Một số bất đẳng thức hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Hoàng Ngọc Quang MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc Thái Nguyên - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu Thư viện Đại học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Mở đầu Chương Các bất đẳng thức tam giác tứ giác 1.1 Các bất đẳng thức đại số 1.2 Các đẳng thức bất đẳng thức tam giác 1.2.1 Các đẳng thức tam giác 1.2.2 Các bất đẳng thức tam giác 1.3 Bất đẳng thức tam giác 1.3.1 Bất đẳng thức độ dài cạnh 1.3.2 Bất đẳng thức đại lượng đặc biệt 1.4 Các bất đẳng thức sinh từ công thức hình học 1.5 Bất đẳng thức tam giác đặc biệt 1.5.1 Các bất đẳng thức tam giác 1.5.2 Các bất đẳng thức tam giác vuông tam giác cân 1.6 Các bất đẳng thức khác tam giác 1.7 Các bất đẳng thức tứ giác 1.7.1 Các bất đẳng thức tứ giác 1.7.2 Các bất đẳng thức khác tứ giác 6 8 10 11 11 14 17 23 23 Chương Bất đẳng thức Ptolemy 2.1 Định lí Ptolemy 2.2 Bất đẳng thức Ptolemy 2.3 Định lí Bretschneider 2.4 Định lí Casey 2.5 Mở rộng bất đẳng thức Ptolemy 48 48 53 63 63 68 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên mở rộng không gian http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 29 40 41 45 Chương Bất đẳng thức Erdos-Mordell mở rộng 3.1 Bất đẳng thức Erdos-Mordell tam giác 3.2 Bất đẳng thức Erdos-Mordell tam giác mở rộng 3.3 Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell tứ giác 3.4 Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell đa giác 3.5 Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell tứ diện Chương Các bất đẳng thức có trọng 4.1 Bất đẳng thức dạng Hayashi hệ 4.1.1 Bất đẳng thức Hayashi 4.1.2 Các hệ bất đẳng thức hyashi 4.1.3 Bài toán áp dụng 4.2 Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng hệ 4.2.1 Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng 4.2.2 Các hệ bất đẳng thức Weizenbock suy 4.3 Bất đẳng thức Klamkin hệ 4.3.1 Bất đẳng thức Klamkin 4.3.2 Các hệ bất đẳng thức Klamkin 4.4 Bất đẳng thức Jian Liu hệ 4.4.1 Bất đẳng thức Jian Liu 4.4.2 Các hệ bất đẳng thức Jian Liu Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 70 70 79 85 87 90 92 92 92 94 94 96 96 rộng101 105 105 106 108 108 110 116 117 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Các toán bất đẳng thức cực trị hình học thuộc loại toán khó, làm cho học sinh phổ thông, phổ thông sở kể học sinh giỏi lúng túng gặp toán loại Thực phần quan trọng hình học kiến thức bất đẳng thức hình học làm phong phú phạm vi ứng dụng toán học So với bất đẳng thức đại số, bất đẳng thức hình học chưa quan tâm nhiều Một nguyên nhân gây khó giải vấn đề phương pháp tiếp cận phương pháp thông thường hay áp dụng hình học phương pháp đại số túy Để giải toán bất đẳng thức hình học cần thiết phải biết vận dụng kiến thức hình học đại số cách thích hợp nhạy bén Luận văn giới thiệu số bất đẳng thức hình học từ đến nâng cao mở rộng Các toán bất đẳng thức hình học trình bày luận văn tạm phân thành nhóm sau: I Nhóm toán mà lời giải đòi hỏi thiết phải có hình vẽ Phương pháp giải toán nhóm chủ yếu "phương pháp hình học", vẽ thêm đường phụ, sử dụng tính chất đường vuông góc đường xiên, đường thẳng đường gấp khúc, quan hệ cạnh, cạnh góc tam giác, hay tứ giác v.v Bất đẳng thức cực trị hình học phẳng thuộc nhóm nội dung thường gặp kì thi chọn học sinh giỏi toán hay thi vào trường chuyên II Nhóm thứ hai gồm toán mà giải chúng cần phải sử dụng hệ thức lượng biết, hệ thức lượng giác, hệ thức đường trung tuyến, đường phân giác, công thức bán kính, công thức Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn diện tích tam giác v.v Các toán quan tâm nhiều chúng trình bày phong phú tài liệu [4,7], luận văn không đề cập nhiều đến bất đẳng thức tam giác có tài liệu chúng hay mà nêu số bất đẳng thức để tiện sử dụng sau III Nhóm thứ ba gồm toán liên quan đến bất đẳng thức hình học tiếng, đặc biệt bất đẳng thức Ptolemy bất đẳng thức Erdos-Mordell bất đẳng thức có trọng bất đẳng thức Hayshi, bất đẳng thức Weizenbock, bất đẳng thức Klamkin v.v Các bất đẳng thức giới thiệu Tiếng Việt thường gặp đề thi Olympic Quốc tế Bản luận văn "Một số bất đẳng thức hình học" gồm có mở đầu, bốn chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương Các bất đẳng thức tam giác tứ giác Chương trình bày số bất đẳng thức thuộc nhóm I nhóm II Chương Bất đẳng thức Ptolemy mở rộng Chương trình bày đẳng thức Ptolemy, bất đẳng thức Ptolemy toán áp dụng Các toán chủ yếu trích từ đề thi vô địch nước, đề thi vô địch khu vực đề thi IMO, số tác giả sáng tác Ngoài ra, trình bày số mở rộng bất đẳng thức Ptolemy tứ giác tứ diện Chương Bất đẳng thức Erdos - Mordell mở rộng Chương trình bày bất đẳng thức Edos-Mordell toán liên quan Ngoài ra, trình bày số mở rộng bất đẳng thức tam giác, tứ giác đa giác [11-13] Chương Các bất đẳng thức có trọng Chương trình bày số bất đẳng thức liên quan đến tổng khoảng cách từ hay nhiều điểm mặt phẳng đến đỉnh cạnh tam giác với tham số dương tùy ý gọi trọng số hay gọi tắt trọng Đó bất đẳng thức Hyashi, Weizenbock, Klamkin, Jian Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Liu, v.v Các bất đẳng thức giới thiệu Tiếng Việt, số kết nghiên cứu chuyên gia Quốc tế lĩnh vực bất đẳng thức hình học [9,13-14] Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên với hướng dẫn TS Nguyễn Văn Ngọc Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm hướng dẫn Thầy, tới thầy cô Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới Sở GD - ĐT tỉnh Yên Bái, Ban Giám đốc, đồng nghiệp Trung tâm GDTX - HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên tạo điều kiện cho tác giả học tập hoàn thành kế hoạch học tập Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giả Hoàng Ngọc Quang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các bất đẳng thức tam giác tứ giác Chương trình bày bất đẳng thức tam giác tứ giác từ đến nâng cao Nội dung chủ yếu hình thành từ tài liệu [1-7], [10], [12] [15] Kí hiệu ∆ABC tam giác ABC với đỉnh A, B, C Để thuận tiện, độ lớn góc ứng với đỉnh A, B, C kí hiệu tương ứng A, B, C Độ dài cạnh tam giác: BC = a, CA = b, AB = c a+b+c Nửa chu vi tam giác: p = Đường cao với cạnh: , hb , hc Đường trung tuyến với cạnh: ma , mb , mc Đường phân giác với cạnh: la , lb , lc Bán kính đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp: R r Bán kính đường tròn bàng tiếp cạnh: , rb , rc Diện tích tam giác ABC: S, SABC hay [ABC] Để giải toán bất đẳng thức hình học, trước hết ta cần trang bị kiến thức sở bất đẳng thức đại số đẳng thức, bất đẳng thức đơn giản tam giác 1.1 Các bất đẳng thức đại số Định lý 1.1 (Bất đẳng thức AM-GM) Giả sử a1 , a2 , · · · , an số thực không âm Khi √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 an n (1.1) Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 1.1 Với số dương a1 , a2 , · · · , an ta có √ n n a1 a2 an ≥ 1 + + · · · + a1 a2 an (1.2) Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Hệ 1.2 Với số dương a1 , a2 , · · · , an ta có 1 n2 + + ··· + ≥ a1 a2 an a1 + a2 + · · · + an (1.3) Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Hệ 1.3 Với số không âm a1 , a2 , · · · , an m = 1, 2, · · · ta có m m am + a2 + · · · + an ≥ n a1 + a2 + · · · + an n m (1.4) Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Cho hai dãy số thực a1 , a2 , · · · , an b1 , b2 , · · · , bn Khi (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ a21 + a22 + · · · + a2n Đẳng thức xảy a1 b1 = a2 b2 b21 + b22 + · · · + b2n = ··· = (1.5) an bn Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Jensen) Cho f (x) hàm số liên tục có đạo hàm cấp hai I (a, b) n điểm x1 , x2 , · · · , xn tùy ý đoạn I (a, b) Khi i, Nếu f (x) > với x ∈ I (a, b) f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ nf x1 + x2 + · · · + xn n x1 + x2 + · · · + xn n ii, Nếu f (x) < với x ∈ I (a, b) f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≤ nf Ở I (a, b) nhằm ngầm định bốn tập hợp (a, b) , [a, b) , (a, b] , [a, b] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.4 (Bất đẳng thức Chebyshev) Cho hai dãy số thực đơn điệu chiều a1 , a2 , · · · , an b1 , b2 , · · · , bn Khi ta có a1 b1 + a2 b2 · · · + an bn ≥ (a1 + a2 + · · · + an ) (b1 + b2 + · · · + bn ) n (1.6) Nếu hai dãy số thực a1 , a2 , · · · , an b1 , b2 , · · · , bn đơn điệu ngược chiều bất đẳng thức đổi chiều Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Nesbitt) Cho a, b, c số thực dương Bất đẳng thức sau a b c + + ≥ b+c c+a a+b (1.7) Đẳng thức xảy a = b = c 1.2 1.2.1 Các đẳng thức bất đẳng thức tam giác Các đẳng thức tam giác Định lý 1.6 (Định lý hàm số sin) Trong tam giác ABC ta có a b c = = = 2R sin A sin B sin C Định lý 1.7 (Định lý hàm số cosin) Trong tam giác ABC ta có a2 = b2 + c2 − 2bc cos A, b2 = c2 + a2 − 2ca cos B, c2 = a2 + b2 − 2ab cos C Định lý 1.8 (Các công thức diện tích) Diện tích tam giác ABC tính theo công thức sau 1 S = aha = bhb = chc 2 1 = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 = pr abc = 4R = (p − a)ra = (p − b)rb = (p − c)rc = p (p − a) (p − b) (p − c) (1.8) (1.9) (1.10) (1.11) (1.12) (1.13) Công thức (1.13) gọi công thức Hê-rông Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... giải toán bất đẳng thức hình học, trước hết ta cần trang bị kiến thức sở bất đẳng thức đại số đẳng thức, bất đẳng thức đơn giản tam giác 1.1 Các bất đẳng thức đại số Định lý 1.1 (Bất đẳng thức AM-GM)... dụng hình học phương pháp đại số túy Để giải toán bất đẳng thức hình học cần thiết phải biết vận dụng kiến thức hình học đại số cách thích hợp nhạy bén Luận văn giới thiệu số bất đẳng thức hình học. .. 1.3 Bất đẳng thức tam giác 1.3.1 Bất đẳng thức độ dài cạnh 1.3.2 Bất đẳng thức đại lượng đặc biệt 1.4 Các bất đẳng thức sinh từ công thức hình học 1.5 Bất đẳng thức