Một số bất đẳng thức hình học trong tam giác thiết lập từ hàm lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRƯỜNG HUYNH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC THIẾT LẬP TỪ HÀM LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRƯỜNG HUYNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đề tài MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC THIẾT LẬP TỪ HÀM LỒI CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 8460113 Người hướng dẫn: PGS TS LÊ CƠNG TRÌNH Năm 2020 Mục lục Danh mục chữ viết tắt ký hiệu Bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức liên quan 1.1 1.2 1.3 2.4.1 Cạnh góc tam giác 48 2.4.2 Chiều cao bán kính đường trịn bàng tiếp tam giác 52 2.4.3 Cạnh, bán kính đường trịn bàng tiếp trung tuyến tam giác 54 1.4 Kết luận 56 Danh mục chữ viết tắt ký hiệu 1.5 1.6 a, b, c 1.7 a+b +c 1.8 s = •— 1.9 1.11 Độ dài cạnh tam giác ABC 1.12 Nửa chu vi tam giác ABC 1.13 Các góc đỉnh tam giác ABC 1.14 h ;h h 1.15 Các đường cao tương ứng từ đỉnh A,B,C tam giác ABC 1.16 R, r 1.17 Bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC 1.18 ra; r ; r 1.19 Bán kính đường trịn bàng tiếp góc A, B, C 1.20 A 1.21 Diện tích tam giác ABC 1.22 Fe A( Fe B) 1.23 F hàm lồi không giảm (lồi không tăng) miền xác định 1.24 FeC (Fe D) 1.25 F hàm lõm không tăng (lõm không giảm) miền xác định 1.26 (A) 1.27 Tam giác 1.28 (Aa) 1.29 Tam giác nhọn 1.30 (Ao) 1.31 Tam giác tù 1.32 (Ai) 1.33 Tam giác cân a' b c b c 1.37 1.34 ^a + b 1.35 c 1.36 Q = Yl(b-c) 1.41 y; z) Mk(x = Mk(x; := /ò) + f(Ị>) + f(c) 1.38 a+bb+cc+a 1.39 c a a 2 1.40 := (a — b + (b — c) + (c — à)2 1.42 := (xyz) 1.43 1.45 := [1 (x + y + z )] ố := min(x; y; z} 1.46 := max(x; y; z} k 1.44 1.47 1.49 log x 1.48 k k=0 k 0, k / ±00 k k = —00 k = ±00 := log x e Lời nói đầu 1.50 Bất đẳng thức nội dung khó chương trình tốn trung học phổ thơng, thường gặp kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Đặc biệt, việc đưa hay chứng minh bất đẳng thức hình học tam giác, bất đẳng thức liên hệ đại lượng tam giác như: cạnh, góc, diện tích, bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp, , thường không dễ dàng Các vấn đề thu hút nhiều người học, làm nghiên cứu toán từ năm trước Cho đến đề tài đa dạng, nhận quan tâm nhiều người 1.51 Chúng ta biết rằng, bất đẳng thức liên quan đến đối tượng áp dụng, quy luật áp dụng liên hệ đa chiều với chun ngành Tốn khác Do đó, vấn đề quan trọng đặt lĩnh vực này, nghiên cứu nguồn gốc, chất bất đẳng thức hình học tam giác để có góc nhìn tổng quan 1.52 Hàm lồi, Schur- lồi (tương ứng, lõm; Schur- lõm) lớp hàm có nhiều ứng dụng quan trọng chương trình tốn trung học phổ thông, đặc biệt ứng dụng việc đề xuất hay chứng minh bất đẳng thức 1.53 Trong luận văn, nghiên cứu số bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ hàm lồi (tương ứng, lõm), đặc biệt bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức liên quan áp dụng hàm lồi, hàm Schur-lồi (tương ứng, Schur-lõm) vào quan hệ trội đại lượng hình học tam giác Trên sở đó, đề xuất số bất