49 Trang 4 Líi cam oanTæi xin cam oan à Ăn vợi à ti Mởt số vĐn · v· b§t ¯ng thùcv cüc trà trong tam gi¡c l cổng trẳnh nghiản cựu khoa hồc cừa tổi dữợisỹ hữợng dăn cừa TS.. Nguyạn Hỳu Tr
CĂc hằ thực lữủng cỡ bÊn trong mởt tam giĂc
CĂc cổng thực lữủng giĂc
CĂc hằ thực lữủng giĂc cỡ bÊn: sin 2 α cos 2 α 1, tanα cotα 1. cotα cosα sinα, 1 tan 2 α 1 cos 2 α. tanα sinα cosα, 1 cot 2 α 1 sin 2 α.
Cổng thực cởng: sin p α β q sinα cosβ cosα sinβ, sin p α β q sinα cosβ cosα sinβ, cos p α β q cosα cosβ sinα sinβ, cos p α β q cosα cosβ sinα sinβ, tan p α β q tanα tanβ
1 tanα tanβ, tan p α β q tanα tanβ
1 tanα tanβ. Cổng thực nhƠn: sin 2α 2 sinαcosα, cos 2α cos 2 α sin 2 α 2 cos 2 α 1 1 2 sin 2 α, tan 2α 2 tanα
1 tan 2 α, sin 3α 3 sinα 4 sin 3 α, cos 3α 4 cos 3 α 3 cosα, tan 3α 3 tanα tan 3 α
1 3 tan 2 α Cổng thực bián tờng th nh tẵch: sinα sinβ 2 sinα β
2 , tanα tanβ sin p α β q cosα cosβ, tanα tanβ sin p α β q cosα cosβ, cotα cotβ sin p α β q sinα sinβ, cotα cotβ sin p α β q sinα sinβ.
CĂc hằ thực lữủng giĂc cỡ bÊn
Cho tam giĂc∆ABC vợi cĂc cÔnh a, b, c,ma, la, ha tữỡng ựng l cĂc ữớng trung tuyán, phƠn giĂc, ữớng cao tứ ¿nh A, R, r, r a lƯn lữủt l bĂn kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp, nởi tiáp tam giĂc ABC, v ữớng trỏn b ng tiáp gõc
A; S l diằn tẵch tam giĂc, v p l nỷa chu vi Khi õ, ta cõ cĂc ¯ng thực sau
(9) a 2RsinA (ành lþ h m sè sin).
(10) a 2 b 2 c 2 2bccosA (ành lẵ h m số cosin).
4S (ành lẵ h m số cosin suy rởng).
(16) CĂc cổng thực vã diằn tẵch
4R b p p p a qp p b qp p c q (Cổng thực Heron).
CĂc cổng thực trản cõ thº ữủc chựng minh mởt cĂch dạ d ng bơng cĂch sỷ dửng cĂc ph²p bián ời lữủng giĂc CĂc cổng thực (1)-(4) ữủc chựng minh mởt cĂch tữỡng tỹ Ta chựng minh ch¯ng hÔn cổng thực (4) Ta cõ cosA cosB cosC
2. CĂch chựng minh cĂc cổng thực tứ (5)-(8) ho n to n giống nhau, lĐy l m thẵ dử, ta chựng minh cổng thực (7).
, tứ õ ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Cỏn lÔi ta s³ chựng minh cổng thực (12) v (15) (cổng thực (14) chựng minh mởt cĂch dạ d ng).
Ta câ S S ABC S ACD hay 1
Gồi I l tƠm ữớng trỏn nởi tiáp K´ IH K BC, ta cõ BC a HB HC. Hay
2, nản ta cõ ngay r 4RsinA
C¡c b§t ¯ng thùc cì b£n
B§t ¯ng thùc Cauchy
ành lỵ 1.2.1 Cho a1, a2, , an l cĂc số thỹc khổng Ơm Khi õ, ta cõ bĐt ¯ng thùc a 1 a 2 a n n ¥
? n a 1 a 2 a n (1.2.1)D§u = trong (1.2.1) x£y ra khi v ch¿ khi a 1 a 2 a n
B§t ¯ng thùc Bunhiacopski
ành lþ 1.2.2 Cho hai d¢y sè thüc a 1 , a 2 , , a n v b 1 , b 2 , , b n Khi â, ta câ b§t ¯ng thùc a 2 1 a 2 2 a 2 n b 2 1 b 2 2 b 2 n ¤ p a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n q 2
D§u = trong (1.2.2) x£y ra khi v ch¿ khi a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n
B§t ¯ng thùc Chebyshev
ành lþ 1.2.3 Cho hai d¢y sè thüc a 1 , a 2 , , a n v b 1 , b 2 , , b n Khi â, (a) Náu a 1 Ơ a 2 Ơ Ơ a n v b 1 Ơ b 2 Ơ Ơ b n , thẳ
DĐu = trong cĂc bĐt ¯ng thực trản xÊy ra khi v ch¿ khi a 1 a 2 a n ho°c b 1 b 2 b n
B§t ¯ng thùc Svacxì
ành lþ 1.2.4 Cho hai d¢y sè a1, a2, , an v b1, b2, , bn trong â bi ¡0 vợi mồi i 1,2, , n Khi õ ta cõ a 2 1 b 1 a 2 n b n ¥ pa 1 a 2 a n q 2 b 1 b n (1.2.3)
B§t ¯ng thùc trong tam gi¡c
Trong chữỡng n y trẳnh b y cĂc b i toĂn vã bĐt ¯ng thực trong tam ữủc phƠn loÔi theo cĂc chuyản mửc nhữ cĂc b i toĂn vã cÔnh v gõc, vã ữớng phƠn giĂc, ữớng trung tuyán ữớng cao, cĂc loÔi bĂn kẵnh cụng nhữ cĂc hằ thực liản quan án chu vi, diằn tẵch cừa mởt tam giĂc Phữỡng phĂp chừ yáu ữủc dũng º giÊi quyát cĂc b i toĂn n y l sỷ dửng cĂc bĐt ¯ng thực cỡ bÊn, hay cĂc bĐt ¯ng thực tam giĂc, hay dũng cĂc ph²p bián ời lữủng giĂc, cụng nhữ kát hủp cĂc ối tữủng n y º giÊi chúng Nởi dung cừa chữỡng n y ữủc tham khÊo tứ cĂc t i liằu [1]-[8].
B§t ¯ng thùc tam gi¡c
ành lỵ 2.1.1 Trong mởt tam giĂc, ở d i mởt cÔnh bao giớ cụng lợn hỡn hiằu v nhọ hỡn tờng ở d i cừa hai cÔnh cỏn lÔi.
X²t tam gi¡c ABC, ta câ b§t ¯ng thùc
|AB AC | ¤ BC AB AC.
(DĐu " " xÊy ra khi v ch¿ khi A, B, C th¯ng h ng v C nơm giỳa hai iºm
A, B). ành lỵ 2.1.2 Trong mởt tam giĂc, gõc ối diằn vợi cÔnh lợn hỡn l gõc lợn hìn. ành lỵ 2.1.3 Trong mởt tam giĂc, cÔnh ối diằn vợi gõc lợn hỡn l cÔnh lợn hỡn.
B i toĂn sau ữủc xem nhữ mởt vẵ dử ỡn giÊn cừa bĐt ¯ng thực tam gi¡c.
B i toĂn 2.1.1 Cho a, b, c l ba cÔnh cừa mởt tam giĂc.
(a) Chựng minh rơng a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca.
(b) Chựng minh rơng pa b c qp b c a qp c a b q Ô abc.
(a) Sỷ dửng bĐt ¯ng thực tam giĂc |a b | c Khi õ, a 2 2ab b 2 c 2 Tữỡng tỹ, ta cụng cõ b 2 2bc c 2 a 2 , v c 2 2ca a 2 b 2 Cởng vá theo vá ba bĐt ¯ng thực n y, ta cõ bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh.
(b) Vẳa, b, cl ba cÔnh cừa mởt tam giĂc nản cĂc sốa b c, b c a, c a b Ă 0.
Do õ theo BĐt ¯ng thực Cauchy ta ữủc pa b c qp b c a q ¤ pa b c q p b c a q
2 b 2 T÷ìng tü, pb c a qp c a b q ¤ c 2 , p c a b qp a b c q ¤ a 2
Tứ õ, ta cõ bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh.
B i toĂn 2.1.2 Cho a, b, c l ba cÔnh cừa mởt tam giĂc Chựng minh rơng a 2 b b 2 c c 2 a a 2 c c 2 b b 2 a a 3 b 3 c 3 ¡ 0.
