Tìm hiểu nội dung cơ bản và các ứngdụng của khái niệm "tam giác trực giao" là lý do chọn đề tài Quan hệtrực giao của các tam giác và ứng dụng của tôi.Mục đích chính của đề tài là:- Tìm h
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– Nguyễn Thị Hằng QUAN HỆ TRỰC GIAO CỦA CÁC TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THÁI NGUYÊN 2023 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– Nguyễn Thị Hằng QUAN HỆ TRỰC GIAO CỦA CÁC TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN 2023 i Danh mục hình 1.1 ∆A1B1C1 trực giao với ∆ABC 6 1.2 ∆ABC và ∆A′1B1C1 không trực giao 6 1.3 Tam giác tiếp xúc, tam giác đối tiếp xúc 8 1.4 Tam giác trung điểm hay tam giác bù 8 1.5 Tam giác đối trung điểm của ∆ABC 10 1.6 Tam giác trực tâm trong 2 trường hợp 11 1.7 Tam giác trung điểm và tam giác trực tâm 12 1.8 Điều kiện cần và đủ 1.2 14 1.9 Định lý về tam giác trực giao 16 1.10 Cách chứng minh thứ ba 17 1.11 Cách chứng minh thứ tư 18 1.12 Cách chứng minh thứ năm 19 1.13 Cách chứng minh thứ sáu 21 1.14 Tam giác tiếp tuyến và tam giác trung điểm 22 1.15 Tam giác đối tiếp 24 1.16 Tam bàng tiếp và điểm Bevan Ω 26 1.17 Tam giác ABC và tam giác I−Ce′va vòng 27 1.18 Tam giác I−Ce′va vòng và tam giác tiếp xúc 28 1.19 ∆FAFBFC là tam giác Fuhrmann của ∆ABC 29 1.20 ∆OaObOc là tam giác Carnot ∆ABC 30 1.21 ∆OaObOc trực giao với ∆FAFBFC 31 2.1 X, Y, Z thẳng hàng 34 2.2 B, E, F, C đồng viên 35 ii 2.3 △O1O2O3 và △DEF trực giao, tâm K và L 36 2.4 W P ⊥XY 37 2.5 △ABC và △A′B′C′ trực giao với tâm chung 38 2.6 OX⊥AA′, OY ⊥BB′, OZ⊥CC′ 39 2.7 Tam giác tiếp tuyến của △ABC 41 2.8 Tam giác A-đối tiếp xúc liên hợp của △ABC 42 2.9 Tam giác ABC và tam giác Kosnita trực giao 43 2.10 Tam giác song trực giao 45 2.11 Định lý C Cocea 47 2.12 △ABC và △A1B1C1 đồng dạng nghịch 48 3.1 Tam giác ABC và tam giác A1B1C1 trực giao 51 3.2 Cách 2: A1A′, B1B′, C1C′ đồng quy tại Ω 52 3.3 (A1B1C1) là đường thẳng Simson-Wallace 53 3.4 Định lý đảo của định lý Simson-Wallace 54 3.5 A1B1C1 ∥ AM ′ 55 3.6 M1A ⊥ M1′A 56 3.7 Đường thẳng Simson-Wallace đi qua M0 57 3.8 National Mathematical Olympiad, grade 9, 2014 58 3.9 Middle European MO, Team Competition, 2012 59 3.10 National Mathematics Olympiad, Brazil, 2009 60 3.11 The National Mathematical Olympiad, local stage, 2003 62 3.12 I Shariguin, Collection of problems, Problem II.17 63 iii Mục lục Mở đầu 1 1 Hai tam giác trực giao 5 1.1 Định nghĩa và các ví dụ 5 1.2 Đặc trưng của quan hệ trực giao 12 1.2.1 Các điều kiện cần và đủ 13 1.2.2 Một số cặp tam giác trực giao khác 24 2 Hai tam giác trực giao với tâm trực giao chung 32 2.1 Các tính chất về tâm trực giao chung 32 2.2 Các ví dụ 40 2.3 Sơ lược về quan hệ song trực giao 44 3 Một số vấn đề liên quan và ứng dụng 50 3.1 Quan hệ trực giao của tam giác suy biến 50 3.1.1 Tam giác suy biến 50 3.1.2 Đường thẳng Simson-Wallace 52 3.2 Một số bài toán thi Olympic Toán 57 Tài liệu tham khảo 66 iv Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của hai thầy giáo PGS.TS Nguyễn Việt Hải và PGS.TS Nông Quốc Chinh Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến hai thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán trường Đại học Khoa học - ĐHTN, các thầy, cô giáo đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập tại đây Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu và các đồng nghiệp của tôi ở trường THCS Kỳ Sơn - Hải Phòng đã động viên, giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận văn này Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình đã luôn động viên, khích lệ, giúp đỡ và tạo điều tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu Tác giả Nguyễn Thị Hằng 1 Mở đầu 1 Mục đích của đề tài luận văn Khái niệm "tam giác trực giao" ít được đề cập tới trong các tài liệu về hình