.28 Trang 3 Mục lục1Một số bất đẳng thức đối với một điểm trong tamgiác41.1Giới thiệu ba bất đẳng thức mới của Jian Liu.. Nguyễn Thị Ngọc Oanh,hai thầy cô đã tận tình hướng dẫn,chỉ bảo
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– Cao Ngọc Linh MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC MỚI ĐỐI VỚI MỘT ĐIỂM TRONG CỦA TAM GIÁC Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI TS NGUYỄN THỊ NGỌC OANH THÁI NGUYÊN 2024 i Danh mục các hình 1.1 Điểm trong P của tam giác 5 1.2 Tam giác pedal DEF 6 1.3 SaR12 + SbR22 + ScR32 ≤ SR2 7 1.4 cr1 + ar3 9 1.5 P là trực tâm tam giác pedal DEF 10 1.6 Ra, Rb, Rc là bán kính (P BC), (P CA), (P AB) 19 2.1 Áp dụng định lý Ptolemy vào tứ giác AF P E 25 2.2 Bất đẳng thức Barrow 26 2.3 P H + P K + P L ≥ 2(P D + P E + P F ) 27 2.4 Chứng minh PEHF là tứ giác lồi: Trường hợp 1 28 2.5 Chứng minh PEHF là tứ giác lồi: Trường hợp 2 28 2.6 Hình a) : P ≡ A, Aˆ nhọn, Hình b) : P ≡ A, Aˆ tù 30 2.7 (2.52)được chứng minh với mọi điểm P trong tam giác A’B’C’42 PD PE PF 1 2.8 a2 + b2 + c2 ≥ R 43 2.9 IM O − 1991 − Sweden, Bài 5 44 2.10 IM O − 1996 − India, Bài 5 45 2.11 Lấy Y’Z’ đối xứng của Y,Z qua phân giác góc YXZ 46 ii Mục lục 1 Một số bất đẳng thức đối với một điểm trong tam giác 4 1.1 Giới thiệu ba bất đẳng thức mới của Jian Liu 4 1.2 Các bổ đề và phép chứng minh 7 1.2.1 Chứng minh bất đẳng thức thứ nhất 12 1.2.2 Chứng minh bất đẳng thức thứ hai 14 1.2.3 Chứng minh bất đẳng thức thứ ba 15 1.3 Bất đẳng thức thứ tư 16 1.3.1 Chứng minh định lý 1.4 17 1.3.2 Một số áp dụng 19 1.4 Một số bài toán mở 20 2 Một số biến thể của bất đẳng thức Erdos-Mordell 23 2.1 Giới thiệu bất đẳng thức Erdos-Mordell 23 2.2 Hai biến thể của bất đẳng thức Erdos-Mordell 26 2.2.1 Biến thể thứ nhất: bất đẳng thức DNP 26 2.2.2 Biến thể thứ hai: bất đẳng thức TQH 31 2.3 Các bất đẳng thức mở rộng và ứng dụng 33 2.3.1 Mở rộng 33 2.3.2 Ứng dụng vào giải toán 37 Tài liệu tham khảo 48 iii Lời cảm ơn Trước hết, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Việt Hải và TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh,hai thầy cô đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô trong hội đồng bảo vệ đề cương tháng 1 năm 2024 đã cho tôi những nhận xét quý báu trong phương pháp nghiên cứu khoa học để tôi hoàn thành luận văn Một số bất đẳng thức mới đối với một điểm trong của tam giác Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và những người thân luôn sát cánh ủng hộ, động viên, khích lệ, giúp đỡ tôi trong thời gian thực hiện đề tài này Tôi xin chân thành cảm ơn! 1 MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Stt Ký hiệu Nội dung ký hiệu Trang 5 1 R1, R2, R3 Các khoảng cách P A, P B, P C 5 6 3 PBC Diện tích đại số của ∆P BC 6 9 3 r1, r2, r3 Khoảng cách từ P đến BC, CA, AB 11 13 4 s và S = SDEF Nửa chu vi và diện tích ∆DEF 16 35 5 Sa, Sb, Sc Diện tích tam giác P BC, P CA, P AB 37 43 6F Diện tích của đa giác 44 7 ma, mb, mc 3 trung tuyến của tam giác ABC 8 wa, wb, wc Độ dài đường pg các góc A, B, C 9 a, b, c Đường pg trong của góc BP C, CP A, AP B 10 ha, hb, hc Ba đường cao tương ứng của