Quan hệ trực giao của các tam giác và ứng dụng

Tìm hiểu nội dung cơ bản và các ứngdụng của khái niệm "tam giác trực giao" là lý do chọn đề tài Quan hệtrực giao của các tam giác và ứng dụng của tôi.Mục đích chính của đề tài là:- Tìm h

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TẬP THỂ GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪNPGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢIPGS.TS NÔNG QUỐC CHINH

THÁI NGUYÊN 2023

Danh mục hình

1.1 ∆A1B1C1 trực giao với ∆ABC 6

1.2 ∆ABC và ∆A′1B1C1 không trực giao 6

1.3 Tam giác tiếp xúc, tam giác đối tiếp xúc 8

1.4 Tam giác trung điểm hay tam giác bù 8

1.5 Tam giác đối trung điểm của ∆ABC 10

1.6 Tam giác trực tâm trong 2 trường hợp 11

1.7 Tam giác trung điểm và tam giác trực tâm 12

1.8 Điều kiện cần và đủ 1.2 14

1.9 Định lý về tam giác trực giao 16

1.10 Cách chứng minh thứ ba 17

1.11 Cách chứng minh thứ tư 18

1.12 Cách chứng minh thứ năm 19

1.13 Cách chứng minh thứ sáu 21

1.14 Tam giác tiếp tuyến và tam giác trung điểm 22

1.15 Tam giác đối tiếp 24

1.16 Tam bàng tiếp và điểm Bevan Ω 26

1.17 Tam giác ABC và tam giác I− Ce′va vòng 27

1.18 Tam giác I− Ce′va vòng và tam giác tiếp xúc 28

1.19 ∆FAFBFC là tam giác Fuhrmann của ∆ABC 29

1.20 ∆OaObOc là tam giác Carnot ∆ABC 30

1.21 ∆OaObOc trực giao với ∆FAFBFC 31

2.1 X, Y, Z thẳng hàng 34

2.2 B, E, F, C đồng viên 35

2.3 △O1O2O3 và △DEF trực giao, tâm K và L 36

2.4 W P ⊥XY 37

2.5 △ABC và △A′B′C′ trực giao với tâm chung 38

2.6 OX⊥AA′, OY ⊥BB′, OZ⊥CC′ 39

2.7 Tam giác tiếp tuyến của △ABC 41

2.8 Tam giác A -đối tiếp xúc liên hợp của △ABC 42

2.9 Tam giác ABC và tam giác Kosnita trực giao 43

2.10 Tam giác song trực giao 45

2.11 Định lý C Cocea 47

2.12 △ABC và △A1B1C1 đồng dạng nghịch 48

3.1 Tam giác ABC và tam giác A1B1C1 trực giao 51

3.2 Cách 2: A1A′, B1B′, C1C′ đồng quy tại Ω 52

3.3 (A1B1C1) là đường thẳng Simson-Wallace 53

3.4 Định lý đảo của định lý Simson-Wallace 54

3.5 A1B1C1 ∥ AM′ 55

3.6 M1A ⊥ M1′A 56

3.7 Đường thẳng Simson-Wallace đi qua M0 57

3.8 National Mathematical Olympiad, grade 9, 2014 58

3.9 Middle European MO, Team Competition, 2012 59

3.10 National Mathematics Olympiad, Brazil, 2009 60 3.11 The National Mathematical Olympiad, local stage, 2003 62 3.12 I Shariguin, Collection of problems, Problem II.17 63