học sơ cấp Đề tài này sẽ hệ thống và đi sâu nghiên cứu quan hệ trực giao của các tam giác, trình bày các ví dụ, các điều kiện cần và đủ để 2 tam giác trực giao Bài toán tìm tâm trực giao của 2 tam giác trực giao xuất hiện nhiều sự kiện bất ngờ, thú vị Gần đây nhóm các nhà toán học người Romania và người Mexico đã xuất bản cuốn sách "The Geometry of the Orthological Triangles, 2020, xem [4]" (Hình học các tam giác trực giao) nói về các tam giác trực giao với nhiều khả năng khác nhau Cuốn sách đó đã làm cho đề tài "tam giác trực giao" trở nên có tính thời sự và có nhiều bài toán mở được đặt ra Tìm hiểu nội dung cơ bản và các ứng dụng của khái niệm "tam giác trực giao" là lý do chọn đề tài Quan hệ trực giao của các tam giác và ứng dụng của tôi Mục đích chính của đề tài là: - Tìm hiểu và trình bày các loại tam giác xuất phát từ tam giác ABC cho trước: từ tam giác tiếp xúc, đối tiếp xúc, tam giác tiếp tuyến, đến tam giác Carnot, tam giác Kosnita Tất cả đều có quan hệ trực giao với tam giác đã cho hoặc có quan hệ trực giao với nhau - Chứng minh một số kết quả về điều kiện cần và đủ để hai tam giác trực giao Giải quyết một số bài toán tìm tâm trực giao thứ hai trong những trường hợp ít gặp hoặc áp dụng vào các trường hợp suy biến Hệ thống và bổ sung các bài toán thi Olympic toán có sử dụng khái niệm "tam giác trực giao" - Bồi dưỡng năng lực dạy các chuyên đề khó ở trường THCS và THPT 2 góp phần đào tạo những học sinh có tư duy tốt về hình học 2 Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết Đề tài được tham khảo chủ yếu trong [2], [3] và [4] Nhiệm vụ của tác giả luận văn là chọn lọc, hệ thống và chi tiết hoá các phép chứng minh, tìm cách chứng minh khác và tìm thêm các ví dụ điển hình Nội dung luận văn chia làm 3 chương: Chương 1 Hai tam giác trực giao Chương này giới thiệu định nghĩa và ví dụ về các cặp tam giác trực giao Việc chứng minh các cặp tam giác cụ thể trực giao, đồng thời dựng các tâm trực giao của chúng là các bài toán hình học có ích Các định lý về điều kiện cần và đủ để hai tam giác trực giao được trình bày theo nhiều cách, thể hiện ưu thế của mỗi phương pháp hình học hay đại số được áp dụng Nội dung chương này được tham khảo chính trong [3] và [4] bao gồm các phần sau: 1.1 Định nghĩa và các tính chất 1.2 Đặc trưng của quan hệ trực giao Chương 2 Hai tam giác trực giao với tâm trực giao chung Chương này trình bày các trường hợp đặc biệt của hai tam giác trực giao: khi tâm trực giao trùng nhau hoặc hai tam giác có quan hệ song trực giao, Các định lý về điều kiện cần và đủ được chứng minh chi tiết bằng các phép chứng minh phong phú Nội dung bao gồm các mục sau: 2.1 Các tính chất của tâm trực giao chung 2.2 Các ví dụ 2.3 Sơ lược về quan hệ song trực giao 3 Chương 3 Một số ứng dụng Chương ba dành cho trường hợp một trong hai tam giác suy biến thành đường thẳng Lúc này xuất hiện định lý Simson sau khi coi đường thẳng Simson là một trong hai tam giác trực giao Ngoài ra đề tài tham khảo một số bài toán thi Olympic có sử dụng tam giác trực giao hoặc các định lý về tam giác trực giao trong lời giải Nội dung chương 3 gồm: 3.1 Quan hệ trực giao của tam giác suy biến 3.2 Một số bài toán thi Olympic toán 4 MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Stt Ký hiệu Nội dung ký hiệu Trang 1 ∆A1B1C1 Tam giác trung điểm 5 2 ∆CaCbCc Tam giác tiếp xúc 7 3 ∆A3B3C3 Tam giác đối trung điểm 9 4 ∆JaJbJc Tam giác đối tiếp xúc 9 5 ∆A2B2C2 Tam giác trực tâm 10 6 H, G Trực tâm và trọng tâm ∆ABC 10 7 I, O Tâm nội tiếp và tâm ngoại tiếp ∆ABC 11 8 O9 Tâm đường tròn chín điểm (Euler) 12 9 ∆DaDbDc Tam giác tiếp tuyến 22 10 ∆IaIbIc Tam giác bàng tiếp (của tam giác ABC) 26 11 ∆FaFbFc Tam giác Fuhrmann 29 12 ∆OaObOc Tam giác Carnot 30 13 ∆KaKbKc Tam giác Kosnita 43 14 15 16 17 18