Một số vấn đề về bất đẳng thức và cực trị trong tam giác

49 Trang 4 Líi cam oanTæi xin cam oan à Ăn vợi à ti Mởt số vĐn · v· b§t ¯ng thùcv cüc trà trong tam gi¡c l cổng trẳnh nghiản cựu khoa hồc cừa tổi dữợisỹ hữợng dăn cừa TS.. Nguyạn Hỳu Tr

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN TR†N THÀ TRÓC LINH MËT SÈ V‡N — V— B‡T NG THÙC V€ CÜC TRÀ TRONG TAM GIC — N TH„C Sž TON HÅC B¼nh ành - N«m 2023 1 Möc löc Mð ¦u 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 2 1.1 C¡c h» thùc l÷ñng cì b£n trong mët tam gi¡c 2 1.1.1 C¡c cæng thùc l÷ñng gi¡c 2 1.1.2 C¡c h» thùc l÷ñng gi¡c cì b£n 4 1.2 C¡c b§t ¯ng thùc cì b£n 6 1.2.1 B§t ¯ng thùc Cauchy 7 1.2.2 B§t ¯ng thùc Bunhiacopski 7 1.2.3 B§t ¯ng thùc Chebyshev 7 1.2.4 B§t ¯ng thùc Svacxì 8 2 B§t ¯ng thùc trong tam gi¡c 9 2.1 B§t ¯ng thùc tam gi¡c 9 2.2 B§t ¯ng thùc ÷íng g§p khóc 11 2.3 C¡c b§t ¯ng thùc cì b£n trong mët tam gi¡c 13 2.4 C¡c b i to¡n v· b§t ¯ng thùc v cüc trà trong tam gi¡c 15 2.4.1 C¡c b i to¡n v· gâc v c¤nh 15 2.4.2 C¡c b i to¡n v· ÷íng ph¥n gi¡c 22 2.4.3 C¡c b i to¡n v· ÷íng trung tuy¸n 27 2 2.4.4 C¡c b i to¡n v· ÷íng cao 36 2.4.5 C¡c b§t ¯ng thùc li¶n quan ¸n b¡n k½nh ÷íng trán nëi, ngo¤i ti¸p tam gi¡c 42 2.4.6 C¡c b i to¡n v· chu vi v di»n t½ch 49 3 Cüc trà trong tam gi¡c 56 3.1 Cüc trà cõa h m sè 56 3.1.1 Kh¡i ni»m cüc trà 56 3.1.2 i·u ki»n cüc trà 58 3.1.3 Luªt nh¥n tû Lagrange 58 3.2 C¡c b i to¡n 61 K˜T LUŠN 71 T€I LI›U THAM KHƒO 71 3 Líi cam oan Tæi xin cam oan · ¡n vîi · t i Mët sè v§n · v· b§t ¯ng thùc v cüc trà trong tam gi¡c l cæng tr¼nh nghi¶n cùu khoa håc cõa tæi d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Nguy¹n Húu Trån, nëi dung khæng sao ch²p cõa b§t ký ai v ch÷a tøng ÷ñc cæng bè d÷îi b§t k¼ h¼nh thùc n o, c¡c k¸t qu£ khæng ph£i cõa ri¶ng tæi ·u ÷ñc tr½ch d¨n nguçn gèc rã r ng B¼nh ành, ng y th¡ng n«m 2023 Håc vi¶n thüc hi»n · t i Tr¦n Thà Tróc Linh 1 Mð ¦u C¡c b i to¡n v· b§t ¯ng thùc v cüc trà trong tam gi¡c l mët ph¦n quan trång cõa to¡n sì c§p v câ mèi li¶n h» mªt thi¸t vîi nhau Câ r§t nhi·u d¤ng to¡n khâ li¶n quan ¸n chuy¶n · n y iºm kh¡c bi»t quan trång giúa b i to¡n b§t ¯ng thùc trong tam gi¡c v b i to¡n cüc trà trong tam gi¡c l : b i to¡n b§t ¯ng thùc trong tam gi¡c bi¸t tr÷îc c¡i ½ch ta ph£i i ¸n (tùc l bi¸t c£ hai v¸), cán b i to¡n cüc trà trong tam gi¡c th¼ khæng Do vªy b i to¡n cüc trà trong tam gi¡c câ ë phùc t¤p hìn c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc trong tam gi¡c Tuy nhi¶n, n¸u n­m vúng ÷ñc c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc trong tam gi¡c th¼ công d¹ d ng l m ÷ñc c¡c b i to¡n cüc trà trong tam gi¡c, v ng÷ñc l¤i Trong c¡c k¼ thi håc sinh giäi quèc gia, thi Olympic to¡n quèc t¸, c¡c b i to¡n li¶n quan ¸n cüc trà trong tam gi¡c công hay ÷ñc · cªp v thuëc lo¤i khâ C¡c b i to¡n v· chùng minh b§t ¯ng thùc, cüc trà trong tam gi¡c hay nhªn d¤ng tam gi¡c ¢ ÷ñc · cªp nhi·u ð c¡c t i li»u bçi d÷ïng gi¡o vi¶n v håc sinh chuy¶n to¡n bªc trung håc phê thæng Nh¬m ¡p ùng nhu c¦u håc tªp v gi£ng d¤y cõa håc sinh, gi¡o vi¶n ð bªc phê thæng, · ¡n n y tªp trung nghi¶n cùu mët c¡ch câ h» thèng ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n v· b§t ¯ng thùc v cüc trà trong tam gi¡c V¼ vªy tæi ¢ ho n th nh · ¡n vîi · t i: Mët sè v§n · v· b§t ¯ng thùc v cüc trà trong tam gi¡c 2 Ngo i líi nâi ¦u, k¸t luªn v t i li»u tham kh£o, luªn v«n ÷ñc bè cöc th nh 3 ch÷ìng: Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà Tr¼nh b y v· nhúng ki¸n thùc cì b£n ÷ñc dòng trong c¡c ch÷ìng sau nh÷: C¡c h» thùc l÷ñng cì b£n trong tam gi¡c v c¡c b§t ¯ng thùc cì b£n Ch÷ìng 2: B§t ¯ng thùc trong tam gi¡c Trong ch÷ìng n y t¡c gi£ dòng ki¸n thùc ÷ñc dòng ð bªc phê thæng ÷ñc cho ð ch÷ìng tr÷îc º tr¼nh b y c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc v· c¤nh v gâc, ÷íng ph¥n gi¡c, ÷íng trung tuy¸n, ÷íng cao, c¡c lo¤i b¡n k½nh công nh÷ c¡c b i to¡n li¶n quan ¸n chu vi v di»n t½ch Ch÷ìng 3: Cüc trà trong tam gi¡c Trong ch÷ìng n y t¡c gi£ tr¼nh b y lþ thuy¸t cüc trà cõa h m sè mët bi¸n hay nhi·u bi¸n, v sû döng chóng º gi£i mët sè b i to¡n b§t ¯ng thùc, cüc trà li¶n quan ¸n tam gi¡c, hay b i to¡n gi£i tam gi¡c m æi khi c¡c ph÷ìng ph¡p ÷ñc tr¼nh b y ð ch÷ìng tr÷îc khâ ho°c khêng thº gi£i quy¸t ÷ñc Ph÷ìng ph¡p phò hñp º gi£i quy¸t c¡c v§n · n y l Luªt nh¥n tû Lagrange Ph÷ìng ph¡p nh¥n tû Lagrange ÷ñc dòng º gi£i c¡c b i to¡n cüc trà vîi r ng buëc ¯ng thùc V¼ vªy, nâ l cæng cö r§t phò hñp º gi£i c¡c b i to¡n cüc trà hay b§t ¯ng thùc trong tam gi¡c · ¡n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa th¦y TS Nguy¹n Húu Trån T¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn s¥u s­c ¸n Th¦y ¢ nhªn líi h÷îng d¨n, gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu º tæi câ thº ho n th nh · ¡n n y Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn ch¥n th nh quþ th¦y cæ trong khoa To¡n v Thèng k¶, pháng Sau ¤i håc tr÷íng ¤i håc Quy Nhìn, °c bi»t l quþ th¦y cæ ¢ trüc ti¸p gi£ng d¤y cho lîp Cao håc To¡n chuy¶n ng nh Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p khâa 24 Cuèi còng tæi xin c£m ìn ¸n gia ¼nh, ng÷íi th¥n v 3 b¤n b± ¢ luæn õng hë, gióp ï v t¤o i·u ki»n cho tæi v· måi m°t trong thíi gian qua Trong qu¡ tr¼nh ho n th nh · ¡n t¡c gi£ ¢ khæng ngøng né lüc º håc häi, t¼m tái v s÷u t¦m c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc v cüc trà trong tam gi¡c Tuy nhi¶n, do sü hiºu bi¸t cõa b£n th¥n, i·u ki»n thíi gian v khuæn khê cõa ç ¡n v«n th¤c s¾, n¶n ch­c ch­n r¬ng trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu khæng tr¡nh khäi nhúng khi¸m khuy¸t T¡c gi£ mong ÷ñc sü ch¿ d¤y cõa c¡c th¦y, cæ gi¡o v c¡c qóy b¤n åc º · ¡n cõa tæi th¶m ho n thi»n hìn Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn! B¼nh ành, ng y th¡ng n«m 2023 Håc vi¶n thüc hi»n · t i Tr¦n Thà Tróc Linh 1 Danh möc c¡c k½ hi»u v c¡c chú vi¸t t­t A, B, C : C¡c gâc trong tam gi¡c a, b, c : C¡c c¤nh èi di¶n vîi c¡c ¿nh A, B, C r, R : B¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p v ngo¤i ti¸p cõa tam gi¡c ABC ha, hb, hc : C¡c chi·u cao t÷ìng ùng k´ tø A, B, C ma, mb, mc : ë d i c¡c ÷íng trung tuy¸n xu§t ph¡t tø A, B, C la, lb, lc : ë d i c¡c ÷íng ph¥n gi¡c trong cõa ba gâc A, B, C ra, rb, rc : B¡n k½nh c¡c ÷íng trán b ng ti¸p c¡c gâc A, B, C p : Nûa chu vi tam gi¡c S : Di»n t½ch tam gi¡c 2 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, tæi s³ tr¼nh b y v· nhúng ki¸n thùc cì b£n ÷ñc dòng trong c¡c ch÷ìng sau nh÷: C¡c h» thùc l÷ñng cì b£n trong mët tam gi¡c, c¡c h» thùc v· ÷íng ph¥n gi¡c, c¡c h» thùc v· ÷íng trung tuy¸n, c¡c h» thùc v· ÷íng cao, c¡c b§t ¯ng thùc cì b£n trong tam gi¡c v mët sè v§n · li¶n quan C¡c nëi dung n y ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1], [2], [3] 1.1 C¡c h» thùc l÷ñng cì b£n trong mët tam gi¡c 1.1.1 C¡c cæng thùc l÷ñng gi¡c C¡c h» thùc l÷ñng gi¡c cì b£n: sin2 α cos2 α  1, tan α ¤ cot α  1 cot α  cos α, 1 tan2 α  cos21 α 1 cot2 α  21 sin α sin α tan α  sin α , cos α 3 Cæng thùc cëng: sinpα βq  sin α ¤ cos β cos α ¤ sin β, sinpα ¡ βq  sin α ¤ cos β ¡ cos α ¤ sin β, cospα βq  cos α ¤ cos β ¡ sin α ¤ sin β, cospα ¡ βq  cos α ¤ cos β sin α ¤ sin β, tanpα βq  tan α tan β 1 ¡ tan α ¤ tan β , tanpα ¡ βq  tan α ¡ tan β 1 tan α ¤ tan β Cæng thùc nh¥n: sin 2α  2 sin α cos α, cos 2α  cos2 α ¡ sin2 α  2 cos2 α ¡ 1  1 ¡ 2 sin2 α, tan 2α  1 ¡ tan2 2 tan αα, sin 3α  3 sin α ¡ 4 sin3 α, cos 3α  4 cos3 α ¡ 3 cos α, tan 3α  1 ¡ 3 tan2 3 tan α ¡ tanα 3 α Cæng thùc bi¸n têng th nh t½ch: sin α sin β  2 sin α β ¤ cos α ¡ β , 2 2 ¡β sin α ¡ sin β  2 cos α β ¤ sin α , 2 2 ¡β cos α cos β  2 cos α β ¤ cos α , 2 2 ¡β cos α ¡ cos β  ¡2 sin α β ¤ sin α , 2 2 pα βq tan α tan β  sin cos α ¤ cos β , tan α ¡ tan β  sinpα ¡ βq , cos α ¤ cos β cot α cot β  sinpα βq sin α ¤ sin β , cot α ¡ cot β  sinpα ¡ βq sin α ¤ sin β