Mục lục

1.1 Định nghĩa và các ví dụ 5

1.2 Đặc trưng của quan hệ trực giao 12

1.2.1 Các điều kiện cần và đủ 13

1.2.2 Một số cặp tam giác trực giao khác 24

2 Hai tam giác trực giao với tâm trực giao chung 32 2.1 Các tính chất về tâm trực giao chung 32

2.2 Các ví dụ 40

2.3 Sơ lược về quan hệ song trực giao 44

3 Một số vấn đề liên quan và ứng dụng 50 3.1 Quan hệ trực giao của tam giác suy biến 50

3.1.1 Tam giác suy biến 50

3.1.2 Đường thẳng Simson-Wallace 52

3.2 Một số bài toán thi Olympic Toán 57

Lời cảm ơnLuận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêmkhắc của hai thầy giáo PGS.TS Nguyễn Việt Hải và PGS.TS Nông QuốcChinh Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến hai thầy.Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán trường Đại họcKhoa học - ĐHTN, các thầy, cô giáo đã trang bị kiến thức, tạo điều kiệnthuận lợi cho tôi trong thời gian học tập tại đây

Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu và các đồng nghiệp của tôi

ở trường THCS Kỳ Sơn - Hải Phòng đã động viên, giúp đỡ tôi rất nhiềutrong quá trình hoàn thành luận văn này

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình đã luôn độngviên, khích lệ, giúp đỡ và tạo điều tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiêncứu

Tác giảNguyễn Thị Hằng

Mở đầu

1 Mục đích của đề tài luận văn

Khái niệm "tam giác trực giao" ít được đề cập tới trong các tài liệu

về hình học sơ cấp Đề tài này sẽ hệ thống và đi sâu nghiên cứu quan hệtrực giao của các tam giác, trình bày các ví dụ, các điều kiện cần và đủ để

2 tam giác trực giao Bài toán tìm tâm trực giao của 2 tam giác trực giaoxuất hiện nhiều sự kiện bất ngờ, thú vị Gần đây nhóm các nhà toán họcngười Romania và người Mexico đã xuất bản cuốn sách "The Geometry

of the Orthological Triangles, 2020, xem [4]" (Hình học các tam giác trựcgiao) nói về các tam giác trực giao với nhiều khả năng khác nhau Cuốnsách đó đã làm cho đề tài "tam giác trực giao" trở nên có tính thời sự và

có nhiều bài toán mở được đặt ra Tìm hiểu nội dung cơ bản và các ứngdụng của khái niệm "tam giác trực giao" là lý do chọn đề tài Quan hệtrực giao của các tam giác và ứng dụng của tôi

Mục đích chính của đề tài là:

- Tìm hiểu và trình bày các loại tam giác xuất phát từ tam giác ABC

cho trước: từ tam giác tiếp xúc, đối tiếp xúc, tam giác tiếp tuyến, đếntam giác Carnot, tam giác Kosnita Tất cả đều có quan hệ trực giao vớitam giác đã cho hoặc có quan hệ trực giao với nhau

- Chứng minh một số kết quả về điều kiện cần và đủ để hai tam giáctrực giao Giải quyết một số bài toán tìm tâm trực giao thứ hai trongnhững trường hợp ít gặp hoặc áp dụng vào các trường hợp suy biến Hệthống và bổ sung các bài toán thi Olympic toán có sử dụng khái niệm

"tam giác trực giao"

- Bồi dưỡng năng lực dạy các chuyên đề khó ở trường THCS và THPT

góp phần đào tạo những học sinh có tư duy tốt về hình học

2 Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết

Đề tài được tham khảo chủ yếu trong [2], [3] và [4] Nhiệm vụ củatác giả luận văn là chọn lọc, hệ thống và chi tiết hoá các phép chứng minh,tìm cách chứng minh khác và tìm thêm các ví dụ điển hình Nội dung luậnvăn chia làm 3 chương:

Chương 1 Hai tam giác trực giao

Chương này giới thiệu định nghĩa và ví dụ về các cặp tam giác trựcgiao Việc chứng minh các cặp tam giác cụ thể trực giao, đồng thời dựngcác tâm trực giao của chúng là các bài toán hình học có ích Các định lý

về điều kiện cần và đủ để hai tam giác trực giao được trình bày theo nhiềucách, thể hiện ưu thế của mỗi phương pháp hình học hay đại số được ápdụng Nội dung chương này được tham khảo chính trong [3] và [4] bao gồmcác phần sau:

1.1 Định nghĩa và các tính chất

1.2 Đặc trưng của quan hệ trực giao

Chương 2 Hai tam giác trực giao với tâm trực giao chung

Chương này trình bày các trường hợp đặc biệt của hai tam giác trựcgiao: khi tâm trực giao trùng nhau hoặc hai tam giác có quan hệ song trựcgiao, Các định lý về điều kiện cần và đủ được chứng minh chi tiết bằngcác phép chứng minh phong phú Nội dung bao gồm các mục sau:

2.1 Các tính chất của tâm trực giao chung

2.2 Các ví dụ

2.3 Sơ lược về quan hệ song trực giao

Chương 3 Một số ứng dụng

Chương ba dành cho trường hợp một trong hai tam giác suy biếnthành đường thẳng Lúc này xuất hiện định lý Simson sau khi coi đườngthẳng Simson là một trong hai tam giác trực giao Ngoài ra đề tài thamkhảo một số bài toán thi Olympic có sử dụng tam giác trực giao hoặc cácđịnh lý về tam giác trực giao trong lời giải Nội dung chương 3 gồm:3.1 Quan hệ trực giao của tam giác suy biến

3.2 Một số bài toán thi Olympic toán

MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN

Stt Ký hiệu Nội dung ký hiệu Trang

1 ∆A1B1C1 Tam giác trung điểm 5

2 ∆CaCbCc Tam giác tiếp xúc 7

3 ∆A3B3C3 Tam giác đối trung điểm 9

4 ∆JaJbJc Tam giác đối tiếp xúc 9

5 ∆A2B2C2 Tam giác trực tâm 10

6 H, G Trực tâm và trọng tâm ∆ABC 10

7 I, O Tâm nội tiếp và tâm ngoại tiếp ∆ABC 11

8 O9 Tâm đường tròn chín điểm (Euler) 12

9 ∆DaDbDc Tam giác tiếp tuyến 22

10 ∆IaIbIc Tam giác bàng tiếp (của tam giác ABC) 26

11 ∆FaFbFc Tam giác Fuhrmann 29

12 ∆OaObOc Tam giác Carnot 30

13 ∆KaKbKc Tam giác Kosnita 4314

15

16

17

18

Chương 1

Hai tam giác trực giao

Nội dung chương này được tham khảo chính trong [4], xuất bản năm

2020, công trình của hai nhà toán học: một là Ion Patrascu-người Romania,hai là Florentin Smaradache

1.1 Định nghĩa và các ví dụ

Cho tam giác ABC và P là một điểm trong mặt phẳng tam giác Từ

P ta kẻ các đường thẳng a1, b1, c1 lần lượt vuông góc với BC, CA, AB.Trên các đường thẳng này, ta xét các điểm A1, B1, C1 sao cho chúng khôngthẳng hàng Ta nhận được ∆A1B1C1 là tam giác có quan hệ "trực giao"với ∆ABC, tất nhiên có vô số tam giác A1B1C1 như vậy các đỉnh tươngứng thuộc a1, b1, c1 Khái niệm "trực giao của hai tam giác" được địnhnghĩa chính xác như sau

Định nghĩa 1.1 Ta nói ∆A1B1C1 trực giao với ∆ABC (theo thứ tự đó)nếu 3 đường vuông góc hạ từ A1, B1, C1 lần lượt xuống BC, CA, AB, đồngquy tại một điểm P Điểm P được gọi tâm trực giao của tam giác A1B1C1

trong quan hệ trực giao với tam giác ABC, hình 1.1

Nhận xét 1.1.1 Từ định nghĩa ta có các khẳng định sau:

(i) Cho trước tam giác ABC ta có thể dựng được vô số tam giác AnBnCn

sao cho ∆AnBnCn trực giao với ∆ABC, n ∈ N

(ii) Tồn tại tam giác A′B′C′ không trực giao với tam giác ABC

Hình 1.1: ∆A1B1C1 trực giao với ∆ABC

Hình 1.2: ∆ABC và ∆A′1B 1 C 1 không trực giao

Trên hình 1.2 hai tam giác A1B1C1 và ABC vị tự Dễ thấy ∆A1B1C1

trực giao với ∆ABC, hai tâm trực giao là 2 trực tâm H, H1 của chúng.Cũng trên hình 1.2, hai tam giác ABC và A′1B1C1 có BC ∥ B1C1, AB ∥

