Tập chebyshev và một số vấn đề liên quan (tt)

i Mục lục Một số kí hiệu ii MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phép chiếu metric điểm lên tập hợp 1.1.1 Tập lồi tập lồi trung điểm 1.1.2 Khoảng cách từ điểm đến tập hợp 1.1.3 Phép chiếu metric 1.1.4 Phiếm hàm nửa liên tục 1.1.5 Nguyên lý biến phân Ekland 1.2 Hình học không gian Banach 1.2.1 Không gian Banach lồi chặt, lồi đều, trơn, trơn Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP CHEBYSEV 2.1 Điều kiện cần điều kiện đủ để tập tập gần kề tập Chebyshev 2.2 Tính lồi tập Chebyshev Chương CÂU HỎI MỞ VỀ TẬP CHEBYSEV 12 3.1 Một số khái niệm công cụ 12 3.2 Tập gần kề tập Chebyshev không gian Euclidean 14 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 ii MỘT SỐ KÍ HIỆU • P(X) tập tập tập X • Với A tập khơng gian tơpơ (X, τ ), ta định nghĩa – int(A), gọi phần A, hợp tất tập mở chứa A, – A, gọi bao đóng A, giao tất tập đóng chứa A, – ∂A := A \ int(A), gọi biên A • Trong luận văn khơng gian tuyến tính định chuẩn xét trường số thực R • Với khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k), ta định nghĩa – B[x, r] := {y ∈ X : kx − yk ≤ r}, với x ∈ X, r ≥ 0, – B(x, r) := {y ∈ X : kx − yk < r}, với x ∈ X, r > 0, – BX := B[0, 1], – SX := {x ∈ X : kxk = 1} • Trong khơng gian có tích vơ hướng (X, h·, ·i), ∠xyz biểu diễn góc vectơ (y − x) (y − z), với x, y, z điểm phân biệt thuộc X Nghĩa ∠xyz := cos−1   hy − x, y − zi , ky − xkky − zk k.k chuẩn ứng với tích vơ hướng • Cho tập C ⊂ Rn tập lồi f : C → R, ta định nghĩa – domf := {x ∈ C : f (x) < +∞} gọi miền hữu dụng ca f, epif := {(x, à) C ì R : f (x) ≤ µ} gọi đồ thị f MỞ ĐẦU Lý thuyết xấp xỉ - hướng nghiên cứu quan trọng Giải tích Tốn ứng dụng, Chebysev đặt móng từ kỷ 19 Như biết, tập K khơng gian tuyến tính định chuẩn X gọi tập Chebysev điểm x X có điểm thuộc K gần x Trong khơng gian tuyến tính định chuẩn trơn, hữu hạn chiều, tập Chebysev lồi Mọi tập Chebysev compact-giới nội (boundedly compact) không gian Banach trơn, tập Chebysev compact xấp xỉ (approximately compact) không gian Banach trơn đều, tập Chebysev với phép chiếu metric liên tục không gian Banach trơn mạnh, tập lồi Mặt khác, người ta xây dựng tập Chebysev không lồi không gian tiền Hilbert vô hạn chiều Tuy nhiên người ta chưa trả lời câu hỏi liệu tập Chebysev khơng gian Hilbert có lồi hay khơng Luận văn trình bày số khái niệm tính chất tập Chebysev Luận văn gồm chương Chương giới thiệu số kiến thức cần thiết cho luận văn, phép chiếu metric điểm lên tập hợp; không gian Banach lồi, trơn, lồi đều, trơn Chương nghiên cứu số tính chất tập Chebysev Chương giới thiệu câu hỏi mở tập Chebysev trình bày vắn tắt cách chứng minh tính lồi tập Chebysev khơng gian Euclid Mặc dù tác giả cố gắng song luận văn chắn cịn nhiều thiếu sót Rất mong nhận đóng góp q thầy bạn Xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 30 tháng 12 năm 