Một số bất đẳng thức xác suất và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THANH HÀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Ứng dụng HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THANH HÀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĨNH ĐỨC HÀ NỘI – 2018 LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu thực khóa luận, với cố gắng thân hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình thầy cô giáo bạn sinh viên, em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cơng tác Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội thầy cô trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu thời gian vừa qua Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Vĩnh Đức, người tận tình giúp đỡ, bảo cung cấp cho em kiến thức tảng để em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cám ơn! Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Hà LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan hướng dẫn thầy giáo Trần Vĩnh Đức khóa luận em hồn thành khơng trùng với đề tài khác Trong thực đề tài em sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2018 Sinh Viên Nguyễn Thị Thanh Hà ii Mục lục LỜI MỞ ĐẦU 1 Một số khái niệm xác suất rời rạc 1.1 Biến cố xác suất biến cố 1.2 Các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên rời rạc 1.2.1 Kỳ vọng 1.2.2 Phương sai Moment độ lệch 10 2.1 Momen 10 2.2 Bất đẳng thức Markov 10 2.3 Bất đẳng thức Chebyshev 12 2.4 Một số ứng dụng bất đẳng thức Markov 14 2.4.1 Xác định giới hạn cho xác suất 14 2.4.2 Bất đẳng thức Chebyshev 15 Một số ứng dụng bất đẳng thức Chebyshev 16 2.5.1 Ước lượng ràng buộc cho xác suất 16 2.5.2 Luật số lớn Chebyshev 17 2.5 Chặn Chernoff chặn Hoeffding i 19 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Hà 3.1 Hàm sinh mô-men 19 3.2 Chặn Chernoff 21 3.3 Ứng dụng chặn Chernoff 25 3.3.1 Xác định giới hạn cho xác suất 25 3.3.2 Ước lượng tham số 27 3.3.3 Thiết lập cân 28 3.4 Chặn Hoeffding 32 3.5 Ứng dụng chặn Hoeffding 33 3.5.1 33 3.5.2 Xác định độ tin cậy phép thử Tìm vị trí kiến ngẫu nhiên đường thẳng ii 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Hà LỜI MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Mảng tốn bất đẳng thức ln vấn đề quan trọng tốn học Vì dạng tốn tương đối khó, khơng có phương pháp thực tốt để giải nên để trình bày lời giải cho dạng tốn này, cần kiến thức vững ý tưởng sáng tạo Dạng toán bất đẳng thức xác suất đề tài thú vị, thu hút quan tâm nhiều người Với lý giúp đỡ tận tình thầy giáo, tiến sĩ Trần Vĩnh Đức, em chọn đề tài “Một số bất đẳng thức xác suất ứng dụng” Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại khái niệm lý thuyết xác suất rời rạc - Nghiên cứu, tìm hiểu thêm số bất đẳng thức xác suất ứng dụng chúng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: đề tài nghiên cứu bất đẳng thức xác suất ứng dụng - Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu tài