0. iãu n y suy ra rơng p ∈ Q n+1 v do õ Ω ⊂ Q n+1 Do vêy, sỷ dửng quy nÔp toĂn hồc, ta thu ữủc Ω⊂ Q n vợi mồi n ≥0 Kát hủp iãu n y vợi Ω⊂C n vợi mồin ≥0, ta nhên ữủcΩ⊂ C n ∩Q n vợi mồi n≥ 0 Do õ C n ∩Q n l mởt têp con lỗi, õng v khĂc rộng E, v vẳ vêy hẳnh chiáu mảtric cừa x 0 lản C n ∩Q n luổn tỗn tÔi Vêy dÂy {x n } ho n to n xĂc ành.
Cố ành mởt phƯn tỷ p ∈Ω⊂ Q n Tứ ành nghắa cừa Q n v Mằnh ã 1.5.4 suy ra x n =P Q n x 0 Do õ, sỷ dửng ành nghắa cừa ph²p chiáu mảtric ta cõ kx n −x 0 k ≤ kp−x 0 k, ∀n ≥ 0 (2.3) iãu n y suy ra rơng dÂy {x n } bà ch°n.
Bữợc 3 Tỗn tÔi giợi hÔn hỳu hÔn lim n→∞ kx n −x 0 k=l.
Tứ x n+1 =P C n ∩Q n x 0 ∈Q n v ành nghắa cừa Q n suy ra rơng
=hx n+1 −x 0 , J E Ind(n) (x 0 −x n )i+kx n −x 0 k 2 iãu n y dăn án kx n −x 0 k 2 ≤ hx 0 −x n+1 , J E Ind(n) (x 0 −x n )i ≤ kx n+1 −x 0 kkx n −x 0 k, v do õ kx n −x 0 k ≤ kx n+1 −x 0 k Kát hủp iãu n y vợi tẵnh bà ch°n cừa dÂy {x n }, suy ra tỗn tÔi giợi hÔn hỳu hÔn lim n→∞ kx n −x 0 k=l.
Bữợc 4 DÂy {x n } l chẵnh quy tiằm cên, tực l lim n→∞ kx n+1 −x n k= 0.
Tứ x n v x n+1 thuởc Q n , v tứ tẵnh lỗi cừa Q n suy ra x n +x n+1
Q n Vẳ x n =P Q n x 0 , nản ta cõ kx n −x 0 k ≤ xn +xn+1
Kát hủp iãu n y vợilim n→∞ kx n −x 0 k=l, ta nhên ữủc x n +x n+1
2 =l Do õ, sỷ dửng Chú ỵ 1.3.7, suy ra lim n→∞ kx n+1 −x n k= 0.
Tứ x n+1 =P C n ∩Q n x 0 ∈C n v ành nghắa cừa C n ta cõ hT Ind(n) x n+1 −z n , J E Ind(n) (y n −z n )i ≤à n ε n iãu n y tữỡng ữỡng vợi à n ε n ≥ hT Ind(n) x n+1 −y n +y n −z n , J E Ind(n) (y n −z n )i
=hT Ind(n) x n+1 −T Ind(n) x n , J E Ind(n) (y n −z n )i+kz n −y n k 2
2(kT Ind(n) xn+1−T Ind(n) xnk 2 +kz n −ynk 2 ) +kz n −ynk 2
2(kT Ind(n) k 2 kx n+1 −xnk 2 +kz n −ynk 2 ) +kz n −ynk 2 Suy ra kz n −y n k 2 ≤ kT Ind(n) k 2 kx n+1 −x n k 2 + 2à n ε n (2.4)
Tứ (2.4), kx n+1 −x n k →0 (xem, Bữợc 4) v à n ε n →0 (giÊ thiát (C2)) suy ra n→∞lim kz n −y n k= 0 (2.5)
Bữợc 6 Têp cĂc iºm tử yáu cừa dÂy {x n } chựa trong Ω.
Thêt vêy, giÊ sỷ q l mởt iºm tử yáu bĐt ký cừa dÂy {x n } Khi õ, tỗn tÔi mởt dÂy con {x m n } cừa{x n } sao cho {x m n } hởi tử yáu vã q.
