Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 67 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
67
Dung lượng
779,3 KB
Nội dung
BË GIO DƯC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN INH HÚU DUY MỈ UN PH N SÈ SUY RËNG V MËT SÈ VN LIN QUAN LUN VN THC S TON HC Bẳnh nh - Nôm 2022 Bậ GIO DệC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN INH HÚU DUY MỈ UN PH N SÈ SUY RËNG V MËT SÈ VN LIN QUAN Ng nh: I SÈ V L THUYT SÈ M số: 8460104 Ngữới hữợng dăn: TS NGUYN THI HA i Mưc lưc Mưc lưc Danh mưc c¡c k½ hi»u M Ưu Chữỡng Mởt số kián thực chuân b 1.1 1.2 1.3 1.4 ë d i mæ un Sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ Chi·u Krull PhÔm trò v h m tû 1.4.1 PhÔm trũ v h m tû 1.4.2 H m tû a-xon 1.5 Mổ un ối ỗng iÃu v mổ un ối ỗng iÃu a phữỡng 1.5.1 Mổ un ối ỗng iÃu 1.5.2 Mổ un ối ỗng iÃu a phữỡng 1.6 Giỵi hÔn thuên Ch÷ìng Mỉ un ph¥n sè suy rëng i ii 3 10 10 12 14 14 17 22 26 2.1 Mỉ un ph¥n sè suy rëng 26 2.2 Mởt số tẵnh chĐt v vẵ dử 39 Chữỡng Mổ un phƠn số suy rởng v ối ỗng iÃu a phữỡng, v giÊ thuyát ỡn thùc 48 3.1 Mỉ un ph¥n sè suy rëng v èi ỗng iÃu a phữỡng 48 3.2 ng dửng ối vợi giÊ thuyát ỡn thùc 58 Kát luên T i li»u tham kh£o 60 62 ii Danh möc c¡c k½ hi»u Z N0 Z+ R (R, m) Mod (R) AssR (M ) dimR dimM Γa (•) F (•) H n (•) Rn F Han (•) lim (•) −→ i U U n M U n (ã) Têp cĂc số nguyản Têp cĂc số nguyản khổng Ơm Têp cĂc số nguyản dữỡng Vnh giao hoĂn cõ ỡn v Vnh Noether giao hoĂn a phữỡng vợi i ảan cỹc Ôi m PhÔm trũ cĂc Rmổ un Têp cĂc i ảan nguyản tố liản kát cõa R−mæ un M Chi·u Krull cõa v nh R Chi·u Krull cừa Rmổ un M Hm tỷ axoưn tữỡng ựng vợi i ảan a Hm tỷ tứ phÔm trũ Mod (R) án chẵnh nõ Hm tỷ ối ỗng iÃu thự n tứ phÔm trũ Mod (R) án chẵnh nõ Hm tỷ dăn xuĐt thự n cừa hm tỷ F Hm tỷ ối ỗng iÃu a phữỡng thự n tữỡng ựng vợi i ảan a Hm tỷ giợi hÔn thuên Têp tam giĂc cừa Rn vợi n l số nguyản dữỡng Mổ un phƠn số suy rởng cừa Rmổ un M ựng vợi têp tam giĂc U cừa Rn Hm tỷ tứ phÔm trũ Mod (R) án chẵnh nõ tữỡng ựng vợi têp tam gi¡c U cõa Rn Mð ¦u Cho R l mët v nh giao ho¡n câ ìn v S l mổt têp nhƠn õng cừa vnh R, M l mởt Rmổ un XƠy dỹng mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản M × S : ∀ (a, s) , (b, t) ∈ M × S, (a, s) ∼ (b, t) ⇔ u (ta − sb) = vỵi mët u ∈ S Têp thữỡng M ì S/ ữủc kẵ hiằu l S −1 M = na o a ∈ M, s ∈ S s Khi â S −1M l mët Rmổ un, vợi hai php toĂn ữủc xĂc nh bi a b , ∈ S −1 M, s t v ∀ r ∈ R, ∀ a b ta + sb + = s t st a ∈ S −1 M, s a r = s