Một số bất đẳng thức mới đối với một điểm trong của tam giác

.28 Trang 3 Mục lục1Một số bất đẳng thức đối với một điểm trong tamgiác41.1Giới thiệu ba bất đẳng thức mới của Jian Liu.. Nguyễn Thị Ngọc Oanh,hai thầy cô đã tận tình hướng dẫn,chỉ bảo

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TẬP THỂ GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪNPGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI

TS NGUYỄN THỊ NGỌC OANH

THÁI NGUYÊN 2024

Danh mục các hình

1.1 Điểm trong P của tam giác 5

1.2 Tam giác pedal DEF 6

1.3 SaR21 + SbR22 + ScR23 ≤ SR2 7

1.4 cr1 + ar3 9

1.5 P là trực tâm tam giác pedal DEF 10

1.6 Ra, Rb, Rc là bán kính (P BC), (P CA), (P AB) 19

2.1 Áp dụng định lý Ptolemy vào tứ giác AF P E 25

2.2 Bất đẳng thức Barrow 26

2.3 P H + P K + P L ≥ 2(P D + P E + P F ) 27

2.4 Chứng minh PEHF là tứ giác lồi: Trường hợp 1 28

2.5 Chứng minh PEHF là tứ giác lồi: Trường hợp 2 28

2.6 Hình a) : P ≡ A, ˆ A nhọn , Hình b) : P ≡ A, ˆ A tù 30 2.7 (2.52) được chứng minh với mọi điểm P trong tam giác A’B’C’42 2.8 P D a2 + P E b2 + P F c2 ≥ 1 R . 43

2.9 IM O − 1991 − Sweden, Bài 5 44

2.10 IM O − 1996 − India, Bài 5 45

2.11 Lấy Y’Z’ đối xứng của Y,Z qua phân giác góc YXZ 46

Mục lục

1 Một số bất đẳng thức đối với một điểm trong tam

1.1 Giới thiệu ba bất đẳng thức mới của Jian Liu 4

1.2 Các bổ đề và phép chứng minh 7

1.2.1 Chứng minh bất đẳng thức thứ nhất 12

1.2.2 Chứng minh bất đẳng thức thứ hai 14

1.2.3 Chứng minh bất đẳng thức thứ ba 15

1.3 Bất đẳng thức thứ tư 16

1.3.1 Chứng minh định lý 1.4 17

1.3.2 Một số áp dụng 19

1.4 Một số bài toán mở 20

2 Một số biến thể của bất đẳng thức Erd o s-Mordell 23 2.1 Giới thiệu bất đẳng thức Erd o s-Mordell 23

2.2 Hai biến thể của bất đẳng thức Erd o s-Mordell 26

2.2.1 Biến thể thứ nhất: bất đẳng thức DNP 26

2.2.2 Biến thể thứ hai: bất đẳng thức TQH 31

2.3 Các bất đẳng thức mở rộng và ứng dụng 33

2.3.1 Mở rộng 33

2.3.2 Ứng dụng vào giải toán 37

Lời cảm ơnTrước hết, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS NguyễnViệt Hải và TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh,hai thầy cô đã tận tình hướng dẫn,chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy côtrong hội đồng bảo vệ đề cương tháng 1 năm 2024 đã cho tôi những nhận xétquý báu trong phương pháp nghiên cứu khoa học để tôi hoàn thành luận vănMột số bất đẳng thức mới đối với một điểm trong của tam giác.Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và những người thân luônsát cánh ủng hộ, động viên, khích lệ, giúp đỡ tôi trong thời gian thực hiện

