Tam giác fuhrmann và một số vấn đề liên quan

.283 Tam giác Fuhrmann và một số tâm tam giác333.1Các đường tròn chín điểm và điểm Feuerbach.. Mục đích của đề tài luận vănTam giác Fuhrmann và đường tròn Fuhrmann là những cái tên cótừ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Tập thể giáo viên hướng dẫn khoa học:

PGS TS Nguyễn Việt Hải

TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh

THÁI NGUYÊN - 2024

Danh mục các hình

1.1 Diện tích đại số 5

1.2 Các điểm Feuerbach 12

1.3 Điểm Nagel 14

1.4 Đường tròn Spieker và đường thẳng Nagel 15

2.1 ∆Ja′Jb′Jc′ là tam giác Fuhrmann của ∆ABC 18

2.2 J b′ a = 900 − A 2 , J b ′ b = 900 − B 2 , J b ′ c = 900 − C 2 . 20

2.3 ∆XY Z là tam giác Fuhrmann của tam giác ∆A1B1C1 21 2.4 Tâm trực giao thứ hai P 26

2.5 Tam giác Fuhrmann và tam giác Carnot trực giao 27 2.6 Đường tròn Fuhrmann và đường kính của nó 29

2.7 Quan hệ giữa các điểm Fu, H, G, N, I, O, O9 30

2.8 Dựng đường tròn Fuhrmann 32

3.1 Các tam giác XiYiZi và O9 36

3.2 ∆FeX0X1 và ∆AIO đồng dạng thuận 37

3.3 Bốn dường tròn chín điểm µ, µa, µb, µc đi qua Fe 38 3.4 F1X3, F2Y3, F3Z3 vuông góc với OI 39

3.5 Ba đường thẳng O1I1, O2I2, O3I3 đồng quy tai Fe 40 3.6 Trục thấu xạ ℓF tiếp xúc (O9) tại Fe 41

3.7 Tâm trực giao N và X(100) = điểm đối bù của Fe 43 3.8 Bảy đường tròn đồng quy tại K = X(109) 45

3.9 Biểu diễn các diểm Fu, I, H, N, Sp, 47

Mục lục

1.1 Tâm tỷ cự của hệ chất điểm 2

1.1.1 Hệ chất điểm và tâm tỷ cự 2 1.1.2 Các tính chất cơ bản của tâm tỷ cự 4 1.1.3 Diện tích đại số và tâm tỷ cự 5 1.2 Điểm Feuerbach, điểm Nagel và điểm Spieker 8

1.2.1 Một số kết quả trong tọa độ barycentric 8 1.2.2 Tọa độ các điểm Feuerbach 11 1.2.3 Điểm Nagel và đường tròn Spieker 13

2 Tam giác Fuhrmann và đường tròn Fuhrmann 17 2.1 Tam giác Fuhrmann và các tính chất 18

2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu 18 2.1.2 Các tính chất của tam giác Fuhrmann 18 2.2 Đường tròn Fuhrmann và tâm Fuhrmann 28

3 Tam giác Fuhrmann và một số tâm tam giác 33 3.1 Các đường tròn chín điểm và điểm Feuerbach 36 3.2 Tam giác Fuhrmann và điểm Feuerbach 38 3.3 Hai tâm trực giao của ∆JaJbJc và ∆Ja′Jb′Jc′ 40

Mở đầu

1 Mục đích của đề tài luận văn

Tam giác Fuhrmann và đường tròn Fuhrmann là những cái tên có

từ thế kỷ thứ 19 do Wilhelm Ferdinand Fuhrmann, một nhà toán họcngười Đức, phát hiện ra và công bố Tuy nhiên chỉ có ngày nay, với nhiềucông cụ hình học mạnh như véc tơ, biến hình, toạ độ Descartes, toạ độbarycentric, người ta mới có thể tìm được các tính chất sâu sắc của cáckhái niệm này Các bài báo và tài liệu [2], [5] vừa công bố trong nhữngnăm 2016, 2020 đã chứng tỏ điều đó Những phát hiện mới trong bàibáo [2] về liên hệ giữa tam giác Fuhrmann và điểm Feuerbach là những

sự kiện nổi bật, gây bất ngờ trong lĩnh vực toán học sơ cấp

Mục đích của đề tài này là:

- Giới thiệu các kiến thức xung quanh tam giác Fuhrmann, đặc biệt

là các tính chất riêng của tam giác này, các tính chất hình học liên quanđến trực tâm, tâm nội ngoại tiếp, tam giác trung điểm, đường tròn chínđiểm

- Trình bày hai nội dung: Xác định một trục thấu xạ của 2 tam giáctiếp xúc với đường tròn chín điểm tại điểm Feuerbach và hai tâm trựcgiao của 2 tam giác là 2 điểm đặc biệt trong "Bách khoa toàn thư về cáctâm tam giác", [4], là những sự kiện hình học mới, có tính phát hiện