Ta ch¿ ra q ∈ Ω Thêt vêy, vợi bĐt ký i ∈ N = {0,1, , N}, tỗn tÔi số tỹ nhiản M i sao cho i ∈ {Ind(m n ),Ind(m n + 1), ,Ind(m n +M i −1)} vợi mồin Ta cõ thº bọ i mởt số phƯn tỷ cừa dÂy con {x m n }, náu cƯn thiát, º thu ữủc mởt dÂy con mợi m ta văn kỵ hiằu l {x m n }, sao chomn+1 ≥ mn+Mi. Khi õ, tỗn tÔi mởt dÂy con khĂc {x p n } cừa {x n }, trong õ m n ≤ p n ≤m n +M i −1< m n+1 ≤p n+1 , i= Ind(p n ).
Kát hủp iãu n y vợikx n+1 −x n k →0, ta thĐy rơngx p n −x m n →0 Tứx m n * q suy ra rơng x p n * q Vẳ T i l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n nản T i x p n * T i q.
Tứ (2.5) suy ra rơngkz p n −y p n k →0 Kát hủp iãu n y vợiy p n =T i x p n * T i q, ta suy ra z p n * T i q Tứ (2.1), Ind(p n ) =i vợi mồi n v iãu kiằn (C1), suy ra
A ε i pn (z p n ) 3 1 à n J E i (y p n −z p n ) → 0. p dửng Mằnh ã 1.6.11 ii) cho cĂc dÂy{z p n }v { 1 à n J E i (y p n −z p n ) ∈A ε i pn (z p n )}, ta thu ữủc T i q ∈ Zer(A i ) Vẳi ∈ {0,1, , N}l bĐt ký, nản T i q ∈Zer(A i ) vợi mồi i = 0,1, , N, tực l , q ∈Ω.
GiÊ sỷ {x k n } l mởt dÂy con cừa {x n } sao cho x k n * q Tứ Bữợc 6, ta cõ q ∈ Ω.
BƠy giớ, °t x † = P Ω x 0 Tứ (2.3), x 0 −x k n * x 0 −q v Mằnh ã 1.1.3, suy ra kx 0 −x † k ≤ kx 0 −qk
≤ kx 0 −x † k. iãu n y ch¿ ra rơng lim n→∞ kx 0 −x k n k = kx 0 − qk = kx 0 − x † k Sỷ dửng ành nghắa cừa x † , ta nhên ữủc x † = q Vẳ E l khổng gian Banach lỗi ãu, nản E cõ tẵnh chĐt Kadec-Klee Do õ, tứ lim n→∞ kx 0 −x k n k = kx 0 − qk v x 0 −x k n * x 0 −q, suy ra x k n →q =x † Sỷ dửng tẵnh duy nhĐt cừa x † , ta thu ữủc x n → x † ành lỵ ữủc chựng minh.
Trong ành lỵ 2.2.4, náu ε n = 0 vợi mồi n, ta thu ữủc thuêt toĂn sau º gi£i B i to¡n (SCZPPMOS).
Thuêt toĂn 2.2.5 Thuêt toĂn chiáu lai gh²p giÊi B i toĂn (SCZPPMOS) vợi ε n = 0.
Vợi bĐt ký phƯn tỷ ban Ưu x 0 ∈E, xĂc ành dÂy {x n } nhữ sau:
Bữợc 3 XĂc ành cĂc têp con C n v Q n bði
Bữợc 4 Tẵnh x n+1 =P C n ∩Q n x 0 , n≥ 0 v trð lÔi Bữợc 1.
Hằ quÊ 2.2.6 Náu iãu kiằn (C1) ữủc thọa mÂn, thẳ dÂy {x n } xĂc ành bðiThuêt toĂn 2.2.5 hởi tử mÔnh vã P Ω x 0
Phữỡng phĂp chiáu thu hàp
°t E 0 = E, A 0 = A v °t T 0 = I E l toĂn tỷ ỡn và trản E Reich v Tuyen [14] Â ã xuĐt thuêt toĂn chiáu thu hàp dữợi Ơy º giÊi B i toĂn (SCZPPMOS).