đẳng thức liên quan đến đại lượng tam giác dựa số hàm lồi (lõm) đặc biệt 1.54 Ngoài mục lục, danh mục ký hiệu, phần mở đầu phần kết luận, nội dung luận văn chúng tơi trình bày chương: 1.55 Chương Bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức liên quan 1.56 Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị bất đẳng thức, tính chất áp dụng Một số bất đẳng thức liên hệ đại lượng hình học tam giác hàm lồi (tương ứng, lõm) tổng quát, dạng mệnh đề Xen vào đó, số kết đặc biệt, dạng hệ 1.57 Chương Quan hệ trội số bất đẳng thức tam giác thiết lập từ quan hệ trội 1.58 Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức trội, định nghĩa hàm lồi, quan hệ trội đại lượng hình học tam giác kết đạt áp dụng hàm lồi cụ thể dạng mệnh đề, hệ 1.59 Đề tài hoàn thành hướng dẫn khoa học tận tình PGS TS Lê Cơng Trình Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy nhận lời hướng dẫn, giúp đỡ hồn thành luận văn 1.60 Nhân đây, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn Thống kê q Thầy Cơ giáo giảng dạy lớp cao học Toán chuyên ngành Phương pháp Tốn sơ cấp khóa 21, tận tình giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho thời gian học tập nghiên cứu thực đề tài Đồng thời, không quên cảm ơn đến bạn lớp, người thân động viên, đóng góp ý kiến giúp đỡ tơi thời gian qua 1.61 Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian học tập, cơng tác có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên chắn luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thẳng thắn, xây dựng quý thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn thiện 1.62 Quy Nhơn, tháng 05 năm 2020 Họ c viên 1.63 Nguyễn Trường Huynh 1.64 Chương 1.65 Bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức liên quan 1.66 Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị hàm lồi (tương ứng, lõm) tính chất có liên quan, bất đẳng thức Jensen, số bất đẳng thức sinh từ bất đẳng thức Jensen, với số áp dụng bất đẳng thức Jensen để đưa số bất đẳng thức liên hệ đại lượng hình học tam giác 1.67 Trong tồn luận văn này, chúng tơi kí hiệu I thay cho I(a; b BĐT thay cho Bất đẳng thức Và cuối chương, chúng tơi trình bày hệ thống số bất đẳng thức hình học tam giác dựa vào hàm lồi đặc biệt Nội dung chủ yếu lấy từ tài liệu tham khảo [2] [4] luận văn 1.1 Hàm lồi số tính chất 1.68 Định nghĩa 1.1.1 Hàm số f(x) gọi hàm lồi (lồi dưới) I c R với x,y e I với cặp số dương a, thoả mãn a + = 1, ta có 1.69 f(ax + 3y^ af(x + fifty) 1.70 Nếu dấu ” = ” xảy X = y, ta nói hàm số f (x) lồi thực 1.71 (chặt) I c R 1.72 Hàm số f (X gọi hàm lõm (lồi trên) I < R với x,y e I với cặp số dương a, thoả mãn a + = 1, ta có 1.73 f(ax + 3iy)^ afX + fifty) 1.74 Nếu dấu ” = ” xảy X = y, ta nói hàm số f (X lõm thực 1.75 (chặt) I c R 1.76 Tính chất 1.1.1 Với p,q> 0, ta có 1.77 1.78 fjx + qy.qfty) p+q p+q 1.79 Tính chất 1.1.2 Nếu ftx) lồi (lõm) I < R gtx) '-= cftx) hàm lõm (lồi) I c R c < (c> 0) 1.80 Tính chất 1.1.3 Tổng hữu hạn hàm lồi (lõm) I < R hàm lồi (lõm) 1.81 Ic R 1.82 Định lý 1.1.1 (Tiêu chuẩn hàm