A1B1 còn AC không song song A′1C1, sẽ không trực giao

Định nghĩa 1.2 Khi ∆A1B1C1 trực giao với ∆ABC, tâm trực giao P1

được gọi là tâm trực giao thứ nhất và khi ∆ABC trực giao với ∆A1B1C1,tâm trực giao P2 được gọi là tâm trực giao thứ hai

Lưu ý ngay rằng định lý 1.1 của Steiner (định lý tam giác trực giao)được chứng minh ở phần sau, khẳng định được "nếu ∆A1B1C1 trực giaovới ∆ABC thì chắc chắn ∆ABC cũng trực giao với ∆A1B1C1" Như vậy,hai tam giác có quan hệ trực giao sẽ cho ta tâm trực giao thứ nhất và tâmtrực giao thứ hai (hai tâm này có thể trùng nhau)

Định nghĩa 1.3 Nếu 2 tam giác trực giao có 2 tâm trực giao phân biệt

P1, P2 thì đường thẳng P1P2 được gọi là trục trực giao của hai tam giác

Ta lần lượt xét các ví dụ về các cặp tam giác trực giao, đồng thờinhân đây giới thiệu về một số tam giác ít gặp nhưng chúng lại có nhữngtính chất khá đặc biệt Đó là các tam giác: Tam giác tiếp xúc, tam giáctiếp tuyến, tam giác trung điểm, tam giác trực tâm,

Ví dụ 1.1.1 Tam giác tiếp xúc của tam giác ABC

Tam giác tiếp xúc (contact triangle) của ∆ABC là tam giác mà cácđỉnh là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh tam giác Trên hình1.3, tam giác tiếp xúc được ký hiệu là ∆CaCbCc

Mệnh đề 1.1.1 Tam giác ABC và tam giác tiếp xúc của nó trực giaovới tâm trực giao chung

Chứng minh Ký hiệu ∆CaCbCc là tam giác tiếp xúc Các tiếp tuyến

ACb, ACc vẽ từAđến đường tròn nội tiếp, bằng nhau Do đó, đường vuônggóc hạ từ A xuống CbCc là phân giác góc \BAC và hiểu nhiên đi qua I.Tương tự như vậy, các đường vuông góc hạ từ B, C xuống CcCa, CaCb làphân giác các góc \ABC,BCA\ và hiển nhiên đi qua I Do đó ∆ABC trựcgiao với ∆CaCbCc, tâm trực giao của ∆ABC là I Đoạn thẳng vuông góc

hạ từ Ca xuống BC là bán kính của đường tròn nội tiếp, nó chứa tâm I

của đường tròn nội tiếp Cũng như vậy đối với 2 đoạn thẳng vuông góc

Hình 1.3: Tam giác tiếp xúc, tam giác đối tiếp xúc

Hình 1.4: Tam giác trung điểm hay tam giác bù

hạ từ Cb, Cc tương ứng xuống CA, AB, tâm trực giao của ∆CaCbCc cũng

là I Như vậy ∆CaCbCc trực giao với ∆ABC và ∆ABC trực giao với

∆CaCbCc, 2 tâm trực giao trùng nhau

Ví dụ 1.1.2 Tam giác đối tiếp của tam giác ABC

Tam giác đối tiếp (cotangent triangle) của ∆ABC là tam giác mà cácđỉnh là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp với các cạnh tương ứng củatam giác Trên hình 1.3, tam giác đối tiếp được ký hiệu là ∆JaJbJc Tamgiác đối tiếp và tam giác ABC cũng trực giao, ta sẽ chứng minh kết quảnày ở phần sau