Thuêt toĂn 2.3.1 Thuêt toĂn chiáu thu hàp giÊi B i toĂn (SCZPPMOS). Vợi bĐt ký phƯn tỷ ban Ưu x 0 ∈E, °t C 0 =E v xĂc ành dÂy{x n }nhữ sau: Bữợc 1 Tẵnh y n =T Ind(n) x n
Bữợc 2 Tẳm mởt phƯn tỷ z n sao cho
Bữợc 3 XĂc ành têp C n+1 bði
Bữợc 4 Tẵnh x n+1 =P C n+1 x 0 , n ≥0 v trð lÔi Bữợc 1.
Sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn 2.3.1 ữủc thiát lêp trong ành lỵ dữợi Ơy.ành lỵ 2.3.2 Náu cĂc dÂy{à n } v {ε n } thọa mÂn cĂc iãu kiằn (C1) v (C2),thẳ dÂy {x n } xĂc ành bði Thuêt toĂn 2.3.1 hởi tử mÔnh vã P Ω x 0
Chựng minh Ta chia chựng minh cừa ành lỵ n y th nh cĂc bữợc sau.
Bữợc 1 DÂy {x n } ho n to n xĂc ành.
Trữợc hát, ta ch¿ ra rơng C n l mởt têp con lỗi v õng cừa E vợi mội n Ta chựng minh iãu n y bơng quy nÔp toĂn hồc Thêt vêy, dạ thĐy rơng C 0 = E l mởt têp lỗi v õng GiÊ sỷ rơng C n l mởt têp lỗi v õng vợi n ≥ 0 n o õ Tứ
≤ hz n , J E Ind(n) (y n −z n )i+à n ε n } suy ra C n+1 l mởt têp con lỗi v õng cừa E Do õ, ta nhên ữủc C n l têp con lỗi v õng cừa E vợi mồi n ≥ 0.
Tiáp theo, ta ch¿ ra rơngΩ⊂ C n vợi mồin ≥ 0 Hiºn nhiản,C 0 =E ⊃Ω GiÊ sỷ rơng Ω ⊂ C n vợi n ≥ 0 n o õ LĐy bĐt ký p∈ Ω, tực l , T i p ∈ Zer(A i ) vợi mồi i = 0,1, , N Tứ 0 ∈ A Ind(n) (T Ind(n) p), 1 àn
J E Ind(n) (y n −z n ) ∈ A ε Ind(n) n (z n ) v tứ ành nghắa cừa A ε Ind(n) n , suy ra hT Ind(n) p−z n ,− 1 à n J E Ind(n) (y n −z n )i ≥ −ε n iãu n y tữỡng ữỡng vợi hT Ind(n) p−z n , J E Ind(n) (y n −z n )i ≤ε n à n Kát hủp vợi p∈ Ω⊂C n , ta nhên ữủc p∈C n+1 =C n ∩ {z ∈E : hT Ind(n) z−z n , J E Ind(n) (y n −z n )i ≤ à n ε n }. iãu n y suy raΩ⊂ C n+1 Do õ, bơng quy nÔp toĂn hồc, ta thu ữủcΩ⊂ C n vợi mồi n ≥ 0.
Tõm lÔi, vợi mội n, C n l mởt têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa E v do õ luổn tỗn tÔi hẳnh chiáu cừa x 0 lản C n , tực l , dÂy {x n } ho n to n ữủc xĂc ành.
Bữợc 2 DÂy {x n } bà ch°n Thêt vêy, vợi mội p∈ Ω, tứ p∈ C n v x n =P C n x 0 suy ra kx n −x 0 k ≤ kp−x 0 k (2.6) iãu n y ch¿ ra rơng dÂy {x n } bà ch°n.
Bữợc 3 DÂy {x n } hởi tử mÔnh vã mởt phƯn tỷ q ∈E.
