Tìm hiểu định lý cơ bản về số nguyên tố và một số vấn đề liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ XUÂN THÙY Đề tài TÌM HIỂU ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐỀ ÁN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Bình Định - Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ XUÂN THÙY Đề tài TÌM HIỂU ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8242592029 Khóa 24B (2021-2023) Người hướng dẫn: PGS.TSKH Huỳnh Văn Ngãi Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề án Tìm hiểu định lý cơ bản về số nguyên tố và một số vấn đề liên quan là kết quả nghiên cứu và tổng hợp của bản thân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH Huỳnh Văn Ngãi, giảng viên trường Đại học Quy Nhơn Những phần sử dụng tài liệu tham khảo trong đề án đã được nêu rõ trong phần tài liệu tham khảo và trích dẫn cụ thể trong quá trình thể hiện nội dung Tất cả các nguồn tư liệu đã được ghi chú đầy đủ và chính xác theo hướng dẫn của nhà trường Tôi hy vọng rằng đề án này sẽ mang lại giá trị và đóng góp tích cực vào lĩnh vực nghiên cứu của mình Tôi sẽ chịu trách nhiệm với tất cả những thông tin và kết quả được trình bày trong đề án và sẵn sàng giải thích hoặc bổ sung thêm thông tin nếu cần thiết Tác giả Trần Thị Xuân Thùy Lời cảm ơn Trước tiên, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TSKH Huỳnh Văn Ngãi đã hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu , giúp tôi hiểu rõ hơn về định lý số nguyên tố và những khía cạnh phức tạp liên quan, đưa ra những gợi ý quý giá để tôi có thể hoàn thiện nghiên cứu Tôi cũng muốn bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy, cô và các đơn vị phòng ban của phòng Đào tạo sau đại học tại trường đại học Quy Nhơn vì đã luôn theo dõi và tạo điều kiện trong suốt quá trình tôi học tập và nghiên cứu tại đây Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và bạn bè đã động viên và cổ vũ tôi trong quá trình làm đề án Những lời khích lệ và sự động viên từ mọi người đã làm nguồn động lực lớn để tôi vượt qua khó khăn và hoàn thành đề án một cách thành công Một lần nữa, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TSKH Huỳnh Văn Ngãi, quý thầy cô của khoa Toán và Thống kê đã đóng góp vào quá trình này Đây là một trải nghiệm quý giá và tôi rất tự hào về kết quả đã đạt được Tôi hy vọng rằng công trình của tôi sẽ có ý nghĩa và góp phần vào việc khám phá và hiểu sâu hơn về định lý cơ bản về số nguyên tố và một số vấn đề liên quan Xin chân thành cảm ơn Quy Nhơn, tháng 10 năm 2023 Tác giả Trần Thị Xuân Thùy Mục lục Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt Mở đầu 1 1 Các kiến thức cơ bản chuẩn bị về lý thuyết số và giải tích toán học 3 1.1 Một số hàm số học 3 1.2 Chuỗi đặc biệt liên quan đến số nguyên tố 4 1.3 Định lý Fermat bé và định lý Wilson 5 2 Hàm Zeta Riemann và công thức tích Euler 7 2.1 Hàm Zeta Riemann 7 2.2 Công thức tích Euler 8 2.3 Định lý của Mertens 10 3 Định lý Chebyshev và chứng minh 16 3.1 Định lý Chebyshev 16 3.2 Định đề Bertrand và chứng minh 21 4 Định lý cơ bản về số nguyên tố và chứng minh 23 4.1 Định lý Ikerhara - Wiener 23 4.2 Định lý số nguyên tố 27 Tài liệu tham khảo 43 Một số kí hiệu viết tắt Λ(n) Hàm Λ− Mangoldt ψ(x) Hàm ψ− Mangoldt L(s, χ) Hàm L µ(n) Hàm mo¨bius π(x) Hàm đếm số nguyên tố Tổng chạy qua tất cả các số nguyên tố p p Tích của các số nguyên tố p Tồn tại M < 0 sao cho B ≥ MA p Tồn tại M > 0 sao cho B ≤ MA Bội chung nhỏ nhất của tập hợp các số từ 1 đến n A≪B Tổng của x số hạng và nhỏ hơn bội số hằng số của x A≫B lcm[1, 2, , n] v=1 x O(1) = O(x) MỞ ĐẦU Nếu x > 0, π(x) là hàm đếm số nguyên tố không vượt quá x Khi x → ∞ thì π(x) → ∞ vì có vô số số nguyên tố Hàm π(x) là đối