đề tài này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN

5 Sa, Sb, Sc Diện tích tam giác P BC, P CA, P AB 9

8 wa, wb, wc Độ dài đường pg các góc A, B, C 16

9 `a, `b, `c Đường pg trong của góc BP C, CP A, AP B 35

10 ha, hb, hc Ba đường cao tương ứng của tam giác ABC 37

11 ρA, ρC, ρE Bán kính đt ngoại tiếp ∆F AB, ∆BCD, ∆DEF 43

Mở đầu

1 Mục đích của đề tài luận văn

Đề tài bất đẳng thức hình học rất phong phú và hấp dẫn Nhiều tácgiả là Thạc sĩ, Tiến sĩ đã nghiên cứu và bảo vệ thành công các đề tài về bấtđẳng thức đại số, bất đẳng thức hình học

Chúng tôi muốn nghiên cứu và trình bày lại các bất đẳng thức hình học

"sinh ra" bởi 1 điểm trong của tam giác cho trước Đề tài này khác hoàntoàn các đề tài về bất đẳng thức trước đó vì mấy lý do sau: Thứ nhất, chúngtôi tham khảo chính từ các bài báo vừa được công bố năm 2012, 2014, 2016,2021; thứ hai, các bất đẳng thức kiểu này đều tiếp nối hoặc biến thể của cácbất đẳng thức trước đó; thứ ba, có thể coi các bất đẳng thức ở đây đượcsinh ra bởi 1 điểm cho trước ở trong tam giác cho trước Bởi vậy chúng tôimạnh dạn đề xuất đề tài "Một số bất đẳng thức mới đối với một điểmtrong của tam giác" với mục đích, yêu cầu như sau

- Bồi dưỡng năng lực dạy các chuyên đề khó về bất đẳng thức hình học ởtrường THCS và THPT góp phần đào tạo học sinh học giỏi môn Hình học

2 Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết

Đề tài trình bày 2 nội dung chính: Bốn bất đẳng thức mới đối với mộtđiểm trong của tam giác và biến thể của bất đẳng thức Erdo s-Mordell Tất cảđều hướng vào các bất đẳng thức liên quan đến một điểm cho trước Xuyênsuốt toàn bộ luận văn là quan hệ giữa các yếu tố bán kính nội ngoại tiếp,các khoảng cách từ P (trong tam giác) đến 3 đỉnh và khoảng cách từ P đến

3 cạnh tam giác Nội dung luận văn chia làm 2 chương:

Chương 1 Một số bất đẳng thức đối với một điểm trong của tamgiác

Chương 1 giới thiệu bốn bất đẳng thức đối với điểm P ở trong tamgiác Phép chứng minh dựa vào các bổ đề, chúng tôi cố gắng chi tiết hoá khitrình bày lại các nội dung mới Nội dung tham khảo và tổng hợp từ tài liệu[4], [7], bao gồm các mục sau:

1.1 Ba bất đẳng thức mới của Jean Liu

2.1 Giới thiệu bất đẳng thức Erdo s-Mordell

2.2 Hai biến thể của bất đẳng thức Erdo s-Mordell

2.3 Một số ứng dụng

Chương 1

Một số bất đẳng thức đối với một

điểm trong tam giác

Nội dung bất đẳng thức rất phong phú, nhiều luận văn thạc sĩ, luận ántiến sĩ cũng khai thác và đạt được nhiều kết quả: tìm ra được các bất đẳngthức mới Đề tài của luận văn này cũng khai thác nội dung về bất đẳng thứchình học Nội dung chúng tôi trình bày có mấy điểm mới: Các bất đẳng thức

ở đây là các kết quả mới (tất nhiên khi thiết lập bất đẳng thức mới phải dựavào ý tưởng và các bất đẳng thức đã có), các công trình nghiên cứu đượccông bố gần đây Ngoài ra, các bất đẳng thức ở đây là các bất đẳng thức liênquan đến 1 điểm P (không phải 2,3 điểm) ở trong một tam giác cho trước

Vì vậy luận văn được đặt tên là "Một số bất đẳng thức mới đối với một điểmtrong của tam giác"

1.1 Giới thiệu ba bất đẳng thức mới của Jian Liu

Cho tam giác ABC, khái niệm điểm trong và đường thẳng Ce0va của tamgiác đó được hiểu như sau:

Định nghĩa 1.1 Điểm P được gọi là điểm trong của tam giác ABC nếu

P và tâm nội tiếp I là 2 điểm nằm cùng nửa mặt phẳng với bờ là các đườngthẳng BC, CA, AB

Định nghĩa 1.2 Cho tam giác ABC và điểm P bất kỳ Ba đường thẳng

Hình 1.1: Điểm trong P của tam giác

các Cevian hoặc các đường thẳng Ce0va của P đối với ∆ABC

Như vậy, các điểm trên cạnh tam giác (đặc biệt là các đỉnh) là các điểmtrong của tam giác Cách xác định điểm trong P của tam giác như thế cũngtương đương với các đường thẳng Ce0va AP, BP, CP cắt các đoạn thẳng

Giả sử P là một điểm tùy ý trong mặt phẳng tam giác ABC và D, E, F

lần lượt là chân các đường vuông góc từ P đến BC, CA, AB Ta biết tamgiác DEF được gọi là tam giác pedal (hay tam giác thuỷ túc) của P đối vớitam giác ABC Trong một bài báo của mình, Jean Liu đưa ra đồng nhấtthức sau:

trong đó R là bán kính ngoại tiếp của ∆ABC và P BC, P CA, P AB ký hiệudiện tích định hướng của ∆P BC, ∆P CA, ∆P AB, tương ứng Cụ thể, khi

P nằm bên trong tam giác ABC, thì P BC = SP BC = Sa; P CA = SP CA =

Sb; P CA = SP CA = Sc (cả ba đều là số dương do hướng đã chọn là ngượcchiều kim đồng hồ) Vì thế (1.1) trở thành:

SaR21 + SbR22 + ScR23 = 4R2.Sp, (1.2)trong đó R1 = P A, R2 = P B, R3 = P C và Sa, Sb, Sc biểu thị diện tích của

Ta đều biết bất đẳng thức sau đây tồn tại giữa diện tích S của tam giác

ABC và diện tích Sp của tam giác pedal DEF:

Sp ≤ 1

có đẳng thức khi và chỉ khi P là tâm ngoại tiếp của tam giác ABC,

Hình 1.2: Tam giác pedal DEF

(xem hình 1.2) Do đó, từ (1.2) ta suy ra:

SaR12 + SbR22 + ScR23 ≤ SR2 (1.4)Bất đẳng thức này gợi đến một kết quả sau:

Định lý 1.1 [7]

SaR13 + SbR32 + ScR33 ≤ SR3, (1.5)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.Trong tam giác ABC với điểm trong P, ta thống nhất thêm các ký hiệu:

ba đoạn thẳng từ P đến các cạnh: r1 = P D, r2 = P E, r3 = P F còn Rp, rp

lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác pedal

DEF Đồng thời với bất đẳng thức (1.5) được chứng minh, Jean Liu thuđược hai bất đẳng thức hình học nữa

Ta gọi (1.1), (1.2), (1.3) là ba bất đẳng thức Jian Liu đối với điểm trongcủa tam giác.

Giả sử ABC là tam giác cơ sở Ta đã biết: Tọa độ barycentric của điểm

M đối với tam giác ABC là bộ ba số (x : y : z) sao cho

x : y : z = M BC : M CA : M AB,

trong đó M BC là độ dài đại số của tam giác M BC Để chứng minh cácđịnh lý trên ta cần một số bổ đề:

Bổ đề 1.2.1 Cho P là một điểm tùy ý có tọa độ barycentric (x : y : z) trongmặt phẳng tam giác ABC Khi đó ta có đẳng thức sau:

Chứng minh Ta có định lý Leibnitz như sau:" Cho tam giác ABC và điểm

P tùy ý trong mặt phẳng tam giác Khi chọn ∆ABC là tam giác cơ sở, giả

sử P có tọa độ barycenteric (x : y : z) M là điểm tùy ý trong không gian.Khi đó ta có đẳng thức sau:

(x+y+z)2.M P2 = (x+y+z)(xM A2+yM B2+zM C2)−(a2yz+b2zx+c2xy)

Đẳng thức trên thường được gọi là đồng nhất thức Leibnitz"

Trường hợp đặc biệt, khi M ≡ A (đỉnh tam giác) thì ta có

(x + y + z)2AP2 = (x + y + z)(yAB2 + zAC2) − (a2yz + b2zx + c2xy)

Nếu đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại X thì dấu bằng trong (1.9) xảy

ra khi và chỉ khi P nằm trên đoạn AX

Chứng minh Gọi h1 là đường cao hạ từ A xuống BC, hình 1.4 Ta có 2S =

ah1 = ar1 + br2 + cr3 Hiển nhiên R1 + r1 ≥ ah1, dấu ” = ” xảy ra khi vàchỉ khi P ∈ AH1 Từ đó, aR1 + ar1 ≥ ah1 = ar1 + br2 + cr3, suy ra:

aR1 ≥ br2 + cr3, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khiP ∈ AH1 (1.10)Nếu ta áp dụng bất đẳng thức trên vào tam giác AB0C” đối xứng với ∆ABC qua phân giác góc A thì ta có aR1 ≥ cr2+ br3 và dấu bằng xảy ra khi

và chỉ khi P thuộc đường cao vuông góc với B0C”, tức là P ∈ AX trong đó

Hình 1.4: cr1 + ar3

có hai bất đẳng thức nữa:

cr1 + ar3 ≤ bR2, br1 + ar2 ≤ cR3

Tiếp theo, ta có bổ đề quan trọng

Bổ đề 1.2.3 Với mọi điểm P ở trong tam giác ABC, đặt S = SABC, Sp =

diện tích tam giác pedal của P đối với ∆ABC, thì ta có

2 1

2RSp2

Điều kiện có đẳng thức như trong bổ đề 1.2.2

Chứng minh Ký hiệu Sa, Sb, Sc là diện tích tam giác P BC, P CA, P AB,tương ứng Ta cóSa = 12ar1, Sb = 12br2, Sc = 12cr3, Sa+ Sb+ Sc = S, áp dụng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P là trực tâm của ∆ABC Áp dụng bấtđẳng thức (1.14) vào tam giác pedal DEF ta có, hình 1.5

aR12R .r1 +

bR22R.r2 +

cR32R.r3 ≥ 4Sp

Nhận xét 1.2.1 Bất đẳng thức (1.12) cũng có thể được chứng minh dễ dàngbằng bổ đề 1.2.2 và bất đẳng thức (1.2)

Bổ đề 1.2.5 Giả sử P là một điểm trong của tam giác ABC Khi đó:

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P là tâm của ∆ABC

Bất đẳng thức (1.15) đã được phát biểu và chứng minh đầu tiên bởiM.Klamkin (xem[8]) Klamkin chứng minh (1.15) sau khi coi nó như là một

hệ quả của đồng nhất thức Leibnidz Một tác giả Trung quốc đã tổng quáthóa thành bất đẳng thức thành dạng:

Tiếp theo, Jian Liu thông báo (trong [7]) đã chứng minh được kết quả đốivới đa giác: Với đa giác A1A2 An và một điểm tùy ý P ta có:

Bổ đề 1.2.6 Đối với mọi điểm trong P của ∆ABC ta có

4SR21 = b2c2(r22(r22 + r33) + bcr2r3(b2 + c2 − a2) (1.19)Sau đó sử dụng các đồng nhất thức abc = 4SR và ar1 + br2 + cr3 = 2S tanhận được