liệu xác suất nước Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu, thu thập tài liệu tác giả nghiên cứu đến bất đẳng thức xác suất Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Hà - Tham khảo thêm tài liệu mạng Internet Cấu trúc khóa luận Khóa luận trình bày thành ba chương: Chương 1: Nhắc lại tiên đề xác suất rời rạc, biến ngẫu nhiên tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên rời rạc Chương 2: Giới thiệu bất đẳng thức Markov, bất đẳng thức Chebyshev ứng dụng chúng Chương 3: Giới thiệu chặn Chernoff Chặn Hoeffding, áp dụng chương để giới thiệu cách chứng minh chặn này, đồng thời giới thiệu số ứng dụng chặn Chương Một số khái niệm xác suất rời rạc Chương nhắc lại số khái niệm xác suất rời rạc để làm tiền đề cho hình thành kiến thức phần sau 1.1 Biến cố xác suất biến cố Định nghĩa 1.1 Phép thử ngẫu nhiên thí nghiệm hay quan sát mà kết khơng thể dự báo trước Định nghĩa 1.2 Biến cố kết có xét phép thử Định nghĩa 1.3 Không gian mẫu tập hợp kết có phép thử thường kí hiệu Ω Định nghĩa 1.4 Xác suất biến cố: Xét phép thử có số hữu hạn kết giả thiết kết đồng khả xuất Khi xác suất biến cố X tỉ số số kết thuận lợi X với số kết xảy Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Hà Khi ta kí hiệu sau: Pr (X) = |X| , với |X| kí hiệu số |Ω| phần tử tập hợp X Định nghĩa 1.5 Hai biến ngẫu nhiên X Y gọi độc lập Pr(X ∩ Y ) = Pr(X) Pr(Y ) Tổng quát, biến cố X1 , X2 , , Xn gọi độc lập với tập I ⊆ [1, k] ta có: Pr( Xi ) = i∈I Pr(Xi ) i∈I Ví dụ 1.1.1 Xét phép thử “Gieo đồng xu cân đối đồng chất lần” biến cố có bao gồm xuất mặt sấp xuất mặt ngửa, nên biểu diễn không gian mẫu phép thử Ω = {S, N } với S - mặt sấp, N - mặt ngửa Khi Pr (S) = Pr (N ) = Định nghĩa 1.6 Một hàm xác suất hàm P r : F −→ R thỏa mãn điều kiện sau: - Với biến cố X, ≤ Pr(X) ≤ - Pr(Ω) = - Với dãy hữu hạn đếm biến cố X1 , X2 , X3 đơi rời ta có Pr( i≥1 Xi ) = Pr(Xi ) i≥1 Bổ đề 1.1 Với biến cố X1 X2 : Pr(X1 ∪ X2 ) = Pr(X1 ) + Pr(X2 ) − Pr(X1 ∩ X2 ) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Hà Với δ > , chọn t = ln (1 + δ) > được: ln(1+µ) −1)µ e(e P r(X ≥ (1 + δ)µ) ≤ ln(1+µ)(1+δ)µ e Hay P r(X ≥ (1 + δ)µ) ≤ eδ (1+δ) (1+δ) µ Giả sử < δ ≤ , với t > ta có X ≤ (1 − δ)µ e−tX ≥ e−t(1−δ)µ Áp dụng bất đẳng thức Markov ta được: P r(X ≥ (1 − δ)µ) = P r(e−tX ≥ e−t(1−δ)µ ) ≤ et(1−δ)µ E e−tX Vì X tổng biến ngẫu nhiên độc lập theo phân phối nhị thức nên n E e −tX E e = n n −tXi (1 − pi + pi e ) = = i=1 (pi (e−t − 1) + 1) −t i=1 i=1 Mà + x ≤ ex nên coi x = pi (e−t − 1) n −tX Ta E e ≤e ( pi (e−t −1)) i=1 −t = eµ(e −1) Điều dẫn dến P r(X ≥ (1 − δ)µ) ≤ e((µ(e −t −1+(1−δ)t) Với < δ ≤ chọn t = − ln(1 − δ) ta (ln(1−δ [P r(X ≥ (1 − δ)µ) ≤ e((µe Hay Pr(X ≥ (1 + δ)µ) ≤ )−1+(1−δ)(− ln(1−δ)) e−δ (1−δ) (1−δ) µ Định lý 3.4 Cho X1 , X2 , , Xn phân phối Poisson độc lập với < δ < 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Hà n Đặt X = Xi , µ = E [X] Khi với < δ < : i=1 i, Pr(X ≤ (1 − δ)µ) ≤ ii, Pr(X ≤ (1 − δ)µ) ≤ e e−δ (1−δ) (1−δ) −µδ /2 µ Chứng minh i, Sử dụng bất đẳng thức Markov t < ta có: Pr (X ≤ (1 − δ) µ) = Pr etX ≥ et(1−δ)µ t E etX e(e −1)µ ≤ t(1−δ)µ ≤ t(1−δ)µ e e Với < δ ≤ đặt t = ln (1 − δ) < ta được: ln(1−δ) −1)µ e(e Pr (X ≤ (1 − δ) µ) ≤ ln(1−δ)(1−δ)µ e Hay Pr(X ≤ (1 − δ)µ) ≤ µ e−δ (1 − δ)(1−δ) ii, Với < δ ≤ , để ý e−δ (1−δ) ≤e −δ (1 − δ) Lấy logarit hai vế bất phương trình ta điều kiện tương đương: δ2 f (δ) = −δ − (1 − δ) ln (1 − δ) + ≤0 Lấy đạo hàm f (δ) ta được: f (δ) = ln (1 − δ) + δ f (δ) = − +1 1−δ 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Hà Nhận thấy f (δ) < đoạn (0, 1) f (0) = , ta có f (δ) ≤ nửa đoạn [0, 1) Do f (δ) khơng tăng đoạn Vì f (0) = dẫn đến f (δ) ≤ < δ < Hệ 3.1 Cho X1 , X2 , , Xn phân phối Poisson độc lập với n Pr(Xi = 1) = pi Đặt X = Pr(|X − µ| ≥ δµ) ≤ 2e 3.3 3.3.1 Xi , µ = E [X] Khi với < δ < : i=1 −µδ /3 Ứng dụng chặn Chernoff Xác định giới hạn cho xác suất Giả sử ta có đồng xu cân đối đồng chất Thực gieo đồng xu n lần, kí hiệu Xn tập số lần xuất mặt ngửa n lần gieo Vì lần gieo khả xuất mặt sấp ngửa nên xác suất xuất mặt sấp ngửa , n E [Xn ] = E Xi = i=1 Khi đó, luật số yếu Pr Với trường hợp cụ thể ε = Xn − ≥ε n ta được: Pr 25 n ≤ Xn 1 − ≥ n 4nε2 ≤ 1 4n = n Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Hà Thay dùng bất đẳng thức Chebyshev ta áp dụng n chặn Chernoff cách sử dụng hệ với µ = E [X] = ta : Pr( Xn − Lấy δ = n n ≥δ ) ≤ 2e−nδ /6 2 ta thu được: Pr( Xn − n Xn 1 ≥ ) ≤ 2e−n( ) /6 ⇒ Pr( − ≥ ) ≤ 2e−n/24 2 n Rõ ràng thấy chặn Chernoff cho ta kết tốt dùng bất đẳng thức Chebyshev Cụ thể ta vào ví dụ sau: Ví dụ 3.3.1 Gieo đồng xu không cân đối đồng chất 200 lần nhận thấy xác suất mặt ngửa xuất lần gieo 10 Yêu cầu xác định giới hạn cho xác suất thỏa mãn số mặt ngửa xuất 120 lần Giải Để giải toán ta coi X biến ngẫu nhiên số lần xuất mặt ngửa Theo giả thiết ta thấy E(X) = 200 = 20 10 Áp dụng chặn Chernoff ta được: P r(X ≥ 120) = P r(X ≥ 6E(X)) ≤ 2−6E(X) = 2−(6.20) = 2−120 Nhận xét 3.2 Với ví dụ trên, áp dụng bất đẳng thức Markov ta thu P r(X ≥ 120) ≤ Nhưng áp dụng chặn Chernoff ta thu −120 P r(X ≥ 120) ≤ Rõ ràng với kết chặn Chernoff chặn cho kết tốt nhiều 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.3.2 Nguyễn Thị Thanh Hà Ước lượng tham số Giả sử muốn đánh giá xác suất xảy với số lượng biến cố lớn với mong muốn tiết kiệm chi phí mà kết thu đáng tin cậy Nếu p giá trị mà cần ước lượng n số lượng mẫu cho X = X , yêu cầu ước lượng p gần với giá trị mẫu p Thay dự đốn giá trị cụ thể cho tham số p ta đánh giá mẫu n ước tính giá trị p khoảng [˜ p − δ, p˜ + δ] giá trị p bao gồm với xác suất − γ Xem xét định nghĩa sau: Định nghĩa 3.2 − γ khoảng tin cậy cho tham số p khoảng [˜ p − δ, p˜ + δ] cho: Pr [p ∈ [˜ p − δ, p˜ + δ]] ≥ − γ Trong số n mẫu cho, tìm thấy giá trị cụ thể mà quan tâm xác mẫu X = np Do đó, muốn tìm cân giá trị δ γ kích thước mẫu n Vì Pr (p ∈ [˜ p − δ, p˜ + δ]) = Pr (np ∈ [n(˜ p − δ), n (˜ p + δ)]) , nên: - Nếu X = np phân phối nhị thức E [X] = np - Nếu p ∈ / [˜ p − δ, p˜ + δ] ta có trường hợp sau: + Nếu p < p˜ − δ X = n˜ p > n(p + δ) = E [X] + δ p + Nếu p > p˜ + δ X = n˜ p < n(p − δ) = E [X] − δ p 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Hà Áp dụng chặn Chernoff: − µδ3 − µδ2 Pr (X ≥ (1 + δ) µ) < e Pr (X ≤ (1 − δ) µ) ≤ e , với δ < p, ta có: Pr [p ∈ / [˜ p − δ, p˜ + δ]] = Pr X < np − ( ) δ np p − np + δ p ( ) δ np p − +e δ p nδ = e− 2p + e− 3p Do giá trị p chưa xác định nên sử dụng p ≤ dẫn đến Pr [p ∈ / [˜ p − δ, p˜ + δ]] < e− nδ 2 + e− nδ Đặt γ = e− nδ 2 + e− nδ , ta có ràng buộc γ, δ, n 3.3.3 Thiết lập cân Để tìm hiểu ứng dụng này, ta cần xem xét số trường hợp đặc biệt Thực tế thu chặn mạnh cách sử dụng phương pháp chứng minh cho số trường hợp đặc biệt biến ngẫu nhiên đối xứng Trước tiên xem xét tổng biến ngẫu nhiên độc lập biến giả sử nhận giá trị xác suất −1 Định lý 3.5 Cho X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập với Pr (Xi = 1) = Pr (Xi = −1) = , n Đặt X = Xi Khi đó, với a > ta có: i=1 Pr (X ≥ a) ≤ e−a 28 /2n Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Hà 1 Chứng minh Với t > 0, ta xét:E etXi = et + e−t 2 Để ước lượng E etXi ta khai triển theo công thức Taylor et , e−t ta được: t2 ti e = + t + + + + 2! i! t e −t i t2 it = − t + − + (−1) + 2! i! Vì E e tXi 1 = et + e−t = 2 i≥0 t2i ≤ (2i)! t2 /2 i! i≥0 Sử dụng ước lượng thu được: E etX = n i = et /2 E etXi ≤ et n/2 i=1 Và Pr (X ≥ a) = Pr e tX ≥e ta E etX ≤ et n/2−ta ≤ ta e a thu Pr (X ≥ a) ≤ e−a /2n , n Vì biến ngẫu nhiên đối xứng nên ta có Pr (X ≥ a) ≤ e−a /2n Đặt t = Hệ 3.2 Cho X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập với Pr (Xi = 1) = Pr (Xi = −1) = có Pr (|X| ≥ a) ≤ e−a /2n n Đặt X = Xi Với a > ta i=1 Hệ 3.3 Cho X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập với n n Pr (Xi = 1) = Pr (Xi = 0) = Đặt X = Xi µ = E [X] = 2 i=1 Khi đó: i Với a > : Pr (X ≥ µ + a) ≤ e−2a 29 /n Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Hà ii Với δ > : Pr (X ≥ (1 + δ) µ) ≤ e−δ µ Hệ 3.4 Cho X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập với n n Xi µ = E [X] = Pr (Xi = 1) = Pr (Xi = 0) = Đặt X = 2 i=1 Khi đó: i Với < a < µ : Pr (Y ≤ µ − a) ≤ e−2a /n ii Với < δ < :Pr (Y ≤ (1 − δ) µ) ≤ e−δ µ Ta xét ứng dụng chặn Chernoff việc thiết lập cân sau: Cho ma trận (A)nxm = (aij )nxm với đầu vào thuộc tập {0, 1} với aij ,i ∈ 1, , n; j ∈ 1, , m, tương ứng với hàng thứ i cột thứ j Một ma trận véc tơ b với đầu vào thuộc tập {−1, 1} , với bj , j ∈ 1, , m, tương ứng với thành phần thứ j ma trận Một ma trận véc tơ c với ci , i ∈ 1, , n, tương ứng thành phần thứ i ma trận Đặt         a11 a12 · · · a1m a21 a22 an1 an2    a2m        · · · anm b1 b2 bm         =       c1 c2 cn         Cần tìm véc tơ b với đầu vào thuộc tập {−1, 1} mà Ab ∞ = max |ci | i=1, ,n Mỗi cột ma trận A thể đối tượng hàng đại diện cho đặc điểm, tính