lồi) Nếu ftx khả vi bậc hai I ftx lồi (lõm) I f'fix) tf,rtx) I 1.2 Bất đẳng thức Jensen số bất đẳng thức liên quan 1.83 1.84 Định lý 1.2.1 (BĐT Jensen) Giả sử f hàm lồi tập mở I Xi,x , ,xn e I Khi ta có 1.85 f (Xi+ X2 + +xn\ 1.86 H n ) Ể f (x^F f (X2) + + f (Xn) 1.87 Với hàm lồi chặt, đẳng thức xảy : X = x = = x n 1.88 Chú ý 1.2.1 Khi hàm f hàm lõm tập mở I ta có BĐT ngược lại với 1.89 BĐT (1.2.1) Và với hàm lõm chặt dấu ” = ” xảy 1.90 Xi = X2 = ^Xn (1.2.1) 1.91 Định lý 1.2.2 (BĐT Jensen tổng quát) Cho f hàm liên tục lồi I 1.92 Nếu x , x , , x e I t , t , ,t e (0; 1) cho ti + t2 + + t = 1, ta có i n i n n 1.93 + + tnX^C tif(xi)+ t2f (X2) + + t f (x„) f(tiXi+ t2X2 (1.2.2) n 1.94 Với hàm lồi chặt, đẳng thức xảy khi: x = x = = x i n 1.95 Chú ý 1.2.2 Khi hàm f hàm lõm liên tục tập mở I ta có BĐT ngược lại với BĐT (1.2.2) Và với hàm lõm chặt dấu ” = ” xảy 1.96 Xi = X2 = ^Xn 1.97 Hệ 1.2.1 Cho f hàm liên tục lồi I Khi với x thuộc I, với i 1.98 r thuộc R , i = 1, , n, ta có i 1.99 ,,rixi + r x + + r„x„ 2 1.100 rif(xi) + r2f (x2) + + r f(xn) n ri + r2 + + r n rH" r + +rn 1.101 Nếu hàm f hàm lõm tập mở I ta có BĐT ngược lại 1.102 Hệ 1.2.2 Cho f hàm liên tục lồi I Khi với x thuộc I, với 1.103 r thuộc R , i = 1, ,n, ta có i i rH- r2 + + rn rH- r2 + + rn f(rnxi + rix2 c + rn- x f( X ,/ X +f( -— ) < f (x-i) + f{x2) + + ,/ X 1.104 f^ixi + r2x2 + + r xn^ + ^2x1 + r3x2 + + rix^ + 1.105 ri + r2 + + r n n 1.106 1.107 Nếu hàm f hàm lõm tập mở I ta có BĐT ngược lại Hai định lý sau đưa dựa vào BĐT Jensen 1.108 Định lý 1.2.3 (M Petrovic) [4] Cho f : [0; +oo) R hàm lồi a,b,c 1.109 cạnh tam giác Khi ta có 1.110 2s X 1.111 a)«f( 0)+2f(s) 3f( y)«£f( (1.2.3) 1.112 Chú ý 1.2.3 Nếu hàm f hàm lõm ta có BĐT ngược lại với BĐT (1.2.3) 1.113 Định lý 1.2.4 Cho f : [0; +oo) R hàm lồi a, b, c cạnh tam giác Khi ta có 1.114 3ff.ị^ YI,X^Í,S+ f 0, (1.2.4) Mệnh đề 2.3.13 Cho tam giác ABC khơng nhọn, ta ln có 1.1020 A B C ,., tan— + tan— + tan— > 2V2 — 222 Chứng minh Theo Định lý 2.3.2 hàm F(x) tanx lồi chặt (0; n ) Hơn nữa, theo công thức (2.3.3) ta suy n n n, ABC M’8’8^ ^2 , ~2 , Khi đó, áp dụng hàm F(y) ta A + tany B C n tan— + tan— > tan— + 2tan— 2 n Mà tan — + 2tan — = + 2(^/2 — 1) = 2ự2 — v87 Nên ta điều cần chứng minh Trên số áp dụng với hàm lượng giác với góc thơng thường Ngồi ABC ra, cịn có số BĐT khác góc dạng —, —, —, đồng thức, nnn Mệnh đề 2.3.14 Cho tam giác ABC n số thực Khi ta ln có • n 'ABC, n sin — + J>2(A 1.1099 Đẳng thức xảy tam giác 1.1100 Mệnh đề 2.4.5 Với tam giác ABC với k e (—00; 0) u [1; 2, ta ln có 1.1101 1.1102 Đẳng thức xảy tam giác tam giác FX cos x 3-lồi [0; n k Khi đó, ta áp dụng Định lý 2.4.2 với 1.1103 Chứng minh Thật vậy, chứng minh theo định nghĩa, với k e (—00; 0) u [1;2], hàm 1.1104 1.1105 1.1106 (2.4.7) 31+k k n (2.4.10) (2.4.8) logsinx 3-lồi [0;A] Khi đó, ta áp dụng 1.1107 T^/n A\ k/n A\ 1.1108 Fr-^) = cos = sin (f), F(f) = cos (2), 3F(3) = 2k, F • k/A\ 7-i/A\ k/A\ nT^/n\ > n/n\ 1.1109 Ta bất đẳng thức cần chứng minh 1.1110 Mệnh đề 2.4.6 Với tam giác ABC bất kỳ, ta