2014 Học viên Nguyễn Trung Kiên Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phép chiếu metric điểm lên tập hợp 1.1.1 Tập lồi tập lồi trung điểm Định nghĩa Cho C ⊆ X tập hợp khác rỗng khơng gian vectơ X Ta nói tập C tập lồi với a, b ∈ C λ ∈ [0, 1] λa + (1 − λ)b ∈ C Ta nói tập C tập lồi trung điểm với a, b ∈ C a+b ∈C 1.1.2 Khoảng cách từ điểm đến tập hợp Định nghĩa Cho (X, k.k) khơng gian tuyến tính định chuẩn K tập khác rỗng X Với điểm x ∈ X ta định nghĩa d(x, K) := inf y∈K kx − yk gọi khoảng cách từ điểm x đến tập K Ta gọi ánh xạ x 7→ d(x, K) hàm khoảng cách tập K Mệnh đề 1.1.1 Cho (X, k.k) khơng gian tuyến tính định chuẩn, K tập khác rỗng X Khi hàm khoảng cách K không giãn (và liên tục) 1.1.3 Phép chiếu metric Định nghĩa Cho (X, k.k) khơng gian tuyến tính định chuẩn, P(X) tập tập X K 6= ∅ thuộc P(X) Ta định nghĩa tập giá trị ánh xạ PK : X → P(X) là: PK (x) := {y ∈ K : kx − yk = d(x, K)} xem phần tử PK (x) xấp xỉ tốt (hoặc điểm gần nhất) đến x K Ta gọi K tập gần kề PK (x) khác rỗng với x gọi K tập Chebyshev với x tập PK (x) gồm phần tử Đối với tập Chebyshev ta định nghĩa ánh xạ pK : X → X ánh xạ biến x ∈ X thành tập gồm phần tử PK (x) Ta xem PK pK phép chiếu metric K Ví dụ Xét hàm số f : R → R xác định f (x) := d(x, 4Z) với x ∈ R Khi đó, K := Graph(f ) khơng gian (R2 , k.k1 ), K tập Chebyshev (không lồi) Thật vậy, với z := (a, b) ∈ R2 , ta có pK (z) = (a, f (a)) Ví dụ Xét K := R2 \ B(0, 1) ⊆ R2 , với chuẩn Euclidean Dễ dàng kiểm tra với x ∈ B(0, 1) \ {0}   x PK (x) = kxk  PK (0) = y ∈ R2 : kyk = Do K tập gần kề, khơng phải tập Chebyshev Ví dụ Xét K := B [0, 1] ⊆ R2 , với chuẩn Euclidean Không phức tạp để kiểm tra với x ∈ R2 \ K ta có:   x PK (x) = kxk Vì K tập Chebyshev Ví dụ Cho n ∈ N Xét tập K := B(0, 1) ⊆ Rn , với chuẩn Euclidean Chọn x ∈ Rn cho kxk = Dễ thấy d(x, K) = x ∈ / K nên PK (x) = ∅, K khơng phải tập gần kề Mệnh đề 1.1.2 Cho K tập khác rỗng khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) Giả sử x ∈ X z ∈ PK (x) Với y ∈ [x, z] ta có z ∈ PK (y) 4 Mệnh đề 1.1.3 Cho K tập gần kề khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) Nếu (xn , yn )∞ n=1 dãy X × X , với yn ∈ PK (xn ) với n ∈ N limn→∞ (xn , yn ) = (x, y) y ∈ PK (x) Mệnh đề 1.1.4 Cho K tập khác rỗng khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) Giả sử x ∈ X \K z ∈ PK (x) Ta định nghĩa y(λ) := z+λ(x−z) với λ ∈ R Khi đó: I := {λ ≥ : z ∈ PK (y(λ))} khoảng đóng khác rỗng Định nghĩa Cho (X, k.k) (Y, k.k0 ) khơng gian tuyến tính định chuẩn ánh xạ f : X → P(Y ), với P(Y ) tập tập Y Ta nói f ánh xạ bị chặn địa phương với x0 ∈ X , tồn số r, M > cho ∀x ∈ B(x0 , r) y ∈ f (x) kyk0 M , có nghĩa f (B(x0 , r)) tập bị chặn Y Bổ đề 1.1.5 Cho K tập gần kề khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) Khi phép chiếu metric x 7→ PK (x) bị chặn địa phương Định nghĩa Cho (X, k.k) (Y, k.k0 ) không gian tuyến tính định