Ví dụ 1.1.3 Tam giác trung điểm của tam giác ABC

Tam giác trung điểm (còn gọi là tam giác bù) của tam giác ABC làtam giác mà các đỉnh là trung điểm các cạnh của ∆ABC Trên hình 1.3,tam giác trung điểm ký hiệu là ∆A1B1C1

Mệnh đề 1.1.2 Tam giác trung điểm ∆ABC trực giao với ∆ABC.Chứng minh Ký hiệu ∆A1B1C1 là tam giác trung điểm của tam giác

ABC, hình 1.4 Ta có OA1⊥BC, OB1⊥AC, OC1⊥AB suy ra ∆A1B1C1

trực giao với ∆ABC và O là tâm trực giao của ∆A1B1C1 trong quan hệtrực giao với tam giác ABC

Lại có AH ⊥ B1C1, BH ⊥ A1C1, CH ⊥ A1C1 nên ∆ABC trực giaovới ∆A1B1C1 tâm trực giao là H Đây là tâm trực giao thứ hai, đườngthẳng OH (đường thẳng Euler) là trục trực giao

Ví dụ 1.1.4 Tam giác đối trung điểm hay tam giác đối bù

Tam giác đối trung điểm của tam giác ABC là tam giác xác định bởicác đường thẳng qua đỉnh, song song với cạnh đối diện trong∆ABC Trênhình 1.5, tam giác đối trung điểm được ký hiệu là ∆A3B3C3

Mệnh đề 1.1.3 Tam giác đối trung điểm của ∆ABC trực giao với

∆ABC

Chứng minh Trên hình 1.5 gọiH3 là trực tâm của tam giác đối trung điểm

∆A3B3C3 Dễ thấyH3B3 ⊥ AC, H3A3 ⊥ BC, H3C3 ⊥ AB nên ∆A3B3C3

trực giao với ∆ABC và H3 là tâm trực giao của ∆A3B3C3

Hình 1.5: Tam giác đối trung điểm của ∆ABC

Gọi O3 là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆A3B3C3 Ta có

O3A ⊥ B3C3, O3B ⊥ C3A3, O3C ⊥ A3B3

nên ∆ABC trực giao với tam giác đối trung điểm của nó và O3 là tâmtrực giao của ∆ABC

Ví dụ 1.1.5 Tam giác trực tâm của tam giác ABC

Nhắc lại rằng tam giác A2B2C2 với A2, B2, C2 là chân các đường cao điqua các đỉnh A, B, C tương ứng của tam giác ABC, được gọi là tam giáctrực tâm của ∆ABC Tam giác trực tâm còn có tên gọi là tam giác pedalcủa trực tâm H hay tam giác H-Ce′va

Mệnh đề 1.1.4 Tam giác trực tâm của ∆ABC trực giao với ∆ABC.Chứng minh Gọi H là trực tâm ∆ABC Ta xét các trường hợp ứng với

H ở trong tam giác và H không ở trong tam giác:

a) Xét trường hợp ABC cho trước là tam giác nhọn, hình 1.6 a) Hiểnnhiên A2H ⊥ BC, B2H ⊥ AC, C2H ⊥ AB nên ∆A2B2C2 trực giao với

∆ABC, tâm trực giao của ∆A2B2C2 là H

Nhận xét rằng tiếp tuyến At của (ABC) tại A song song với B2C2 do

\

AC2B2 = ACB\= góc tạo bởi At và dây AB Từ đó, đường vuông góc hạ

từ A xuống B2C2 cũng là đường vuông góc với tiếp tuyến At của đườngtròn ngoại tiếp, do đó nó đi qua O Tương tự, đường vuông góc hạ từ B, C