ln có 1.1111 ,A B,C 1.1112 tan — tan — tan — < 1.1113 2 Vã 1.1114 Đẳng thức xảy tam giác tam giác 1.1115 Chứng minh Tương tự, hàm F(ý) 1.1116 Định lý 2.4.2 với 1.1117YiF(^2A = x^ogsm n 2A = 2]logcosA = logcosAxosB-cosC, 1.1118 1.1119 A ABCn TFCA) = logsinAsinB2sinC, 3FỘ = logệ3’ 3F0 = logl2’3 „ n1 1.1120 Thay vào thu gọn, ta bất đẳng thức cần chứng minh 1.1121 2.4.4 ( Bất đẳng thức Popoviciu)([9], tr 174) Nếu F : [0;n] Định lý R 1.1122 hàm lồi với tam giác ABC ta có 1.1123 3F(|)-2£ ^^2AHSFA» (2.4.9) 1.1124 Đẳng thức xảy tam giác 1.1125 Một số kết Định lý 2.4.4 mệnh đề sau 1.1126 Mệnh đề 2.4.7 Với tam giác ABC bất kỳ, ta ln có 1.1127 3V3 ấ.fí.n 2A 2B 2C ——sin A sin B sin C < cos — cos —-cos — 1.1128 8222 1.1129 Đẳng thức xảy tam giác tam giác 1.1130 Mệnh đề 2.4.8 Với tam giác nhọn ABC, ta có 1.1131 1.1132 1.1133 „ ._2A^2B_ _2C -cosAcosBcosC < sin — sin — sin — 8222 1.1134 Đẳng thức xảy tam giác tam giác (2.4.7) 1.1135 2.4.2 Chiều cao bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác 1.1136 1.1137 Định lý 2.4.5 Trong tam giác, ta ln có (3F 3r’ 3r) : (ha’ hb’ 1.1138 < (ra’ rb’ r^ ' (2.4.12) 1.1139 Chứng minh Nhắc lại rằng, tam giác ta ln có 1.1140 2A = ah = bh a b = chc = 2xr = 2yr a b = 2zrc 1.1141 Nên ta được: 1.1142 2\ rb _ / 1 \ 1_1/11\ 1/11\ rc) ’ hb Va Tc) ' hc 2\ —ha' hb hcj h h a (1) v’ rb rj 111 Hơn ta có: nên ta nhận h b Tb) c (3F 3r' 3r) : (ha' hb' h^ (2) Từ (1) (2 ta có điều cần chứng minh Các mệnh đề sau kết áp dụng Định lý 2.4.5 với hàm lồi lõm Mệnh đề 2.4.9 Trong tam giác ABC, ta có (2.4.13) 9r^ha + hb + h^ỉ Ta + rb + rc Đẳng thức xảy tam giác ABC Chứng minh Áp dụng hàm lồi F(x) — ta x 1.1143 Vậy ta suy 1.1144 1.1145 1.1146 Từ ta điều phải chứng minh (2.4.7) 6 3r hb hc rb r c 1.1147 Các mệnh đề sau kết sử dụng tính lồi (lõm) hàm FX = rư \ x X rư \ + rx 1TA z r 1.1148 -log x, F x =J -—, F x = -—: cho Định lý 2.4.5 1.1149 & - 2rx k } - rx 1.1150 Mệnh đề 2.4.10 Trong tam giác ABC, ta có 1.1151 27r3 < h h h ^ r r r a b c (2.4.14) a b c 1.1152 1.1153 Đẳng thức xảy tam giác ABC 1.1154 Mệnh đề 2.4.11 Trong tam giác ABC, ta có 1.1155 -1,1,13 -— _l_2r —— _l_2r—— — h— h — 2r h — r a b (2.4.15) c 1.1156 Đẳng thức xảy tam giác ABC 1.1157 Mệnh đề 2.4.12 Trong tam giác ABC, ta ln có 1.1158 1.1159 • r h —r a hb h b •r hc h —r +r > —r c (2.4.16) 1.1160 Đẳng thức xảy tam giác ABC 1.1161 Định lý 2.4.6 Cho tam giác ABC, ta có rb r hb hc c 1.1162 1.1163 1.1164 tính tổng quát, giả sử r^ỉ r (2.4.17) >41,1,1) Chứng minh Không r b c 1.1165 Ta có 1.1166 1_1/11\ h ~ \r rj _1 ’h ~ a b /1 Va 1>1 _1 rj ’ h ~ c /1 \ra 1\ rb) ’ nên r.: _ r.: i Vb r 0, n 1), hàm F(x) lồi đối xứng nên hàm 1.1175 S- lồi Mặt khác F(x) tăng nên áp dụng Định lý 2.1.3 kết hợp trội Định lý 2.4.6, ta 1.1176 ỐP 1- 1- 1- 31.1177 Vậy ta điều cần chứng minh 1.1178 Nhận xét 2.4.2 Áp dụng hàm lõm F(x) = xn (x > 0, n > 1) ta 1.1179 2.4.3 Cạnh, bán kính đường trịn bàng tiếp trung tuyến 1.1180 _ 1.1181 _ J •Z_ tam giác 1.1182 1.1183 Định lý 2.4.7 ([7], tr.285) Cho tam giác ABC, với t ta ln có (a‘ ,b',c)