Vợi mồi m ≥ n, tứ x m = P C m x 0 ∈ C m ⊂ C n , x n = P C n x 0 ∈ C n v tẵnh lỗi cừa C n suy ra rơng (x n +x m )/2 ∈ C n °t r = sup n {kx n −x 0 k} < ∞ Sỷ dửng x n =P C n x 0 v Ăp dửng Bờ ã 1.3.13 cho k = 2, t = 1/2, x = x n −x 0 v y = x m −x 0 , tỗn tÔi mởt h m lỗi, tông ng°t g r : R+ → R+ sao cho g r (0) = 0 v kx n −x 0 k 2 ≤ x n +x m
4gr(kx m −xnk). iãu n y suy ra
Do õ, ta nhên ữủc kx n+1 −x 0 k ≥ kx n −x 0 kvợi mồin ≥0, tực l , {kx n −x 0 k} l mởt dÂy giÊm Kát hủp vợi tẵnh bà ch°n cừa dÂy{x n }, suy ra tỗn tÔi giợi hÔn hỳu hÔn lim n→∞ kx n −x 0 k = l Do õ, tứ (2.7) v tẵnh chĐt cừa h m g r , suy ra kx n+1 −x n k → 0 khi n, m → ∞ Do vêy, {x n } l mởt dÂy Cauchy Vẳ E l khổng gian Banach, nản dÂy {x n } hởi tử mÔnh vã mởt phƯn tỷ q ∈E.
Tứ sỹ hởi tử mÔnh cừa dÂy {x n } suy ra kx n+1 −x n k →0 Do vêy, bơng lêp luên tữỡng tỹ nhữ chựng minh cừa Bữợc 5 trong ành lỵ 2.2.4, ta nhên ữủc iãu phÊi chựng minh.
Sỷ dửng x n → q v lêp luên tữỡng tỹ nhữ chựng minh trong Bữợc 6 cừa ành lỵ 2.2.4, ta thu ữủc q ∈Ω Tứ (2.6) suy ra kx 0 −qk ≤ kx 0 −pk, ∀p∈Ω.
BĐt ¯ng thực n y suy ra rơng q =x † =P Ω x 0 ành lỵ ữủc chựng minh.
Trong ành lỵ 2.3.2, náu ε n = 0 vợi mồi n, khi õ ta cõ thuêt toĂn dữợi Ơy º gi£i B i to¡n (SCZPPMOS).
Thuêt toĂn 2.3.3 Thuêt toĂn chiáu thu hàp giÊi B i toĂn (SCZPPMOS) vợi ε n = 0.
Vợi bĐt ký phƯn tỷ ban Ưu x0 ∈E, °t C0 =E v xĂc ành dÂy{x n }nhữ sau: Bữợc 1 Tẵnh y n =T Ind(n) x n
Bữợc 3 XĂc ành têp con C n+1 bði
Bữợc 4 Tẵnh x n+1 =P C n+1 x 0 , n ≥0 v trð lÔi Bữợc 1.
Hằ quÊ 2.3.4 Náu iãu kiằn (C1) ữủc thọa mÂn, thẳ dÂy {x n } xĂc ành bðiThuêt toĂn 2.3.3 hởi tử mÔnh vã P Ω x 0
Mởt số ựng dửng
Cho E l mởt khổng gian Banach v cho f : E → (−∞,∞] l mởt h m lỗi chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi Dữợi vi phƠn cừa h m f l mởt Ănh xÔ a trà
∂f(x) :={g ∈ E ∗ : f(y)−f(x)≥ hy −x, gi ∀y ∈E} vợi mồi x ∈ E Ta biát rơng ∂f l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi (xem [15]) v x 0 ∈arg min E f(x) náu v ch¿ náu ∂f(x 0 ) 3 0.
BƠy giớ, cho E l mởt khổng gian Banach lỗi ãu v trỡn, cho E i , i 1,2, , N, l cĂc khổng gian Banach trỡn Cho f : E → (−∞,∞] v f i :
E i → (−∞,∞], i= 1,2, , N, l mởt h m lỗi chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi. Cho T i : E → E i , i = 1,2, , N, l cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n GiÊ sỷ rơng
Tẳm mởt phƯn tỷ trong Ω SM P P (2.8)
Cho E0 = E, f0 = f v T0 = I E Tứ Thuêt toĂn 2.2.3 v Thuêt toĂn 2.3.1 ta cõ hai thuêt toĂn sau º giÊi B i toĂn (2.8).
Thuêt toĂn 2.4.1 Thuêt toĂn chiáu lai gh²p giÊi B i toĂn (2.8).