s Mæ un S 1M ữủc gồi l mổ un phƠn số v nõ l mởt cĂc khĂi niằm cỡ bÊn cừa Ôi số giao hoĂn Nôm 1982, R.Y.Sharp v H.Zakeri [18] ữa kh¡i ni»m tªp tam gi¡c U cõa Rn = R ì ì R vợi n l mởt số nguyản dữỡng v xƠy dỹng mổ un phƠn số suy rëng U −nM , méi ph¦n tû cõa nâ cõ dÔng m , (u1 , , un ) â m ∈ M v (u1, , un) ∈ U Khi n = 1, U l mởt têp nhƠn õng v U M l mổ un phƠn số Lỵ thuyát cĂc mổ un phƠn sè suy rëng l mët sü mð rëng kh¡i ni»m mổ un phƠn số cừa mởt mổ un theo têp nhƠn õng v nõ ữủc sỷ dửng tiáp cên giÊ thuyát ỡn thực cừa Hochster [5] Vợi mửc ẵch tẳm hiu sƠu hỡn và Ôi số giao hoĂn chúng tổi chồn · t i: Mỉ un ph¥n sè suy rëng v mët sè vĐn à liản quan Trong luên vôn ny, chúng tổi trẳnh by v chựng minh chi tiát mởt số kát quÊ [18], [19] Luên vôn ngoi phƯn Mửc lửc, M Ưu, Kát luên v Danh mửc ti liằu tham kh£o câ ch÷ìng Ch÷ìng Mët sè kián thực chuân b Trong chữỡng ny chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn nhữ: ở di mổ un, Sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ, ChiÃu Krull, PhÔm trũ v hm tỷ, Mổ un ối ỗng iÃu v mổ un ối ỗng iÃu a phữỡng, Giợi hÔn thuên Chữỡng Mổ un phƠn số suy rởng Trong chữỡng ny, trữợc hát chúng tổi trẳnh by khĂi niằm têp tam giĂc v x¥y düng mỉ un ph¥n sè suy rëng cõa mët mỉ un theo mởt têp tam giĂc Tiáp theo chúng tổi trẳnh by mởt số tẵnh chĐt cừa mổ un phƠn số suy rởng v mởt số vẵ dử và têp tam giĂc Chữỡng Mổ un phƠn số suy rởng v ối ỗng iÃu a phữỡng, v giÊ thuyát ỡn thực Trong chữỡng ny chúng tổi s trẳnh by mội mổ un M trản vnh giao hoĂn Noether a phữỡng (R, m) vợi dimR = n 1, mổ un ối ỗng iÃu Hmn (M ) câ thº xem l mët mỉ un ph¥n số suy rởng Tiáp theo õ chúng tổi trẳnh by ựng dửng cho giÊ thuyát ỡn thực Luên vôn ữủc hon thnh nhớ sỹ hữợng dăn v giúp ù tên tẳnh cừa thƯy hữợng dăn TS Nguyạn ThĂi Hỏa, Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn Tổi xin by tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sưc án ThƯy  giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn án quỵ Ban lÂnh Ôo Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn, Phỏng o tÔo Sau Ôi hồc, Khoa ToĂn v Thống kả quỵ thƯy cổ giĂo giÊng dÔy lợp Cao hồc Ôi số v Lẵ thuyát số khõa 23  giÊng dÔy v tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn à t i Tỉi cơng xin b y tä láng bi¸t ìn ¸n ngữới thƠn, bÔn b  luổn giúp ù ởng viản tổi hon thnh khõa hồc v luên vôn ny Mc dũ luên vôn ữủc thỹc hiằn vợi sỹ nộ lỹc cố gưng hát sực cừa bÊn thƠn, iÃu kiằn