chuẩn f : X → P(Y ) Ta nói f liên tục x0 ∈ X f (x) tập có phần tử ∞ với dãy (xn )∞ n=1 (yn )n=1 X Y tương ứng cho limn→∞ xn = x yn ∈ f (xn ) với n ∈ N mà limn→∞ yn = z f (x) = {z} Định lí 1.1.6 Cho K tập gần kề khơng gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều (X, k.k) Nếu PK (x) tập có phần tử với x ∈ X phép chiếu metric y 7→ PK (y) liên tục x 1.1.4 Phiếm hàm nửa liên tục (trên, dưới); Tính nửa liên tục yếu chuẩn Định nghĩa Cho (X, τ ) không gian tôpô Ta nói phiếm hàm f : X −→ R ∪ {−∞; ∞} nửa liên tục với α ∈ R, {x ∈ X : f (x) ≤ α} tập đóng Tương tự, f phiếm hàm nửa liên tục với α ∈ R, {x ∈ X : f (x) ≥ α} tập đóng Nhận xét Một phiếm hàm liên tục vừa nửa liên tục vừa nửa liên tục Bổ đề 1.1.7 Cho (X, k.k) khơng gian tuyến tính định chuẩn Khi chuẩn phiếm hàm nửa liên tục tương ứng với tôpô yếu 1.1.5 Nguyên lý biến phân Ekland Định lí 1.1.8 (Nguyên lí biến phân Ekeland) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ f : X −→ R ∪ {±∞} phiếm hàm nửa liên tục bị chặn Khi với  > x1 ∈ X tồn x0 ∈ X cho: (i) (ii) f (x0 ) + d(x0 , x1 ) ≤ f (x1 ) f (x) > f (x0 ) − d(x0 , x), ∀x ∈ X \ {x0 } 1.2 Hình học không gian Banach 1.2.1 Không gian Banach lồi chặt, lồi đều, trơn, trơn Định nghĩa Một không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) gọi lồi chặt với x, y ∈ X mà x + y kxk = kyk = =1 x = y Bổ đề 1.2.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) lồi chặt với x 6= y ∈ X r, R > cho kx − yk = r + R, ta có B [x, r] ∩ B [y, R] = {z} ,  z :=    R r x+ y r+R r+R Mệnh đề 1.2.2 Một khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) lồi chặt cặp phần tử x, y ∈ X \ {0}, thỏa mãn đẳng thức tam giác kx + yk = kxk + kyk, đồng phương, tức x = αy , với α > Định nghĩa Cho (X, k.k) (Y, k.k0 ) không gian tuyến tính định chuẩn U tập mở X Ta nói ánh xạ f : U → Y khả vi Gâteaux x ∈ U tồn tốn tử tuyến tính bị chặn Tx : X → Y cho f (x + t.h) − f (x) = Tx (h), ∀h ∈ X t→0 t lim Toán tử Tx gọi đạo hàm Gâteaux ánh xạ f x Ta nói ánh xạ f khả vi Gâteaux f khả vi Gâteaux điểm x ∈ U Kí hiệu SX := {x ∈ X : kxk = 1} mặt cầu đơn vị X Ta có định nghĩa sau Định nghĩa Ta gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) trơn với x ∈ SX tồn hàm f ∈ SX ∗ cho f (x) = Ví dụ Cho K không gian Hausdorff đầy đủ, compact chứa hai điểm Khi (C(K), k.k∞ ) không trơn Mệnh đề 1.2.3 Cho (X, k.k) khơng gian tuyến tính định chuẩn Nếu (X ∗ , k.k0 ) (trong k.k0 chuẩn đối ngẫu) lồi chặt (X, k.k) trơn Nếu (X ∗ , k.k0 ) trơn (X, k.k) lồi chặt b := SX ∗∗ := {x ∈ X ∗∗ : kxk = 1} X ∗∗ khơng gian Ta định nghĩa X đối ngẫu thứ hai X Hệ 1.2.4 Cho (X, k.k) không gian tuyến tính định chuẩn phản xạ Khi (X, k.k) lồi chặt (trơn) (X ∗ , k.k0 ) trơn (lồi chặt) Định nghĩa 10 Khơng gian tuyến tính định chuẩn X, k.k gọi lồi ∀ > 0, ∃δ > cho ∀x, y ∈ BX thỏa mãn kx − yk <  x + y >1−δ Mệnh đề 1.2.5 Mọi khơng gian có tích vô hướng lồi 7 Mệnh