Vợi bĐt ký phƯn tỷ ban Ưu x 0 ∈E, xĂc ành dÂy {x n } nhữ sau:
0∈ JE Ind(n) (zn−yn) +àn∂ ε n f Ind(n) (zn).
Bữợc 3 XĂc ành cĂc têp con C n v Q n bði
Bữợc 4 Tẵnh x n+1 =P C n ∩Q n x 0 , n≥ 0 v trð lÔi Bữợc 1.
Thuêt toĂn 2.4.2 Thuêt toĂn chiáu thu hàp giÊi B i toĂn (2.8).
Vợi bĐt ký phƯn tỷ ban Ưu x 0 ∈E, °t C 0 =E v xĂc ành dÂy{x n }nhữ sau: Bữợc 1 Tẵnh y n =T Ind(n) x n
Bữợc 3 XĂc ành têp con C n+1 bði
Bữợc 4 Tẵnh x n+1 =P C n+1 x 0 , n ≥0 v trð lÔi Bữợc 1.
Chú ỵ 2.4.3 Náu ε n = 0 vợi mồi n, thẳ phƯn tỷ z n trong Bữợc 2 cừa Thuêt toĂn 2.4.1 v Thuêt toĂn 2.4.2 ữủc xĂc ành bði z n = arg min
Sỹ hởi tử mÔnh cừa cĂc dÂy sinh bði Thuêt toĂn 2.4.1 v Thuêt toĂn 2.4.2 ữủc thiát lêp trong ành lỵ sau. ành lỵ 2.4.4 Náu cĂc dÂy{à n } v {ε n } thọa mÂn cĂc iãu kiằn (C1) v (C2), thẳ dÂy {x n } xĂc ành bði Thuêt toĂn 2.4.1 ho°c Thuêt toĂn 2.4.2 hởi tử mÔnh vã P Ω SM P Px 0
Cho C l mởt têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa E Cho iC l h m ch¿ cừa
Ta cõi C l mởt h m lỗi, chẵnh thữớng v nỷa liản tửc dữợi Suy ra dữợi vi phƠn cừa nõ ∂i C l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi (xem [15]) Ta biát rơng
∂iC(u) =N(u, C) ={f ∈ E ∗ : hyưu, fi ≤0 ∀y ∈C}, trong õ N(u, C) l nõn phĂp tuyán cừa C tÔi u.
Ta kỵ hiằu giÊi mảtric cừa ∂i C bði Q ∂i r C , trong õ r >0 GiÊ sỷ u= Q ∂i r C x vợi x ∈E, tực l ,
Khi â ta câ hyưu, J E (xưu)i ≤ 0 vợi mồi y ∈C Sỷ dửng Mằnh ã 1.5.4, ta nhên ữủc u=P C x.
Cho E l mởt khổng gian Banach lỗi ãu v trỡn v cho E i , i = 1,2, , N, l cĂc khổng gian Banach trỡn Cho L v L i l cĂc têp con lỗi, õng v khĂc réng cõaE v E i , i= 1,2, , N, t÷ìng ùng Cho T i : E →E i , i = 1,2, , N, l cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n GiÊ sỷ
Tẳm mởt phƯn tỷ trong Ω SF P (2.9) °t E 0 = E, L 0 =L v T 0 = I E Sỷ dửng Thuêt toĂn 2.3.1 v Thuêt toĂn 2.3.3, ta cõ hai thuêt toĂn sau giÊi B i toĂn (2.9).
Thuêt toĂn 2.4.5 Thuêt toĂn chiáu lai gh²p giÊi B i toĂn (2.9) vợi ε n = 0. Vợi bĐt ký phƯn tỷ ban Ưu x 0 ∈E, xĂc ành dÂy {x n } nhữ sau:
Bữợc 3 XĂc ành cĂc têp con C n v Q n bði
Bữợc 4 Tẵnh x n+1 =P C n ∩Q n x 0 , n≥ 0 v trð lÔi Bữợc 1.