Hình 1.6: Tam giác trực tâm trong 2 trường hợp

xuống A2C2, A2B2 (tương ứng) cũng đều qua O Vậy O là tâm trực giaocủa ∆ABC

b) Trường hợp tam giác ABC tù, trực tâm H ở ngoài tam giác, hình1.6 b) chứng minh tương tự

c) Trường hợp ABC là tam giác vuông, chẳng hạn góc Avuông Lúc đótrực tâmH ≡ A, tam giác trực tâm suy biến thành đoạn thẳngAA2 ⊥ BC

tâm trực giao là điểm vô tận

Tóm lại, ∆A2B2C2 trực giao với ∆ABC, tâm trực giao là H; ∆ABC

trực giao với ∆A2B2C2, tâm trực giao là O Trục trực giao là đường thẳng

OH Lưu ý rằng O và H là 2 điểm liên hợp đẳng giác

Mệnh đề 1.1.5 Tam giác trực tâm và tam giác trung điểm của tam giác

ABC thì trực giao Hai tâm trực giao là trực tâm H và tâm chín điểm O9

của tam giác ABC

Chứng minh Ký hiệu∆A1B1C1, ∆A2B2C2 lần lượt là tam giác trung điểm

và tam giác trực tâm của tam giácABC VìB1C1 ∥ BC nên đường vuônggóc hạ từ A2 xuống B1C1 trùng với đường cao AA2 của ∆ABC Tương

Hình 1.7: Tam giác trung điểm và tam giác trực tâm

tự như vậy đối với các đường vuông góc hạ từ B2, C2 tương ứng xuống

A1C1, B1A1 Ba đường thẳng này đồng quy tại H do đó ∆A2B2C2 trựcgiao với ∆A1B1C1, tâm trực giao (thứ nhất) là H

Gọi E1, E2, E3 lần lượt là trung điểm của AH, BH, CH (3 điểm ler) Ta có A1E1 là đường kính của đường tròn chín điểm Mặt khác,

Eu-B1A1 = C2A1 = 12BC (trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông)

và A\1B2E1 = A\1C2E1 = 1υ nên ∆A1B2E1 = ∆A1C2E1 Từ đó E1B2 =

E1C2, nghĩa là A1E1 là trung trực của đoạn thẳng B2C2 Tương tự nhưvậy đối vớiB1E2, C1E3 Các đường thẳng này đồng quy tại O9-tâm đườngtròn chín điểm của ∆ABC, đó là tâm trực giao thứ hai

1.2 Đặc trưng của quan hệ trực giao

Trên mặt phẳng cho tam giác ABC, ta ký hiệu HABC là tập hợp tất cảcác tam giác trực giao với ∆ABC Ta đặt vấn đề tìm các đặc trưng củaquan hệ trực giao trên tập hợp HABC

1.2.1 Các điều kiện cần và đủ

Điều kiện cần và đủ 1.1 (L Carnot,) Giả sử A1, B1, C1 tương ứng nằmtrên cạnh BC, CA, AB Khi đó các đường thẳng đi qua A1, B1, C1 lần lượtvuông góc với BC, CA, AB sẽ đồng quy tại điểm P khi và chỉ khi có hệthức sau:

A1B2 − A1C2 + B1C2 − B1A2 + C1A2 − C1B2 = 0 (1.1)Chứng minh Giả sử 3 đường thẳng qua A1, B1, C1 lần lượt vuông góc với

BC, CA, AB đồng quy tại điểm P, hình 1.8 Áp dụng định lý Pythagorevào các tam giác P A1B, P A1C ta có P B2 = P A21 + A1C2

Trừ vế với vế ta được

P B2 − P C2 = A1B2 − A1C2, tương tự,

P C2 − P A2 = B1C2 − C1B2,

P A2 − AB2 = C1A2 − C1B2

Cộng các đẳng thức vế với vế ta có điều phải chứng minh

Đảo lại, giả sử ta có hệ thức (1.1) ta đi chứng minh các đường thẳngvuông góc hạ từ A1, B1, C1 tương ứng xuống BC, CA, AB, đồng quy Gọi

P là giao của 2 đường thẳng vuông góc xuống BC, và CA, C1′ là hìnhchiếu của P xuống AB Theo chứng minh điều kiện cần ở trên ta có

A1B2 − A1C2 + B1C2 − B1A2 + C1′A2 − C1′B2 = 0 (1.2)