4S2 R12 + R22 + R23 − 2R(r1 + r2 + r3)
=

= X[b2c2(r22 + r23) + bcr2r3(b2 + c2 − a2)] − abcXar1Xr1 (1.20)trong đó P biểu thị tổng lấy theo vòng tròn (chẳng hạn viết Σar1 tức là

ar1 + br2 + cr3) Bằng biến đổi đại số thích hợp ta có đồng nhất thức:

kéo theo kéo theo (1.18)

Tiếp theo chúng tôi trình bày chi tiết phép chứng minh các bất đẳng thức:1.2.1 Chứng minh bất đẳng thức thứ nhất



(Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi S = 4Sp) Như vậy, bất đẳng thức SaR31+ SbR32 + ScR33 ≤ SR3 được chứng minh Theo điều kiện đẳng thức xảy ratrong (1.11) và (1.3), ta kết luận rằng đẳng thức trong (1.5) xảy ra khi vàchỉ khi P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hệ quả 1.2.1 Ký hiệu ma,mb,mc là 3 trung tuyến của tam giác ABC Khi

Sa, Sb, Sc là ∆GBC, ∆GCA, ∆GAB Nhưng dễ thấy Sa = Sb = Sc = 1

3mc(ma, mb, mc là 3 trung tuyến tam

giác) Bởi vậy (1.5) trở thành m3a + m3b + m3c+ ≤ 81

Nhận xét 1.2.2 Bằng cách áp dụng bất đẳng thức của định lý 1.1 và bấtđẳng thức lũy thừa với trọng số, ta có thể nhận được một tổng quát hóa của

(1.5) như sau:

SaRk1 + SbRk2 + ScR1k ≤ SRk (1.23)trong đó 0 < k ≤ 3 Ngoài ra, bằng cách sử dụng bất đẳng thức Radon, chúng

ta có thể chứng minh được "nếu k < 0 thì bất đẳng thức ngược lại của (1.23)cũng đúng

Nhận xét 1.2.3 Từ bất đẳng thức (1.28) và đẳng thức sau (ta bỏ qua chứngminh của nó)



+ r2c

ac



+ r3a

ba



+ r2c

ac



+ r3a

ba

p ≥ 2 với mọi p,q > 0, dấu bằng xảy

ra khi và chỉ khi p = q, ta nhận được

Hệ quả 1.2.2 Với ký hiệu như quy ước, ta có

Dấu bằng xảy ra khi ABC là tam giác đều và P là tâm của tam giác Đây

là bất đẳng thức Erdo s-Mordell nổi tiếng mà ta sẽ xét đến các biến thể của

nó trong chương sau

1.3 Bất đẳng thức thứ tư

Có một bất đẳng thức hình học có trọng liên quan đến các độ dài đườngphân giác và bán kính của ba đường tròn đi qua điểm trong cho trước củatam giác Từ đó, ta rút ra được một số bất đẳng thức hình học thú vị Trongphần này, chúng tôi ký hiệu thêm bán kính ngoại tiếp và nội tiếp là R và r,còn wa, wb, wc là độ dài của các đường phân giác các góc A, B, C Giả sử P

là điểm trong của tam giác, gọi Ra, Rb, Rc tương ứng là bán kính các đườngtròn (P BC), (P CA), (P AB) Liu trong [6] có dự đoán một bất đẳng thức

Bổ đề 1.3.1 Với mọi các số thực khác không x, y, z ta có

x2sin2A + y2sin2B + z2sin2C ≤ 1

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi điểm (λ1 : λ2 : λ3) đối với tam giác cơ sở

ABC là tâm ngoại tiếp của tam giác

Bây giờ với λ1 = yz

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = c Đặt \BP C = α,\CP A = β,\AP B = γ

với các điều kiện tương tự để có dấu bằng Do đó đối với x, y, z > 0

và áp dụng bổ đề 1.3.1 vào tam giác với các góc α

(1.37) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c và α = β = γ Điều đó nghĩa là