đề 1.2.6 Một khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) lồi với cặp dãy số (xn )∞ , (yn )∞ BX , có tính chất limn→∞ xn +yn = n=1 n=1 lim kxn − yn k = n→∞ Kí hiệu BX := B[0, 1] := {x ∈ X : kxk ≤ 1} Hệ 1.2.7 Cho (X, k.k) không gian lồi Nếu (xn )∞ n=1 dãy thuộc BX (xn )∞ n=1 dãy Cauchy Mệnh đề 1.2.8 Mọi không gian lồi lồi chặt Mọi không gian hữu hạn chiều lồi chặt lồi Định lí 1.2.9 (Milman-Pettis) Mọi khơng gian lồi - không gian phản xạ Bổ đề 1.2.10 Cho C tập lồi, đóng khơng gian tuyến tính định chuẩn(X, k.k) Khi C tập đóng yếu Định lí 1.2.11 Hình cầu đơn vị đóng BX khơng gian Banach phản xạ (X, k.k) compact với tôpô yếu tương ứng X Do đó, dãy bị chặn X chứa dãy hội tụ yếu Bổ đề 1.2.12 (Bất đẳng thức Clarkson) Cho < p < ∞ Với hàm f, g ∈ (Lp (µ), k.k), µ độ đo σ -hữu hạn, ta có: kf + gkpp + kf − gkpp ≤2 p−1   p p kf kp + kgkp , ≤ p < ∞ kf + gkqp + kf − gkqp ≤ kf kpp + kgkpp với q :=
q−1 , < p ≤ p p−1 Chú ý: Với p = bất đẳng thức quy tắc hình bình hành Mệnh đề 1.2.13 (Clackson) Khơng gian (Lp (µ), k.kp ) với < p < ∞ lồi Định lí 1.2.14 Với < p < ∞, đối ngẫu Lp (µ) Lq (µ), q := p p−1 Hệ 1.2.15 Với < p < ∞, Lp (µ), với chuẩn p trơn 8 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP CHEBYSEV 2.1 Điều kiện cần điều kiện đủ để tập tập gần kề tập Chebyshev Mệnh đề 2.1.1 Cho K tập gần kề không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k); K tập đóng Mệnh đề 2.1.2 Một tập đóng khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) tập lồi tập lồi trung điểm Hệ 2.1.3 Phép chiếu metric tập Chebyshev có đồ thị đóng Hệ 2.1.4 Trong khơng gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều phép chiếu metric tập Chebyshev liên tục Mệnh đề 2.1.5 Cho K tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian Banach phản xạ (X, k.k) Khi K tập gần kề Định lí 2.1.6 Mọi tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian Banach phản xạ, lồi chặt (X, k.k) tập Chebyshev Hệ 2.1.7 Mọi tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian Banach lồi tập Chebyshev Ví dụ Xét Z M := {f ∈ C[−1, 1] : f (t)dt = 0} Khi M khơng gian khác rỗng, đóng khơng gian (lồi đều) có tích vơ hướng khơng đầy đủ (C[−1; 1], k.k2 ) với sZ kf k2 := |f (x)|2 dx −1 với f ∈ C[−1, 1], M tập gần kề Hệ 2.1.8 Mọi tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian Hilbert khơng gian Lp (µ) với chuẩn k.kp , < p < ∞ tập Chebyshev 9 2.2 Tính lồi tập Chebyshev Bổ đề 2.2.1 Cho K tập gần kề không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) Lấy x ∈ X\K z ∈ PK (x) Lấy λ > định nghĩa xλ := x + λ(x − z) Giả sử zλ ∈ PK (xλ ) Khi   kz − zλ k d(xλ , K) ≥ d(x, K) + kxλ − xk − kx − zk Hệ 2.2.2 Cho K tập gần kề không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) Nếu phép chiếu metric liên tục x ∈ X \ K thì: lim+ λ→0 d(xλ , K) − d(x, K) kxλ − zλ k − kx − zk = lim+ = 1, λ→0 kxλ − xk kxλ − xk đó, z = PK (x) xλ := x + λ(x − z), zλ ∈ PK (xλ ) với λ > Bổ đề 2.2.3 Cho K tập Chebyshev không gian Banach (X, k.k) với phép chiếu metric liên tục Khi với x ∈ X \ K, r > 0, σ > tồn phần tử x0 ∈ X cho: (i) d(x, K) + σ1 kx − x0 k ≤ d(x0 , K) (ii) d(y, K) < d(x0 , K) + σ1 ky − x0 k, ∀y ∈ B[x, r] \ {x0 } (iii) kx − x0 k = r Định nghĩa 11 Ta nói tập A đóng khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) gần lồi với hình cầu đóng B[x, r] ⊆ X \ A N > tồn x0 ∈ X r0 > N cho B[x, r] ⊆ B[x0 , r0 ] ⊆ X \ A Nhận xét Mọi tập lồi tập gần lồi Định lí 2.2.4 Cho K tập Chebyshev không gian Banach (X, k.k) Nếu phép chiếu metric K liên tục K tập gần lồi Bổ đề 2.2.5 Cho (X, k.k) khơng gian tuyến tính định chuẩn có khơng gian đối ngẫu lồi chặt f ∈ SX ∗ Nếu (B[zn , rn ])∞ n=1 dãy hình cầu đóng X cho: (i) (ii) B[zn , rn ] ⊆ B[zn+1 , rn+1 ], ∀n ∈ N, B[zn , rn ] ⊆ {x ∈ X : f (x) ≤ 1}, ∀n ∈ N, 10 (iii) limn→∞ rn = ∞, tồn r < thỏa mãn: [ B[zn , rn ] = {z ∈ X : f (z) ≤ r} n∈N có nghĩa S n∈N B[zn , rn ] nửa khơng gian đóng Bổ đề 2.2.6 Cho C tập lồi, đóng khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, k · k) Khi C chứa nửa không gian không gian Chứng minh Giả sử C 6= X Lấy x ∈ X \ C Theo định lí Hahn-Banach tồn siêu phẳng tách x C Vì C chứa nửa không gian xác định siêu phẳng Bổ đề 2.2.7 Cho J nửa khơng gian đóng khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, k · k) Nếu với x, y ∈ X, z := x+y ∈ int(J) x y thuộc int(J) Bổ đề 2.2.8 Cho (Cn )∞ n=1 dãy mở rộng tập lồi không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) Giả sử int(Ck ) 6= ∅ với k ∈ N Khi ! ∞ ∞ [ [ int int(Cn ) Cn = n=1 n=1 Định lí 2.2.9 Cho (X, k.k) khơng gian tuyến tính định chuẩn với khơng gian đối ngẫu lồi chặt Khi tập đóng, gần lồi X lồi Định lí 2.2.10 (Vlasov) Cho K tập Chebyshev với phép chiếu metric liên tục không gian Banach (X, k.k) với không gian đối ngẫu lồi chặt Khi K tập lồi Chứng minh Từ K có phép chiếu metric liên tục nên theo Định lí 2.2.4 K tập gần lồi Lại tập Chebyshev đóng X ∗ lồi chặt nên theo Định lí 2.2.9 K tập lồi Hệ 2.2.11 Trong không gian Hilbert tập Chebyshev với phép chiếu metric liên tục tập lồi Chứng minh Theo kết định lí trên, ta cần kiểm tra khơng gian Hilbert có đối ngẫu lồi chặt Do đối ngẫu không gian Hilbert không gian Hilbert theo Mệnh đề 1.2.8 1.2.5 lồi chặt 11 Hệ 2.2.12 Mọi tập Chebyshev có phép chiếu metric liên tục khơng gian Lp (µ) với < p < ∞ tập lồi Chứng minh Ta cần chứng tỏ đối ngẫu Lp với < p < ∞ lồi chặt Theo Định lí 1.2.14, đối ngẫu Lp Lq với q := p p−1 , khơng gian lồi (và lồi chặt) theo Mệnh đề 1.2.13 Hệ 2.2.13 Cho (X, k.k) khơng gian trơn, tuyến tính hữu hạn chiều Nếu K ⊆ X tập Chebyshev K tập lồi Chứng minh Theo Định lí 1.1.6, phép chiếu metric K liên tục Hơn nữa, từ X hữu hạn chiều nên đầy đủ phản xạ Lại X trơn, nên theo Hệ 1.2.4 ta có X ∗ lồi chặt Vì theo Định lí ta K tập lồi Mệnh đề 2.2.14 Cho K tập lồi