Sử dụng một số bất đẳng thức thông dụng để chứng minh bất đẳng thức

Header Page of 146 I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC - NG VN HIU S DNG MT S BT NG THC THễNG DNG CHNG MINH BT NG THC CHUYấN NGNH: PHNG PHP TON S CP M S: 60 46 40 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS PHAN HUY KHI Thỏi Nguyờn, nm 2009 Footer Page of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 146 MC LC Trang Mc lc Li cm n Li núi u Chng Phng phỏp s dng bt ng thc Cụsi 1.1 Bt ng thc Cụsi 1.2 S dng bt ng thc Cụsi c bn 1.3 S dng trc tip bt ng thc Cụsi 14 1.4 Thờm bt hng s s dng bt ng thc Cụsi 23 1.5 Thờm bt bin s s dng bt ng thc Cụsi 27 1.6 Nhúm cỏc s hng s dng bt ng thc Cụsi 33 Chng Phng phỏp s dng bt ng thc Bunhiacopski 42 2.1 Bt ng thc Bunhiacopski 42 2.2 Bt ng thc Bunhiacopski m rng 55 Chng Phng phỏp s dng bt ng thc vi cỏc dóy n iu 59 3.1 Bt ng thc vi cỏc dóy n iu 59 3.2 Mt s vớ d minh ho 60 Chng Phng phỏp s dng bt ng thc Trờbsộp 67 4.1 Bt ng thc Trờbsộp 67 4.2 Mt s vớ d minh ho 68 Chng Phng phỏp s dng bt ng thc Jensen 81 5.1 nh ngha hm li 81 5.2 iu kin v tớnh li ca hm s 82 5.3 Bt ng thc Jensen 82 5.4 Mt s vớ d minh ho 84 Ti liu tham kho Footer Page of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 98 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 146 LI CM N Tụi xin trõn trng cm n PGS.TS Phan Huy Khi, ngi thy ó trc tip ging dy, hng dn v to mi iu kin giỳp tụi hon thnh lun ny Tụi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu, Phũng o to sau i hc Trng i hc Khoa hc i hc Thỏi Nguyờn v cỏc thy giỏo, cụ giỏo ó trc tip ging dy, giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc ti trng Tụi xin by t lũng bit n n cha m, ngi thõn, bn bố v tt c nhng ngi ó giỳp , ng viờn tụi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun Footer Page of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 146 LI NểI U Bt ng thc l mt nhng chuyờn mc cú tớnh hp dn nht giỏo trỡnh ging dy v hc b mụn toỏn nh trng ph thụng Nú l mt ti thng xuyờn cú mt cỏc thi v toỏn cỏc k thi tuyn sinh quc gia, cng nh cỏc k thi Olympic v toỏn mi cp Lun ny dnh trỡnh by mt nhỏnh ca lý thuyt bt ng thc Cỏc bt ng thc thụng dng Ngoi phn m u v danh mc ti liu tham kho lun gm cú chng: Chng vi tiờu Phng phỏp s dng bt ng thc Cụsi dnh trỡnh by v bt ng thc Cụsi Bt ng thc Cụsi l bt ng thc quan trng nht v cú nhiu ng dng nht chng minh bt ng thc Trong chng ny chỳng tụi dnh trỡnh by cỏc phng phỏp c bn nht s dng cú hiu qu bt ng thc Cụsi Chng Phng phỏp s dng bt ng thc Bunhiacopski trỡnh by cỏc ng dng ca bt ng thc Bunhiacopski v bt ng thc Bunhiacopski m rng Mt nhng phng phỏp hay s dng v cú tớnh hiu qu chng minh cỏc bt ng thc l s dng bt ng thc vi cỏc dóy n iu Cỏc kt qu ny c trỡnh by chng Chng dnh trỡnh by mt lp bt ng thc n iu c bit (ú l bt ng thc Trờbsộp) Sau ht chng trỡnh by mt ỏp dng lý thỳ cỏc kt qu ca gii tớch li chng minh bt ng thc ú l s dng tớnh li ca hm s chng minh bt ng thc Footer Page of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 146 Chng PHNG PHP S DNG BT NG THC CễSI 1.1 BT NG THC CễSI 1.1.1 nh lý Vi n s khụng õm: a1 , a2 , , an ( n ) ta cú: a1 + a2 + + an n a1 a2 an n ng thc xy a1 = a2 = = an Chng minh ã Hin nhiờn bt ng thc ỳng vi n = ã Gi s bt ng thc ó ỳng cho n s khụng õm thỡ bt ng thc cng ỳng vi 2n s khụng õm Ta cú: a1 + a2 + + a2 n 2n ( n ) a1.a2 an + n an +1.an +2 a2n n a1.a2 a2 n , nờn bt ng thc ỳng n bng mt lu tha ca ã Gi s bt ng thc ỳng vi n s khụng õm, ta chng minh bt ng thc ỳng vi n - s khụng õm Tht vy, t A = a1 + a2 + + an-1 ; an = Ta cú: A + A n -1 A a a a A n n n-1 ị A (n -1).n-1 a1.a2 an-1 n -1 n -1 Kt hp ba iu trờn suy bt ng thc Cụsi ỳng vi mi n nguyờn dng (n 2) ị pcm 1.1.2 H qu Vi n s dng: a1 , a2 , , an (n 2) ta luụn cú: ổ1 (a1 + a2 + + an )ỗỗỗ + ỗố a1 1ử + + ữữữ n a2 an ữứ ng thc xy a1 = a2 = = an Footer Page of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 146 Chng minh Theo bt ng thc Cụsi, ta cú: a1 + a2 + + an n n a1.a2 an > , 1 1 1 + + + n n > a1 a2 an a1 a2 an (1) (2) Nhõn tng v ca (1),(2) suy iu phi chng minh Nhn xột: ã Bt ng thc Cụsi ch ỏp dng c cho cỏc s khụng õm ã Bt ng thc Cụsi l bt ng thc quan trng nht, quen thuc nht, v cú mt tm ng dng rng rói cỏc b mụn ca toỏn hc s cp c bit l dựng chng minh bt ng thc S thnh cụng ca vic ỏp dng bt ng thc Cụsi chng minh cỏc bi toỏn v bt ng thc hon ton ph thuc vo s linh hot ca tng ngi s dng v k thut cỏch chn cỏc s a1 , a2 , , an Sau õy l mt s phng phỏp dng bt ng thc Cụsi chng minh bt ng thc 1.2 S DNG BT NG THC CễSI C BN 1.2.1 Ni dung phng phỏp Qui c: Gi h qu ca bt ng thc Cụsi l Bt ng thc Cụsi c bn S dng h qu chng minh bt ng thc gi l phng phỏp S dng bt ng thc Cụsi c bn T Bt ng thc cụsi c bn tng quỏt, ta cú hai trng hp riờng sau: ã Vi mi a, b > , ta cú: (a + b) ( 1 1 + ) hay: + a b a b a+b ng thc xy a = b ổ1 1ử 1 ã Vi mi a, b, c > , ta cú: (a + b + c )ỗỗ + + ữữữ hay: + + ỗố a b c ứ a b c a+b+c ng thc xy a = b = c 1.2.2 Mt s thớ d minh ho Thớ d 1.1 ( thi tuyn sinh i hc, cao ng A 2005) Cho x, y , z > v tho món: 1 + + = Chng minh: x y z Footer Page of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 146 1 + + Ê1 x + y + z x + y + z x + y + 2z Bi gii p dng bt ng thc Cụsi c bn hai ln liờn tip, ta cú: 1ổ 1 ữử ộờ 1 ổ 1 ửự 1ổ1 1ử Ê ỗỗ + ữữ Ê + ỗỗ + ữữữỳỳ ị Ê ỗỗ + + ữữữ (1) x + y + z ỗố x y + z ữứ x ỗố y z ữứỷ x + y + z ỗố x y z ữứ ùỡ2x = y + z x= y= z ùùợ y = z ng thc (1) xy ùớ Hon ton tng t, ta cú: v 1ổ 1 1ử Ê ỗỗ + + ữữữ x + y + z ốỗ x y z ữứ (2) 1ổ 1 1ử Ê ỗỗ + + ữữữ x + y + z ỗố x y z ứữ (3) Cng tng v (1),(2),(3) ta c: 1 1 ổ1 1ử + + Ê ỗỗ + + ữữữ = ị pcm x + y + z x + y + z x + y + z ỗố x y z ữứ ng thc xy ng thi ng thc (1),(2),(3) xy x = y = z = Nhn xột: Ta cng cú bt ng thc Cụsi c bn sau: Vi a, b, c, d > thỡ: ổ1 ốa 1ử dứ (a + b + c + d )ỗỗỗ + + + ữữữ 16 ị b c 1 ổ1 1 1ử Ê ỗỗ + + + ữữữ a + b + c + d 16 ỗố a b c d ứ p dng vo thớ d trờn, ta cú: 1 ổ1 1 1ử 1 ổ 1ử = Ê ỗỗ + + + ữữữ ị Ê ỗỗ + + ữữữ x + y + z x + x + y + z 16 ỗố x x y z ứữ x + y + z 16 ỗố x y z ứữ Tng t suy ra: ị 1 ổ 1ử Ê ỗỗ + + ữữữ x + y + z 16 ỗố x y z ữứ v 1 ổ 1 2ử Ê ỗỗ + + ữữữ x + y + z 16 ỗố x y z ữứ 1 1 ổ1 1ử + + Ê ỗỗ + + ữữữ = ị pcm x + y + z x + y + z x + y + z ỗố x y z ữứ ng thc xy x = y = z = Footer Page of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 146 Thớ d 1.2 (Bt ng thc Nesbit bin) Cho a, b, c > Chng minh rng: a b c + + b+c c +a a+b (1) Bi gii ổ D thy (1) ỗỗỗ1 + ố a ữử ỗổ b ữử ỗổ c ữử ữữ + ỗỗ1 + ữữ + ỗỗ1 + ữ b + ố c + aứ ố a + b ữứ ổ 1 ửữ ( a + b + c )ỗỗ + + ỗố b + c c + a a + b ữữứ ộ 1 ự ỳ ộở( a + b) + (b + c) + (c + a )ựỷ + + ờở a + b b + c c + a ỳỷ (2) Theo bt ng thc Cụsi c bn thỡ (2) ỳng ị pcm ng thc xy a = b = c > Nhn xột : ã Bt ng thc Nesbit cng l mt cỏc bt ng thc thụng dng, thng dựng lm bt ng thc trung gian chng minh mt bt ng thc khỏc, nhm rỳt gn phộp chng minh mt bt ng thc ã Xin a mt thớ d hỡnh hc lý thỳ minh ho cho bt ng thc Nesbit sau: Cho DABC V ba phõn giỏc AA',BB',CC' Gi ka , kb , kc tng ng l khong cỏch t A ', B ', C ' n AB, BC , CA Gi , hb , hc tng ng l ba chiu cao h t A, B, C Chng minh: k a kb kc + + hb hc Bi gii Ta cú: SDABC = SDABA ' + SDAA ' C (Hỡnh 1.1) ị 1 aha = cka + bka 2 ị aha = ka (b + c) ị ka a = b+c Hon ton tng t, ta cú: kb b = hb c+a (Hỡnh 1.1) ; Footer Page of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn kc c = hc a+b http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 146 T ú suy ra: k a kb kc a b c + + + + b+c c +a a+b hb hc (*) Theo thớ d 1.2 ị (*) ỳng ị pcm ng thc xy DABC u Thớ d 1.3 Cho x, y , z > v x + y + z = Chng minh: x y z + + Ê x +1 y +1 z +1 Bi gii Cú: ổ x y z 1 1 ửữ + + = 1+ 1+ 1= - ỗỗ + + ữ x +1 y + z +1 x +1 y +1 z +1 ốỗ x + y + z + 1ữữứ Theo bt ng thc Cụsi c bn ta cú: 1 9 + + = , x +1 y + z +1 x +1+ y +1+ z + Vy: (do: x + y + z = ) x y z + + Ê - = ị pcm 4 x +1 y + z +1 ỡù x + = y + = z + 1 x= y= z= ùùợ x + y + z = ng thc xy ùớ Nhn xột: ã Xin a mt minh ho lng giỏc cho thớ d trờn: Chng minh rng mi DABC , ta luụn cú: A B B C C A sin sin sin sin sin 2 + 2 + 2 Ê A- B B-C C-A cos cos cos 2 sin (1) Tht vy, ta cú (1) tng ng vi: A B B C C A sin sin sin sin sin 2 2 2 + + Ê A B A B B C B C C A C A cos cos + sin sin cos cos + sin sin cos cos + sin sin 2 2 2 2 2 2 A B B C C A tan tan tan tan tan tan 2 2 2 Ê3 (2) + + A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan + 2 2 2 sin A t a = tan tan B B C ; b = tan tan 2 ; c = tan Footer Page of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn C A tan , (a, b, c > 0) 2 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 146 A D thy: a + b + c = tan tan Khi ú (2) tr thnh: B B C C A + tan tan + tan tan = 2 2 a b c + + Ê a +1 b + c + (3) (4) Theo thớ d 1.3 thỡ t (3),(4) ị (1) ỳng ị pcm ng thc xy a = b = c A = B = C DABC u ã Theo cỏch gii trờn, ta cng chng minh c dng tng quỏt ca thớ d 1.3 sau: Cho x1 , x2 , , xn > tho món: x1 + x2 + + xn = Chng minh: x x1 x n + + + n Ê x1 +1 x2 + xn + n + Thớ d 1.4 Cho x, y , z > Chng minh rng: M= x y z + + Ê 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Bi gii Cú M = - x+ y+z x+ y+z x+ y+z + 1+ 12x + y + z x + 2y + z x + y + 2z ổ ửữ 1 = - ( x + y + z )ỗỗ + + ữ= ỗố x + y + z x + y + z x + y + z ữữứ ộ ự 1 1 ỳ = - ộở( x + y + z ) + ( x + y + z ) + ( x + y + z )ựỷ + + ờở x + y + z x + y + z x + y + z ỳỷ Theo bt ng thc Cụsi c bn, ta cú: ộ ự 1 ộ(2 x + y + z ) + ( x + y + z ) + ( x + y + z )ự ỳ + + ỷ x + y + z x + y + z x + y + 2z ỳ ỷ Vy M Ê - = ị pcm ng thc xy x = y = z Thớ d 1.5 Cho a, b, c > v ab + bc + ca = abc Chng minh: 1 + + < a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 16 Footer Page 10 of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 85 of 146 84 5.4 MT S TH D MINH HO Thớ d 5.1 (Bt ng thc Cụsi) Cho a1 , a2 , , an Chng minh: a1 + a2 + + an n a1.a2 an n (1) Bi gii ã Xột hm s f ( x) = - ln x , vi x > Ta cú: f '( x ) = - 1 ; f ''( x) = > , "x > x x ị f ( x) = - ln x li x > Theo bt ng thc Jensen, ta cú: ổ x + x2 + + xn ửữ f ỗỗ ữ Ê ộ f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn )ựỷ ốỗ ứữ n n - ln ln x1 + x2 + + xn ln x1 + ln x2 + + ln xn Ên n x1 + x2 + + xn ln n x1 x2 xn n x1 + x2 + + xn n x1.x2 xn n (2) ng thc xy x1 = x2 = = xn > ã Xột n s: a1 , a2 , , an , cú hai kh nng xy ra: - Nu = , i = 1, n thỡ (1) hin nhiờn ỳng - Nu > , i = 1, n theo (2) ta cú: a1 + a2 + + an n a1.a2 an n Vy (1) ỳng "ai , i = 1, n ị pcm ng thc xy a1 = a2 = = an Thớ d 5.2 (Bt ng thc Bunhiacúpski) Cho 2n s thc: a1 , a2 , , an v b1 , b2 , , bn Chng minh: (a12 + a22 + + an2 )(b12 + b22 + + bn2 ) (a1b1 + a2b2 + + anbn )2 Footer Page 85 of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn (1) Header Page 86 of 146 85 Bi gii Xột hm s f ( x ) = x , vi x ẻ Ă Ta cú: f '( x) = x ; f ''( x) = > 0, "x ẻ Ă ị f ( x ) = x l hm li trờn Ă Theo bt ng thc Jensen, ta cú: "ai 0, xi , i = 1, n v ồa n i =1 i > , thỡ: ổ ửữ ỗỗ ữữ n ỗỗ a1 a2 an a ữ f ỗỗ n x1 + n x2 + + n xn ữữữ Ê n k f ( xk ) ỗỗ ữ ai ữữ k =1 ồ ỗốỗ ữứ i =1 i =1 i =1 i =1 (a1 x1 + a2 x2 + + an xn ) ị ổ n ỗỗ a ữữ i ỗố i=1 ữứ Ê a1 x12 + a2 x22 + + an xn2 ồa n i =1 i ị (a1 x1 + a2 x2 + + an xn ) Ê (a1 + a2 + + an )(a1 x12 + a2 x22 + + an xn2 ) (2) Gi s bi , i = 1, n (vỡ nu tn ti bi = , ta ch cn loi cp (ai , bi ) i, v c lm nh th cho n ch cũn li cỏc cp (a j ; b j ) vi b j ) t = bi2 v xi = , i = 1, n Nờn t (2) suy ra: bi (a1b1 + a2b2 + + anbn ) Ê (a12 + a22 + + an2 )(b12 + b22 + + bn2 ) ị pcm ng thc xy x1 = x2 = = xn a a1 a2 = = = n b1 b2 bn Thớ d 5.3 (Bt ng thc Minkowski) Cho , bi > 0, (i = 1, n) Chng minh: n a1.a2 an + n b1 b2 bn Ê n ( a1 + b1 )(a2 + b2 ) (an + bn ) Bi gii Xột hm s f ( x ) = ln (1 + e x ) , vi " x ẻ Ă Cú f '( x ) = ex ex ; f ''( x ) = > 0, " x ẻ Ă x + ex + e ( ) Footer Page 86 of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 87 of 146 86 ị f ( x ) = ln (1 + e x ) l hm li trờn Ă Theo bt ng thc Jensen, ta cú: ổ x + x2 + + xn ửữ f ỗỗ ữ Ê ộ f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn )ựỷ ốỗ ứữ n n Chn xi = ln bi , i = 1, n Ta cú: b ổỗ b1 ổ ỗln + +ln n ữữữ ộ ự ỗỗ n ỗỗố a1 an ữứ ữ ữữ Ê ln ổỗỗ1 + b1 ửữữ + ln ổỗỗ1 + b2 ửữữ + + ln ổỗỗ1 + bn ửữữỳ ln ỗ1 + e ữ ỗố a ữứữỳ ữữữ n ờờở ốỗ a1 ứữữ ốỗ a2 ứữ ỗốỗ n ỳỷ ứ ổ ( a + b )( a + b2 ) (an + bn ) b b b ln ỗỗỗ1 + n n ữữữ Ê ln n 1 ỗố a1.a2 an ữứ a1.a2 an 1+ n n (a + b )(a + b2 ) ( an + bn ) b1.b2 bn Ên 1 a1 a2 an a1 a2 an a1 a2 an + n b1.b2 bn Ê n ( a1 + b1 )(a2 + b2 ) (an + bn ) ị pcm ng thc xy a a1 a2 = = = n b1 b2 bn Thớ d 5.4 (Bt ng thc Svacx) Cho , bi v bi > (i = 1, n) Chng minh: a (a + a2 + + an ) a12 a22 + + + n b1 b2 bn b1 + b2 + + bn (1) Bi gii Xột hm s f ( x ) = x , vi x ẻ Ă Ta cú: f '( x) = x ; f ''( x) = > 0, "x ẻ Ă ị f ( x ) = x l hm li trờn Ă Theo bt ng thc Jensen, ta cú: f (a1 x1 + a2 x2 + + an xn ) Ê a1 f ( x1 ) + a2 f ( x2 ) + + an f ( xn ) Vi > ( "i = 1, n) cho: ồa n i =1 i = Chn = bi ồb Footer Page 87 of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn ; xi = n j =1 (2) bi , "i = 1, n j http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 88 of 146 87 ổ ửữ2 ỗỗ ữ 2 ỗỗ b a1 bn an ữữữ b1 ỗổ a1 ửữ bn ổỗ an ửữ T (2) ị ỗỗ n + + n ữữ Ê n ỗỗ ữữ + + n ỗỗ ữữ b ữ bữ b ữ ỗỗỗ b j b1 b j n ữữữ bj ố ứ bj ố n ứ ồ ỗố j=1 ữứ j =1 j =1 j =1 (a1 + a2 + + an ) b1 + b2 + + bn ng thc xy Thớ d 5.5 Ê a2 a12 a22 + + + n ị pcm b1 b2 bn a a1 a2 = = = n b1 b2 bn (Bt ng thc Nesbit ba bin) Cho a, b, c > Chng minh: a b c + + b+c c +a a+b (1) Bi gii t A = a + b + c > Khi ú (1) Xột hm s f ( x ) = Cú f '( x) = ị f ( x) = A ( A - x) a b c + + A- a A- b A- c x , vi x ẻ (0; A) A- x ; f ''( x) = 2A > , vi " x ẻ (0; A) ( A - x )3 x l hm li trờn (0; A) A- x ổ x1 + x2 + x3 ửữ ữữ Ê ộở f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 )ựỷ ố ứ 3 p dng bt ng thc Jensen, ta cú: f ỗỗ ỗ a +b+c 1ổ a b c ửữ Ê ỗỗ + + ữ A - (a + b + c) ỗố A - a A - b A - c ữứ a b c Ê + + ị pcm b+c c+a a +b ng thc xy a = b = c > Nhn xột: ã Bt ng thc Nesbit ba bin ngoi cỏch chng minh trờn, ó c chng minh bng cỏc phng phỏp: bt ng thc Cụsi (thớ d 1.2), bt ng thc Bunhiacopski (thớ d 2.3.1), bt ng thc vi cỏc dóy n iu (thớ d 3.5) v bt ng thc Trờbsộp (thớ d 4.2) Footer Page 88 of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 89 of 146 88 ã Cng nh bt ng thc Nesbit: bt ng thc Cụsi c bn, bt ng thc Svacx v mt s bt ng thc, thớ d khỏc cho thy, mt bt ng thc cú th chng minh bng nhiu cỏch khỏc Qua ú cng cho thy c s a dng v phong phỳ v cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc Thớ d 5.6 Cho a1 , a2 , , an > Chng minh: 1 n + + + + a1 + a2 + an + n a1.a2 an Bi gii Xột hm s f ( x ) = Cú f '( x) = + ex -e x e x (e x - 1) ; , "x > ''( ) = f x (1 + e x )2 (1 + e x )3 ị hm s f ( x ) = li x > Theo h qu ca bt ng thc Jensen, ta + ex ổ x1 + x2 + + xn ữử ữữ Ê ộở f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn )ựỷ ứ n n cú: f ỗỗỗ ố Chn xi = ln , "i = 1, n Ta cú: 1ổ 1 ửữ ữ Ê ỗỗ + + + + an ữữứ + n a1.a2 an n ỗố1 + a1 + a2 ị 1 n + + + + a1 + a2 + an + n a1.a2 an ị pcm ng thc xy a1 = a2 = = an > Thớ d 5.7 Cho a, b, c > Chng minh: ộ2 ự (b + c ) (c + a ) ( a + b) Ê (a + b + c )ỳ ởờ ỷỳ a b c a+b+c (1) ộ2 ự Ê ln ( a + b + c )ỳ ờở ỳỷ (2) Bi gii Cú (1) a ln (b + c ) + b ln (c + a ) + c ln ( a + b) a +b+c Footer Page 89 of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 90 of 146 89 Xột hm s f ( x) = - ln (a + b + c - x ) , vi x ẻ (0, a + b + c ) Cú f '( x) = 1 ; f ''( x) = > , vi x ẻ (0, a + b + c ) a+b+c-x (a + b + c - x )2 ị f ( x ) l hm li trờn (0, a + b + c ) p dng bt ng thc Jensen, ta cú: ổ a f (a) + bf (b) + cf (c) a b c f ỗỗ a + b + cữữữ Ê ỗố a + b + c a+b+c a+b+c ứ a +b+c ổ a + b + c ửữ -a ln (b + c ) - b ln (c + a ) - c ln (a + b) ỗ ữÊ - ln ỗỗ a + b + c a + b + c ữứữ a +b+c ố ln 2ab + 2bc + 2ca a ln (b + c ) + b ln (c + a ) + c ln (a + b) a+b+c a+b+c (3) D thy, vi a, b, c > ị a + b + c ab + bc + ca ị ( a + b + c) 3( ab + bc + ca ) 2 (ab + bc + ca ) ị ( a + b + c) a+b+c ộ ( ab + bc + ca) ự ộ2 ự ỳ ị ln (a + b + c )ỳ ln ờờ ỳ ờở ỳỷ a + b + c ỷ (4) T (3),(4) ị (2) ỳng ị pcm ng thc xy ng thi ng thc (3),(4) xy a = b = c > a+b+c ổ a + b + c ửữ Thớ d 5.8 Cho a, b, c > Chng minh: a b c ỗỗỗ ữ ố ứữ a b c Bi gii Xột hm s f ( x) = x ln x , vi x > Ta cú: f '( x) = + ln x ; f ''( x) = > , "x > x ị f ( x) = x ln x l hm li x > ổ a + b + c ửữ ữ Ê [ f (a ) + f (b) + f (c )] ứữ 3 p dng bt ng thc Jensen, ta cú: f ỗỗỗ ố Footer Page 90 of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 91 of 146 90 a + b + c a + b + c a ln a + b ln b + c ln c ln Ê 3 a +b +c ổ a + b + c ửữ ln ỗỗ ữữ ỗố ứ a +b+c ổ a + b + c ửữ ỗỗ ữữ ỗố ứ Ê ln ( a a bb c c ) Ê a a bb c c ị pcm ng thc xy a = b = c > Nhn xột: Vi cỏch gii trờn ta cng chng minh c dng tng quỏt cho thớ d 5.8 sau: Cho a1 , a2 , , an > Chng minh rng: ổ a + a2 + + an ửữa1 +a2 + +an a1a1 a2a2 anan ỗỗ ữữ ỗố ứ n ng thc xy a1 = a2 = = an > (Nu n = ta thu c thớ d 5.8) x a Thớ d 5.9 Cho a, b, x, y > Chng minh: x ln + y ln y x+ y ( x + y ) ln b a+b Bi gii Xột hm s f ( x) = x ln x , vi x > Cú f '( x) = ln x + ; f ''( x) = > , vi "x > x ị f ( x) l hm li x > t a1 = x1 = a b ; a2 = ị a1 ; a2 > v a1 + a2 = a +b a+b x a ; x2 = y b Theo bt ng thc Jensen, ta cú: f (a1 x1 + a2 x2 ) Ê a1 f ( x1 ) + a2 f ( x2 ) ổ x + y ửữ a f ỗỗ Ê ữ ữ ốỗ a + b ứ a + b ổ xử b f ỗỗ ữữữ + ốỗ a ứ a + b ổ xử f ỗỗ ữữữ ốỗ b ứ x+ y x+ y x x y y ln Ê ln + ln a+b a +b a+b a a+b b ( x + y ) ln x+ y x y Ê x ln + y ln ị pcm a +b a b Footer Page 91 of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 92 of 146 91 ùỡ x = y ùùợa = b ng thc xy ùớ Thớ d 5.10 Chng minh rng, mi DABC ta luụn cú: A sin 2 + B sin 2 + C sin 2 12 Bi gii Xột hm s f ( x ) = Ta cú: f '( x) = , vi x ẻ (0, p ) sin x -2cos x sin x ; f ''( x) = 2sin x + 6cos x > , vi " x ẻ (0, p ) sin x ị f ( x) l hm li trờn (0, p ) p dng bt ng thc Jensen, ta cú: ổ ửữ ỗỗ 1 ỗỗ 1 ữữữ Ê ỗ + + ữữ A B C ỗỗ A B Cữ ữữ + + sin sin sin ỗỗố ứữ 2 2 2 sin A sin 2 + B sin 2 + C sin 2 12 ị pcm ng thc xy A = B = C DABC u Nhn xột: ã Theo thớ d trờn cho thy, ngoi cỏc phng phỏp ó dựng chng minh bt ng thc lng giỏc thỡ phng phỏp dựng tớnh li ca hm s (Bt ng thc Jensen) cng c dng mt cỏch cú hiu qu chng minh bt ng thc lng giỏc, c bit l cỏc bt ng thc lng giỏc tam giỏc ã Vi cỏch lm trờn cú th xõy dng c cỏc bt ng thc tng t sau: - Trong mi DABC ta cú: 1 + + sin A sin B sin C - Vi "xi ẻ (0, p) , i = 1, n thỡ: 1 + + + sin x1 sin x2 sin xn Footer Page 92 of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn n x1 + x2 + + xn sin n http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 93 of 146 92 Thớ d 5.11 Cho DABC Chng minh: A sin + B sin + C sin Bi gii , s inx Xột hm s f ( x ) = Ta cú: f '( x) = - cos x s in x ; vi x ẻ (0, p ) f ''( x) = sin x + 2cos x > , vi " x ẻ (0, p ) sin x ị f ( x) l hm li trờn (0, p ) Theo bt ng thc Jensen, ta cú: A sin + B sin + C sin ổ ửữ ỗ ỗỗỗ 1 ữữữ Ê ỗ + + ữ A B C A B C ữữữ ỗỗ + + ỗố sin sin sin ữữứ 2 sin ị pcm ng thc xy A = B = C DABC u Nhn xột: Hon ton tng t nh thớ d 5.10 ta cng cú c cỏc kt qu tng ng sau: ã Trong DABC ta luụn cú: ã Vi "xi ẻ (0, p) , i = 1, n thỡ: Thớ d 5.12 1 + + sin A sin B sin C 1 + + + sin x1 sin x2 sin xn Trong DABC ta luụn cú: A cos + B cos + n x1 + x2 + + xn sin n C cos 2 Bi gii Xột hm s f ( x) = , cos x p vi x ẻ (0, ) cos x + 2sin x s inx p Cú f '( x) = ; f ''( x) = > , vi " x ẻ (0, ) cos x cos x Footer Page 93 of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 94 of 146 ị f ( x) = 93 p l hm li trờn (0, ) cos x ổ ửữ ỗỗ 1ỗ 1 ữữữ Ê ỗỗ + + ữ A B C A B C ữữữ ỗỗ + + ỗố cos cos cos ữữứ 2 cos p dng bt ng thc Jensen, ta cú: A cos + B cos + C cos ị pcm ng thc xy A = B = C DABC u Nhn xột: T thớ d trờn suy c cỏc kt qu sau: 1 + + cos A cos B cos C ã Trong DABC nhn, ta luụn cú: ổ p pử 1 ã Vi "xi ẻ ỗỗ- , ữữữ , i = 1, n thỡ: + + + ỗố 2 ứ cos x1 cos x2 cos xn n x1 + x2 + + xn cos n Thớ d 5.13 Chng minh rng, mi DABC ta luụn cú: A cos 2 + B cos 2 + C cos 2 Bi gii Xột hm s f ( x ) = Cú: f '( x ) = ị f ( x) = 2s inx cos x ổ pử , vi x ẻ ỗỗỗ0, ữữữ ố 2ứ cos x , f ''( x ) = ổ pử 2cos x + 6sin x > , vi "x ẻ ỗỗ0, ữữữ ỗố ứ cos x p l hm li trờn (0, ) 2 cos x p dng bt ng thc Jensen, ta cú: ổ ữữử ỗỗ 1ỗ 1 ữữ Ê ỗỗ + + ữữ A B C ỗỗ A B Cữ ữ + + ỗỗố cos cos cos ữữứ 2 2 cos Footer Page 94 of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 95 of 146 A cos 2 + B cos 2 + 94 C cos 2 ị pcm ng thc xy A = B = C DABC u Nhn xột: T thớ d trờn suy c cỏc kt qu sau: ã Trong DABC nhn, ta luụn cú: 1 + + 12 2 cos A cos B cos C ổ p pử ã Vi "xi ẻ ỗỗ- , ữữữ , i = 1, n thỡ: ỗố 2 ứ 1 + + + 2 cos x1 cos x2 cos xn n + x x 2 + + xn cos n Thớ d 5.14 Chng minh rng, mi DABC ta luụn cú: sin A B C A B C + sin + sin + tan + tan + tan + 2 2 2 (1) Bi gii x x Xột hm s f ( x) = sin + tan , vi x ẻ (0, p ) x Cú f '( x) = cos + 2cos x ổỗ - cos ; f ''( x) = ỗỗ xố 4cos sin x x ửữ ữ > , vi " x ẻ (0, p ) ữứ ị f ( x) l hm li trờn (0, p ) ổ A + B + C ửữ ữữ Ê ( f ( A) + f ( B) + f (C )) ứ 3 Theo bt ng thc Jensen, ta cú: f ỗỗỗ ố ị sin B C A B Cử A+ B +C A + B + C ổỗ A + tan Ê ỗsin + sin + sin + tan + tan + tan ữữữ ỗ 6 3ố 2 2 2ứ sin A B C A B C + sin + sin + tan + tan + tan + ị pcm 2 2 2 ng thc xy A = B = C DABC u Nhn xột: Trong DABC ta luụn cú: sin A B C + sin + sin Ê 2 2 Footer Page 95 of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 96 of 146 95 v tan A B C + tan + tan 2 Hai bt ng thc ny ngc chiu nhau, vỡ th khụng th cng tng v ca hai bt ng thc ny suy bt ng thc (1) Cho nờn phng phỏp s dng bt ng thc Jensen t rừ hiu qu thớ d ny Thớ d 5.15 Chng minh rng, nu n nguyờn dng thỡ ta cú: sin x1 + sin x2 + + sin xn x + x2 + + xn Ê sin , vi xi ẻ [0, p ](i = 1, n) n n Bi gii Xột hm s f ( x ) = sin x , vi x ẻ [0, p ] Cú f '( x ) = cos x ; f ''( x) = - sin x Ê , vi "x ẻ [0, p ] ị f ( x ) l hm lừm trờn [0, p ] p dng bt ng thc Jensen ta cú: ổ x + x2 + + xn ửữ f ỗỗ ữ ộ f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn )ựỷ ốỗ ứữ n n sin x1 + x2 + + xn sin x1 + sin x2 + + sin xn ị pcm n n ng thc xy x1 = x2 = = xn Nhn xột: ã T thớ d trờn, ỏp dng vo tam giỏc, ngi ta thng xột cỏc trng hp riờng quan trng sau: * sin A + sin B + sin C Ê * sin 3 (1) A B C + sin + sin Ê 2 2 (2) ã Tng t vi cỏch gii thớ d trờn, ta cú li gii cho cỏc thớ d sau: ộ p pự ờở 2 ỳỷ Thớ d 5.15.1 Chng minh rng, nu n nguyờn dng v xi ẻ ờ- ; ỳ , i = 1, n Thỡ ta cú: cos x1 + cos x2 + + cos xn x + x2 + + xn Ê cos n n Footer Page 96 of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 97 of 146 96 Bi gii ộ p pự ờở 2 ỳỷ Xột hm s f ( x ) = cos x , vi x ẻ ờ- ; ỳ ộ p pự ờở 2 ỳỷ Cú f '( x) = - s inx ; f ''( x) = - cos x Ê , vi " x ẻ ờ- ; ỳ ộ p pự ị f ( x ) l hm lừm trờn ờ- ; ỳ ờở 2 ỳỷ p dng bt ng thc Jensen, ta cú: ổ x + x2 + + xn ửữ f ỗỗ ữữ ộở f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn )ựỷ ỗố ứ n n cos x1 + x2 + + xn cos x1 + cos x2 + + cos xn ị pcm n n ng thc xy x1 = x2 = = xn Nhn xột: p dng kt qu trờn vo DABC ta cú: * cos A + cos B + cos C Ê * cos (3) A B C 3 + cos + cos Ê 2 2 (4) ổ p ửữ ữ , i = 1, n Chng minh: ữứ Thớ d 5.15.2 Cho n l s nguyờn dng v xi ẻ ỗỗỗ0; ố t anx1 + t anx + + t anx n x + x2 + + xn tan n n Bi gii ổ pử Xột hm s f ( x ) = t anx , vi x ẻ ỗỗỗ0; ữữữ ố 2ứ ổ pử Cú f '( x) = + t an x ; f ''( x) = t anx (1 + tan x) > , vi "x ẻ ỗỗỗ0; ữữữ ố 2ứ ổ pử ị f ( x) l hm li trờn ỗỗ0; ữữữ ỗố ứ p dng bt ng thc Jensen, ta cú: Footer Page 97 of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 98 of 146 97 ổ x + x2 + + xn ửữ f ỗỗ ữữ Ê ộở f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn )ựỷ ỗố ứ n n ị tan x1 + x2 + + xn t anx1 + t anx + + t anx n Ê ị pcm n n ng thc xy x1 = x2 = = xn Nhn xột: ã p dng kt qu ca thớ d trờn vo DABC ta cú: * tan A + tan B + tan C 3 * tan (5) A B C + tan + tan 2 (6) ã Cỏc bt ng thc t (1) n (6) c suy t thớ d 5.15 ; 5.15.1 v 5.15.2 gi l cỏc bt ng thc lng giỏc c bn tam giỏc, cỏc bt ng thc ny thng c s dng lm bt ng thc trung gian chng minh cỏc bt ng thc lng giỏc khỏc Footer Page 98 of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 99 of 146 98 TI LIU THAM KHO [1] Phan c Chớnh (2006), Bt ng thc, NXB Vn hoỏ Thụng tin [2] B giỏo dc v o to (1996), thi tuyn sinh vo cỏc trng i hc, cao ng v trung hc chuyờn nghip, NXB Giỏo dc [3] B giỏo dc v o to, Tp toỏn hc v tui tr, NXB Giỏo dc [4] Phan Huy Khi (2000), Gii thiu cỏc dng toỏn luyn thi i hc (tp 2), NXB H Ni [5] Phan Huy Khi (2001), 500 bi toỏn chn lc v bt ng thc (tp 1,2), NXB H Ni [6] Nguyn Vn Mu (2006), Bt ng thc, NXB Giỏo dc [7] G.H.Hardy, J.E.Littlewood, G.Polya (2002), Bt ng thc, NXB i hc Quc Gia, H Ni Footer Page 99 of 146 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... thụng dng, thng dựng lm bt ng thc trung gian chng minh mt bt ng thc khỏc, nhm rỳt gn phộp chng minh mt bt ng thc ã Xin a mt thớ d hỡnh hc lý thỳ minh ho cho bt ng thc Nesbit sau: Cho DABC V ba... ta cng chng minh c dng tng quỏt ca thớ d 1.3 sau: Cho x1 , x2 , , xn > tho món: x1 + x2 + + xn = Chng minh: x x1 x n + + + n Ê x1 +1 x2 + xn + n + Thớ d 1.4 Cho x, y , z > Chng minh rng: M=... + + = Chng minh: xyzt Ê 1+ x 1+ y 1+ z 1+ t 81 ã Cho a1 , a2 , , an > 0, (n 2) v = n - Chng minh: i =1 + n ếa n i =1 i Ê ( n -1) n Thớ d 1.12 Cho a, b, c > v a + b + c = Chng minh: a b c