- Vận dụng nhiều phương pháp hình học mới: Phương pháp véc tơ,phương pháp toạ độ, phương pháp tâm tỷ cự, để khai thác mối quan

hệ giữa các sự kiện hình học mới với những kiến thức đã có Từ đó, bồidưỡng năng lực dạy-học các chuyên đề khó ở trường THCS và THPTgóp phần đào tạo học sinh học giỏi môn Hình học

2 Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết

Trình bày tất cả các yếu tố có trong tam giác Fuhrmann, mối liên

hệ giữa các yếu tố hình học với nhau bằng các phương pháp hình học

và phương pháp đại số Nội dung luận văn chia làm 3 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị cho 2 chương sau vềtoạ độ tỷ cự và phương pháp toạ độ barycentric Nhấn mạnh các kếtquả đã có về các điểm Feuerbach nhằm kết nối tam giác Fuhrmann vàđường tròn Fuhrmann với các điểm, đường thẳng, đường tròn đã biết.Nội dung chương này được tham khảo chính trong [1] và [6] Chương nàybao gồm:

1.1 Tâm tỷ cự của hệ chất điểm

1.2 Điểm Feuerbach, điểm Nagel và điểm Spieker

Chương 2 Tam giác Fuhrmann và đường tròn FuhrmannTrình bày toàn bộ các yếu tố của tam giác Fuhrmann và đườngtròn Fuhrmann Đặc biệt chứng minh chi tiết các tính chất của tam giác

và đường tròn này bằng nhiều công cụ khác nhau, kết hợp phương pháphình học, phương pháp đại số, phương pháp véc tơ, Nội dung đượctham khảo chính trong [2] và [5] Chương này bao gồm các mục sau:2.1 Tam giác Fuhrmann và các tính chất

2.2 Đường tròn Fuhrmann và tâm Fuhrmann

Chương 3 Tam giác Fuhrmann và một số tâm tam giác

Chương 3 giới thiệu 2 kết quả mới về tam giác Fuhrmann ∆Ja′Jb′Jc′được Nguyen Thanh Dung công bố trong [2] Chúng tôi sắp xếp, chọn

lọc, bổ sung những kết quả cần thiết nhằm làm hoàn chỉnh hơn 2 kếtquả này Đó là định lý về trục thấu xạ tiếp xúc đường tròn chín điểm tạichính điểm Feuerbách Fe và định lý về 2 tam giác trực giao: tam giác

JaJbJc và tam giác Fuhrmann Công cụ chủ yếu để chứng minh là cáctính toán trên toạ độ barycentric Nội dung bao gồm 3 mục

3.1 Các đường tròn chín điểm và điểm Feuerbach

3.2 Tam giác Fuhrmann và điểm Feuerbach

3.3 Hai tâm trực giao của ∆JaJbJc và ∆Ja′Jb′Jc′

Lời cảm ơnSau hơn nửa năm nghiên cứu, luận văn thạc sĩ của tôi với đề tàinghiên cứu "Tam giác Fuhrmann và một số vấn đề liên quan" đã đượchoàn thành Những kết quả mà tôi thu được đó là nhờ sự hướng dẫn,tận tình và nghiêm khắc của tập thể giáo viên hướng dẫn PGS TS.Nguyễn Việt Hải và TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh Tôi xin được bày tỏlòng biết ơn sâu sắc đối với tập thể hướng dẫn.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo và TrườngĐại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuậnlợi cho tôi học tập và hoàn thành đề tài này trong thời gian qua Vàcũng cảm ơn tới bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ tôi trongsuốt quá trình nghiên cứu

Do kiến thức của bản thân còn hạn chế và thiếu kinh nghiệm thựctiễn nên nội dung luận văn khó tránh những thiếu sót Tôi rất mongnhận sự góp ý, bổ sung thêm từ các Thầy cô và của các đồng nghiệpnhằm làm cho kết quả nghiên cứu hoàn chỉnh và có ích hơn

Trân trọng cảm ơn!

MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN

2 (x : y : z) Toạ độ barycentric 6

dễ dàng hơn.

Các khái niệm ở đây được xét trong mặt phẳng hoặc trong khônggian Thuật ngữ "barycentric" được nhiều tác giả dịch là "tâm tỷ cự"hoặc "khối tâm", Trong luận văn này chúng tôi vẫn sử dụng chữ "tâm

tỷ cự" đồng thời với "barycentric" do tính chất lịch sử của khái niệm vàphù hợp với các tài liệu hiện hành

ii Nếu m1 + m2 ̸= 0 thì tồn tại duy nhất điểm Z sao cho

Mệnh đề 1.2 Cho n điểm A1, A2, , An và n số thực m1, m2, , mnkhông đồng thời bằng 0 Khi đó

i Nếu m1 + m2 + + mn = 0 thì không có Z sao cho

số thực m1, m2, , mn thoả mãn điều kiện m1+ m2+ + m3 ̸= 0 đượcgọi là tâm tỷ cự của hệ chất điểm {miAi}n

i=1, với Σni=1mi ̸= 0 và viết

Z ≡ [m1A1, m2A2, , mnAn] hay ký hiệu tắt là Z ≡ [miAi]1≤i≤n

Ký hiệu I ≡ [1A, 1B], tứcI là tâm tỷ cự của hệ chất điểm {1A, 1B},

ABC, ta viết G ≡ [1A, 1B, 1C] (tức là: trọng tâm là tâm tỷ cự của 3đỉnh A, B, C trong tam giác)

