Tóm tắt nội dung: Các bài toán liên quan số chính phương trong dãy số đang trở thành một dạng bài hay gặp trong các năm gần đây ở các đề chọn đội tuyển cũng như thi HSG.. Vì lẽ đó tôi mu[r]
(1)Về số phương dãy số một số vấn đề liên quan
Tóm tắt nội dung: Các tốn liên quan số phương dãy số trở thành dạng hay gặp năm gần đề chọn đội tuyển thi HSG Vì lẽ tơi muốn tổng hợp lại số kinh nghiệm dạng Đây viết phiên tiếng Việt cho chủ đề mà đăng năm trước(bằng phiên tiếng Anh) Ít nhiều có bổ sung mặt diễn đạt, vài ý tưởng tơi nói chi tiết Bài viết chủ yếu sử dụng cơng cụ quy nạp để chứng minh, ngồi ý tưởng biến đổi sử dụng số học đại số t nên khơng gây khó hiểu hay nhầm lẫn Bài viết tham khảo tính chất có sách "Chun đề Số học"(diễn đàn MathScope), viết tạp chí THTT: Dãy số với số phương-Hà Văn Vân-THPT chuyên Hà Giang
I) Chứng minh tính phương dãy số
Trước tiên nhắc lại chút kiến thức dãy số sau: (
u1 =a, u2 =b
un+1 =mun−un−1
(a, b, m∈Z)
Có hai tính chất quan trọng sau:
1)un+1.un−1−u2n=un.un−2−un2−1 = =u2.u0−u21 =abm−a2−b2 2)u2
n+1+u2n−mun.un+1 =a2+b2 −abm
Chứng minh: 1) Ta có: un+1un−1−u2n= (mun−un−1)un−1−u2n=munun−1−u2n−1−
u2
n=un(mun−1−un)−u2n−1 =un.un−2−u2n−1 = =u2.u0−u21 =abm−a2−b2 2) Ta có: u2n+1 +u2n−mun.un+1 = un+1(un+1−mun) +u2n = −(un+1un−1 −u2n) = a2+b2−abm
Từ hai tính chất xây dựng phương pháp giải cho toán chứng minh tính phương dãy số
Ta có: u2
n+1 = (mun−un−1)2 =m2u2n−2mun.un−1 +u2n−1 = (m2 −2)u2n−u2n−1+
(2)Như đặt a1 =u21 =a2, a2 = u22 = b2, an = u2n Ta dãy số tồn số
chính phương sau: (
a1 =a2, a2 =b2
an+1 = (m2−2)an−an−1+ 2(a2+b2−abm)
(a, b, m∈Z)
Như việc chứng minh dãy số tồn số phương sử dụng phương pháp suy luận ngược để tìm dãy số un thoả mãn an =u2n
Thực tế ta giải để tìm dãy un ta cần có a, b, m, ta hồn tồn giải a, b, m nguyên từ hệ thức sau:
+) m2−2 =const
+) 2(a2+b2−abm) = const
Bây ta xét số ví dụ thực tế Có thể nói nhiều tốn sinh từ cách làm
Bài toán 1: Cho dãy số: (
u0 =u1 =
un+1= 7un−un−1−2
Chứng minh dãy số tồn số hạng số phương
Phân tích: Như m2−2 = 7 và 2(a2+b2−abm) = −2 do đó m = ±3 và
a2+b2−mab =−1 Ta chọn m = 3(việc xây dựng không gị bó phải chọn giá trị cả, m chọn −3 ta chọn dãy số mới) Ta cần tìm số nguyên a, bsao cho a2+b2−3ab=−1 Thực tế ta thấy (a, b) = (1,1)là nghiệm phương trình Như ta xây dựng dãy xn thoả mãn
Lời giải: Xét dãy số: (
x0 = 1, x1 =
xn+1= 3xn−xn−1
Ta dễ chứng minh quy nạp rằng: xn nguyên với n tự nhiên Bây ta
chứng minhun=x2nvới mọin ∈N Ta thấy vớin= 0,1thì điều hiển nhiên
Giả sử điều tớin=k(k ∈N) Ta có: uk+1 = 7uk−uk−1−2 = 7x2k−x2k−1−
2 = 7x2
k−x2k−1+2(x2k+xk2−1−3xkxk−1) = 9x2k−6xkxk−1+x2k−1 = (3xk−xk−1)2 =x2k+1 Vậy theo nguyên lí quy nạp mạnh(SPMI) ta có điều giả sử với n∈N Do số hạng dãy số phương
Nhận xét: Như hiển nhiên người đề chọn sẵn dãy số xn để từ tạo un,