khơng gian có tích vơ hướng (X, h·, ·i) x ∈ X, y ∈ K Khi y ∈ PK (x) hx − y, z − yi ≤ 0, với z ∈ K Định lí 2.2.15 (Phelps) Cho K tập Chebyshev khơng gian có tích vơ hướng (X, h·, ·i) Khi K tập lồi phép chiếu metric không giãn, nghĩa kpK (x) − pK (y)k ≤ kx − yk, với x, y ∈ K 12 Chương CÂU HỎI MỞ VỀ TẬP CHEBYSEV Trong Chương chúng tơi xin trình bày số vấn đề liên quan đến câu hỏi mở "phải tập Chebysev không gian Hilbert lồi?" Chương trình bày vắn tắt bốn phương pháp biến phân để chứng minh tính lồi tập Chebysev hữu hạn chiều Mặc dầu gần Balaganskii Vlasov (Russian Math Surveys, 51(9) (1996) 1127-1190) xây dựng tập Chebysev khơng lồi khơng gian có tích vơ hướng, song câu hỏi tính lồi tập Chebysev không gian Hilbert chưa có lời giải 3.1 Một số khái niệm cơng cụ Tính chất (Về phép chiếu, [6]) Cho K tập đóng khơng gian Hilbert Giả sử a ∈ PK (x) Khi PK (tx + (1 − t)a) = {a} với < t < Tính chất (Chebyshev, [4],[6],[9]) Mọi tập Chebyshev đóng tập lồi đóng khơng gian Banach lồi phản xạ tập Chebyshev Nói riêng, tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert tập Chebyshev Mệnh đề 3.1.1 (Tính phản xạ, [6],[9]) Khơng gian X phản xạ tập lồi đóng C tập gần kề và tập lồi đóng có điểm gần Như tồn không gian không phản xạ mà tập đóng bị chặn chứa điểm gần kề Tính khơng giãn phép chiếu metric tập lồi đóng khơng gian Hilbert dễ dàng suy từ điều kiện cần đủ phép chiếu PC (x) hx − PC (x), c − xi ≤ với x ∈ C Ta gọi S ⊂ E mặt trời với phần tử x ∈ E , phần tử thuộc tia PS (x) + R+ (x − PS (x)) có điểm gần PS (x) 13 Mệnh đề 3.1.2 (Mặt trời, [2],[6],[9]) Trong không gian Hilbert tập đóng C (i) lồi (ii) C mặt trời (iii) phép chiếu metric không giãn Mệnh đề 3.1.3 (Đặc trưng tập Chebyshev, [2],[6],[9]) Nếu E không gian Euclidean mệnh đề sau tương đương S tập Chebyshev PS ánh xạ đơn trị liên tục d2S khả vi Fréchet với ∇F d2S /2 = I − PS Tập vi phân Fréchet ∂F (−d2S )(x) ln khác rỗng Mọi kết luận cịn cần giả thiết không gian hữu hạn chiều với chuẩn trơn lồi Thật kết luận khơng gian Banach cho số tập "đủ tốt" Chỉ thực khó giải với bước (1) ⇒ (2) Ta gọi C ⊂ X xấp xỉ lồi với hình cầu đóng D ⊂ X không cắt C , tồn hình cầu đóng D0 ⊃ D khơng cắt C với bán kính lớn tùy ý Trực tiếp từ định nghĩa, với minh họa Hình 3.1 ta có Mệnh đề 3.1.4 Mọi mặt trời xấp xỉ lồi Mệnh đề 3.1.5 (Tính xấp xỉ lồi, [2],[9]) Mọi tập lồi không gian Banach xấp xỉ lồi Khi không gian hữu hạn chiều chuẩn đối ngẫu lồi tập xấp xỉ lồi lồi Ta khai thác mối quan hệ tính lồi tính trơn dA rA , với rA (x) := supy∈A kx − yk gọi hàm bán kính Tính chất (Liên hợp Fenchel, [2],[9]) Liên hợp lồi hàm thực mở rộng f không gian Banach X định nghĩa f ∗ (x∗ ) := sup{hx, x∗ i − f (x)} x∈X hàm lồi, đóng (có thể vơ hạn) Hơn nữa, liên hợp thứ hai X ∗ định nghĩa f ∗∗ (x) := sup {hx, x∗ i − f ∗ (x∗ )} x∗ ∈X ∗ trùng với f f lồi, thường nửa liên tục 14 Mệnh đề 3.1.6 (Tính trơn tính liên hợp