Vẳa, b, c l ba cÔnh cừa mởt tam giĂc nản theo bĐt ¯ng thực tam giĂc ta cõ b c ¡ a, c a ¡ b, a b ¡ c.
Cởng cĂc bĐt ¯ng thực n y vá theo vá ta ữủc bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh.
B§t ¯ng thùc ÷íng g§p khóc
BĐt ¯ng thực sau cõ tản gồi l BĐt ¯ng thực ữớng gĐp khúc, ữủc xem nhữ mởt mð rởng cừa bĐt ¯ng thực tam giĂc. ành lỵ 2.2.1 (Nguyản lỵ trưc àa) oÔn th¯ng nối hai iºm cõ ở d i ngưn nhĐt so vợi mởt ữớng gĐp khúc nối hai iºm õ.
Cho c¡c iºm A 1 , A 2 , , A n b§t ký X²t c¡c ÷íng g§p khóc A 1 A 2 A n ta câ b§t ¯ng thùc ÷íng g§p khóc:
DĐu " " xÊy ra khi v ch¿ khi íííẹ A 1 A 2 , íííẹ A 2 A 3 , , ííííííẹ A n1 A n l cĂc vectỡ cũng hữợng.
Vẵ dử 2.2.2 Cho x, y, z l ba số thỹc thọa mÂn iãu kiằn x 2y 3z 4. Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực: P ? 16 x 2 2 a 16 y 2 3 ? 16 z 2 Líi gi£i. y x
0 Vợi x 2y 3z 4, trản m°t ph¯ng tồa ở Oxy x²t cĂc iºm
A p 4; x q ; B p 12; x 2y q ; C p 24; x 2y 3z q Vẳ x 2y 3z 4 nản C p 24; 4 q l iºm cố ành Dạ thĐy OA ? 4 2 x 2 ;
BC a 12 2 9z 2 3 a 16 z 2 VêyP OA AB BC Do õ theo BĐt ¯ng thực ữớng gĐp khúc, ta ữủc
P ¥ OC a 24 2 4 2 4 ? 37 (2.2.1) D§u "=" trong p2.2.1 q x£y ra ôO,A,B,C th¯ng h ng ô x
Do õ, theo giÊ thiát, ta suy ra x y z 4
CĂc bĐt ¯ng thực cỡ bÊn trong mởt tam giĂc
Trong mồi tam giĂc ABC ta cõ cĂc bĐt ¯ng thực cỡ bÊn sau
DĐu "=" cõ trong cĂc bĐt ¯ng thực trản khi v ch¿ khi ABC l tam giĂc ãu.
C¡ch chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc (a) - (d) ho n to n t÷ìng tü.
Ch¯ng h¤n, ta chùng minh (c).
2 ¥ 0. BĐt ¯ng thực n y luổn úng, do õ ta cõ iãu phÊi chựng minh.
C¡ch chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc (e) - (g) ho n to n t÷ìng tü Chóng dỹa trản bờ ã sau :
Bờ ã 2.3.1 (a) Náu 0 Ô x Ô π,0 Ô y Ô π, thẳ sinx siny
2 DĐu "=" trong hai bĐt ¯ng thực trản cõ khi v chi khi x y.
Ta chựng minh ch¯ng hÔn bĐt ¯ng thực (e) Theo Bờ ã 2.3.1, ta cõ sinA B
4 iãu n y tữỡng ữỡng vợi sinA sinB sinC sinπ
2 D§u "=" x£y ra khi v ch¿ khi A B C, tùc tam gi¡c ABC l tam gi¡c ãu.
C¡ch chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc (h), (i), (j) t÷ìng tü Ta chùng minh (i).
Dạ d ng thĐy rơng cotA cotB cotC Ă 0 vợi mồi tam giĂc ABC, nản cotA cotB cotC ¥ ? 3. ôcot 2 A cot 2 B cot 2 C 2 p cotAcotB cotBcotC cotAcotC q ¥ 3. ôcot 2 A cot 2 B cot 2 c ¥ cotAcotB cotBcotC cotCcotA.
Suy ra iãu phÊi chựng minh.
DĐu "=" xÊy ra khi v ch¿ khi ABC l tam giĂc ãu.
Nhên x²t Ngo i phữỡng phĂp chựng minh cĂc bĐt ¯ng thực cỡ bÊn bơng cĂch bián ời lữủng giĂc nhữ trản, ta cụng cõ thº chựng minh chúng bơng cĂch sỷ dửng cĂc bĐt ¯ng thực cỡ bÊn, hay dũng phữỡng phĂp cỹc trà ð Chữỡng3.
CĂc b i toĂn vã bĐt ¯ng thực v cỹc trà trong tam giĂc
CĂc b i toĂn vã gõc v cÔnh
B i toĂn 2.4.1 Cho ∆ABC khổng cõ gõc tũ Chựng minh
Sỷ dửng ành lỵ h m số sin, bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi
3 p sinA sinB sinC q ¤ p A B C q sinA A sinB B sinC C
Ta câ f 1 p x q xcosx sinx x 2 cosx p x tanx q 2 x 2 0, do õ f nghàch bián trản p0, π { 2 q
Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ A Ơ B Ơ C Khi õ sinA
Theo BĐt ¯ng thực Chebyshev, ta ữủc pA B C q sinA A sinB B sinC C ¥ 3 p sinA sinB sinC q
DĐu = xÊy ra khi a b c hay ∆ABC l tam giĂc ãu.
B i toĂn 2.4.2 Cho tam giĂc ABC vuổng tÔi A Chựng minh cos 6 B B cos 6 C
Náu 45 Ô B Ô 90 thẳ sinB Ơ cosB ủ sin 6 B Ơ cos 6 B.
DĐu bơng trong (2.4.1) xÊy ra khi v ch¿ khi B π
Tứ (2.4.1), (2.4.3) v (2.4.4) ta suy ra cos 6 B B cos 6 C
1 π. Ơy l iãu cƯn phÊi chựng minh DĐu = xÊy ra khi ∆ABC vuổng cƠn tÔi A.
B i toĂn 2.4.3 Cho ∆ABC Chựng minh rơng
2 thẳ x, y, z Ă 0v xy yz zx 1 Theo BĐt ¯ng thực Bunhiacopski ta ữủc p1 1 1 qp x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 q ¥ p xy yz zx q 2 ôx 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 ¥ 1
Theo B§t ¯ng thùc Cauchy ta câ: xy yz zx ¥ 3 3 b x 2 y 2 z 2 ô xyz ¤ 1
D§u “ ” trong (2.4.5) v (2.4.6) x£y ra khi v ch¿ khi x y z.
Sỷ dửng cĂc cổng thực lữủng giĂc tan 2 A
1 cosAcosBcosC ¥ ? 3 sinAsinBsinC. Ơy l iãu cƯn chựng minh DĐu = trong (2.4.5 v (2.4.6 xÊy ra khi v ch¿ khi x y z iãu n y tữỡng ữỡng vợi A B C Vẳ vêy dĐu = trong bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh xÊy ra khi v ch¿ khi ∆ABC ãu.
B i toĂn 2.4.4 Chựng minh rơng sinA
Theo B§t ¯ng thùc Cauchy, ta câ: sinA
. p dửng BĐt ¯ng thực Cauchy mởt lƯn nỳa ta ữủc cot A
Tứ (2.4.8 v (2.4.9 ta suy ra sinA
2. (2.4.10) Theo B§t ¯ng thùc Cauchy ta câ
Vẳ vêy, ta ữủc cot A
Tứ (2.4.10 v (2.4.11 ta suy ra iãu phÊi chựng minh DĐu = xÊy ra khi v ch¿ khi ∆ABC ãu.
B i toĂn 2.4.5 Cho ∆ABC nhồn Chựng minh rơng ptanA tanB tanC qp cotA cotB cotC q ¥ tanA
Ta câ cotA cotB cosA sinA cosB sinB cosAsinB cosBsinA sinAsinB
2. Khi â, cotA cotB cotC ¥ tan A
T÷ìng tü, tanA tanB 2 sinC cos p A B q cosC.
Vẳ tam giĂc  cho l nhồn nản tanA tanB ¥ 2 cotC
Tứ õ suy ra tanA tanB tanC ¥ cot A
Tứ (2.4.12) v (2.4.13) suy ra ptanA tanB tanC qp cotA cotB cotC q ¥ tan A
Ta cõ iãu phÊi chựng minh.
B i toĂn 2.4.6 Cho ABC l tam giĂc nhồn Chựng minh rơng b cosB c cosC a c cosC a cosA b a cosA b cosB c ¥27abc.