(3)Bài toán 2: Cho dãy số: (
u0 = 1, u1 =
un+1 = 14un−un−1−6
Chứng minh dãy số toàn số hạng số phương
Phân tích: Ta có: m2−2 = 14 và 2(a2+b2−abm) =−6 Ta chọn m= 4 Thay lại vào phương trình sau được: a2+b2 −4ab=−3 Ta thấy (a, b) = (1,2)là nghiệm phương trình Vậy ta xây dựng dãy xn cho un=x2n
Lời giải: Xét dãy số: (
x0 = 1, x1 =
xn+1 = 4xn−xn−1
Dễ thấyxnlà số nguyên với mọin∈N
Ta chứng minh un =x2n với n ∈ N Với n = n = điều hoàn toàn
đúng Ta giả sử điều tới n =k(k ∈ N) Ta có: uk+1 = 14uk−uk−1−6 =
14x2
k−x2k−1−2 = 14x2k−x2k−1+ 2(x2k+x2k−1−4xkxk−1) = 16x2k−8xkxk−1+x2k−1 =
(4xk−xk−1)2 = x2k+1 Vậy theo nguyên lí quy nạp mạnh(SPMI) ta có điều giả sử với n ∈N Do số hạng dãy số phương
Bài toán 3(Romania TST 2002): Cho dãy số: (
u0 = 1, u2 =
un+1 = 14un−un−1 Chứng minh rằng: 2un−1 số phương với n ∈N
Lời giải: Đặt = 2un −1(do un toàn số nguyên nên chứa số hạng
toàn số nguyên) suy un =
vn+
2 lại hệ thức truy hồi ban đầu ta có:
vn+1+
2 = 7vn+ 7−
vn−1+
2 ⇔vn+1 = 14vn−vn−1 + 12 Hiển nhiên v0 =v1 =
Xét dãy số: (
x0 =x1 =−1
xn+1 = 4xn−xn−1
Ta chứng minh quy nạp rằng: = x2n Điều với n = n = Ta giả sử điều này tới n = k Ta có:
vk+1 = 14vk−vk−1+12 = 14x2k−x2k−1+2(x2k+x2k−1−4xkxk−1) = (4xk−xk−1)2 =x2k+1 Do theo ngun lí quy nạp mạnh ta có điều phải chứng minh
Bài toán 4(Chọn đội tuyển Nghệ An 2007): Cho dãy số: (
u1 = 1, u2 =
un+1 = 4un−un−1
Chứng minh rằng: u
n−1
3 chứa toàn số hạng tồn số phương
Lời giải: Đặtxn=u2n Ta dễ dàng xây dựng dãy xn sau:
(
x1 = 1, x2 =
(4)Ta chứng minh quy nạp rằng: 3|xn−1 Thật với n = n2 ta thấy thoả
mãn Giả sử điều tới n =k(K ∈N) ta có: xk+1 −1 = 14xk−xk−1 −7≡
2−1−7≡0(mod 3) suy ra3|xk+1−1nên theo nguyên lí quy nạp mạnh thì3|xn−1 Đặt =
xn−1
3 v1 = 0, v2 = 1, từ ta có: nguyên, đồng thời: xn = 3vn+
do đó: 3vn+1 + = 14(3vn + 1)−(3vn−1 + 1)−6 = 42vn −3vn−1 + ⇔ vn+1 =
14vn−vn−1+ Xét dãy số: (
a1 = 0, a2 =
an+1 = 4an−an−1
Ta chứng minh quy nạp rằng:
vn =a2n Với n = 1,2 điều Giả sử điều tới n =k(k ∈ N) Ta có: vk+1 = 14vk−vk−1+ = 14a2k−a2k−1+ 2(a2k+a2k−1−4akak−1) = (4ak−ak−1)2 =a2k+1 Theo ngun lí quy nạp mạnh ta có vn=a2n với mọin ∈N∗ Do ta thu điều phải chứng minh
Nhận xét: Bài tốn khó, địi hỏi người làm phải tinh tế việc đặt dãy phụ Ngồi việc chưa chứng minh tính ngun củavnthì làm hồn
tồn điểm đoạn sau Bài toán 5: Cho dãy số:
(
u0 =u1 =
un+1 = 98un−un−1
Chứng minh rằng: un+
6 số phương với n∈N
Lời giải: Ta chứng minh quy nạp rằng: 6|un+ Thật với n = n =
điều Ta giả sử điều tới n = k(k ∈ N) Ta có: uk+1 + =
98uk−uk−1+ ≡ −2 + + 1≡0(mod 6) hay là6|uk+1+ 1nên theo ngun lí quy nạp mạnh thì: 6|un+ Vậy
un+
6 nguyên, đặtvn=
un+
6 , ta thấy rằng: un = 6vn−1
Thế vào hệ thức truy hồi ta dãy sau:
(
v1 =v2 =
vn+1 = 98vn−vn−1−96
Tương tự trước, ta xây dựng dãy (xn):
(
x1 =x2 =
xn+1 = 10xn−xn−1
và chứng minh quy nạp được: vn=x2n từ có điều phải chứng minh
II) Chứng minh số hạng dãy tổng số chính phương
*)Xét dãy (un),(vn)thoả mãn:
(un) :
(
u0 =a, u1 =b
(5)(vn) :
(
v0 =x, v1 =y
vn+1 =pvn−vn−1
(a, b, x, y, p ∈Z)
Đặt an=u2n+v2n
Ta có: u2
n+1 = (p2−2)u2n−un2−1+ 2(a2+b2−abp)
v2
n+1 = (p2−2)vn2 −vn2−1+ 2(x2+y2−xyp) Do đó:
(
an+1= (p2−2)an−an−1+ 2(a2+b2+x2+y2−p(ab+xy))
a0 =a2+x2, a1 =b2+y2
Như cho trước dãy an ta tìm dãy phụ cách tìm số p, a, b, x, y nguyên phù hợp
Chúng ta phân tích giải số tập: Bài toán 6(HSGS TST 2016): Cho dãy số:
(
u0 =u1 =
un+1 = 7un−un−1+ 44
Chứng minh rằng: Mọi số hạng dãy số tổng bình phương số nguyên
Phân tích: Ta nhận thấyp2−2 = 7do đóp=±3, ta chọnp= 3 Từ ta suy luận được: x2+a2 = =y2+b2 đồng thời: a2+b2+x2+y2−3(ab+xy) = 22 Ta chọn
x, y, a, b thoả mãn ba hệ thức Một thoả mãn là: (a, b, x, y) = (−1; 2;−1; 2) Lời giải: Xét dãy (xn) :
(
x0 =−1, x1 =
xn+1 = 3xn−xn−1
(yn) :
(
y0 =−1, y1 =
yn+1 = 3yn−yn−1
Do đó: x2n+1 = 7x2n−x2n−1+ 22 y2n+1 = 7yn2 −yn2−1+ 22
Ta chứng minh quy nạp rằng: un = x2n +y2n Điều với n = n =
Giả sử điều tới n = k(k ∈ N) Ta thấy rằng: uk+1 = 7uk−uk−1+ 44 =
7(x2
k+yk2)−(x2k−1 +y2k−1) + 44 =x2k+1+yk2+1 Vậy theo nguyên lí quy nạp mạnh ta có điều phải chứng minh
(6)Bài toán 7: Cho dãy số: (
a0 = 2, a1 =
an+1 = 23an−an−1+ Chứng minh rằngan tổng số phương
Lời giải: Xét dãy: (un) :u0 = 1, u1 = 2, un+1 = 5un−un−1 (vn) :v0 =−1, v1 = 1, vn+1 = 5vn−vn−1
Ta có: u2
n+1 = 23u2n−u2n−1+ 2(12+ 22 −1.2.5) = 23u2n−u2n−1−10
v2
n+1 = 23v2n−v2n−1+ 2(12+ 12+ 5) = 23v2n−v2n−1+ 14
Ta chứng minh quy nạp rằng: an =u2n+vn2 Thật vậy, với n = n = điều
đó Giả sử điều tới n = k(k ∈ N) Ta có: ak+1 = 23ak−ak−1 + =
(23u2k−u2k−1−10) + (23v2k−vk2−1+ 14) = u2k+1+vk2+1 Vậy theo ngun lí quy nạp mạnh ta có điều phải chứng minh
Cuối bạn thử sức với hai toán sau để luyện tập Bài toán 8: Cho dãy số: (an): a0 = 10, a1 = 17, an+1 = 47an−an−1+ 40 Chứng minh rằng: an tổng hai số phương
Bài toán 9(Chọn đội tuyển Sư Phạm 2016-2017): Cho dãy số: x1 = 1, x2 =
2, xn+1 = 5xn −xn−1 Chứng minh rằng: 21x2n− 20 số phương với n∈N∗
III) Thú vị câu hỏi số dãy phụ?
Như thấy phần I) tạo nhiều dãy phụ Vậy câu hỏi đặt có dãy phụ sử dụng để giải toán Để trả lời câu hỏi cần phải để ý chút kiến thức phương trình Pell
Ta quay lại toán rõ ràng việc ta chọn m = dẫn tới số dãy phụ với số cách chọn số (a, b) ứng với giá trị khởi đầu Như thực chất ta cần tìm nghiệm phương trình: a2+b2 −3ab=−1 Và cách đưa về PT Pell, ta dễ thấy nghiệm tổng quát hai số hạng liên tiếp dãy số sau:
u0 = 1, u1 = 1, un+1 = 3un−un−1 Đồng nghĩa với vô số cách tạo dãy phụ mà a, b
ứng với số hạng liên tiếp dãy
Vậy để trả lời câu hỏi số cách đặt dãy phụ tức đồng thời đưa ta tới câu hỏi nghiệm PT sau:
a2+b2−abm=p với a, b, m, p∈Z m, p cố định