tượng nghiên cứu chuyên sâu của nhiều nhà toán học nổi tiếng từ thế kỷ XVIII Qua việc kiểm tra bảng số nguyên tố, Gauss (1792) và Legendre (1798) đã đặt giả thiết rằng π(x) tiệm cận với x , nghĩa là log x lim π(x) log x =1 x→∞ x Giả thiết này đã được chứng minh lần đầu tiên vào năm 1896 bởi Hadamard và de la Vallée Poussin và ngày nay được biết đến với tên gọi là định lý số nguyên tố Chứng minh định lý số nguyên tố thường được dùng giải tích hoặc sơ cấp, tùy thuộc vào các phương pháp được sử dụng để chứng minh chúng Chứng minh của Hadamard và de la Vallée Poussin là phân tích, sử dụng lý thuyết hàm phức và tính chất của hàm zeta Riemann Năm 1949 A Selberg và P Eratosthenes đã chứng minh sơ cấp mà không sử dụng hàm zeta cũng như lý thuyết hàm phức nhưng khá phức tạp Vì vậy tôi chọn đề tài" Tìm hiểu định lý cơ bản về số nguyên tố và một số vấn đề liên quan" để tìm hiểu thêm về số nguyên tố Trong đề án này, tôi sẽ trình bày một tóm tắt ngắn gọn về những đặc điểm chính của chứng minh sơ cấp, chủ yếu liên quan đến các định lý cơ bản về số nguyên tố Đặc biệt, tôi chỉ ra rằng định lý số nguyên tố có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng tương đương Nội dung của đề án gồm 4 chương: Chương 1 Các kiến thức cơ bản chuẩn bị về lý thuyết số và giải tích toán học Trình bày một số hàm số học, chuỗi, định lý Fermat bé và định lý Wilson Chương 2 Hàm Zeta Riemann và công thức tích Euler Trình bày định nghĩa Hàm Zeta Riemann, định lý và chứng minh Nêu công thức tích Euler và định lý của Mertens Chương 3 Định lý Chebyshev và chứng minh Trình bày định lý Chebyshev và chứng minh định lý dựa vào các mệnh đề , định 1 đề Bertrand và chứng minh Chương 4 Định lý cơ bản về số nguyên tố và chứng minh Trình bày định lý Ikerhara- Wiener, biến đổi Fourier, công thức Parseval Trình bày định lý cơ bản số nguyên tố và các bước chứng minh định lý dựa vào các mệnh đề Bình Định,ngày 31 tháng 10 năm 2023 Trần Thị Xuân Thùy 2 Chương 1 Các kiến thức cơ bản chuẩn bị về lý thuyết số và giải tích toán học 1.1 Một số hàm số học Định lý 1.1.1 [2] Cho f(n) là một hàm nhân tính, đặt F (n) = f (d) d|n Khi đó F (n) cũng là một hàm nhân tính Chứng minh Giả sử m = m1m2 với (m1, m2) = 1 Khi đó, ta có một song ánh giữa các ước số của m với các cặp (d1, d2) các ước số của m1 và m2 Thật vậy, gọi d là một ước số bất kỳ của m , đặt d1 = (d, m1), d2 = (d, m2) Khi đó vì (m1, m2) = 1 nên (d1, d2) = 1 và d = d1d2 Ngược lại, nếu d1 là một ước số của m1 và d2 là một ước số của m2 thì d = d1d2 là một ước số của m và d1 = (d, m1), d2 = (d, m2) Do đó, F (m) = f (d) = f (d1d2) d|m d1|m1 d2|m2 = f (d1)f (d2) d1|m1 d2|m2    =  f (d1)  f (d2) d1|m1 d2|m2 = F (m1)F (m2) Định lý đã được chứng minh Định nghĩa 1.1.2 (Hàm mo¨bius) Với mỗi số nguyên dương n đặt  nếu n không có ước số chính phương (−1)νn µ(n) = 0 trong trường hợp khác 3 Hàm µ(n) được gọi là hàm mo¨bius Định lý 1.1.3 Hàm µ(n) là một hàm nhân tính thỏa mãn  1 nếu n = 1, µ(d) = nếu n > 1 d|n 0 Chứng minh Dễ thấy µ(n) là một hàm nhân tính, ta có F (n) = d|n µ(n) cũng là một hàm nhân tính Hiển nhiên F (1) = 1 Nếu p là một số nguyên tố và α là một số nguyên dương thì F (pα) = µ(pα) = 1 + µ(p) = 1 + (−1) = 0 β=0 Do đó , F (n) = 0 với mọi n > 1 Định lý 1.1.4 (Công thức nghịch đảo mo¨bius ) Nếu với mọi số nguyên dương n, F (n) = f (d) d|n thì n f (n) = µ(d)F ( ) d d|n Chứng minh Ta có n µ(d)F ( ) = µ(d) f (k) d d|n d|n k|(n/d) = µ(d)f (k) dk|n = f (k) µ(d) k|n d|(n/k) = f (n) 1.2 Chuỗi đặc biệt liên quan đến số nguyên tố Định lý 1.2.1 Chuỗi 1 = 12 + 13 + 15 + · · · phân kỳ p Chứng minh Giả sử chuỗi 1 hội tụ, ta có thể chọn j sao cho phần dư sau j là số hạng nhỏ hơn 12 p 1 + 1 1 +··· < pj+1 pj+2 2 4