chất Véc tơ b phân chia đối tượng thành nhóm khơng liên kết, tính xấp xỉ cân nhóm Một nhóm hoạt động nhóm kiểm sốt nhóm khác Thuật tốn ngẫu nhiên cho việc tính tốn véc tơ b thực sau: Chọn ngẫu nhiên giá trị 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Hà b , với Pr (bi = 1) = Pr (bi = −1) = (những lựa chọn cho mục khác độc lập) Đặc biệt thuật tốn khơng xét đến giá trị ma trận A đưa ràng buộc chặt chẽ cho Ab ∞ thông qua định lý sau: Định lý 3.6 Cho véc tơ ngẫu nhiên b với giá trị chọn độc lập xác suất thuộc tập {−1, 1} Khi đó: Pr Ab ∞ ≥ √ 4m ln n ≤ n Chứng minh Xem xét hàng thứ i ma trận A bao gồm = ai1 , ai2 , , aim Lấy k số số vừa xét √ √ Nếu k ≤ 4m ln n hiển nhiên |ai b| = |ci | ≤ 4m ln n với giá trị b Nếu k > √ m 4m ln n số hạng k = aij bj = Zi biến j=1 ngẫu nhiên độc lập 1 − Vì Zi biểu 2 diễn tổng phân phối Poisson với đầu vào thuộc tập {−1, 1} xác suất cho giá trị đầu vào Vì ta sử dụng kết −a2 thu với a > Pr (|X| > a) ≤ 2e 2n Bây áp dụng hệ chặn Chernoff với m ≥ k ta được: √ −4m ln n Pr |Zi | > 4m ln n ≤ 2e 2k ≤ n Vì ta quan tâm đến tất Zi ; i = 1, 2, , n , xác suất cho chặn √ 4m ln n lớn n Mỗi biến ngẫu nhiên có xác suất 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.4 Nguyễn Thị Thanh Hà Chặn Hoeffding Chặn Hoeffding mở rộng chặn Chernoff biến ngẫu nhiên thơng thường với giới hạn chặn Nó sử dụng cho chặn xác suất tổng biến ngẫu nhiên sai lệch với giá trị kỳ vọng Định lý 3.7 Cho X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập cho với ≤ i ≤ n, E [Xi ] = µ, Pr(a ≤ Xi ≤ b) = Khi đó: Pr n n ≤ 2e−2nθ Xi − µ ≥ θ 2 /(b−a) i=1 Định lý đưa chặn cho độ lệch trung bình n biến ngẫu nhiên Mệnh đề 3.1 (Mệnh đề Hoeffding-chặn cho hàm sinh mô-men) Cho X biến ngẫu nhiên cho Pr(X ∈ [a, b]) = E [X] = Khi với t > 0, E etX ≤ et 2 (b−a) /8 Chứng minh Vì etx hàm lồi nên biểu diễn x = λa + (1 − λ) b với ≤ λ ≤ Khi đó: etx ≤ λeta + (1 − λ) etb b−x b − x tx x − a tb etx ≤ e + e b−a b−a b−a Lấy kỳ vọng vế, theo tính chất tuyến tính kỳ vọng E [X] = Đặt λ = ta được: tX Ee b − E [X] ta E [X] − a tb beta − aetb ≤ e + e = ≤ et (b−a) /8 b−a b−a b−a 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Hà Lúc ta chứng minh định lý chặn Hoeffding thông qua mệnh đề vừa nêu sau: Với s, t ≥ , áp dụng bất đẳng thức Markov ta được: P r(|Sn − µ| ≥ t) = P r es(Sn −µ) ≥ est ≤ e−st E es(Sn −µ) n ≤e −st E es(Xi −µ) i=1 n ≤e −st e s2 (bi −ai ) i=1 = e−st e n = e i=1 với s = 4t n (bi −ai ) n s i=1 −2t2 (bi −ai ) (bi − ) i=1 3.5 3.5.1 Ứng dụng chặn Hoeffding Xác định độ tin cậy phép thử Xét biến cố xảy khả năng, ví dụ gieo đồng xu Đặt p xác suất có gieo mặt ngửa Sau n phép thử nhận k thấy có k lần xuất mặt ngửa, đặt p = ước lượng gần n p Vậy p với p có quan hệ với thể nào? Áp dụng 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Hà chặn Hoeffding ta có với ε > thì: Pr p − p ≥ ε ≤ e−2nε , Pr p − p ≤ −ε ≤ e−2nε , Pr p − p ≤ ε ≥ − 2e−2nε Với độ tin cậy 1−2e−2nε ta nói p thuộc đoạn p − ε, p + ε Nếu ε tăng 2e−2nε giảm, ta chắn với kêt vừa tìm Cụ thể: Giả sử gieo đồng xu 1000 lần, nhận thấy xuất mặt ngửa 552 lần Hỏi đồng xu có cân đối hay khơng? Theo giả thiết ta kí hiệu sau:n = 1000; k = 552; p = 0, 552 Nếu p > 0, khẳng định đồng xu cân đối Đặt ε = p − p Ta có δ = e−2nε = 0.0045 Vì với độ tin cậy − δ = 0.9955 ta nói xác suất p > 0, hay 99, 55% tin đồng xu cân đối 3.5.2 Tìm vị trí kiến ngẫu nhiên đường thẳng Xét kiến mà thực bước ngẫu nhiên đường thẳng Nó bắt đầu vị trí ban đầu bước di chuyển bước phía trước bước phía sau, chẳng hạn từ vị trí i với xác suất di chuyển đến vị trí i + với xác suất lại đến vị trí i − Chúng ta muốn tìm hiểu thời điểm t kiến vị trí Có thể kí hiệu biến ngẫu nhiên kiến xét dãy 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Hà biến ngẫu nhiên độc lập X1 , X2 , , Xn thỏa mãn Xi nhận giá trị với 1 xác suất nhận giá trị −1 với xác suất 2 Đặt X = X1 + X2 + + Xn Khi để giải b tốn tìm giới hạn cho |X| Vì E [X] = nên theo bất đẳng thức Hoeffding ta có: Pr X −0 ≥ε ≤e n −2n2 ε2 4n log n với xác suất − ta có n n log n 1 X ≤ hay có nghĩa với xác suất − n n √n |X| ≤ n log n Như với xác suất cao kiến vị trí √ cách không n log n bước so với vị trí ban đầu Do chọn ε = 35 Kết luận Khóa luận “Một số bất đẳng thức xác suất ứng dụng” đã: - Trình bày nội dung bất đẳng thức Markov, bất đẳng thức Chebyshev, chặn Chernoff chặn Hoeffding - Trình bày cách chứng minh số ứng dụng bất đẳng thức Đề tài “Một số bất đẳng thức xác suất ứng dụng” đề tài hay chuyên ngành Toán ứng dụng sinh viên nên qua việc nghiên cứu hệ thống cho em nhiều tri thức, đưa nhiều vấn đề cần tìm hiểu Trong q trình thực khóa luận tốt nghiệp em có gặp số khó khăn đề tài có nhiều định lý nhiều ứng dụng Đóng góp em khóa luận hệ thống, xếp trình bày lại kiến thức Một số ứng dụng xác suất tham khảo (bản tiếng anh), viết lại cụ thể dễ hiểu Do thời gian nghiên cứu có hạn nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót định, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 36 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008 [2] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, NXB Giáo dục Việt Nam,2010 [B] Tài liệu tiếng Anh [3] Michael Mitzenmacher and Eli Upfal , Probability and ComputingRandomization and probabilistic techniques in Algorithms and Data Analysis, Sheridan Books, 2017 37 ... thuyết xác suất rời rạc - Nghiên cứu, tìm hiểu thêm số bất đẳng thức xác suất ứng dụng chúng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: đề tài nghiên cứu bất đẳng thức xác suất ứng dụng. .. |Y |2 ≤ k α2 = k Như dựa vào bất đẳng thức Markov ta chứng minh bất đẳng thức Chebyshev 2.5 Một số ứng dụng bất đẳng thức Chebyshev 2.5.1 Ước lượng ràng buộc cho xác suất Ví dụ 2.5.1 Cho X ∼... 10 2.2 Bất đẳng thức Markov 10 2.3 Bất đẳng thức Chebyshev 12 2.4 Một số ứng dụng bất đẳng thức Markov 14 2.4.1 Xác định giới hạn cho xác suất