ABC là tam giác đều và P là tâm của nó Cuối cùng, lại theo bổ đề 1.3.1

đẳng thức trong (1.38) xảy ra khi và chỉ khi x2 : y2 : z2 = 1 : 1 : 1, tức là

x = y = z Định lý 1.4 được chứng minh

Tiếp theo, lại từ bất đẳng thức Euler, ta lập tức kết luận được từ định lý1.4 rằng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều, P là tâm của nó

Hệ quả 1.3.2 Với một điểm trong P của tam giác ABC, ta có

RaRbRc ≥ 64

27wawbwc

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều, P là tâm của nó.Chứng minh Điều đó suy ra từ (1.40) bằng cách đặt x = y = z và áp dụngbất đẳng thức AM - GM

1.4 Một số bài toán mở

Vì khuôn khổ luận văn có hạn nên một số suy đoán (chưa khẳng địnhđược đúng sai) sau đây phải để vào mục "Một số bài toán mở" Chúng tôi sẽnghiên cứu chi tiết hơn về các bài toán mở trong một dịp khác Ta đã biếtbất đẳng thức Euler trong tam giác được phát biểu như sau: NếuR, r là bánkính ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác thì

Từ đó ta xét bất đẳng thức mạnh hơn bất đẳng thức trong định lý 1.2 Saukhi được máy tính kiểm tra, J.Liu đưa ra bài toán mạnh hơn như sau:

Bài toán mở 1.1 Đối với bất kỳ điểm trong P tùy ý của ∆ABC, ta có

12rp ≥ √1

có dạng (1.44)) Với sự trợ giúp của máy tính, Jian Liu tìm được giá trị ktối đại xấp xỉ 7,88

Tiếp theo, ta lưu ý rằng đối với tam giác pedalDEF ta cũng có Rp ≥ 2rp.Trước tiên hãy giả sử

mà là bất đẳng thức mạnh hơn (1.43).Từ đó, một bất đẳng thức với mộttham số được xét đến:

Bài toán mở 1.2. Nếu 1.8 ≤ k ≤ 7.8 thì bất đẳng thức

đúng đối với điểm P tùy ý của ∆ABC

Ngoài ra, ta có thể xét đến bài toán sau:

Bài toán 1.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của k sao cho bất đẳngthức(1.46) đúng với điểm trong P tùy ý của ∆ABC

Đẳng thức này chưa bao giờ được chứng minh Jian Liu cho rằng nó có dạngtổng quát hóa theo lũy thừa như sau:

Bài toán 1.3 Nếu k ≥ 3

Rk p

rk p

rk + 4

k

đúng đối với điểm trong P tùy ý của ∆ABC

Khả năng một bất đẳng thức tương tự (1.49) đúng đối với tam giác Ce0va(tam giác LM N tạo bởi L = AP ∩ BC, M = BP ∩ CA, N = CP ∩ AB)

Do đó có thể có bài toán sau:

Bài toán 1.5 Giả sửP là điểm trong của tam giác ABC Tam giác LM N

là tam giác Ce0va của P đối với ∆ABC và Rq, rq là bán kính ngoại tiếp, bánkính nội tiếp của nó

Nếu k ≥ 1

2, k ∈ R thì bất đẳng thức sau là đúng

1

Rk p

rk p

rk + 4

k

Tổng quát hóa định lý 1.3 có thể có kết quả như sau

Bài toán 1.6 Nếu k ∈ R+ thì

Rk1 + Rk2 + R3k− (rk1 + rk1 + rk1) ≥ 3.2k(2k − 1)rpk (1.51)đúng với mọi điểm trong P của tam giác ABC

Chương 1 trình bày 4 bất đẳng thức chính sinh ra từ một điểm P trongtam giác cho trước Các bất đẳng thức này liên quan đến các bán kính ngoạitiếp, diện tích các tam giác nhỏ, tam giác pedal của điểm P Ngoài ra từcác kết quả này ta còn suy ra được khá nhiều các bất đẳng thức khác liênquan đến một điểm trong của tam giác