thới gian cõ hÔn, trẳnh ở kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu cỏn hÔn chá nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Tổi rĐt mong nhên ữủc nhỳng gõp ỵ cừa quỵ thƯy cổ giĂo luên vôn ữủc hon thiằn hỡn Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực chuân b cho nởi dung cĂc chữỡng tiáp theo 1.1 ở d i mỉ un Trong mưc n y, chóng tỉi tr¼nh b y kh¡i ni»m ë d i mỉ un v mët sè k¸t qu£ v· ë d i mỉ un theo [1], [3], [13] K½ hi»u R l mët v nh câ ìn và, Z+ l tªp c¡c số nguyản dữỡng nh nghắa 1.1.1 Mởt Rmổ un M khĂc khổng ữủc gồi l mổ un ỡn náu nõ cõ úng hai mỉ un l mỉ un khỉng v ch½nh nâ Bê · 1.1.2 Cho M l mët R−mæ un Khi â M l R−mỉ un ìn v ch¿ M ∼= R/m (nhữ R-mổ un) vợi m Max (R) nh nghắa 1.1.3 Mët d¥y chuy·n ch°t câ ë d i n cõa R−mỉ un M l mởt dÂy tông thỹc sỹ cĂc mổ un cừa M cõ dÔng M0 M1 Mn nh nghắa 1.1.4 Mởt dƠy chuyÃn cht cĂc mổ un cừa mổ un M cõ dÔng = M0 ⊊ M1 ⊊ ⊊ Mn = M , â Mi /Mi−1 l mỉ un ìn ∀i = 1, , n (tùc l d¢y khổng th bờ sung thảm), ữủc gồi l mởt chuội hđp th nh câ ë d i n cõa mỉ un M Mỉ un khỉng ÷đc coi l câ chi hđp th nh câ ở di bơng nh lỵ 1.1.5 [ nh lỵ Jordan-Holder] Cho M l mët R−mỉ un Gi£ sû r¬ng M câ mët chuéi hñp th nh câ ë d i n Khi â, (i) Måi d¥y chuy·n ch°t cõa M ·u câ ë d i khỉng lỵn hìn n (ii) Måi chi hđp th nh cõa M ·u câ ë d i óng b¬ng n (iii) Måi d¥y chuy·n ch°t c¡c mỉ un cõa M câ ë d i k < n ·u câ thº bê sung n − k th nh ph¦n º trð th nh mët chuéi hđp th nh cõa M (iv) Måi d¥y chuy·n ch°t cõa M câ ë d i óng b¬ng n ·u l chi hđp th nh ành ngh¾a 1.1.6 Khi R−mỉ un M câ mët chuéi hñp th nh câ ë d i n < ∞ thẳ ta nõi M cõ ở di bơng n v k½ hi»u lR (M ) = n V½ dư 1.1.7 Cho V l khỉng gian v²ctì tr¶n trữớng K Khi õ, V cõ chiÃu hỳu hÔn V l K−mỉ un Noether ⇔ V l K−mỉ un Artin Hìn nỳa, V l Rmổ un cõ ở di hỳu hÔn v lK (V ) = dimK (V ) lZ (Z30) = Ghi chó 1.1.8 Mët R−mỉ un M ÷đc gồi l mổ un Noether náu mồi dÂy tông M0 M1 ⊆ Mn+1 ⊆ cĂc mổ un cừa M Ãu dứng, tực l tỗn tÔi k Z+ : Mk = Mk+i vợi mồi i ∈ Z+ Mët v nh R ÷đc gåi l mët v nh Noether n¸u R l R−mỉ un Noether Mët Rmổ un M ữủc gồi l mổ un Artin náu mồi dÂy gi£m M0 ⊇ M1 ⊇ Mn+1 ⊇ c¡c mæ un cõa M ·u døng, tực l tỗn tÔi k Z+ : Mk = Mk+i vỵi måi i ∈ Z+ Mët v nh R ữủc gồi l mởt vnh Artin náu R l Rmổ un Artin nh lỵ 1.1.9 Cho M l mởt Rmổ un Khi â lR (M ) < ∞ v ch¿ M vøa l mæ un Noether vøa l mæ un Artin ành lỵ 1.1.10 Cho N M P l mởt dÂy khợp ngưn cĂc Rmổ un Khi â, (i) lR (M ) < ∞ ⇔ lR (N ) < ∞ v lR (P ) < ∞ (ii) Khi lR (M ) , lR (N ) , lR (P ) Ãu hỳu hÔn thẳ lR (M ) = lR (N ) + lR (P ) 1.2 Sü ph¥n tẵch nguyản sỡ Trong mửc ny, chúng tổi trẳnh by mởt số kát quÊ và sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ theo [3], [13], [14] K½ hi»u R l mët v nh giao hoĂn cõ ỡn v nh nghắa 1.2.1 Mởt i ảan I cừa vnh R ữủc gồi l mởt i ảan nguyản sỡ náu I R v vợi mồi a, b ∈ R, ab ∈ I th¼ a ∈ I ho°c bk ∈ I vỵi mët k ∈ Z+ Ghi chó 1.2.2 Méi i ¶an nguy¶n tè P cõa R l mët i ¶an nguy¶n I l mët i ¶an nguy¶n tè I⊊R ⇔ ∀ a, b ∈ R, ab ∈ I ⇒ a ∈ I √ ho°c b ∈ I √ Cho I R Khi õ náu I l i ảancỹc Ôi thẳ I l nguyản Gi£ sû m ∈ Max (R), v¼ mk = m ∩ ∩ m = m n¶n mk l i ¶an nguy¶n 35 Suy n−1 X |XP|a + |YQ|b − |XP′ |a′ + |YQ′ |b′ ∈ Rri M i=1 Do â |XP|a + |YQ|b |XP′ |a′ + |YQ′ |b′ = (r1 , , rn ) (r1 , , rn ) Hìn núa XPs = r = YQt v Hs = u = Kt Theo Bê · 2.1.7, ta câ |XP|a + |YQ|b |H|a + |K|b = (u1 , , un ) (r1 , , rn ) T÷ìng tü |H′ |a′ + |K′ |b′ |XP′ |a′ + |YQ′ |b′ = (r1 , , rn ) u′1 , , u′n Suy |H|a + |K|b |H′ |a′ + |K′ |b′ = (u1 , , un ) u′1 , , u′n Php chựng minh ữủc kát thúc nh lỵ 2.1.9 ([18, 2.8]) Têp U nM l mởt Rmổ un vợi php toĂn cởng v php toĂn nhƠn vổ hữợng ữủc nh nghắa nhữ sau: Vợi mồi (s , a , s ) , (t , b , t ) ∈ U −nM , n n a b |H|a + |K|b + = , (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) (u1 , , un ) vỵi sü lüa chån b§t ký (u1, , un) ∈ U v H, K ∈ Dn (R) cho Hs = u = Kt, vỵi s = [s1 sn]T , u = [u1 un]T , t = [t1 tn]T ; v vỵi måi r ∈ R, r a (s1 , , sn ) = (s1 , , sn ) Mổ un U nM ữủc gồi l mổ un phƠn số suy rởng cừa Rmổ un M tữỡng ựng têp tam giĂc U cõa Rn Chùng minh Theo Bê · 2.1.8, ph²p toĂn cởng ữủc xĂc nh Thêt vêy, Xt tữỡng ựng f : U −n M × U −n M −→ U −n M a b |H|a + |K|b , 7−→ (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) (u1 , , un ) 36 Gi£ sû ! a′ b′ = , s′1 , , s′n t′1 , , t′ n a a′ b b′ = ′ = ′ (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) s1 , , s′n t1 , , t′n (u1 , , un ) , u′1 , , u′n ∈ U H, K, H′ , K′ ∈ Dn (R) a b , (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) Suy GiÊ sỷ tỗn tÔi v v Hs = u = Kt cho v H′s′ = u′ = K′t′, vỵi s= [s1 sn]T , u = [u1 un]T , t = [t1 tn]T , s′ = T t′ = t′1 t′n Khi â ′ ′ ′ s′1 s′n T , u′ = u′1 u′n T , |H |a + |K |b′ |H|a + |K|b = (u1 , , un ) u′1 , , u′n Vªy b a′ b′ a + ′ + = ′ (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) s1 , , s′n t1 , , t′n Do â f l mởt Ănh xÔ Nhên xt rơng: (i) (u , a , u In n) u1 un + b a+b = (u1 , , un ) (u1 , , un ) = u1 un = In u1 un vẳ nản ta cõ kát quÊ trản (ii) (s , , s ) = (t , , t ) vỵi måi (s1, , sn) , (t1, , tn) ∈ U Hìn núa n U −n M, + Thªt vªy, ∀ (s , a , s n l mët nhâm Abel b ∈ U −n M, n ) (t1 , , tn ) , a b |H|a + |K|b |K|b + |H|a b a + = = = + (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) (u1 , , un ) (u1 , , un ) (t1 , , tn ) (s1 , , sn ) ∀ a b c , , ∈ U −n M (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) (l1 , , ln ) v H, H1, K, K1 ∈ Dn (R) Sao cho Hs = u = Kt, H1 u = w = K1 l, 37 vỵi s = [s1 sn ]T , u = [u1 un ]T , t = [t1 tn ]T , l = [l1 ln ]T a b + (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) + |H|a + |K|b c c = + (l1 , , ln ) (u1 , , un ) (l1 , , ln ) |H1 | |H|a + |K|b + |K1 |c = (w1 , , wn ) |H1 ||H|a + |H1 ||K|b + |K1 |c = (w1 , , wn ) |H1 H|a |H1 K|b + |K1 |c = + (w1 , , wn ) (w1 , , wn ) |H1 H|a = + (w1 , , wn ) a = + (s1 , , sn ) ∃ |H1 K|b |K1 |c + (w1 , , wn ) (w1 , , wn ) b c + (t1 , , tn ) (l1 , , ln ) ∈ U −n M, (s1 , , sn ) a a+0 a + = = (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) ∀ a −a ∈ U −n M, ∃ ∈ U −n M (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) v a −a a + (−a) + = = (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) Dạ dng kim tra php nhƠn vổ hữợng x¡c ành Thªt vªy, Gi£ sû (s , a , s ) = (t , b , t ) Ta câ H, K ∈ Dn (R) v (w1, , wn) ∈ U cho n n H [s1 , , sn ]T = [w1 , , wn ]T = K [t1 , , tn ]T v |H|a − |K|b ∈ n−1 X Rwi M i=1 Do â n−1 X |H| (ra) − |K| (rb) ∈ Rwi M i=1 Do â ra, (s1 , , sn ) ∼ rb, (t1 , , tn ) 38 Vªy rb = (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) Hìn núa, ∀ (s , a , s r b ∈ U −n M, ∀r, k ∈ M, ) (t , , t ) n n , a b + (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) ta câ |H|a + |K|b (u1 , , un ) r|H|a + r|K|b = (u1 , , un ) |H| (ra) + |K| (rb) = (u1 , , un ) rb = + (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) b a +r =r (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) =r T÷ìng tü (r + k) a (r + k) a = (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) + ka = (s1 , , sn ) ka + = (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) a a =r +k (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) (rk) a (rk) a = (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) r (ka) = (s1 , , sn ) ka =r (s1 , , sn ) =r k a (s1 , , sn ) a 1a = (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) a = (s1 , , sn ) Php chựng minh ữủc kát thúc ! 39 2.2 Mởt số tẵnh chĐt v vẵ dử Trong mửc ny, chúng tổi trẳnh by mởt số tẵnh chĐt và mổ un phƠn số suy rởng v mởt số vẵ dử và têp tam giĂc Kẵ hiằu N0 l têp cĂc số nguyản khổng Ơm, Z+ l têp cĂc số nguyản dữỡng, U l têp tam giĂc cừa Rn, vỵi n ⩾ M»nh · 2.2.1 ([18, 2.8]) Cho f : M N l mởt ỗng cĐu tứ Rmổ un M án Rmổ un N nh xÔ U −n f : U −n M −→ U −n N ữủc xĂc nh bi U vợi mồi (s , a , s n) −n f ∈ U −n M a (s1 , , sn ) = f (a) (s1 , , sn ) Khi â U −nf l ỗng cĐu cừa cĂc Rmổ un U n (ã) l mởt hm tỷ cởng tẵnh hiằp bián tứ phÔm trũ cĂc Rmổ un án chẵnh nõ Chựng minh (s , a , s ) , (t , b , t ) ∈ U −nM , gi£ sû n v b a = (s1 , , sn ) (t1 , , tv ) Suy tỗn tÔi (u1, , un) ∈ U v H, K ∈ Dn (R) cho H [s1 sn ]T = [u1 un ]T = K [v1 ]T v n−1 X |H|a − |K|b ∈ Rui M i=1 Ta câ Suy |H|a − |K|b = u1 m1 + un−1 mn−1 vỵi mi ∈ M, ∀i = 1,n |H|f (a) − |K|f (b) = u1 f (m1 ) + + un−1 f (mn−1 ) ∈ i=1 Vªy f (a) f (b) = (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) Hìn núa ∀ (s , a , s b ∈ U −n M n ) (t1 , , tv ) , v λ ∈ R, ta câ a b |H|a + |K|b + = , (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) (u1 , , un ) vỵi n−1 X (u1 , un ) ∈ U v H, K ∈ Dn (R) cho Hs = u = Kt Rui N 40 Do â U −n U f −n a b + (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) f a λ (s1 , , sn ) |H|a + |K|b =U f (u1 , , un ) |H|f (a) + |K|f (b) = (u1 , , un ) |H|f (a) |K|bf (b) = + (u1 , , un ) (u1 , , un ) f |K|b f |H|a + = (u1 , , un ) (u1 , , un ) f (a) f (b) = + (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) a b −n −n =U f +U f (s1 , , sn ) (t1 , , tn ) −n λa =U f (s1 , , sn ) f (λa) = (s1 , , sn ) λf (a) f (a) a −n = =λ = λU f (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) n Xt php gĂn tứ phÔm trũ cĂc Rmổ un án chẵnh nõ (i) Vợi mội Rmổ un M ⇝ U −nM f (ii) Vỵi méi ỗng cĐu M N U n f : U −n M −→ U −n N Ta câ U −n idM : U −n M −→ U −n M v U −nidM = idU Gi£ sû −n M f a a 7−→ (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) g M −→ N −→ P, v U −n (gf ) a (s1 , , sn ) U −n g U −n f Suy ta câ = U −n f (gf ) (a) (s1 , , sn ) a (s1 , , sn ) U −n (gf ) = U −n g U −n f U −n g U −n M −→ U −n N −→ U −n P ∀ a ∈ U −n M (s1 , , sn ) g f (a) f (a) = U −n g = (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) 41 (iii) Vỵi måi f, g : M −→ N , ta câ U −n (f + g) Suy a (s1 , , sn ) U −n (f + g) : U −n M −→ U −n N (f + g) (a) (s1 , , sn ) f (a) + g (a) = (s1 , , sn ) g (a) f (a) + = (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) a a = U −n f + U −n g (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) = Php chựng minh ữủc kát thúc M»nh · 2.2.2 ([18, 2.9]) H m tû U −n (•) l khỵp ph£i f g Chùng minh Cho −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ l mởt dÂy khợp ngưn cừa cĂc Rmổ un v cĂc R ỗng cĐu Vẳ gf = nản U ngf = U −ng U −nf = U −n0 = Suy im U −nf ⊆ ker U −ng Ti¸p theo chóng ta chùng minh ker U −ng ⊆ im U −nf Thªt vªy, ∀ U −n (f + g) = U −n (f ) + U −n (g) b (s1 , , sn ) vỵi b ∈ M v (s1, , sn) ∈ U cho (s , b , s Suy U −n g b (s1 , , sn ) = n) ∈ ker U −ng g (b) = (s1 , , sn ) (s1 , , sn ) Khi â, ∃ (t1, , tn) ∈ U v H ∈ Dn (R) cho Hs = t = In v n−1 X |H|g (b) − |In |0 = |H|g (b) ∈ Rti M i=1 Ta câ vỵi m′′1 , , m′′n−1 ∈ M ′′ V¼ g l ton cĐu nản m1, , mn1 ∈ M cho g (mi) = m′′i , ∀i = 1, n − Suy |H|g (b) = t1 m′′1 + + tn−1 m′′n−1 g |H|b = n−1 X ti g (mi ) = g i=1 Do â n−1 X i=1 n−1 X |H|b ti mi ∈ ker g i=1 ti mi 42 V¼ im f = ker g n¶n |H|b n−1 X ti mi = f m′ vỵi m′ ∈ M ′ i=1 Suy n−1 X Rti M |H|b − f m′ ∈ i=1 Vªy f m′ b = ∈ (s1 , , sn ) (t1 , , tm ) im U −nf Hìn núa U ng l ton cĐu Thêt vêy, c U n M ′′ vỵi (l1 , , ln ) ∈ U v c ∈ M ′′ Khi â ∃ b ∈ M cho ∀ (l1 , , ln ) c = g (b) Do â c g (b) = = U −n g (l1 , , ln ) (l1 , , ln ) b (l1 , , ln ) Ph²p chùng minh ữủc kát thúc Vẵ dử 2.2.3 ([18, 3.1]) Cho S l mởt têp nhƠn õng cừa vnh giao ho¡n câ ìn R Ta câ S −1R−mỉ un c¡c thữỡng S 1M cừa Rmổ un M tữỡng ựng vợi S Dạ dng kim tra ữủc S l mởt têp tam gi¡c cõa R1 v S −1M l mët Rmổ un phƠn số suy rởng cừa M tữỡng ựng vợi tªp tam gi¡c S cõa R1 Cư thº, xt têp n o M ì S = (m, s) m ∈ M, s ∈ S v quan h» hai ngỉi ∼, vỵi måi (a, s) , (b, t) ∈ M × S , (a, s) ∼ (b, t) ⇔ u (ta − sb) = vỵi mët u ∈ S ⇔ (ut) a = (us) b Chån H = [ut] , K = [us] ⇒ H [s]T = [uts] = K [s]T v |H|a − |K|b = ∈ 0M Php gĂn tứ phÔm trũ cĂc Rmổ un án chẵnh nõ (i) Vợi mội Rmổ un M S 1M 43 (ii) Mội ỗng cĐu f M −→ N S −1 f ⇝ S −1 f : S −1 M → S −1 N m s = â, vỵi ms ∈ S −1M f (m) s l mởt hm tỷ khợp Nhên xt rơng hm tỷ U n (ã) nõi chung khổng l khợp Thªt vªy, °t n o U = (2 , 1) r ∈ Z, r ⩾ r l mët têp tam giĂc cừa Z ì Z Php nhúng : 2Z Z l ỡn cĐu nh xÔ U −2θ : U −2 (2Z) −→ U −2Z khæng l ỡn cĐu, vẳ (2,21) U (2Z) l ph¦n tû kh¡c khỉng v U −2θ (2, 1) = = (2, 1) (2, 1) Ghi chó 2.2.4 ([18, 3.2 v 3.3]) Cho U l mët tªp tam gi¡c cõa Rn °t ∃ i ∈ N0 vỵi ⩽ i ⩽ n v (u1 , , un ) ∈ U n