1.1.2 Các tính chất cơ bản của tâm tỷ cự

Ta liệt kê 3 tính chất cơ bản sau của tâm tỷ cự

Tính chất 1.1 Mỗi hệ hữu hạn các chất điểm { m1A1, , mkAn } với

m1+ + mn ̸= 0 đều xác định duy nhất tâm tỷ cử của hệ sai khác mộthằng số khác không: Z ≡ [miAi]1≤i≤n ≡ [kmiAi]1≤i≤n, k ̸= 0

Tính chất 1.2 (Quy tắc Archimedes) Tâm tỷ cự của hai hệ chất điểm{m1A1, m2A2} nằm trên đoạn thẳng (hoặc đường thẳng) nối hai điểm

A1, A2 Vị trí tâm tỷ cự xác định theo "quy tắc cân bằng của đòn bẩy"của Archimedes (gọi là quy tắc Archimedes): |m1|d1 = |m2|d2

α khi và chỉkhi M ≡ [αA, βB]

Tính chất 1.3 (Tính chất kết hợp) Giả sử ta lấy ra k chất điểm{m1A1, m2A2, , mkAk} trong hệ n chất điểm {m1A1, m2A2, , mnAn}

và gọi C là tâm tỷ cự của hệ k chất điểm đó Khi đó hệ chất điểm banđầu có cùng tâm tỷ cự với hệ chất điểm

{(m1 + m2 + + mk)C, mk+1Ak+1, , mnAn}

Từ tính chất kết hợp ta có các hệ quả hiển nhiên sau

thứ tự đặt các trọng lượng m1, m2, m3 Nếu B′ là tâm tỷ cự của hệ{m1A, m3C}; C′ là tâm tỷ cự của hệ {m1A, m2B} thì Z = BB′∩ CC′

là tâm tỷ cự của hệ ba điểm {m1A, m2B, m3C}

Ký hiệu thu gọn

ký hiệu thu gọn là

Z = m1.A1 + m2.A2 + + mn.An

m1 + m2 + + mn . (1.3)

Hình 1.1: Diện tích đại số

hay (m1+ m2+ + mn).Z = m1.A1+ m2+ A2 + + mn.An (1.4)

hệ chất điểm m1.A1 + m2 + A2 + + mn.An Chẳng hạn, khi viết

P = 2.A + 3.B + 8.C

{2A, 3B, 8C} Từ tính chất kết hợp ta có thể sử dụng ký hiệu thugọn linh hoạt hơn: Ký hiệu

P = (2.A + 3.B) + 8.C

5.D + 8.C

13 ⇒ P ∈ CD

diễn tả bằng lời:"Giả sử P là tâm tỷ cự của hệ chất điểm {2A, 3B, 8C},

hệ {5D, 8C}"

Để thấy mối liên hệ quan trọng giữa tâm tỷ cự và diên tích, ta nói

sơ lược về diện tích đại số như sau

Định nghĩa 1.3 Trong mặt phẳng định hướng diện tích đại số của tam

của nó là diện tích (hình học) của tam giác đó với dấu + hay − tùy theo

ABM + BCM + CAM = ABC

B′C′ = ABC

AB′C′

M C =

OBAOCA.

M C =

M BA

M CA.Tính chất sau đặc biệt quan trọng khi ta chuyển sang xét tọa độ tâm

tính chất này mà tọa độ tỷ cự còn được gọi là "tọa độ diện tích"

M ≡ M BC.A, M CA.B, M AB.C

Từ tính chất 1.4 này ta suy ra hệ quả

M ≡ SM BC.A, SM CA.B, SM AB.C

M ≡  − SM BC.A, SM CA.B, SM AB.C

Tương tự cho các vị trí khác của M

x : y : z = M BC, M CA, M AB

Ta có tọa độ barycentric của một số điểm hay gặp trong tam giác ABC:Một số điểm trong Bách khoa toàn thư các tâm tam giác, ký

c Quan hệ song song, vuông góc

là (n − p : p − m : m − n)

Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(x0 : y0 : z0) với x0+ y0+

z0 = 1, véc tơ chỉ phương ⃗u = (α, β, γ) với α + β + γ = 0 là

x y z

x0 y0 z0

α β γ

:

m2 n2

m3 n3

!

(1.5)

Lấy ABC là tam giác cơ sở trong tọa độ barycentric, khi đó A = (1 :

0 : 0), B = (0 : 1 : 0), C = (0 : 0 : 1) Ta nhắc lại các kết quả sau khidùng tọa độ barycentric:

Cho P = (u : v : w) là hữu hạn nếu u + v + w ̸= 0, điểm P hữu hạnđược gọi là điểm có tọa độ barycentric tuyệt đối nếu u + v + w = 1

− Nếu các điểm Pi = (xi : yi : zi), i = 1, 2, 3 có tọa độ barycentrictuyệt đối thì diện tích của SP1P2P3 =