tam giác ABC 11 ρA, ρC, ρE Bán kính đt ngoại tiếp ∆F AB, ∆BCD, ∆DEF 12 τ Chu vi của lục giác 2 Mở đầu 1 Mục đích của đề tài luận văn Đề tài bất đẳng thức hình học rất phong phú và hấp dẫn Nhiều tác giả là Thạc sĩ, Tiến sĩ đã nghiên cứu và bảo vệ thành công các đề tài về bất đẳng thức đại số, bất đẳng thức hình học Chúng tôi muốn nghiên cứu và trình bày lại các bất đẳng thức hình học "sinh ra" bởi 1 điểm trong của tam giác cho trước Đề tài này khác hoàn toàn các đề tài về bất đẳng thức trước đó vì mấy lý do sau: Thứ nhất, chúng tôi tham khảo chính từ các bài báo vừa được công bố năm 2012, 2014, 2016, 2021; thứ hai, các bất đẳng thức kiểu này đều tiếp nối hoặc biến thể của các bất đẳng thức trước đó; thứ ba, có thể coi các bất đẳng thức ở đây được sinh ra bởi 1 điểm cho trước ở trong tam giác cho trước Bởi vậy chúng tôi mạnh dạn đề xuất đề tài "Một số bất đẳng thức mới đối với một điểm trong của tam giác" với mục đích, yêu cầu như sau Mục đích, yêu cầu: - Giới thiệu các bất đẳng thức mới liên quan đến một điểm trong tam giác Các bất đẳng thức là mới vì chúng được công bố vào những năm 2012, 2014, 2016, 2021 - Trình bày các kỹ thuật chứng minh, cách suy nghĩ để từ một bất đẳng thức gốc có thể suy ra nhiều bất đẳng thức mới theo nhiều hướng khác nhau: Cho điểm đã cho trùng với các điểm đặc biệt, thay đổi dữ kiện để có các bất đẳng thức biến thể, thêm tham số để có một họ các bất đẳng thức, - Bồi dưỡng năng lực dạy các chuyên đề khó về bất đẳng thức hình học ở trường THCS và THPT góp phần đào tạo học sinh học giỏi môn Hình học 3 2 Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết Đề tài trình bày 2 nội dung chính: Bốn bất đẳng thức mới đối với một điểm trong của tam giác và biến thể của bất đẳng thức Erdos-Mordell Tất cả đều hướng vào các bất đẳng thức liên quan đến một điểm cho trước Xuyên suốt toàn bộ luận văn là quan hệ giữa các yếu tố bán kính nội ngoại tiếp, các khoảng cách từ P (trong tam giác) đến 3 đỉnh và khoảng cách từ P đến 3 cạnh tam giác Nội dung luận văn chia làm 2 chương: Chương 1 Một số bất đẳng thức đối với một điểm trong của tam giác Chương 1 giới thiệu bốn bất đẳng thức đối với điểm P ở trong tam giác Phép chứng minh dựa vào các bổ đề, chúng tôi cố gắng chi tiết hoá khi trình bày lại các nội dung mới Nội dung tham khảo và tổng hợp từ tài liệu [4], [7], bao gồm các mục sau: 1.1 Ba bất đẳng thức mới của Jean Liu 1.2 Các bổ đề và phép chứng minh 1.3 Bất đẳng thức thứ tư 1.4 Một số bài toán mở Chương 2 Một số biến thể của bất đẳng thức Erdos-Mordell Sau khi giới thiệu sơ lược bất đẳng thức Erdos-Mordell nổi tiếng, chúng tôi trình bày các biến thể của bất đẳng thức này (thực chất là phát biểu và chứng minh các bất đẳng thức mới) Các biến thể được hiểu là sự thay đổi một phần các giả thiết có từ bất đẳng thức gốc nhưng rõ ràng là các kết quả độc lập Nội dung được tham khảo chính trong các bài báo [3], [5] Chương này bao gồm các mục sau: 2.1 Giới thiệu bất đẳng thức Erdos-Mordell 2.2 Hai biến thể của bất đẳng thức Erdos-Mordell 2.3 Một số ứng dụng 4 Chương 1 Một số bất đẳng thức đối với một điểm trong tam giác