Hệ thức này và hệ thức (1.1) kéo theo:

C1A2 − C1B2 = C1′ − C1′B2 (1.3)

Ta chứng minh (1.3) đúng khi và chỉ khi C1 ≡ C1′

Thật vậy, giả sử C1 ∈ (AB) và B ∈ (AC1′) và xảy ra hệ thức (1.3) Tanhận được:

(C1A − C1B)(C1A + C1B) = (C1′A − C1′B)(C1′A + C1′B) (1.4)

VìC1A+C1B = AB vàC1′A+C1′B = AB, nên từ (1.4) ta cóC1A−C1B =

C1′A − C1′B, vô lý

Hình 1.8: Điều kiện cần và đủ 1.2

Tương tự, ta cũng chứng minh được hệ thức (1.4) không thoả mãn khigiả thiết C1, C1′ bị tách bởi các điểm A hoặc B Nếu chẳng hạn, C1, C1′ ∈(AB)thì hệ thức (1.4) dẫn tới C1A = C1′A, mà điều này kéo theoC1 ≡ C1′

Ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 1.2.1 Ta có các nhận xét sau

a) Các điểm A1, B1, C1 trong giả thiết có thể thẳng hàng

b) Nếu các điểm A1, B1, C1 không thẳng hàng thì điều kiện (1.1) biểuthị điều kiện cần và đủ để ∆ABC trực giao với ∆A1B1C1, tâm trực giao

A′B2 − A′C2 + B′C2 − B′A2 + C′A2 − C′B2 = 0 (1.6)

Nhưng A′B2 − A′C2 = A1B2 − A1C2 (định lý Pythagore) Tương tự,

B′C2 − B′A2 = B1C2 − B1A2 và C′A2 − C′B2 = C1A2 − C1B2 Cộng vếvới vế các đẳng thức trên, ta có hệ thức (1.5)

Đảo lại, xét ∆A1B1C1 và ∆ABC sao cho hệ thức (1.5) được thoả mãn

Ta chứng minh ∆A1B1C1 trực giao với ∆ABC Từ định lý Pythagore và

hệ thức (1.5) suy ra

A′C2 − A′B2 + B1C2 − B1A2 + C′A2 − C′B2 = 0

Theo định lý 1.2 ta có các đường vuông góc kẻ từ A′, B′, C′ tương ứngxuốngBC, CA, AB (chúng sẵn đi quaA1, B1, C1), đồng quy, do đó∆A1B1C1

trực giao với ∆ABC theo định nghĩa

Điều kiện cần và đủ 1.3 [4], ∆A1B1C1 trực giao với ∆ABC khi và chỉkhi với mọi điểm M ta có

−−−→

M C1.−→

AB = 0, chứng tỏ M C1 ⊥ AB Ta suy ra ∆A1B1C1 trực giao với

∆ABC, tâm trực giao là P

Nhận xét 1.2.2 Từ điều kiện cần và đủ 1.3 ta thấy rằng để chứng minh

∆A1B1C1 trực giao với ∆ABC chỉ cần chỉ ra tồn tại một điểm M trongmặt phẳng sao cho hệ thức 1.7 thoả mãn

Hình 1.9: Định lý về tam giác trực giao

Sau đây là một tính chất quan trọng trong quan hệ trực giao của haitam giác Tính chất này nói rằng: Quan hệ trực giao trong tập hợp cáctam giác có tính chất phản xạ Người ta thường gọi tính chất này là định

lý tam giác trực giao

Định lý 1.1 (J.Steiner,[4]), Nếu ∆A1B1C1 trực giao với ∆ABC thì

∆ABC cũng trực giao với ∆A1B1C1

Chứng minh Có nhiều cách chứng minh định lý

Cách 1 (Dựa vào điều kiện cần và đủ 1.2), Giả sử ∆A1B1C1 trực giao với

∆ABC Ta có hệ thức 1.4 Nhận thấy hệ thức 1.4 có tính đối xứng nên ta

có thể viết

AB12 + BC12 + CA21 = AC12 + BA21 + CB12 (1.8)

Từ định lý 1.2 suy ra ∆ABC trực giao với ∆A1B1C1

Cách 2 (Dựa vào điều kiện cần và đủ 1.3)

Giả sử ∆A1B1C1 trực giao với ∆ABC, trong hệ thức (1.7) lấy M ≡ A1

Gọi P là tâm trực giao của ∆A1B1C1 khi ∆A1B1C1 trực giao với

∆ABC và P1 là giao của 2 đường thẳng vuông góc hạ từ A và B tươngứng xuống B1C1, C1A1, hình 1.10

Hình 1.11: Cách chứng minh thứ tư

Mặt khác ta có đồng nhất thức:

⃗1.(⃗b − ⃗c) + ⃗b1.(⃗c − ⃗a) + ⃗c1.(⃗a −⃗b) = ⃗a.(⃗b1 − ⃗c1) +⃗b.(⃗c1− ⃗a1) + ⃗c.( ⃗a1 − ⃗c1)

nên suy ra⃗c.( ⃗a1− ⃗c1) = 0, tức P1C ⊥ AB Điều đó chứng tỏ ∆ABC trựcgiao với ∆A1B1C1, tâm trực giao là điểm P1

Cách 4 Sử dụng định lý Ce′va

Giả sử∆A1B1C1trực giao với∆ABC, tâm trực giao làP GọiA′, B′, C′

tướng ứng là giao điểm củaP A1, P B1, P C1 với các cạnhB1C1, C1A1, A1B1

của tam giác A1B1C1 Kẻ các đường thẳng Ax ⊥ B1C1, By ⊥ C1A1, Cz ⊥

Giả sử ∆A1B1C1 trực giao với ∆ABC, tâm trực giao là P Ký hiệu

A2, B2, C2 tương ứng là tâm ngoại tiếp của các tam giác B1P C1, C1P A1,

A1P B1, hình 1.12

Ta thấy các đường thẳng tâm B2C2, C2A2, A2B2 lần lượt là trung trựccủa các đoạn thẳngP A1, P B1, P C1 nên chúng phải song song với các cạnhtam giác ABC Như vậy 2 tam giác A2B2C2 và ABC phải vị tự Ta gọitâm vị tự là O, hình 1.12

Các đường thẳng quaA2, B2, C2 lần lượt vuông govs vớiB1C1, C1A1, A1B1,

là các trung trực của tam giác A1B1C1 nên chúng đồng quy tại tâm ngoạitiếp ∆A1B1C1, ta ký hiệu là O1

Vì các tam giác A2b2C2 và ABC cũng vị tự nên 3 đường vuông góc hạ

từ A, B, C tương ứng xuống B1C1, C1A1, A1B1 sẽ đòng quy (các đườngnày song song với A2O1, B2O1, C2O1) tại điểm P1 (chẳng hạn) Điều nàychứng tỏ ∆ABC trực giao với ∆A1B1C1 tâm trực giao là P1

Cách 6 Phương pháp toạ độ

Trang bị một hệ toạ độ Descartes vuông góc sao cho các đỉnh có toạ độ

A(0, a), B(0, b), C(0, c) và A1(a1, a2), B1(b1, b2), C1(c1, c2) Phương trìnhcác cạnh ∆ABC là:

(BC) : y = 0(AB) : x

b +

y

a − 1 = 0(AC) : x

1 0 −a1

c −a ab2 − cb1

b −a ac2 − bc1

= 0,

mà có thể viết tương đương thành

a(b2 − c2) + b(c1 − a1) + c(a1 − b1) = 0 (1.14)Phương trình các cạnh của tam giác A1B1C1 là

= 0 hay (b2 − c2)x − (b1 − c1)y + b1c2 − b2c1 = 0

Hình 1.14: Tam giác tiếp tuyến và tam giác trung điểm

Để kết luận các đường thẳng này đồng quy ta cần chứng minh định thức