Theo ành lẵ h m số sin, iãu cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi
2RsinB cosB 2RsinC 2RsinB cosB
2RsinA cosA 2RsinB ¥27.2RsinA.2RsinB.2RsinC ô sinC cosAcosB sinC sinA cosBcosC sinA sinB cosCcosA sinB ¥27 sinAsinBsinC ô 1 cosAcosB cosAcosB 1 cosBcosC cosBcosC 1 cosCcosA cosCcosA ¥ 27.
Tiáp theo, ta cƯn chựng minh
2 cosAcosB p1 cosA q p 1 cosB q p 1 cosB q p 1 cosA q
Theo B§t ¯ng thùc Cauchy ta câ:
1 cosAcosB cosAcosB 1 cosBcosC cosBcosC 1 cosCcosA cosCcosA ¥ tan 2 Atan 2 Btan 2 C. Theo b§t ¯ng thùc cì b£n (j), ta câ tanAtanBtanC ¥ 3 ? 3.
DĐu = xÊy ra khi v ch¿ khi tam giĂc ABC ãu Vêy ta cõ iãu phÊi chựng minh.
CĂc b i toĂn vã ữớng phƠn giĂc
B i to¡n 2.4.7 Cho tam gi¡cABC,a, b, c l ba c¤nh cõa tam gi¡c v l a , l b , l c l cĂc ữớng phƠn giĂc cĂc gõc A, B, C tữỡng ựng Chựng minh rơng l a l b c l b l c a l c l a b ¤ 3 ? 3.
Ta câ l a l b c l b l c a l c l a b ab p l a l b q bc p l b l c q ac p l a l c q abc abl a abl b bcl b bcl c acl a acl c abc al a p b c q bl b p a c q cl c p a b q abc l a p b c q bc l b p a c q ac l c p a b q ab (2.4.14) p dửng cổng thực ữớng phƠn giĂc trong cừa tam giĂc l a
2 b c , ta ữủc l a p b c q bc l b p a c q ac l c p a b q ab 2 cos A
(2.4.15) Theo b§t ¯ng thùc cì b£n pf q cos A
Tứ (2.4.14), (2.4.15), v (2.4.16) ta cõ iãu phÊi chựng minh.
B i to¡n 2.4.8 Cho tam gi¡cABC,a, b, c l ba c¤nh cõa tam gi¡c v l a , l b , l c l cĂc ữớng phƠn giĂc cĂc gõc A, B, C tữỡng ựng, R l bĂn kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc Chựng minh rơng ab l c bc l a ca l b ¤ 6R.
2 cos B 2 p dửng ành lẵ h m số sin, ta cõ
2 1. iãu n y xÊy ra khi A B C, tực ABC l tam giĂc ãu.
B i to¡n 2.4.9 Cho tam gi¡cABC,a, b, c l ba c¤nh cõa tam gi¡c v l a , l b , l c l cĂc ữớng phƠn giĂc cĂc gõc A, B, C tữỡng ựng Chựng minh rơng
Ta cõ iãu phÊi chựng minh.
B i to¡n 2.4.10 Cho tam gi¡c ABC, a, b, c l ba c¤nh cõa tam gi¡c v l a l ữớng phƠn giĂc gõc A Chựng minh rơng l a ¤ 2b 2c a
2 pb c q 2 M°t kh¡c, theo ành lþ h m sè cosin ta câ cosA b 2 c 2 a 2
4bc pb c q 2 bc p b c a q b c a pb c q 2 p dửng BĐt ¯ng thực Cauchy cho ba số b, b, b c a, ta ữủc: l a 2 ¤ p b c b c a q 3
27 p b c q 2 (2.4.17) p dửng BĐt ¯ng thực Cauchy cho hai số 2b 2c a, b c a, tứ (2.4.17) ta ữủc l a 2 ¤ p 3b 3c q 2
2 ? 3 DĐu = xÊy ra khi v ch¿ khi ∆ABC l tam giĂc ãu.
B i to¡n 2.4.11 Cho tam gi¡c ABC, a, b, c l ba c¤nh cõa tam gi¡c v l a l ữớng phƠn giĂc gõc A Chựng minh rơng 2 p l a l b l c q Ô ? 3 p a b c q Líi gi£i. p dửng cổng thực l a
2 p l a l b l c q ¤ 2 ? p p ? p a a p b ? p c q (2.4.18) p dửng BĐt ¯ng thực Bunhiacopski ta ữủc
2 p la lb lc q ¤2 ? p a 3p 2 ? 3p ? 3 p a b c q DĐu = xÊy ra ụ∆ABC l tam giĂc ãu.
B i to¡n 2.4.12 Cho tam gi¡c ABC, a, b, c l ba c¤nh cõa tam gi¡c v l a , m a tữỡng ựng l ữớng phƠn giĂc, ữớng trung tuyán gõc A Chựng minh rơng m a l a
Sỷ dửng cổng cĂc thực ữớng trung tuyán v ữớng phƠn giĂc m 2 a 2b 2 2c 2 a 2
2 b c b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh p2b 2 2c 2 a 2 qp b c q 2
2 ¥ pb c q 2 4bc iãu n y tữỡng ữỡng vợi
2bc 1 ¥ cosA ô2b 2 2c 2 a 2 2bc ¥ 2bccosA ôb 2 c 2 a 2 2bccosA ¥ b 2 c 2 2bc ôa 2 b 2 c 2 2bccosA ¤ b 2 c 2 2bc (2.4.20) Theo ành lþ h m sè cosin a 2 b 2 c 2 2bccosA, do â p2.4.20 q ô p b c q 2 ¥ 0.
Tứ õ ta cõ iãu phÊi chựng minh DĐu = xÊy ra ụ∆ABC cƠn tÔi A.
CĂc b i toĂn vã ữớng trung tuyán
B i toĂn 2.4.13 Trong ∆ABC vợi p l nỷa chu vi, m a , m b , m c l ba ữớng trung tuyán cừa tam giĂc Chựng minh rơng
Theo B§t ¯ng thùc Cauchy ta câ
Vẳ m a , m b , m c cụng l ba cÔnh cừa mởt tam giĂc nản pm b m c m a q p m a m c m b q p m b m a m c q ¤ m a m b m c
LÔi Ăp dửng BĐt ¯ng thực Cauchy ta cõ:
4 3R 2 DĐu = xÊy ra khi v ch¿ khi ∆ABC l tam giĂc ãu.
Gồi M l trung iºm cừa BC v O l tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp Ta cõ MOC{ zBAC A Ta th§y
AM¤AO OM ôm a ¤R RcosA. T÷ìng tü, ta công câ mb ¤R RcosB, mc ¤R RcosC.
DĐu "=" xÊy ra ụABC l tam giĂc ãu.
B i toĂn 2.4.15 Trong tam giĂc ABC, chựng minh rơng m a l a m b l b m c l c ¥ p 2
Sỷ dửng cĂc cổng thực ữớng phƠn giĂc v ữớng trung tuyán ta ữủc m 2 a l 2 a p2b 2 2c 2 a 2 q 4b 2 c 2 cos 2 A
Theo B§t ¯ng thùc tam gi¡c, ta câ
|b c | a ô pb c q 2 a 2 ô pb c q 4 a 2 p b c q 2 ¤ 0 (2.4.22) Thay pb c q 4 p b c q 4 8bc b 2 c 2 v pb c q 2 p b c q 2 4bc v op2.4.22 q ta ữủc pb c q 4 8bc p b 2 c 2 q a 2 p b c q 2 4bca 2 ¤ 0.
Do õ, tứ p2.4.21 q ta suy ra m 2 a l 2 a ¥ p b c q 4 a 2 p b c q 2
Do õ m 2 a l 2 a Ơ p p p a q Chựng minh tữỡng tỹ ta ữủc m b l b ¥ p p p b q , m c l c ¥ p p p c q
Vẳ vêy m a l a m b l b m c 1 c ¥ p p 3p a b c q p.p p 2 DĐu "=" cõ ụABC l tam giĂc ãu.
B i toĂn 2.4.16 Trong mồi tam giĂc, ta cõ bĐt ¯ng thực m a m b m c a b c.
Líi gi£i. p dửng cổng thựcm 2 a 2b 2 2c 2 a 2
BĐt ¯ng thực  cho tữỡng ữỡng vợi
Tứ bĐt ¯ng thực tam giĂc ta cõ a ¡ | b c | , b ¡ | c a | , c ¡ | a b |
2ab 2ac 2bc ¡ a 2 b 2 c 2 Thay v o (2.4.23) ta ữủc
B i toĂn 2.4.17 Cho ∆ABC nởi tiáp trong ữớng trỏn Gồi AA 1 , BB 1 , CC 1 l ba trung tuyán AA 1 , BB 1 , CC 1 lƯn lữủt cưt ữớng trỏn ngoÔi tiáp tÔi
AA 1 AA 1 AA 1 p AA 1 A 1 A 1 q AA 1 2 AA 1 A 1 A 1 m 2 a a 2
2b 2 2c 2 a 2 b 2 c 2 T÷ìng tü, ta công câ
p dửng BĐt ¯ng thực Cauchy ta ữủc
4. DĐu = xÊy ra khi ∆ABC ãu.
B i toĂn 2.4.18 Chựng minh rơng náu ∆ABC l tam giĂc nhồn thẳ m a h a m b h b m c h c ¤
R r. Gồi O l tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc Khi õ O nơm trong tam giĂc (do ∆ABC nhồn) Gồix a , x b , x c l khoÊng cĂch tứ O tợi BC,CA,AB Ró r ng ta th§y x a h a x b h b x c h c 1 (do S ABC S OBC S OAC S OAB ).
Vêy bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi: m a h a m b h b m c h c ¤
DĐu "=" xÊy ra khi tam giĂc ABC ãu.
B i toĂn 2.4.19 Cho biátM a , M b , M c l chiãu d i cĂc dƠy cung nhên ữủc bơng cĂch k²o d i cĂc ữớng trung tuyán m a , m b , m c cừa mởt tam giĂc nởi tiáp cho án khi g°p ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc õ Chựng minh rơng
Theo B§t ¯ng thùc Svacxì ta câ m 2 a m 2 b m 2 c ¥ p m a m b m c q 2
Vẳ ∆AM B ∆CM M 1 nản AM.M 1 M CM.BM a 2
CĂc b i toĂn vã ữớng cao
B i toĂn 2.4.20 Cho tam giĂc nhồn ABC Tẳm iºm P trong tam giĂc ABC sao cho tờng khoÊng cĂch tứ P án ba cÔnh tam giĂc l nhọ nhĐt? Líi gi£i.
Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ a Ơ b Ơ c, khi õ cĂc ữớng cao thọa h a ¤ h b ¤ h c
P H P K P I ¥ 2S ABC a h a Vêy tờng khoÊng cĂch tứ P án ba cÔnh tam giĂc l nhọ nhĐt khi P trũng vợi A.
B i toĂn 2.4.21 Cho tam giĂc ABC vợi h a , h b , h c tữỡng ựng l cĂc ữớng cao, r l bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc Chựng minh rơng h a h b h c ¥ 9r.
2S ABC ah a bh b ch c r p a b c q Khi â, h a r
T÷ìng tü, ta công câ h b r
Khi õ, theo BĐt ¯ng thực Cauchy ta ữủc h a h b h c r
DĐu = xÊy ra khi v ch¿ khi ∆ABC l tam giĂc ãu.
B i toĂn 2.4.22 Cho tam giĂc ABC, vợi a, b, c l ba cÔnh cừa tam giĂc, h a , h b , h c l ba ữớng cao, R, rlƯn lữủt l bĂn kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp, nởi tiáp tam giĂc Chựng minh rơng h 2 a bc h 2 b ca h 2 c ab ¥ 9r 2
Líi gi£i. p dửng BĐt ¯ng thực Svacxỡ, ta cõ
V T p ha h b h c q 2 bc ca ab Theo B i to¡n 2 4.21 h a h b h c ¥ 9r (2.4.27)
Hỡn nỳa, theo BĐt ¯ng thực Cauchy v ành lỵ h m sin ta i án ữợc lữủng bc ca ab ¤ a 2 b 2 c 2 4R 2 sin 2 A sin 2 B sin 2 C ¤ 9R 2 (2.4.28)
R 2 DĐu = xÊy ra khi ∆ABC l tam giĂc ãu.
B i toĂn 2.4.23 Cho ∆ABC khổng cõ gõc tũ, ba ữớng caoAB 1 , BB 1 , CC 1 cưt nhau tÔi H Chựng minh rơng pAH BH CH q 2 Ô a 2 b 2 c 2
1 Náu ∆ABC l tam giĂc vuổng, giÊ sỷ A p 90 Khi õ bĐt ¯ng thực  cho trð th nh 2bc Ô b 2 c 2 (hiºn nhiản).
2 Náu ∆ABC l tam giĂc nhồn Ta cõ:
AH AA 1 AC 1 AB bcosA c b 2 c 2 a 2
Theo ành lỵ Ceva thẳ
CC 1 2. p dửng BĐt ¯ng thực Bunhiacopski, ta cõ: a 2 b 2 c 2
2 2 AH.AA 1 BH.BB 1 CH.CC 1
DĐu = xÊy ra khi AA 1 BB 1 CC 1 ụ ∆ABC ãu.
B i toĂn 2.4.24 Cho tam giĂc ABC nởi tiáp ữớng trỏn Ba ữớng cao
AA 1 , BB 1 , CC 1 lƯn lữủt cưt ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc tÔi A 1 , B 1 , C 1 Chựng minh rơng AA 1
Gồi H l trỹc tƠm tam giĂc.
CC 1 3 1 4. p dửng BĐt ¯ng thực Cauchy
4. DĐu = xÊy ra khi v ch¿ khi ∆ABC ãu.
B i toĂn 2.4.25 Cho ∆ABC vợi A Ơ B Ơ C Chựng minh rơng h a h b h b h c h c h a ¥ h b h a h a h c h c h b
Vẳ A Ơ B Ơ C nản a Ơ b Ơ c Sỷ dửng cĂc cổng thực h a 2S a , h b 2S b , h c 2S c , khi õ bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi b a c b a c ¥ a b b c c a. iãu n y tữỡng ữỡng vợi b 2 c ac 2 a 2 b ¥ a 2 c bc 2 ab 2 ôb 2 c ac 2 a 2 b a 2 c bc 2 ab 2 ¥ 0 ôbc p b a q c 2 p b a q ab p b a q ac p b a q ¥ 0 ôc p b a q p b c q a p b a q p b c q ¥ 0 ô pb a q p b c q p c a q ¥ 0 (2.4.29)
Vẳ (2.4.29) úng nản h a h b h b h c h c h a ¥ h b h a h a h c h c h b D§u = x£y ra khi v ch¿ khi ∆ABC l tam gi¡c c¥n v A ¥ B ¥ C.
B i toĂn 2.4.26 Chựng minh rơng trong mồi tam giĂc ta luổn cõ h a l a ¥ c2r
V³ ÷íng cao AH h a v ph¥n gi¡c AD l a
BĐt ¯ng thực  cho tữỡng ữỡng vợi sin 2
Vẳ (2.4.31) úng nản (2.4.30) úng hay h a l a ¥ c2r
CĂc bĐt ¯ng thực liản quan án bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi, ngoÔi tiáp tam giĂc
trỏn nởi, ngoÔi tiáp tam giĂc
B i toĂn 2.4.27 Cho tam giĂc ABC vợi cĂc cÔnh a, b, c v bĂn kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc R Chựng minh rơng a 8 cos 2 A 2 b 8 cos 2 B 2 c 8 cos 2 C 2 ¥ abc ? 6 3R
Lới giÊi Theo BĐt ¯ng thực Svacxỡ, v bĐt ¯ng thực cỡ bÊn (k) ta ữủc
Hìn núa, ta câ a 4 b 4 c 4 ¥ a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 , Khi â, a 4 b 4 c 4 ¥ a 4 b 4 c 4 2a 2 b 2 4b 2 c 2 2b 2 c 2 2c 2 a 2
Vẳ vêy, a 4 b 4 c 4 ¥ 4b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 2 Suy ra a 4 b 4 c 4 ¥ 4b 2 c 2 4b 2 c 2 cos 2 A.
Tứ õ ta suy ra iãu phÊi chựng minh DĐu "=" xÊy ra khi tam giĂc ABC ãu.
B i toĂn 2.4.28 Cho tam giĂc ABC vợi cĂc cÔnh a, b, c v R, r lƯn lữủt l bĂn kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp, nởi tiáp tam giĂc Chựng minh rơng 36r 2 Ô ab bc ca ¤ 9R 2
Sỷ dửng ành lỵ h m số sin v cổng thực r 4Rsin A
2 ¤ sinAsinB sinBsinC sinCsinA (2.4.33) Tiáp theo, Ăp dửng BĐt ¯ng thực Svacxỡ ta ữủc sinAsinB sinBsinC sinCsinA sinAsinBsinC
1 sinC ¥sinAsinBsinC 9 sinA sinB sinC
Tiáp theo ta chựng minh bĐt ¯ng thực ab bc ca Ô 9R 2 BĐt ¯ng thực n y tữỡng ữỡng vợi
4R 2 sinAsinB 4R 2 sinBsinC 4R 2 sinCsinA ¤ 9R 2 ôsinAsinB sinBsinC sinCsinA ¤ 9
BƠy giớ ta chựng minh bĐt ¯ng thực p2.4.34 q Thêt vêy, theo BĐt ¯ng thực Bunhiacopski, ta ữủc psinAsinB sinBsinC sinCsinA q 2 ¤ sin 2 A sin 2 B sin 2 C sin 2 A sin 2 B sin 2 C ¤
Suy ra (2.4.34) úng Tứ õ, ta cõ iãu phÊi chựng minh DĐu = xÊy ra khi
B i toĂn 2.4.29 Cho tam giĂc ABC vợi cĂc cÔnh a, b, c v R, r lƯn lữủt l bĂn kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp, nởi tiáp tam giĂc Chựng minh rơng 1 a
Sỷ dửng cĂc cổng thực s abc
BĐt ¯ng thực  cho tữỡng ữỡng vợi
3 p a b c q abc ô bc ac ab abc ¥ d
3 p a b c q abc ô pbc ac ab q 2 ¥ 3 p a b c q abc ôa 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 2a 2 bc 2ab 2 c 2abc 2 3a 2 bc 3ab 2 c 3abc 2 ¥ 0 ôa 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 bc ab 2 c abc 2 ¥ 0 ụ pab bc q 2 p bc ca q 2 p ab ca q 2 Ơ 0.(BĐt ¯ng thực n y luổn úng)
DĐu bơng trong cĂc bĐt ¯ng thực n y xÊy ra khi v ch¿ khia b c Do õ
1 c ¥ c 3 2Rr. DĐu "=" xÊy ra khi v ch¿ khi ∆ABC ãu.
B i toĂn 2.4.30 Cho tam giĂc ABC vợi cĂc cÔnh a, b, c v r l bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc Chựng minh rơng 1 a 2
1 c 2 DĐu "=" xÊy ra khi a b c, tực ∆ABC l tam giĂc ãu.
B i toĂn 2.4.31 Cho tam giĂc ABC vợir a , r b , r c lƯn lữủt l bĂn kẵnh ữớng trỏn b ng tiáp cĂc gõc A, B, C cừa tam giĂc Chựng minh rơng
BĐt ¯ng thực  cho tữỡng ữỡng vợi
2 ¥ 1 Theo Bờ ã 3.2.1 ta cõ sin A
Tiáp theo, ta chựng minh bĐt ¯ng thựcsin A
2 Ơ 1 Thêt vêy, ta câ sinA
Vẳ vêy tứ (2.4.36) ta suy ra sin A
Tứ õ ta cõ iãu phÊi chựng minh.
DĐu "=" xÊy ra khi ABC ãu.
B i toĂn 2.4.32 Cho tam giĂc ABC vợi ba cÔnh a, b, c thọa mÂn iãu kiằn a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 1
3, v Rl bĂn kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc Chựng minh rơng a 2 b 2 c 2 Ơ 1
4S abc nản tứ (2.4.38) ta cõ: p2 q ô 4S 2 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 c 2 ¤ 3 4 a 2 b 2 c 2 ô 1 3R 2 ¤ 3 a 2 b 2 c 2 ôa 2 b 2 c 2 ¥ 1
9R 2 DĐu bơng trong (2.4.37) xÊy ra ụABC l tam giĂc ãu.
B i toĂn 2.4.33 Cho tam giĂc ABC vợi cĂc cÔnh a, b, c cõ diằn tẵch S, v
R, r lƯn lữủt l bĂn kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp, nởi tiáp tam giĂc Chựng minh rơng R r Ơ ? 4 3 ? S.
?S ? 2 sinAsinBsinC sinA sinB sinC Vêy
?S ? 2 sinAsinBsinC sinA sinB sinC ¥3 3 d S ? S ? 2 sinAsinBsinC
3 ? S.DĐu "=" xÊy ra ụABC l tam giĂc ãu.
CĂc b i toĂn vã chu vi v diằn tẵch
B i toĂn 2.4.34 Cho ∆ABC cõ ữớng trỏn nởi tiáp tiáp xúc ba cÔnh cừa tam giĂc tÔi M, N, P Chựng minh rơng S M N P Ô S
Gồi O l tƠm ữớng trỏn nởi tiáp △ ABC. °t S AN P S 1 , S BP M S 2 , S CP N S 3
Khi â ta ph£i chùng minh
2absinC ¥ 3 4 ô pp a q 2 bc pp b q 2 ac pp c q 2 ab ¥
4 (2.4.39) p dửng BĐt ¯ng thực Bunhiacopski ta cõ pp a q 2 bc pp b q 2 ac pp c q 2 ab pab bc ca q ¥ p p a p b p c q 2 p 2 ủ pp a q 2 bc pp b q 2 ac pp c q 2 ab ¥ p 2 pab bc ca q pa b c q
Tứ (2.4.40) v (2.4.41) ta suy ra (2.4.39) úng Do õ
B i to¡n 2.4.35 Cho△ABC V³ ba ÷íng ph¥n gi¡cAM, BN, CP Chùng minh rơng S M N P Ô S
Theo ành lþ ÷íng ph¥n gi¡c trong, ta câ:
Khi â, AP bc a b T÷ìng tü: AN bc a c Vêy
Tứ õ suy ra bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng
1 bc pa b qp a c q ac pb a qp b c q ab pc a qp c b q ¤
1 4 ô pa b qp b c qp c a q bc p b c q ac p a c q ab p a b q pa b qp b c qp c a q ¤
Theo BĐt ¯ng thực Cauchy, bĐt ¯ng thực pa b qp b c qp c a q Ơ 8abc luổn úng nản ta cõ bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh DĐu = xÊy ra ụ ∆ABC ãu.
B i toĂn 2.4.36 Cho ∆ABC nhồn, v³ ba ữớng cao AM, BN, CP Chựng minh S M N P ¤ S
BĐt ¯ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi
Vẳ AP bcosA, AN ccosA nản p2.4.42 q ô cos 2 A cos 2 B cos 2 C ¥ 3
Vẳ (2.4.43) úng nản (2.4.42) úng Tứ õ ta cõ iãu phÊi chựng minh. DĐu = xÊy ra ụ∆ABC ãu.
B i toĂn 2.4.37 Cho a, b, c l ba cÔnh cừa mởt tam giĂc vợi diằn tẵch S. Chựng minh rơng a 4 b 4 c 4 Ơ 16S 2
16S 2 p a b c qp b c a qp a c b qp a b c q pb c q 2 a 2 a p b c q a p b c q pb c q 2 a 2 a 2 p b c q 2 pb c q 2 a 2 p b c q 2 p b c q 2 a 4 a 2 p b c q 2 a 2 b 2 2a 2 bc a 2 c 2 b 4 2b 2 c 2 c 4 a 4 a 2 b 2 2a 2 bc a 2 c 2 2a 2 b 2 2a 2 c 2 2b 2 c 2 a 4 b 4 c 4 p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy ta cõ:
DĐu "=" xÊy ra khi tam giĂc ABC ãu.
B i toĂn 2.4.38 Cho ∆ABC Gồi O 1 , O 2 , O 3 l tƠm cĂc ữớng trỏn b ng tiáp cĂc gõc A,B,C Gồi S 1 , S 2 , S 3 lƯn lữủt l diằn tẵch cĂc ∆O 1 BC,∆O 2 CA,
1 p c ¥9. p dửng BĐt ¯ng thực Cauchy ta ữủc
DĐu = xÊy ra khi v ch¿ khi ∆ABC l tam giĂc ãu.
B i toĂn 2.4.39 Cho ∆ABC trản cĂc cÔnh k²o d i AB, BC, CA phẵa
B, C, A lĐy B 1 , C 1 , A 1 sao cho BB 1 b, CC 1 c Chựng minh rơng
S CC 1 A S a b b c c a a b b c c a a 2 c b 2 a c 2 b abc (2.4.44) p dửng BĐt ¯ng thực Cauchy ta ữủc a 2 c b 2 c c 2 b ¥ 3abc.
DĐu = xÊy ra ụ∆ABC ãu.
Nhên x²t 2.4.1 Mởt số b i toĂn cõ thº ữủc giÊi mởt cĂch rĐt bơng cĂch ữa vã b i toĂn liản quan án tam giĂc bơng cĂc ph²p bián ời thẵch hủp. Phữỡng phĂp n y cõ thº ữủc gồi l phữỡng phĂp `tam giĂc hõa' Ch¯ng hÔn, ta x²t b i to¡n sau:
B i toĂn 2.4.40 Cho x, y, z l ba số thỹc dữỡng v thọa mÂn iãu kiằn: xyz p x y z q 1 Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biáu thực P p x y qp x z q
X²t tam gi¡c ABC câ 3 c¤nh
Ró r ng △ABC tỗn tÔi vẳ thọa mÂn cĂc tiản ã vã ở d i cÔnh cừa mởt tam giĂc Khi õ náu gồi pl nỷa chu vi cừa tam giĂc thip x y z Theo cổng thùc Heron, ta câ
S ABC b p p p BC qp p AC qp p AB q b px y z q xyz.
Tứ giÊ thiát suy ra S ABC 1.
Do sinA Ô 1, nản suy ra 1 2 px y qp x z q Ơ 1 Hay,
V¥y P ¥ 2 D§u "=" x£y ra khi ôsin A 1 ô A 90 ôBC 2 AB 2 AC 2 ô py z q 2 p x y q 2 p x z q 2 ôyz xy xz x 2
Cüc trà trong tam gi¡c
Trong chữỡng n y chúng tổi trẳnh b y lỵ thuyát cỹc trà cừa h m số mởt bián hay nhiãu bián số vợi mửc ẵch l giÊi quyát cĂc b i toĂn cỹc trà hay bĐt ¯ng thực liản quan án tam giĂc Vẳ vêy, chữỡng n y s³ têp trung trẳnh b y b i toĂn cỹc trà vợi r ng buởc ¯ng thực Phữỡng phĂp nhƠn tỷ Lagrange l cổng cử cỡ bÊn º giÊi quyát vĐn ã n y Nởi dung v cĂc b i toĂn ữủc tham khÊo tứ cĂc t i liằu [1]-[8].
Cüc trà cõa h m sè
KhĂi niằm cỹc trà
ành nghắa 3.1.1 (Cỹc trà ia phữỡng).Cho h m số f : I RẹR.
(i) f ữủc gồi l Ôt cỹc Ôi àa phữỡng tÔi x 0 P I náu tỗn tÔi δ Ă 0 sao cho f p x q ¤ f p x 0 q , @ x P I X p x 0 δ, x 0 δ q
(ii) f ữủc gồi l Ôt cỹc tiºu àa phữỡng tÔi x 0 P I náu tỗn tÔi δ Ă 0 sao cho f p x q ¥ f p x 0 q , @ x P I X p x 0 δ, x 0 δ q
(iii) f ữủc gồi l Ôt cỹc trà àa phữỡng tÔi x 0 P I náu nõ Ôt cỹc Ôi àa ph÷ìng ho°c c÷c tiºu àa ph÷ìng t¤i x 0 ành nghắa 3.1.2 (Cỹc trà àa phữỡng ng°t).Cho h m số f : I R ẹR.
(i) f ữủc gồi l Ôt cỹc Ôi àa phữỡng ng°t tÔi x 0 P I náu tỗn tÔi δ Ă 0 sao cho f p x q f p x 0 q , @ x P p I X p x 0 δ, x 0 δ qqz x 0
(ii) f ữủc gồi l Ôt cỹc tiºu àa phữỡng ng°t tÔi x 0 P I náu tỗn tÔi c sao cho f p x q ¡ f p x 0 q , @ x P p I X p x 0 δ, x 0 δ qqz x 0
(iii) f ữủc gồi l Ôt cỹc trà àa phữỡng ng°t tÔi x 0 P I náu nõ Ôt cỹc Ôi àa ph÷ìng ng°t ho°c c÷c tiºu àa ph÷ìng ng°t t¤i x 0 ành nghắa 3.1.3 (Cỹc trà to n cửc (Cỹc trà tuyằt ối)).Cho h m số f :
(i) f ữủc gồi l Ôt cỹc Ôi to n cửc (tuyằt ối, giĂ trà lợn nhĐt) tÔi x0 P I trản I náu f p x q ¤ f p x 0 q , @ x P I.
(ii) f ữủc gồi l Ôt cỹc tiºu to n cửc (tuyằt ối, giĂ trà nhọ nhĐt) tÔix 0 P I trản I náu f p x q ¥ f p x 0 q , @ x P I.
(iii) f ữủc gồi l Ôt cỹc trà to n cửc (tuyằt ối) tÔi x 0 P I trản Ináu f p x q ¤ f p x 0 q , @ x P I.
iãu kiằn cỹc trà
ành lỵ 3.1.4 (ành lỵ Fermat) Náu h m số f : A R n ẹR cõ Ôo h m riảng tÔi x P A, A mð v Ôt cỹc trà àa phữỡng tÔi x thẳ
Bx i p x q 0, @ i 1,2, , n. ành lỵ 3.1.5 (ành lỵ Weiestrass) Náu h m số f : A R n ẹ R liản tửc, têp A õng v bà ch°n thẳ f Ôt cỹc Ôi v cỹc tiºu to n cửc trản A.
Hằ quÊ 3.1.6 (iãu kiằn cữùng bực) Cho h m số f : R n ẹ R liản tửc v cữùng bực, tực l
|}x|}ẹ 8lim f p x q 8 Khi õ, f Ôt giĂ trà nhọ nhĐt trản R n
Luêt nhƠn tỷ Lagrange
Trong phƯn n y chúng ta s³ nghiản cựu cỹc trà cừa h m số nhiãu bián ω f p x q f p x 1 , x 2 , , x n q (3.1.1) vợi cĂc r ng buởc ¯ng thực g 1 p x 1 , x 2 , , x n q b 1 , (3.1.2) g 2 p x 1 , x 2 , , x n q b 2 , (3.1.3) (3.1.4) g m p x 1 , x 2 , , x n q b m (3.1.5) f ữủc gồi l h m mửc tiảu, cỏn cĂc phữỡng trẳnh (3.1.2)-(3.1.5) ữủc gồi l cĂc r ng buởc ¯ng thực Ta luổn giÊ sỷ số r ng buởc nhọ hỡn số bián chồn,tùc m n.
Nh toĂn hồc PhĂp Lagrange  ã xuĐt phữỡng phĂp cho ph²p ữa b i toĂn cỹc trà r ng buởc vã b i toĂn cỹc trà tỹ do những văn giỳ ữủc vai trỏ bẳnh ¯ng giỳa cĂc bián chồn, bơng cĂch xƠy dỹng h m Lagrange
L p x, λ q f p x q á m i 1 λ i p b i g i p x qq é Ơy, cĂc hơng số λ i , i 1,2, , m ữủc gồi l cĂc nhƠn tỷ Lagrange °t
J l ma trên Jacobi cĂc Ôo h m riảng cĐp 1 cừa cĂc h m r ng buởc g i , i
Cho kát quÊ sau cho chúng ta iãu kiằn cƯn v ừ cừa b i toĂn cỹc trà cõ r ng buởc ¯ng thực ð trản thổng qua h m Lagrange. ành lỵ 3.1.7 (iãu kiằn cƯn) GiÊ sỷ cĂc h m f, g i , i 1,2, , m cõ cĂc Ôo h m riảng cĐp hai liản tửc Náu h m f v cĂc iãu kiằn r ng buởc trản Ôt cỹc trà tÔi x¯ p x¯ 1 ,x¯ 2 , ,x¯ n q , v ma trên Jacobi J ð trản cõ hÔng bơng m tÔi x¯ thẳ tỗn tÔi cĂc nhƠn tỷ Lagrange λ¯ p λ¯ 1 ,λ¯ 2 , ,λ¯ m q sao cho px,¯ λ¯ q l mởt iºm dứng cừa h m Lagrange, tực l nõ l nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh
L 1 λ m b m g m p x 1 , x 2 , , x n q 0. ành lỵ 3.1.8 (iãu kiằn ừ) GiÊ sỷ cĂc h m f, g i , i 1,2, , m cõ cĂc Ôo h m riảng cĐp hai liản tửc, px,¯ λ¯ q l mởt iºm dứng cừa h m Lagrange, v ma trên Jacobi J ð trản cõ hÔng bơng m tÔi x¯ °t
B λ k B x i , L ij B x B 2 L i B x j , i, j 1,2, , n; k 1,2, , m ữủc tẵnh tÔi iºm dứng px,¯ λ¯ q Kẵ hiằu H p l ành thực con chẵnh cĐp m p cõ phƯn tỷ ð gõc dữợi cũng bản phÊi L pp , pp m 1, , n q Khi õ,
(a) Náu tÔi px,¯ λ¯ q , tĐt cÊ cĂc ành thực con chẵnh H p cũng dĐu vợi p1 q p vợi mồi p m 1, , n, thẳ h m f vợi cĂc r ng buởc g i , i 1,2, , m Ôt cỹc Ôi tÔi iºm dứng n y.