lần hai, [11],[13]) Nếu f ∗∗ thường không gian Banach f ∗ khả vi Fréchet khắp nơi f lồi Tính chất (Đối ngẫu Hilbert, [2],[10]) Với tập đóng A khơng gian Hilbert ta có ∗ k.k2 + d2A ιA + k.k2 = 2   ∗ ι−A − k.k2 rA2 − k.k2 = 2  với hàm ιA (x) :=  0 x ∈ A +∞ x ∈ /A (3.1) (3.2) Ánh xạ tự nghịch đảo ι : E \ {0} 7→ E định nghĩa ι(x) = kxk2 gọi phép nghịch đảo hình cầu đơn vị Tính chất (Sự bảo tồn hình cầu, [1]) Nếu D ⊂ E hình cầu với ∈ bdD ι(D \ {0}) nửa không gian không chứa Trong trường hợp lại với phần tử x ∈ E bán kính δ > kxk, ι((x + δB) \ {0}) = {y ∈ E : ky + xk ≥ δ} δ − kxk2 3.2 Tập gần kề tập Chebyshev khơng gian Euclidean Định lí 3.2.1 (Motzkin-Bunt, [1],[2],[6],[9],[10]) Một tập Chebyshev hữu hạn chiều tập lồi Chứng minh (1, theo lí thuyết điểm bất động, [2], [6]) Theo Mệnh đề 3.1.3 ta cần chứng minh S mặt trời Giả sử S khơng phải mặt trời, có phần tử x ∈ / S với điểm gần PS (x) =: x cho tia L := x + R+ (x − x) thực chứa {z ∈ L|PS (z) = x} Do theo Tính chất tính liên tục PS , tập hợp đoạn thẳng đóng khơng tầm thường [x, x0 ] chứa x 15 Chọn bán kính  > cho hình cầu x0 + B khơng cắt S Ánh xạ nửa liên tục đưa hình cầu vào z 7→ x0 +  x0 − PS (z) kx0 − PS (z)k có điểm bất động theo định lí Brouwer Ta thấy mâu thuẫn từ định nghĩa điểm x0 Ta minh họa kết chứng minh hình 3.4 Chứng minh (2, theo nguyên lí biến phân, [2], [9]) Giả sử S không xấp xỉ lồi Ta khẳng định với x ∈ /S lim sup y→x dS (y) − dS (x) =1 ky − xk (3.3) Đây hệ định lí giá trị trung bình Lebourg cho hàm liên tục Lipschitz [2], (siêu-)gradien Fréchet có chuẩn ngồi S Ta xét kết sau từ Mệnh đề 3.1.1: Cho số thực α > dC (x), số thực cố định σ ∈ (0, 1) ρ thỏa mãn α − dC (x) < ρ < α − β σ Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm −dC + δx+ρB , chứng tỏ tồn phần tử v ∈ E thỏa mãn điều kiện dC (x) + σkx − vk ≤ dC (v) dC (z) − σkz − vk ≤ dC (v) với z ∈ x + ρB Suy kx − vk = ρ, x + βB ⊂ v + αB Vậy C xấp xỉ lồi Mệnh đề 3.1.6 chứng minh Chứng minh (3, theo đối ngẫu liên hợp, [2], [10]) Ta có, d2S khả vi theo Mệnh đề 3.1.4 Xét công thức (3.1) Vế phải rõ ràng khả vi điều kiện cần để theo Mệnh đề 3.1.7 ta kết luận ιS + k.k2 lồi Do S lồi Định lí 3.2.2 Giả sử phần tử khơng gian Euclidean có điểm xa tập A Khi A tập có phần tử khả vi (và lồi chặt), [2, tr 226] Chứng minh Có thể chứng minh rA Tính điểm xa FA (x) kéo theo ∂rA (x) = x − FA (x) = ∇rA2 (x) 2 16 Xét công thức (3.2) Dễ thấy vế phải khả vi theo Mệnh đề 3.1.7 ι−A −k.k2 lồi Do −k.k lõm chặt nên A chứa hai phần tử Chứng minh (4, theo hình học ngược, [1], [2]) Khơng giảm tổng quát, giả sử 0∈ / C ∈ cl conv C Xét phần tử x ∈ E Từ Tính chất ta số ρ := inf{σ > 0|ιC ⊂ x + δB} thỏa mãn ρ > kxk Kí hiệu z := (−x)/(ρ2 − kxk2 ) điểm gần nhất thuộc C , ý rằng, theo Tính chất 5, ι(z) điểm xa ι(C) đến x Theo Định lí 3.2.2 tập ι(C) tập có phần tử mâu thuẫn 17 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong luận văn tác giả trình bày khái niệm kết tập Chebyshev tập gần kề Luận văn nêu lại số ví dụ phản ví dụ tập Chebyshev tập gần kề, trình bày điều kiện cần điều kiện đủ để tập tập gần kề tập Chebyshev Đồng thời nhắc lại số kết tập Chebyshev không gian cụ thể không gian Banach, không gian Hilbert khơng gian có tích vơ hướng Các kết chứng minh chi tiết Cuối luận văn nêu lên câu hỏi mở tập Chebyshev số hướng nghiên cứu Đóng góp luận văn bao gồm: Trình bày cách có hệ thống khái niệm phép chiếu metric điểm lên tập hợp; không gian Banach lồi, trơn, lồi đều, trơn Đưa số ví dụ minh họa cho khái niệm Làm bật điều kiện cần điều kiện đủ để tập hợp tập Chebyshev không gian cụ thể Nêu lên mối quan hệ tính liên tục phép chiếu với tính lồi tập Chebyshev Giới thiệu câu hỏi mở tập Chebysev trình bày vắn tắt cách chứng minh tính lồi tập Chebysev khơng gian Euclid Hướng nghiên cứu là: Tìm hiểu cách xây dựng ví dụ tập Chebysev khơng lồi khơng gian có tích vơ hướng Ứng dụng tập Chebysev việc thiết lập tồn nghiệm phương trình tốn tử Mặc dù cố gắng song luận văn nhiều thiếu sót Rất mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO Asplund, E (1969), Cebysev sets in Hilbert space Trans Am Math Soc 144, 235-240 Borwein, J.M., Lewis, A.S (2005), Convex Analysis and Nonlinear Optimization CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SCM, Springer, Berlin Heidelberg New York Borwein, J.M (2007), Proximality and Chebyshev sets Springer, Berlin Heidelberg New York Borwein, J.M., Zhu, Q.J (2005), Techniques of Variational Analysis: an Introduction CMS Books in Mathematics Springer, Berlin Heidelberg New York Carothers, N.L (2005), A short course on Banach space theory, volume 64 of London Mathematical Society Studenr Texts Cambridge University Press, Cambridge Deutsch, F.R (2001), Best Approximation in Inner Product Spaces Springer, Berlin Heidelberg New York Fabian, M., Habala, P., Hájek, P., Montesinos, V., Pelant, J., Zizler, V (2001), Functional Analysis and Infinite-dimensional Geometry CMS Books in Mathematics Springer, Berlin Heidelberg New York Fletcher, J.F (2013), The Chebyshev set problem Master of Science in Mathematics, The University of Auckland Giles, J.R (1982), Convex analysis with application in the differentiation of convex fuction, volume 58 of Reseach Notes in Mathmatics Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass 10 Hiriart, J., Urruty, B (1998), Ensemble de Tchebychev vs ensemble convexe: l’ état de la situation vu via l’analyse convexe nonlisse Ann Sci Math Québec 22 47-62 19 11 Hiriart, J., Urruty, B., Lemaréchal, C (1993) Convex Analysis and Minimization Algorithms Springer, Berlin Heidelberg New York 12 Rockafellar, R.T (1970), Convex Analysis Princeton University Press, Princeton 13 Zălinescu, C (2002), Convex Analysis in General Vector Spaces World Scientific Press, Singapore