Một số bất đẳng thức hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCHoàng Ngọc Quang MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Hoàng Ngọc Quang

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc

Thái Nguyên - 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Trang 2

Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Ngày tháng năm 2011

Có thể tìm hiểu tại Thư viện Đại học Thái Nguyên

Trang 3

Mục lục

Mục lục 1

Mở đầu 3

Chương 1 Các bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác 6 1.1 Các bất đẳng thức đại số cơ bản 6

1.2 Các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác 8 1.2.1 Các đẳng thức cơ bản trong tam giác 8

1.2.2 Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác 10

1.3 Bất đẳng thức trong tam giác 11

1.3.1 Bất đẳng thức về độ dài các cạnh 11

1.3.2 Bất đẳng thức về các đại lượng đặc biệt 14

1.4 Các bất đẳng thức sinh ra từ các công thức hình học 17

1.5 Bất đẳng thức trong các tam giác đặc biệt 23

1.5.1 Các bất đẳng thức trong tam giác đều 23

1.5.2 Các bất đẳng thức trong tam giác vuông và tam giác cân 27

1.6 Các bất đẳng thức khác trong tam giác 29

1.7 Các bất đẳng thức trong tứ giác 40

1.7.1 Các bất đẳng thức cơ bản trong tứ giác 41

1.7.2 Các bất đẳng thức khác trong tứ giác 45

Chương 2 Bất đẳng thức Ptolemy và các mở rộng 48 2.1 Định lí Ptolemy 48

2.2 Bất đẳng thức Ptolemy 53

2.3 Định lí Bretschneider 63

2.4 Định lí Casey 63

2.5 Mở rộng bất đẳng thức Ptolemy trong không gian 68

Trang 4

Chương 3 Bất đẳng thức Erdos-Mordell và các mở rộng 70

3.1 Bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tam giác 70

3.2 Bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tam giác mở rộng 79

3.3 Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tứ giác 85

3.4 Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong đa giác 87

3.5 Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tứ diện 90

Chương 4 Các bất đẳng thức có trọng 92 4.1 Bất đẳng thức dạng Hayashi và các hệ quả 92

4.1.1 Bất đẳng thức Hayashi 92

4.1.2 Các hệ quả của bất đẳng thức hyashi 94

4.1.3 Bài toán áp dụng 94

4.2 Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng và các hệ quả 96

4.2.1 Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng 96

4.2.2 Các hệ quả của bất đẳng thức Weizenbock suy rộng101 4.3 Bất đẳng thức Klamkin và các hệ quả 105

4.3.1 Bất đẳng thức Klamkin 105

4.3.2 Các hệ quả của bất đẳng thức Klamkin 106

4.4 Bất đẳng thức Jian Liu và các hệ quả 108

4.4.1 Bất đẳng thức Jian Liu 108

4.4.2 Các hệ quả của bất đẳng thức Jian Liu 110

Kết luận 116

Tài liệu tham khảo 117

Trang 5

Mở đầu

Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học thuộc loại nhữngbài toán khó, làm cho học sinh phổ thông, nhất là phổ thông cơ sở kể cảhọc sinh giỏi lúng túng khi gặp các bài toán loại này Thực sự nó là mộtphần rất quan trọng của hình học và những kiến thức về bất đẳng thứctrong hình học cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng của toánhọc So với các bất đẳng thức đại số, các bất đẳng thức hình học chưađược quan tâm nhiều Một trong những nguyên nhân gây khó giải quyếtvấn đề này là vì phương pháp tiếp cận không phải là các phương phápthông thường hay được áp dụng trong hình học và càng không phải làphương pháp đại số thuần túy Để giải một bài toán về bất đẳng thứchình học cần thiết phải biết vận dụng các kiến thức hình học và đại sốmột cách thích hợp và nhạy bén

Luận văn này giới thiệu một số bất đẳng thức hình học từ cơ bảnđến nâng cao và mở rộng Các bài toán về bất đẳng thức hình học đượctrình bày trong luận văn này có thể tạm phân thành các nhóm sau:

I Nhóm các bài toán mà trong lời giải đòi hỏi nhất thiết phải cóhình vẽ Phương pháp giải các bài toán nhóm này chủ yếu là "phươngpháp hình học", như vẽ thêm đường phụ, sử dụng tính chất giữa đườngvuông góc và đường xiên, giữa đường thẳng và đường gấp khúc, quan

hệ giữa các cạnh, giữa cạnh và góc trong một tam giác, hay tứ giác v.v Bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng thuộc nhóm này là nộidung thường gặp trong các kì thi chọn học sinh giỏi toán hay thi vào cáctrường chuyên

II Nhóm thứ hai gồm các bài toán mà khi giải chúng cần phải sửdụng các hệ thức lượng đã biết, như các hệ thức lượng giác, hệ thứcđường trung tuyến, đường phân giác, công thức các bán kính, công thức

Trang 6

diện tích của tam giác v.v Các bài toán này đã được quan tâm nhiều

và chúng được trình bày khá phong phú trong các tài liệu [4,7], vì thếluận văn này sẽ không đề cập nhiều đến các bất đẳng thức trong tamgiác có trong các tài liệu trên mặc dù chúng rất hay mà chỉ nêu ra một

số bất đẳng thức cơ bản nhất để tiện sử dụng sau này

III Nhóm thứ ba gồm các bài toán liên quan đến các bất đẳng thứchình học nổi tiếng, đặc biệt là bất đẳng thức Ptolemy và bất đẳng thứcErdos-Mordell và các bất đẳng thức có trọng như bất đẳng thức Hayshi,bất đẳng thức Weizenbock, bất đẳng thức Klamkin v.v Các bất đẳngthức này còn ít được giới thiệu bằng Tiếng Việt và thường gặp trong các

đề thi Olympic Quốc tế

Bản luận văn "Một số bất đẳng thức hình học" gồm có mở đầu,bốn chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 1 Các bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác.Chương này trình bày một số bất đẳng thức thuộc nhóm I và nhóm II.Chương 2 Bất đẳng thức Ptolemy và các mở rộng

Chương này trình bày đẳng thức Ptolemy, bất đẳng thức Ptolemy vàcác bài toán áp dụng Các bài toán này chủ yếu được trích ra từ các đềthi vô địch các nước, đề thi vô địch khu vực và đề thi IMO, một số là dotác giả sáng tác Ngoài ra, còn trình bày một số mở rộng bất đẳng thứcPtolemy trong tứ giác và trong tứ diện

Chương 3 Bất đẳng thức Erdos - Mordell và các mở rộng.Chương này trình bày bất đẳng thức Edos-Mordell và các bài toán liênquan Ngoài ra, còn trình bày một số mở rộng bất đẳng thức này trongtam giác, trong tứ giác và trong đa giác [11-13]

Chương 4 Các bất đẳng thức có trọng

Chương này trình bày một số bất đẳng thức liên quan đến tổng khoảngcách từ một hay nhiều điểm của mặt phẳng đến các đỉnh hoặc các cạnhcủa tam giác với các tham số dương tùy ý được gọi là trọng số hay gọitắt là trọng Đó là các bất đẳng thức Hyashi, Weizenbock, Klamkin, Jian

Trang 7

Liu, v.v Các bất đẳng thức này còn ít được giới thiệu bằng Tiếng Việt,một số là kết quả nghiên cứu của các chuyên gia Quốc tế trong lĩnh vựcbất đẳng thức hình học [9,13-14]

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên với sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Ngọc Tác giảxin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn củaThầy, tới các thầy cô trong Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo và KhoaToán-Tin Trường Đại học Khoa học Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới

Sở GD - ĐT tỉnh Yên Bái, Ban Giám đốc, các đồng nghiệp Trung tâmGDTX - HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên đã tạo điều kiện cho tácgiả học tập và hoàn thành kế hoạch học tập

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 6 năm 2011

Tác giả

Hoàng Ngọc Quang

Trang 8

Chương 1

Các bất đẳng thức trong tam giác

và tứ giác

Chương này trình bày các bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác

từ cơ bản đến nâng cao Nội dung chủ yếu được hình thành từ các tàiliệu [1-7], [10], [12] và [15]

Kí hiệu ∆ABC là tam giác ABC với các đỉnh là A, B, C Để thuậntiện, độ lớn của các góc ứng với các đỉnh A, B, C cũng được kí hiệu tươngứng là A, B, C

Độ dài các cạnh của tam giác: BC = a, CA = b, AB = c

Nửa chu vi của tam giác: p = a + b + c

Đường cao với các cạnh: ha, hb, hc

Đường trung tuyến với các cạnh: ma, mb, mc

Đường phân giác với các cạnh: la, lb, lc

Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp: R và r.Bán kính đường tròn bàng tiếp các cạnh: ra, rb, rc

Diện tích tam giác ABC: S, SABC hay [ABC]

Để giải được các bài toán bất đẳng thức hình học, trước hết ta cầntrang bị những kiến thức cơ sở đó là các bất đẳng thức đại số cơ bản vàcác đẳng thức, bất đẳng thức đơn giản trong tam giác

1.1 Các bất đẳng thức đại số cơ bản

Định lý 1.1 (Bất đẳng thức AM-GM) Giả sử a1, a2, · · · , an là các sốthực không âm Khi đó

a1 + a2 + · · · + an

a1a2 an (1.1)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an

Trang 9

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an.

Hệ quả 1.2 Với mọi bộ số dương a1, a2, · · · , an ta có

Hệ quả 1.3 Với mọi bộ số không âm a1, a2, · · · , an và m = 1, 2, · · · tacó

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an

Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Cho hai dãy số thực

ii, Nếu f00(x) < 0 với mọi x ∈ I (a, b) thì

f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn) ≤ nf x1 + x2 + · · · + xn

n

Ở đây I (a, b) nhằm ngầm định là một trong bốn tập hợp (a, b) , [a, b) ,(a, b] , [a, b]

Trang 10

Định lý 1.4 (Bất đẳng thức Chebyshev) Cho hai dãy số thực đơn điệucùng chiều a1, a2, · · · , an và b1, b2, · · · , bn Khi đó ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

1.2 Các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác1.2.1 Các đẳng thức cơ bản trong tam giác

Định lý 1.6 (Định lý hàm số sin) Trong tam giác ABC ta có

asin A =

bsin B =

csin C = 2R.

Định lý 1.7 (Định lý hàm số cosin) Trong tam giác ABC ta có

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A, b2 = c2 + a2 − 2ca cos B, c2 = a2 + b2 − 2ab cos C.Định lý 1.8 (Các công thức về diện tích) Diện tích tam giác ABCđược tính theo một trong các công thức sau

Trang 11

data error !!! can't not

read

Trang 12

read

Trang 13

read

Trang 14

read

Trang 15

read

Trang 17

read

Trang 18

read

Trang 19

read

Trang 20

read

Trang 21

read

Trang 22

read

Trang 23

read

Trang 24

read

Trang 26

read

Trang 27

read

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	353,77 KB