Nội dung bất đẳng thức rất phong phú, nhiều luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ cũng khai thác và đạt được nhiều kết quả: tìm ra được các bất đẳng thức mới Đề tài của luận văn này cũng khai thác nội dung về bất đẳng thức hình học Nội dung chúng tôi trình bày có mấy điểm mới: Các bất đẳng thức ở đây là các kết quả mới (tất nhiên khi thiết lập bất đẳng thức mới phải dựa vào ý tưởng và các bất đẳng thức đã có), các công trình nghiên cứu được công bố gần đây Ngoài ra, các bất đẳng thức ở đây là các bất đẳng thức liên quan đến 1 điểm P (không phải 2,3 điểm) ở trong một tam giác cho trước Vì vậy luận văn được đặt tên là "Một số bất đẳng thức mới đối với một điểm trong của tam giác" 1.1 Giới thiệu ba bất đẳng thức mới của Jian Liu Cho tam giác ABC, khái niệm điểm trong và đường thẳng Ce va của tam giác đó được hiểu như sau: Định nghĩa 1.1 Điểm P được gọi là điểm trong của tam giác ABC nếu P và tâm nội tiếp I là 2 điểm nằm cùng nửa mặt phẳng với bờ là các đường thẳng BC, CA, AB Định nghĩa 1.2 Cho tam giác ABC và điểm P bất kỳ Ba đường thẳng AP, BP, CP cắt cạnh đối diện (hoặc phần kéo dài) tại một điểm được gọi là 5 Hình 1.1: Điểm trong P của tam giác các Cevian hoặc các đường thẳng Ce va của P đối với ∆ABC Như vậy, các điểm trên cạnh tam giác (đặc biệt là các đỉnh) là các điểm trong của tam giác Cách xác định điểm trong P của tam giác như thế cũng tương đương với các đường thẳng Ce va AP, BP, CP cắt các đoạn thẳng BC, CA, AB tại X, Y, Z Giả sử P là một điểm tùy ý trong mặt phẳng tam giác ABC và D, E, F lần lượt là chân các đường vuông góc từ P đến BC, CA, AB Ta biết tam giác DEF được gọi là tam giác pedal (hay tam giác thuỷ túc) của P đối với tam giác ABC Trong một bài báo của mình, Jean Liu đưa ra đồng nhất thức sau: P BC.P A2 + P CA.P B2 + P AB.P C2 = 4R2.DEF , (1.1) trong đó R là bán kính ngoại tiếp của ∆ABC và P BC, P CA, P AB ký hiệu diện tích định hướng của ∆P BC, ∆P CA, ∆P AB, tương ứng Cụ thể, khi P nằm bên trong tam giác ABC, thì P BC = SP BC = Sa; P CA = SP CA = Sb; P CA = SP CA = Sc (cả ba đều là số dương do hướng đã chọn là ngược chiều kim đồng hồ) Vì thế (1.1) trở thành: SaR12 + SbR22 + ScR32 = 4R2.Sp, (1.2) trong đó R1 = P A, R2 = P B, R3 = P C và Sa, Sb, Sc biểu thị diện tích của ∆P BC, ∆P CA, ∆P AB tương ứng, còn Sp là diện tích của tam giác pedal DEF 6 Ta đều biết bất đẳng thức sau đây tồn tại giữa diện tích S của tam giác ABC và diện tích Sp của tam giác pedal DEF : 1 (1.3) Sp ≤ 4S có đẳng thức khi và chỉ khi P là tâm ngoại tiếp của tam giác ABC, Hình 1.2: Tam giác pedal DEF (xem hình 1.2) Do đó, từ (1.2) ta suy ra: SaR12 + SbR22 + ScR32 ≤ SR2 (1.4) Bất đẳng thức này gợi đến một kết quả sau: Định lý 1.1 [7] SaR13 + SbR23 + ScR33 ≤ SR3, (1.5) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Trong tam giác ABC với điểm trong P , ta thống nhất thêm các ký hiệu: ba đoạn thẳng từ P đến các cạnh: r1 = P D, r2 = P E, r3 = P F còn Rp, rp lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác pedal DEF Đồng thời với bất đẳng thức (1.5) được chứng minh, Jean Liu thu được hai bất đẳng thức hình học nữa