Thuêt toĂn 2.4.6 Thuêt toĂn chiáu thu hàp giÊi B i toĂn (2.9) vợi ε n = 0. Vợi bĐt ký phƯn tỷ ban Ưu x 0 ∈E, °t C 0 =E v xĂc ành dÂy{x n }nhữ sau: Bữợc 1 Tẵnh y n =T Ind(n) x n
Bữợc 3 XĂc ành têp con C n+1 bði
Bữợc 4 Tẵnh x n+1 =P C n+1 x 0 , n ≥0 v trð lÔi Bữợc 1.
Sỹ hởi tử mÔnh cừa dÂy {x n } sinh bði Thuêt toĂn 2.4.5 ho°c Thuêt toĂn 2.4.6 ữủc cho bði ành lỵ sau. ành lỵ 2.4.7 DÂy {x n } xĂc ành bði Thuêt toĂn 2.4.5 ho°c Thuêt toĂn 2.4.6 hởi tử mÔnh vã P Ω SF Px 0
Vẵ dử số minh hồa
Ta x²t b i toĂn chĐp nhên tĂch vợi a têp Ưu ra trong khổng gian hỳu hÔn chiãu, tứ õ kiºm tra sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn 2.4.5 v Thuêt toĂn 2.4.6. Cho L i , i = 0,1,2,3, l cĂc têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa R 100 , R 200 ,
R 300 v R 400 , tữỡng ựng GiÊ sỷ têp L i ữủc xĂc ành bði
L i ={x∈R 100(i+1) : ha i , xi ≤ b i }, trong õ tồa ở cừa v²c tỡ a i v cĂc số thỹc b i ữủc chồn ngău nhiản trong cĂc khoÊng õng [10,50] v [0,0.5], tữỡng ựng, vợi mồi i = 0,1,2,3.
Cho T i : R 100 → R 100(i+1) , i = 1,2,3, l cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n vợi cĂc phƯn tỷ cừa ma trên biºu diạn ữủc lĐy ngău nhiản trong oÔn [−5,5]. Dạ thĐy
Vợi phƯn tỷ ban Ưu u 0 , cõ cĂc tồa ở ữủc chồn ngău nhiản trong oÔn [−50,50] v sỷ dửng quy tưc dứng Σ n < ε º kát thúc quĂ trẳnh l°p, ð Ơy Σ n = 1
+kT 2 u n −P L 2 T 2 u n k 2 +kT 3 u n −P L 3 T 3 u n k 2 ) v ε l mởt sai số cho trữợc, ta nhên ữủc bÊng kát quÊ số dữợi Ơy. ε= 10 −3 ε= 10 −4
BÊng 2.1: BÊng kát quÊ số
Luên vôn  trẳnh b y lÔi mởt cĂch khĂ chi tiát v hằ thống vã cĂc vĐn ã sau:
Sỹ hởi tử yáu, khổng gian phÊn xÔ, mởt số °c trững hẳnh hồc cừa khổng gian Banach; nh x¤ èi ng¨u chu©n t c;
Ph²p chiáu mảtric trong khổng gian Banach;
ToĂn tỷ ỡn iằu v mð rởng cừa nõ;
Hai thuêt toĂn chiáu xoay vỏng cừa Reich v Tuyen tứ t i liằu [14] giÊi b i toĂn khổng iºm chung tĂch trong khổng gian Banach lỗi ãu v trỡn.
[1] Agarwal R.P., O'Regan D., Sahu D.R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[2] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer.
[3] Browder F.E (1968), Nonlinear maximal monotone operators in Banach space, Math Ann., 175, pp 89113.
[4] Byrne C (2002), Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem, Inverse Problems, 18 (2), pp 441453.
[5] Byrne C (2004), A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction, Inverse Problems, 18, pp 103120.
[6] Burachik R.S., Iusem A.N., Svaiter B.F (1997), Enlargement of monotone operators with applications to variational inequalities, Set-Valued Anal.,
[7] Burachik R.S., Svaiter B.F (1999), ε-Enlargements of maximal monotone operators in Banach spaces, Set-Valued Anal., 7, pp 117132.
[8] Censor Y., Elfving T (1994), A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space, Numer Algorithms, 8 (2-4), pp 221239.
[9] Diestel J (1970), Geometry of Banach Spaces-Selected Topics, Springer- Verlag.
[10] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cam- bridge Stud Adv Math., 28, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK.