Tam giác fuhrmann và một số vấn đề liên quan

.283 Tam giác Fuhrmann và một số tâm tam giác333.1Các đường tròn chín điểm và điểm Feuerbach.. Mục đích của đề tài luận vănTam giác Fuhrmann và đường tròn Fuhrmann là những cái tên cótừ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRỊNH THỊ NGỌC TAM GIÁC FUHRMANN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tập thể giáo viên hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Việt Hải TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh THÁI NGUYÊN - 2024 i Danh mục các hình 1.1 Diện tích đại số 5 1.2 Các điểm Feuerbach 12 1.3 Điểm Nagel 14 1.4 Đường tròn Spieker và đường thẳng Nagel 15 2.1 ∆J ′aJ ′bJ ′c là tam giác Fuhrmann của ∆ABC 18 0 A′ 0 B′ 0C ′2.2 Ja = 90 − , Jb = 90 − , Jc = 90 − 20 2 2 2 2.3 ∆XY Z là tam giác Fuhrmann của tam giác ∆A1B1C1 21 2.4 Tâm trực giao thứ hai P 26 2.5 Tam giác Fuhrmann và tam giác Carnot trực giao 27 2.6 Đường tròn Fuhrmann và đường kính của nó 29 2.7 Quan hệ giữa các điểm Fu, H, G, N, I, O, O9 30 2.8 Dựng đường tròn Fuhrmann 32 3.1 Các tam giác XiYiZi và O9 36 3.2 ∆FeX0X1 và ∆AIO đồng dạng thuận 37 3.3 Bốn dường tròn chín điểm µ, µa, µb, µc đi qua Fe 38 3.4 F1X3, F2Y3, F3Z3 vuông góc với OI 39 3.5 Ba đường thẳng O1I1, O2I2, O3I3 đồng quy tai Fe 40 3.6 Trục thấu xạ ℓF tiếp xúc (O9) tại Fe 41 3.7 Tâm trực giao N và X(100) = điểm đối bù của Fe 43 3.8 Bảy đường tròn đồng quy tại K = X(109) 45 3.9 Biểu diễn các diểm Fu, I, H, N, Sp, 47 ii Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Tâm tỷ cự của hệ chất điểm 2 1.1.1 Hệ chất điểm và tâm tỷ cự 2 1.1.2 Các tính chất cơ bản của tâm tỷ cự 4 1.1.3 Diện tích đại số và tâm tỷ cự 5 1.2 Điểm Feuerbach, điểm Nagel và điểm Spieker 8 1.2.1 Một số kết quả trong tọa độ barycentric 8 1.2.2 Tọa độ các điểm Feuerbach 11 1.2.3 Điểm Nagel và đường tròn Spieker 13 2 Tam giác Fuhrmann và đường tròn Fuhrmann 17 2.1 Tam giác Fuhrmann và các tính chất 18 2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu 18 2.1.2 Các tính chất của tam giác Fuhrmann 18 2.2 Đường tròn Fuhrmann và tâm Fuhrmann 28 3 Tam giác Fuhrmann và một số tâm tam giác 33 3.1 Các đường tròn chín điểm và điểm Feuerbach 36 3.2 Tam giác Fuhrmann và điểm Feuerbach 38 3.3 Hai tâm trực giao của ∆JaJbJc và ∆J ′aJ ′bJ ′c 40 Tài liệu tham khảo 49 iii Mở đầu 1 Mục đích của đề tài luận văn Tam giác Fuhrmann và đường tròn Fuhrmann là những cái tên có từ thế kỷ thứ 19 do Wilhelm Ferdinand Fuhrmann, một nhà toán học người Đức, phát hiện ra và công bố Tuy nhiên chỉ có ngày nay, với nhiều công cụ hình học mạnh như véc tơ, biến hình, toạ độ Descartes, toạ độ barycentric, người ta mới có thể tìm được các tính chất sâu sắc của các khái niệm này Các bài báo và tài liệu [2], [5] vừa công bố trong những năm 2016, 2020 đã chứng tỏ điều đó Những phát hiện mới trong bài báo [2] về liên hệ giữa tam giác Fuhrmann và điểm Feuerbach là những sự kiện nổi bật, gây bất ngờ trong lĩnh vực toán học sơ cấp Mục đích của đề tài này là: - Giới thiệu các kiến thức xung quanh tam giác Fuhrmann, đặc biệt là các tính chất riêng của tam giác này, các tính chất hình học liên quan đến trực tâm, tâm nội ngoại tiếp, tam giác trung điểm, đường tròn chín điểm - Trình bày hai nội dung: Xác định một trục thấu xạ của 2 tam giác tiếp xúc với đường tròn chín điểm tại điểm Feuerbach và hai tâm trực giao của 2 tam giác là 2 điểm đặc biệt trong "Bách khoa toàn thư về các tâm tam giác", [4], là những sự kiện hình học mới, có tính phát hiện - Vận dụng nhiều phương pháp hình học mới: Phương pháp véc tơ, phương pháp toạ độ, phương pháp tâm tỷ cự, để khai thác mối quan hệ giữa các sự kiện hình học mới với những kiến thức đã có Từ đó, bồi dưỡng năng lực dạy-học các chuyên đề khó ở trường THCS và THPT góp phần đào tạo học sinh học giỏi môn Hình học iv 2 Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết Trình bày tất cả các yếu tố có trong tam giác Fuhrmann, mối liên hệ giữa các yếu tố hình học với nhau bằng các phương pháp hình học và phương pháp đại số Nội dung luận văn chia làm 3 chương: Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị cho 2 chương sau về toạ độ tỷ cự và phương pháp toạ độ barycentric Nhấn mạnh các kết quả đã có về các điểm Feuerbach nhằm kết nối tam giác Fuhrmann và đường tròn Fuhrmann với các điểm, đường thẳng, đường tròn đã biết Nội dung chương này được tham khảo chính trong [1] và [6] Chương này bao gồm: 1.1 Tâm tỷ cự của hệ chất điểm 1.2 Điểm Feuerbach, điểm Nagel và điểm Spieker Chương 2 Tam giác Fuhrmann và đường tròn Fuhrmann Trình bày toàn bộ các yếu tố của tam giác Fuhrmann và đường tròn Fuhrmann Đặc biệt chứng minh chi tiết các tính chất của tam giác và đường tròn này bằng nhiều công cụ khác nhau, kết hợp phương pháp hình học, phương pháp đại số, phương pháp véc tơ, Nội dung được tham khảo chính trong [2] và [5] Chương này bao gồm các mục sau: 2.1 Tam giác Fuhrmann và các tính chất 2.2 Đường tròn Fuhrmann và tâm Fuhrmann Chương 3 Tam giác Fuhrmann và một số tâm tam giác Chương 3 giới thiệu 2 kết quả mới về tam giác Fuhrmann ∆Ja′ Jb′Jc′ được Nguyen Thanh Dung công bố trong [2] Chúng tôi sắp xếp, chọn v lọc, bổ sung những kết quả cần thiết nhằm làm hoàn chỉnh hơn 2 kết quả này Đó là định lý về trục thấu xạ tiếp xúc đường tròn chín điểm tại chính điểm Feuerbách Fe và định lý về 2 tam giác trực giao: tam giác JaJbJc và tam giác Fuhrmann Công cụ chủ yếu để chứng minh là các tính toán trên toạ độ barycentric Nội dung bao gồm 3 mục 3.1 Các đường tròn chín điểm và điểm Feuerbach 3.2 Tam giác Fuhrmann và điểm Feuerbach 3.3 Hai tâm trực giao của ∆JaJbJc và ∆Ja′ Jb′Jc′ vi Lời cảm ơn Sau hơn nửa năm nghiên cứu, luận văn thạc sĩ của tôi với đề tài nghiên cứu "Tam giác Fuhrmann và một số vấn đề liên quan" đã được hoàn thành Những kết quả mà tôi thu được đó là nhờ sự hướng dẫn, tận tình và nghiêm khắc của tập thể giáo viên hướng dẫn PGS TS Nguyễn Việt Hải và TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với tập thể hướng dẫn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo và Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và hoàn thành đề tài này trong thời gian qua Và cũng cảm ơn tới bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu Do kiến thức của bản thân còn hạn chế và thiếu kinh nghiệm thực tiễn nên nội dung luận văn khó tránh những thiếu sót Tôi rất mong nhận sự góp ý, bổ sung thêm từ các Thầy cô và của các đồng nghiệp nhằm làm cho kết quả nghiên cứu hoàn chỉnh và có ích hơn Trân trọng cảm ơn! 1 MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Stt Ký hiệu Nội dung ký hiệu Trang 1 XY Z Diện tích đại số 6 2 (x : y : z) Toạ độ barycentric 6 3 X(i) Tâm tam giác trong ETC, [4] 7 4 JaJbJc Tam giác Ce′va vòng của I 20 5 J ′aJ ′bJ ′c Tam giác Fuhrmann 18 6 IaIbIc Tam giác bàng tiếp 23 7 HI2 Phép vị tự tâm I, tỷ số 2 24 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương 1 là những kiến thức đã được đề cập đến trong các luận văn bảo vệ các năm 2010, 2016 hoặc trong tài liệu [6] Chúng tôi bỏ qua các phép chứng minh và một số kỹ thuật tính toán Các điểm Feuerbach, điểm Nagel, đường tròn Spieker được bổ sung thêm Mục đích của chương này là để việc trình bày các chương sau được logic và dễ dàng hơn 1.1 Tâm tỷ cự của hệ chất điểm Các khái niệm ở đây được xét trong mặt phẳng hoặc trong không gian Thuật ngữ "barycentric" được nhiều tác giả dịch là "tâm tỷ cự" hoặc "khối tâm", Trong luận văn này chúng tôi vẫn sử dụng chữ "tâm tỷ cự" đồng thời với "barycentric" do tính chất lịch sử của khái niệm và phù hợp với các tài liệu hiện hành 1.1.1 Hệ chất điểm và tâm tỷ cự Mệnh đề 1.1 Cho hai điểm A, B và hai số thực m1, m2 không đồng thời bằng 0 Khi đó −→ −→ ⃗ i Nếu m1 + m2 = 0 thì không có Z sao cho m1ZA + m2ZB = 0 3 ii Nếu m1 + m2̸ = 0 thì tồn tại duy nhất điểm Z sao cho −→ −→ ⃗ m1.ZA + m2ZB = 0 Khi Z thỏa mãn đẳng thức trên thì với mọi điểm O ta luôn có: −→ −−→ −→ m1OA + m2OB OZ = m1 + m2 Một cách tổng quát ta có: Mệnh đề 1.2 Cho n điểm A1, A2, , An và n số thực m1, m2, , mn không đồng thời bằng 0 Khi đó i Nếu m1 + m2 + + mn = 0 thì không có Z sao cho −−→ −−→ −−→ ⃗ m1ZA1 + m2ZA2 + + mnZAn = 0 ii Nếu m1 + m2 + + mn̸ = 0 thì tồn tại duy nhất điểm Z sao cho −−→ −−→ −−→ ⃗ m1ZA1 + m2ZA2 + + mnZAn = 0 (1.1) Khi có Z thỏa mãn (1.8) thì với mọi điểm O ta luôn có : −−→ −−→ −−→ −→ m1OA1 + m2OA2 + + mnOAn OZ = (1.2) m1 + m2 + + mn Định nghĩa 1.1 Giả sử P là tập hợp điểm trên mặt phẳng, tích Decast- erte R × P được gọi là "một hệ chất điểm" trong mặt phẳng Mỗi chất điểm có hai thành phần, được viết là mA hoặc m.A hoặc (m, A) ∈ R×P, thành phần thứ nhất là số, thành phần thứ hai là điểm Định nghĩa 1.2 Điểm Z xác định duy nhất từ hệ thức (1.2) với các số thực m1, m2, , mn thoả mãn điều kiện m1 + m2 + + m3̸ = 0 được gọi là tâm tỷ cự của hệ chất điểm {miAi}ni=1, với Σni=1mi̸ = 0 và viết Z ≡ [m1A1, m2A2, , mnAn] hay ký hiệu tắt là Z ≡ [miAi]1≤i≤n Ký hiệu I ≡ [1A, 1B], tức I là tâm tỷ cự của hệ chất điểm {1A, 1B}, đó là trung điểm của đoạn thẳng AB Khi G là trọng tâm tam giác ABC, ta viết G ≡ [1A, 1B, 1C] (tức là: trọng tâm là tâm tỷ cự của 3 đỉnh A, B, C trong tam giác)