Một số bất đẳng thức đạo hàm và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN KIM TOÀN MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học : TS Nguyễn Văn Ngọc Thái Nguyên - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Một số bất đẳng thức đạo hàm hàm biến 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Các định lý trung bình 1.1.1 Lý thuyết tóm tắt 1.1.2 Các toán Sự tăng giảm hàm số Hướng lồi điểm uốn đồ thị hàm số Công thức Taylor bất đẳng thức Landau-Hadamard 1.4.1 Công thức Taylor khoảng 1.4.2 Công thức Taylor địa phương 1.4.3 Bất đẳng thức Landau-Hadamard 1.4.4 Các toán Bất đẳng thức Glaeser 1.5.1 Giới thiệu 1.5.2 Bất đẳng thức có điều kiện 1.5.3 Bất đẳng thức điều kiện biên Công thức tính đạo hàm cấp n số bất đẳng thức liên quan Một số bất đẳng thức đạo hàm khác đa thức Định lý Markov-Bernsterin 6 6 12 14 15 15 16 16 16 19 19 20 25 25 30 36 Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình 2.1 2.2 38 Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 38 Ứng dụng đạo hàm phương trình,bất phương trình 50 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý chọn đề tài luận văn Bất đẳng thức vấn đề khó toán học sơ cấp, đòi hỏi tính tư tính sáng tạo cao Trong chương trình chuyên toán trường THPT chuyên bất đẳng thức chuyên đề quan trọng Các toán liên quan đến bất đẳng thức toán thường gặp kì thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia, khu vực quốc tế Các toán bất đẳng thức đa dạng chứng minh nhiều phương pháp khác phương pháp sử dụng đạo hàm công cụ hữu hiệu.Tuy nhiên, bất đẳng thức đạo hàm quan tâm giới thiệu tài liệu Tiếng Việt Bởi việc sưu tầm, tuyển chọn, khai thác số bất đẳng thức đạo hàm biến như: định lý trung bình, tăng giảm hàm số, hướng lồi điểm uốn đồ thị hàm số, công thức Taylor, công thức tính đạo hàm cấp n, cần thiết cho công tác giảng dạy học tập toán học bậc phổ thông Trên sở bất đẳng thức đạo hàm đó, vận dụng vào giải lớp toán khó như: chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, giải bất phương trình Đó dạng toán đề cập nhiều kì thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia, Olympic toán quốc tế Bên cạnh bất đẳng thức đạo hàm kể nhiều bất đẳng thức đạo hàm khó hơn, giới thiệu chưa nhiều tiếng việt như: bất đẳng thức Landau-Hadamard; bất đẳng thức Glaeser, bất 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đẳng thức Markov-Bernstein số bất đẳng thức khác liên quan đến hàm lồi Đây bất đẳng thức khó quan tâm, xuất rải rác số tài liệu Vì việc giới thiệu bất đẳng thức đạo hàm cần thiết cho công tác giảng dạy học tập toán học bậc phổ thông Mục đích nghiên cứu luận văn Sưu tầm, giới thiệu, hệ thống hóa phân loại số bất đẳng thức đạo hàm biến số để áp dụng vào giải toán sơ cấp khó, hay gặp kì thi vào lớp chuyên, thi đại học, thi học sinh giởi quốc gia Olympic toán quốc tế như: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, giải bất phương trình Bên cạnh giới thiệu số bất đẳng thức đạo hàm khó chưa giới thiệu nhiều tài liệu Tiếng Việt như: bất đẳng thức LandauHadamard, bất đẳng thức Glaeser, bất đẳng thức Markov-Bernstein số bất đẳng thức khác liên quan đến hàm lồi Bố cục luận văn Bản luận văn "Một số bất đẳng thức đạo hàm ứng dụng gồm có: mở đầu, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương Một số bất đẳng thức đạo hàm Trong chương trình bày định lý trung bình, định lý Rolle, định lý Lagrange, định lý Cauchy, tăng giảm hàm số, hướng lồi điểm uốn đồ thị hàm số, công thức Taylor - bất đẳng thức Landau-Hadamard, bất đẳng thức Glaese, bất đẳng thưc Markov-Bernstein công thức tính đạo hàm cấp n số bất đẳng thức đạo hàm khác đa thức Chương Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức,giải phương trình,bất phương trình Trong chương trình bày ứng dụng bất đẳng thức đạo hàm việc giải toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình bất phương trình Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TS Nguyễn Văn Ngọc - Viện Toán Học Hà Nội Từ đáy lòng mình, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn Thầy Em xin trân trọng cảm ơn Thầy Cô Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa Học Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K4 Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên động viên, giúp đỡ trình học tập làm luân văn Tuy nhiên, hiểu biết thân khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên trình nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận dạy đóng góp ý kiến Thầy Cô độc giả quan tâm tới luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng 09 năm 2012 Tác giả Nguyễn Kim Toàn 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số bất đẳng thức đạo hàm hàm biến 1.1 1.1.1 Các định lý trung bình Lý thuyết tóm tắt Trong mục trình bày số định lý trung bình vi phân, biết đến nhiều tài liệu toán Tiếng Việt Định lý 1.1 (Định lý Rolle) Giả sử hàm f(x) liên tục đoạn [a,b]; có đạo hàm khoảng (a,b) f(a) = f(b) tồn ξ ∈ (a, b) cho f’(ξ ) = Định lý 1.2 (Định lý Lagrange) Nếu hàm f(x) liên tục đoạn [a,b] có đạo hàm khoảng (a,b) tồn ξ ∈ (a, b), cho f (b) − f (a) = f (ξ)(b − a) Định lý 1.3 (Định lý Cauchy) Nếu hàm f(x), g(x) đồng thời xác định, liên tục đoạn [a,b] có đạo hàm khoảng (a,b), với g’(x) = 0, ∀x ∈ (a, b) g(a) = g(b) tồn ξ ∈ (a, b) cho: f (b) − f (a) f (ξ) = g(b) − g(a) g (ξ) 1.1.2 Các toán Trong phần trình bày số toán chứng minh bất đẳng thức Đây toán khó, dạng tổng quát, sử dụng định lý trung bình để chứng minh Bài toán 1.1 Cho hàm f(x) liên tục đoạn [a,b], có đạo hàm hữu hạn khoảng (a,b) Ngoài f không tuyến tính Khi khoảng (a,b) 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tồn điểm c, cho |f (c)| > f (b) − f (a) b−a Lời giải Chia đoạn [a, b] thành n phần điểm a = xo < x1 < x2 < < xn = b Ta nhận được: n−1 f (b) − f (a) = n−1 (f (xi+1 ) − f (xi )) ≤ i=0 f (xi+1 ) − f (xi ) i=0 Theo công thức Lagrange, ta có f (xi+1 ) − f (xi ) = f (ξi ) xi , xi < ξi < xi+1 , Do ta có xi = xi+1 − xi n−1 |f (b) − f (a)| ≤ |f (ξ)| xi i=0 Vì hàm f (x) không tuyến tính, nên tồn phân hoạch đoạn [a, b] cho số |f (ξ)| tồn số lớn nhất, khác không Kí hiệu số |f (c)| Khi ta nhận bất đẳng thức n−1 |f (b) − f (a)| < |f (c)| xi = (b − a)|f (c)|, a < c < b i=0 Từ suy |f (c)| > f (b) − f (a) b−a Ta có đpcm Bài toán 1.2 Cho hàm f (x) có đạo hàm cấp hữu hạn đoạn [a, b], thỏa mãn điều kiện f (a) = f (b) = Chứng minh khoảng (a, b) tồn điểm c, cho f (c) ≥ |f (b) − f (a)| (b − a)2 Lời giải Nếu f (x) = const bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên Giả sử f (x) = const Từ điều kiện f (a) = f (b) = 0, suy f (x) 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn không tuyến tính Áp dụng công thức Cauchy số gia hữu hạn cho (x − a)2 (a + b) hàm số f (x) φ(x) = đoạn a, cho hàm số 2 a+b (b − x)2 đoạn , b , ta nhận f (x) γ(x) = 2 a+b f( ) − f (a) f (ξ1 ) a+b = , a < ξ < (b − a)2 ξ1 − a a+b ) f (ξ2 ) = , (b − a)2 b − ξ2 Cộng vế đẳng thức ta f (b) − f ( a+b < ξ2 < b f (b) − f (a) f (ξ1 ) f (ξ2 ) = + (b − a) ξ1 − a b − ξ2 Vì f (a) = f (b) = 0, nên vế phải đẳng thức cuối viết dạng: f (ξ1 ) f (ξ2 ) f (ξ1 ) − f (a) f (b) − f (ξ2 ) + = − = f (η1 ) − f (η2 ), ξ1 − a b − ξ2 ξ1 − a b − ξ2 a < η1 < ξ1 ; ξ2 < η2 < b Từ suy 8[f (b) − f (a)] ≤ |f (η1 )| + |f (η2 )| (b − a)2 Kí hiệu: f (c) = max{|f (η1 )|; |f (η2 )|} Khi ta có 8[f (b) − f (a)] ≤ 2|f (c)| (b − a)2 Từ suy đpcm Dấu đẳng thức không loại trừ có trường hợp |f (η1 )| = |f (η2 )| Bài toán 1.3 Giả sử hàm f (x) liên tục khoảng [a, +∞) nữa, f (x) > k = const > 0, ∀x > a Chứng minh rằng, f (a) < 0, phương |f (a)| trình f (x) = có nghiệm thực khoảng a, a+ k 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời giải: Áp dụng Định lý Lagrange cho hàm f (x) đoạn [a, a + |f (a)| ] ta có: k f a+ |f (a)| |f (a)| |f (a)| − f (a) = f a + θ , < θ < k k k Từ điều kiện f (x) > k > 0, ta tìm được: f a+ |f (a)| − f (a) > |f (a)|, k Suy f a+ |f (a)| > |f (a)| + f (a) = −f (a) + f (a) = k |f (a)| nhận giá k trị trái dấu, nên theo Định lý Cauchy giá trị trung gian tồn ξ ∈ |f (a)| (a, a + ), cho f (ξ) = Ta chứng minh điểm ξ k Thật giả sử khoảng tìm ξ1 , cho f (ξ1 ) = theo định lý Rolle, (ξ, ξ1 ) (ξ < ξ1 ) hay khoảng (ξ1 , ξ), (ξ1 < ξ ) tìm ξ2 , cho f (ξ2 ) = Điều trái với giả thiết f (x) > k > x > a Hàm f (x) đầu mút đoạn a, a + Bài toán 1.4 a, Giả sử hàm f (x) khả vi liên tục n lần [a,b] đoạn có không n không điểm (nghiệm phương trình f(x)=0) tính bội Chứng minh rằng: (b − a)n max|f (x)| ≤ max|f (n) (x)| [a,b] [a,b] n! b, Hàm f (x) ∈ C2 [0, 1] có không nghiệm [0,1] (kể bội), |f (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [0, 1] Số max|f (x)| ? [0,1] Lời giải: a, Bằng quy nạp theo k ≥ ta chứng minh điều khẳng định sau: Định lý Rolle tổng quát: Nếu f ∈ Ck [a, b] f có không (k+1) 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn không điểm (kể bội) đoạn [a,b] f (k) có không điểm [a,b] Với k=0 điều khẳng định hiển nhiên Giả sử định lý với k-1 Ta chứng minh định lý với k Giả sử x1 , x2 , , xl nghiệm khác hàm f [a, b] có bội tương ứng α1 , α2 , , αl với α1 + α2 + + αl ≥ k + x1 < x2 < < αl Khi f (x) có nghiệm xj bội αj − 1(nếu αj > 1) theo định lý Rolle có l − nghiệm khoảng (α, αj+1 ), j = 1, 2, , l − Tóm lại số nghiệm f (x) [a,b] không vượt quá: l (αj − 1) + l − ≥ k − l + − l − = k j=1 Bây giờ, lại ta áp dụng giả thiết quy nạp cho f với k − Định lý chứng minh Ta kí hiệu x1 , x2 , , xn n không điểm hàm f (x) [a, b] số trùng nhau, nghiệm f lặp lại s lần bội không s Giả sử x0 ∈ [a, b] tùy ý khác với x1 , x2 , xn Xét đa thức bậc n: n (x − xj ) j=1 n P (x) = f (x0 ) (x0 − xj ) j=1 Đặt g(x) = f (x) − P (x) Hàm g(x) có nghiệm x0 , x1 , , xn Nếu số xj (j ≥ 1) nằm dãy {x1 , x2 , , xn } s lần bội nghiệm xj không s Vì áp dụng định lý Rolle tổng quát g (n) có nghiệm x ∈ [a, b] Ta có = g (n) (x ) = f (n) (x ) − p(n) (x ) = f (n) (x ) − n!f (x0 ) n (x0 − xj ) j=1 10 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... Landau-Hadamard, bất đẳng thức Glaese, bất đẳng thưc Markov-Bernstein công thức tính đạo hàm cấp n số bất đẳng thức đạo hàm khác đa thức Chương Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình ,bất. .. 36 Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình 2.1 2.2 38 Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 38 Ứng dụng đạo hàm phương trình ,bất phương trình 50 2Số. .. Markov-Bernstein số bất đẳng thức khác liên quan đến hàm lồi Bố cục luận văn Bản luận văn "Một số bất đẳng thức đạo hàm ứng dụng gồm có: mở đầu, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương Một số bất đẳng