(b) Náu tÔi px,¯ λ¯ q , tĐt cÊ cĂc ành thực con chẵnh H p cũng dĐu vợi p1 q m vợi mồi p m 1, , n, thẳ h m f vợi cĂc r ng buởc g i , i 1,2, , m Ôt cỹc tiºu tÔi iºm dứng n y.
Nhên x²t 3.1.9 (a) Chú ỵ iãu kiằn º Êm bÊo ma trên Jacobi J cõ hÔng m l hằ cĂc v²c tỡ dỏng ởc lêp tuyán tẵnh.
(b) Trữớng hủp b i toĂn ch¿ cõ mởt r ng buởc g p x 1 , x 2 , , x n q b Khi õ, ma trên Jabobi chẵnh l v²c tỡ gradient Khi õ, iãu kiằn º hằ gỗm ch¿ mởt v²c tỡ gradient n y ởc lêp tuyán tẵnh l ẵt nhĐt mởt th nh phƯn cừa nos khĂc khổng tÔi x¯, tực l ẵt nhĐt mởt Ôo h m riảng cừa g tÔi x¯ kh¡c 0.
C¡c b i to¡n
B i toĂn 3.2.1 Tứ mởt oÔn th¯ng cõ ở d i l x HÂy tÔo th nh mởt tam giĂc cõ diằn tẵch lợn nhĐt.
B i toĂn  cho ữa vã giÊi b i toĂn: Tẳm giĂ trà lợn nhĐt cừa h m số
S b p p p a qp p b qp p c q trong õ a, b, c Ă 0 thọa mÂn iãu kiằn a b c x 2p. º giÊi b i toĂn n y ta x²t b i toĂnpP q : Tẳm giĂ trà lợn nhĐt cừa f p a, b, c q
S 2 p p p a qp p b qp p c q vợi a, b, c Ă 0 thọa mÂn iãu kiằn a b c x 2p.
Ta mð rởng miãn r ng buởc cừa b i toĂn n y º ữủc b i toĂn pP q : Tẳm giĂ trà lợn nhĐt cừa h m số f p a, b, c q p p p a qp p b qp p c q trong õ a, b, c Ơ 0 thọa mÂn iãu kiằn a b c x 2p.
Vẳ h m f liản tửc trản miãn õng v bà ch°n nản b i toĂn pP q luổn cõ nghiằm.
Trữớng hủp mởt trong cĂc bián bơng 0, ch¯ng hÔn a 0, b c x, tực p b c 2 Khi â, f p 0, b, c q p 2 p p b qp p c q ¤ 0.
Trữớng hủp a b c x 2p, a, b, c Ă 0, vẳ gradient cừa g p a, b, c q : a b c l p1,1,1 q p 0,0,0 q nản ta lêp h m Lagrange dÔng
L p a, b, c, λ q p p p a qp p b qp p c q λ p 2p a b c q iºm dứng cừa h m Lagrange l nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh
3, 2p 3 , 2p 3 p 27 4 Vẳ p 27 4 Ă0, nản h m f trong B i toĂn pP q vợi r ng buởc  cho Ôt giĂ trà lợn nhĐt tÔi 2p 3 , 2p 3 , 2p 3 v f max f
3, 2p 3 , 2p 3 p 27 4 Hỡn nỳa, nghiằm cừa hai b i toĂn pP q v pP q trũng nhau.
Tứ õ ta suy ra S max p 2
9 Nhữ vêy, tứ mởt oÔn th¯ng cõ ở d i l x, ta tÔo th nh tam giĂc ãu cÔnh 2p 3 x 3 cõ diằn tẵch lợn nhĐt l p 2 9 ? 3 x 2 36 ? 3
B i toĂn 3.2.2 Cho tam giĂc ABC khổng nhồn Tẵnh giĂ trà lợn nhĐt cừa biºu thùc
Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta giÊ sỷ A Ơ B Ơ C Khi õ,
X²t h m số f p x q sinx, x P p 0;π q cõ f 2 p x q sinx 0, @ x P p 0;π q Vợi x A, B, C v x 0 π
Cởng cĂc bĐt ¯ng thực trản vá theo vá sinA sinB sinC ¤ sinπ
4. Vêy maxM 1 ? 2 khi ABC l tam giĂc vuổng cƠn.
CĂch 2: GiÊi bơng cĂc sỷ dửng Luêt nhƠn tỷ Lagrange Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta giÊ sỷ A Ơ B Ơ C Tứ õ suy ra
2 A q Khi õ cĂc iºm cỹc trà l nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh sau:
4.Vêy M max 1 ? 2 khi ABC l tam giĂc vuổng cƠn.
B i toĂn 3.2.3 Trong cĂc tam giĂc nởi tiáp trong mởt ữớng trỏn cho trữợc, hÂy tẳm tam giĂc cõ diằn tẵch lợn nhĐt.
CĂch 1: Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta x²t tam giĂcABC nởi tiáp trong ữớng trỏn ỡn và vợi A p 0; 1 q cố ành v B p x 1 , y 1 q , C p x 2 , y 2 q , trong õ x 2 1 y 1 2 1, x 2 2 y 2 2 1 thẳ b i toĂn  cho trð th nh
B i toĂn cỹc trà cõ iãu kiằn 4 bián n y cõ thº chuyºn th nh b i toĂn cỹc trà
2 bián bơng cĂch tham số hoĂ ữớng trỏn ỡn và, cử thº °t x 1 cosα, y 1 sinα;x 2 cosβ, y 2 sinβ, ta quy b i toĂn vã viằc tẳm giĂ trà lợn nhĐt v giĂ trà nhọ nhĐt cừa h m số f p α, β q sinα sinβ sin p β α q Giỳ α cố ành, x²t f p α, β q nhữ mởt h m số theo β thẳ f β 1 p α, β q cosβ cos p β α q
Tứ Ơy ta tẳm ữủc cĂc iºm dứng l β α
Tứ õ, º tẳm maxf p α, β q , ta ch¿ cƯn tẳm max cừa biºu thực sinα sin α
2 kπ α tùc l max cõa f 1 p α q sinα 2 sin p α
2 q GiÊi cĂc b i toĂn mởt bián n y, ta tẳm ữủc Ăp số b i toĂn l f p α, β q max bơng 3 ? 3
DĐu "=" ra khi tam giĂc ABC ãu.
CĂch 2 Cụng bơng phữỡng phĂp tữỡng tỹ, trữợc hát ta cố ành cÔnh BC l mởt dƠy cung ở d i 2a cừa ữớng trỏn bĂn kẵnh R v tẳm và trẵ iºm A trản ữớng trỏn sao cho diằn tẵch tam giĂc ABC lợn nhĐt Cõ thº chựng minh ữủc dạ d ng rơng iºm AcƯn tẳm chẵnh l trung iºm cừa cung lợn BC (nỡi m tiáp tuyán song song vợi BC) Diằn tẵch cừa tam giĂc cỹc Ôi n y bơng f p a q a
R a R 2 a 2 BƠy giớ ta ch¿ cƯn tẳm giĂ trà lợn nhĐt cừa f p a q trản r0, R s Tẵnh Ôo h m f 1 p a q , ta ữủc f 1 p a q R a R 2 a 2 a 2
2 , tứ õ ta tẳm ữủc f max 3 ? 3R 2
B i toĂn 3.2.4 Tẳm iºm P nơm trong tam giĂc sao cho tờng cĂc t số ở d i cĂc cÔnh trản khoÊng cĂch tứ P án cĂc cÔnh n y Ôt giĂ trà nhọ nhĐt.
Gồi a, b, c l ở d i cĂc cÔnh cừa tam giĂc v x, y, z l khoÊng cĂch tứ P án cĂc cÔnh tữỡng ựng Ta cƯn tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa h m số f p x, y, z q a x b y c z. Trong õ cĂc Ôi lữủng x, y, z liản hằ vợi nhau thổng qua diằn tẵch tam giĂc. Nối P vợi cĂc ¿nh tam giĂc, ta ữủc ba tam giĂc cõ tờng diằn tẵch bơng diằn tẵch S cừa tam giĂc Nhữ vêy ax
Nhữ vêy ta cõ b i toĂn: Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa h m số f p x, y, z q a x b y c z, vợi r ng buởc ¯ng thực g p x, y, z q ax by cz 2S Vợi cĂch l m tữỡng tỹ nhữ trản, vẳ gradient cừa g l pa, b, c q 0 nản ta lêp h m Lagrange dÔng
L p x, y, z, λ q a x b y c z λ p 2S ax by cz q iºm dứng cừa h m Lagrange l nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh
GiÊi hằ n y ta ữủc x y z Tực l P cĂch ãu cĂc cÔnh cừa tam giĂc, tực
P l tƠm ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc.
B i toĂn 3.2.5 Cho tam giĂc ABC vợi chu vi cho trữợc a b c 2p Ă 0. Chựng minh rơng a2p a a 2p b a 2p c ¤ a 12p.
DĐu bơng xÊy ra khi n o?
Líi gi£i. º chùng minh b§t ¯ng thùc n y ta gi£i b i to¡n cüc trà pP q : f p a, b, c q : a 2p a a 2p b a 2p c íẹ max vợi r ng buởc a, b, c Ă 0, a b c 2p Ta mð rởng b i toĂn pP q th nh b i to¡n pP q : f p a, b, c q : a 2p a a 2p b a 2p c íẹ max vợi r ng buởc a, b, c Ơ 0, a b c 2p Lêp luên tữỡng tỹ B i toĂn 3.2.3 ta kh¯ng ành b i toĂn n y luổn cõ nghiằm X²t cĂc trữớng hủp:
Mởt trong cĂc số bơng khổng, ch¯ng hÔn a 0 Khi õ, b c 2p, v theo B§t ¯ng thùc Bunhiacopski ta câ f p 0, b, c q a 2p a 2p b a 2p c ¤ a 2p ? 2 a 2p b 2p c p1 ? 2 q a 2p.
Trữớng hủpa, b, c Ă 0, a b c 2p Vẳ gradient cừa h mg p a, b, c q : a b c l p1,1,1 q p 0,0,0 q nản ta lêp h m Lagrange dÔng
So sĂnh giĂ trà cừa h m mửc tiảu tĐt cÊ cĂc trữớng hủp, vợi quan sĂt rơng p1 ? 2 q a 2p a 12p, ta kát luên nghiằm cừa hai b i toĂn pP q v pP q trũng nhau, v f max a 12p, Ôt ữủc tÔi p 2p 3 , 2p 3 , 2p 3 q Tứ õ ta suy ra bĐt ¯ng thùc c¦n chùng minh.
Sỷ dửng Luêt nhƠn tỷ Lagrange, ta cõ thº chựng minh cĂc bĐt ¯ng thực cỡ bÊn hay cĂc b i toĂn cỹc trà liản quan án tam giĂc mởt cĂch dạ d ng. Ch¯ng h¤n, ta x²t b i to¡n sau.
B i toĂn 3.2.6 Cho tam giĂc ABC Chựng minh rơng sinA sinB sinC ¤ 3 ? 3
2 Líi gi£i. º gi£i b i to¡n n y ta x²t b i to¡n f p A, B, C q sinA sinB sinC íẹ max, vợi A, B, C Ơ 0, A B C π Bơng cĂch l m tữỡng tỹ nhữ trản, ta kh¯ng ành rơng f max 3
2 Ôt ữủc tÔi p π 3 , π 3 , π 3 q , tực l khi tam giĂc ABC l tam giĂc ãu.
Bơng cĂch giÊi tữỡng tỹ nhữ b i toĂn trản, ta cõ thº giÊi b i toĂn sau
B i toĂn 3.2.7 Cho A, B, C l ba gõc cừa mởt tam giĂc Chựng minh rơng vợi mồi t P R ta cõ cosA t p cosB cosC q ¤ 1 t 2
B i toĂn 3.2.8 Cho tam giĂc nhồnABC Tẳm iºm P trong tam giĂcABC sao cho tờng khoÊng cĂch tứ P án ba cÔnh tam giĂc l nhọ nhĐt? (B i 2.4.20 ð ch÷ìng 2)
Gồia, b, cl ở d i cĂc cÔnh cừa tam giĂc v x, y, zl khoÊng cĂch tứP án cĂc cÔnh tữỡng ựng Ta cƯn tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa h m sốf p x, y, z q x y z, trong õ cĂc Ôi lữủngx, y, zliản quan vợi nhau thổng qua diằn tẵch tam giĂc. Nối P vợi cĂc ¿nh tam giĂc, ta ữủc ba tam giĂc con tờng diằn tẵch bơng diằn tẵch S cừa tam giĂc Khi õ, ax
2 S, v b i to¡n trð th nh: Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa h m số f p x, y, z q x y z vợi r ng buởc ax by cz 2S.
Ta cõ h m f liản tửc v miãn r ng buởc l õng v bà ch°n nản b i toĂn luổn cõ nghiằm Hỡn nỳa, gradient cừa h m r ng buởc l pa, b, c q p 0,0,0 q Khi õ, ta lêp h m Lagrange
L p x, y, z, λ q x y z λ p 2s ax by cz q iºm dứng cừa h m Lagrange thọa
Do õ tờng khoÊng cĂch tứ P án ba cÔnh tam giĂc l nhọ nhĐt khi P A.
B i toĂn 3.2.9 Cho tam giĂc ABC vuổng tÔi A Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thùc D cos 6 B
C ,(ð Ơy B,C o bơng radian) (Ơy l B i toĂn 2.4.2 ð ch÷ìng 2)
2 Ta õ gradient cừa h m r ng buởc g p B, C q B C l v²c tỡp1,1 q p 0,0 q , do õ ta lêp h m Lagrange dÔng
iºm dứng cừa h m Lagrange l nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh
1 π Nõi cĂch khĂc, biºu thực D Ôt giĂ trà nhọ nhĐt khi khi tam giĂc ABC vuổng cƠn tÔi A.
Nhên x²t 3.2.1 Hai b i toĂn n y  ữủc giÊi bơng kián thực phờ thổng ð Ch÷ìng 2 nh÷ng khi sû dòng ph÷ìng ph¡p nh¥n tû Lagrange º gi£i b i to¡n ữủc giÊi quyát mởt cĂch ỡn giÊn v dạ d ng hỡn.
Nhên x²t 3.2.2 (i) Chú ỵ rơng trong nhiãu b i toĂn bĐt ¯ng thực hay cỹc trà (khổng ối xựng) viằc giÊi chúng bơng cĂch sỷ dửng cĂc ph²p bián ời lữủng giĂc hay sỷ dửng cĂc bĐt ¯ng thực cỡ bÊn l khĂ khõ, ổi khi chúng ta khổng biát dĐu bơng xÊy ra ð Ơu.
(ii) Bơng cĂch l m tữỡng tỹ, ta cõ thº chựng minh cĂc bĐt ¯ng thực lữủng giĂc cỡ bÊn cho ð Chữỡng 1, hay cĂc bĐt ¯ng thực liản quan án cĂc yáu tố cừa tam giĂc cho trong Chữỡng 2 mởt cĂch dạ d ng (Bơng cĂch x²t giÊi b i toĂn cỹc trà cõ r ng buởc ¯ng thực) cụng nhữ tờng quĂt chóng.
Trong ã Ăn n y, tổi  trẳnh b y mởt cĂch cõ hằ thống vã cĂc b i toĂn bĐt ¯ng thực v cỹc trà trong tam giĂc Cử thº, ã Ăn  Ôt ữủc cĂc kát qu£ sau: ã Ăn  nảu ra ữủc mởt số kián thực cỡ bÊn vã bĐt ¯ng thực v cỹc trà trong viằc giÊi quyát cĂc b i toĂn cõ liản quan. ã Ăn  trẳnh b y cĂc dÔng toĂn vã bĐt ¯ng thực trong tam giĂc liản quan án gõc v cÔnh, ữớng phƠn giĂc,ữớng trung tuyán, ữớng cao, bĂn kẵnh, diằn tẵch v chu vi. ã Ăn  khai thĂc ữủc ựng dửng trong viằc giÊi cĂc b i toĂn vã bĐt ¯ng thực v cỹc trà, mởt dÔng toĂn vứa hay, vứa khõ thữớng cõ trong ký thiTHPT QG, thi HSG quốc gia, quốc tá nhỳng nơm gƯn Ơy Vẳ vêy, ã Ăn cõ thº dũng l m t i liằu tham khÊo cho sinh viản, hồc sinh, v giĂo viản ð bêc trung hồc phờ thổng.