Một số nghịch lý trong xác suất và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô Th.S Hoàng Thị Duyên, người dạy cho kiến thức, kinh nghiệm suốt trình thực khóa luận này. Nếu hướng dẫn, giúp đỡ, động viên tận tình cô nghĩ khóa luận khó hoàn thiện. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, cán bộ, giảng viên trường Đại Học Quảng Bình, giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên với tri thức tâm huyết để truyền đạt kiến thức cho năm học tập. Với vốn kiến thức tiếp thu trình học không tảng cho trình thực khóa luận mà hành trang quí báu để bước vào đời cách vững tự tin. Xin cảm ơn người bạn sát cánh suốt thời gian học tập vừa qua. Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến công lao to lớn không đền đáp cha mẹ_những người sinh thành, nuôi dưỡng nên người, nhắc nhở, động viên hoàn thành tốt nhiệm vụ. Xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN . LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG . MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . 1.1. Không gian mẫu biến cố 1.2 Mối quan hệ biến cố . 1.3 Các phép toán biến cố 1.4 Định nghĩa xác suất . 10 1.4.1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển . 10 1.4.2 Định nghĩa xác suất theo hệ tiên đề Kolmogorov 12 1.5 Công thức tính xác suất . 12 1.5.1 Công thức cộng xác suất 12 1.5.2 Công thức nhân xác suất 13 1.6 Phân bố xác suất . 16 CHƯƠNG . 18 MỘT SỐ NGHỊCH LÝ TRONG XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG 18 2.1 Bài toán Monty Hall . 18 2.1.1 Giới thiệu toán 18 2.1.2 Giải toán . 20 2.1.3 Nhận xét . 21 2.1.4 Mở rộng toán 21 2.1.4.1. Bài toán 21 2.1.4.2. Giải toán . 22 2.2 Nghịch lý ngày sinh . 24 2.2.1 Giới thiệu nghịch lý . 24 2.2.2 Giải nghịch lý . 24 2.3. Nghịch lý Simpson . 26 2.3.1. Bài toán 26 2.3.2. Giải toán . 27 2.3.3. Bài toán 27 2.3.4 Giải toán 28 2.4 Bài toán: Hoàng tử có chị em gái không? . 28 2.4.1 Giới thiệu toán 28 2.4.2 Giải toán . 29 2.5 Bài toán: Văn Phạm có thủ phạm? 29 2.5.1 Bài toán 29 2.5.2.Giải toán 31 2.6 Ứng dụng . 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO . 34 KẾT LUẬN . 34 LỜI NÓI ĐẦU Thời đại ngày thời đại công nghệ thông tin đại với phát triển vũ bão ngành khoa học kỹ thuật ,vì nghiệp giáo dục cần đáp ứng đòi hỏi cách mạng khoa học công nghệ. Đóng góp cho phát triển có phần không nhỏ Toán học. Toán học nảy sinh từ thực tiễn ứng dụng rộng rãi thực tiễn toán ứng dụng, loại toán ứng dụng phải kể đến xác suất thống kê. Nó thư từ trao đổi hai nhà toán học vĩ đại người Pháp Pascal (1623- 1662) Fermat (1601- 1665) xung quanh cách giải đáp số vấn đề rắc rối nảy sinh trò chơi cờ bạc mà nhà quý tộc Pháp Đờmê-rê đặt cho Pascal. Năm 1812 nhà toán học Pháp Laplace dự báo rằng: “Môn khoa học việc xem xét trò chơi may rủi hứa hẹn trở thành đối tượng quan trọng tri thức loài người”. Đặc biệt vào năm 1933 Kolmogrov đưa hệ tiên đề để xây dựng Xác suất thống kê trở thành khoa học xác trừu tượng. Kể từ Xác suất thống kê trở thành ngành toán học đa diện gồm chiều sâu lý luận lẫn nội dung ứng dụng. Đối tượng nghiên cứu Xác suất thống kê tượng ngẫu nhiên, quy luật ngẫu nhiên mà thường gặp thực tế. Khác với số môn toán trừu tượng, lý thuyết xác suất thống kê xây dựng công cụ toán học đại giải tích hàm, độ đo,… lại gắn liền với thực tế sống tự nhiên xã hội. Ngày lý thuyết xác suất thống kê toán ứng dụng cách rộng rãi hầu hết lĩnh vực kinh tế, tài chính, sinh học, y học,… Navigation nói : “Có bạn thấy gặp may mắn hay rủi ro? Khi may mắn, rủi ro? Nếu nắm quy luật tuyệt vời phải không?” Lý thuyết xác suất hướng tới điều đó. Trong sống, có nhiều điều ta tưởng chừng đơn giản, nghĩ thoáng qua ta biết kết quả, kết hay sai? Nhìn vào kết hiển nhiên lại sai? Liệu mâu thuẫn có giải không? Và nghịch lý. Các nghịch lý xác suất đề tài thú vị đặt sống. Việc giải nghịch lý xác suất có ý nghĩa vô quan trọng sống khoa học. Các nghịch lý xác suất nguồn gốc việc nảy sinh nhiều lý thuyết toán học quan trọng lý thuyết trò chơi, lý thuyết may rủi,… quan trọng để đánh giá số vấn đề thực tiễn. Hơn nữa, chúng chủ đề quan trọng thường xuyên sử dụng cho trò chơi giải trí, cho hoạt động ngoại khóa người học, giúp người học hứng thú học tập. Để giải nghịch lý xác suất ta phải nắm vững kiến thức xác suất xác suất có điều kiện. Với lý trên, định chọn đề tài khóa luận “Một số nghịch lý xác suất ứng dụng”. Mục đích khóa luận đưa nghịch lý, cách giải nghịch lý số ứng dụng nó. Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, đề tài chia thành hai chương Chương 1. Trong chương này, trình bày số khái niệm xác suất, xác suất có điều kiện Định lý Bayes có liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu cho chương sau. Chương 2. Trong chương này, trình bày số nghịch lý xác suất bao gồm: Bài toán Monty Hall, nghịch lý ngày sinh, nghịch lý Simpson, nghịch lý Hoàng tử có chị em gái không?, nghịch lý Văn Phạm có thủ phạm?. Sau đó, đưa số ứng dụng nghịch lý đó. Mặc dù có nhiều cố gắng, thời gian, kiến thức kinh nghiệm thân khiêm tốn nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót. Chúng mong thông cảm, góp ý chân thành thầy giáo, cô giáo bạn để khóa luận hoàn thiện có hiệu cao hơn. Xin chân thành cảm ơn! CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian mẫu biến cố Khi nghiên cứu tự nhiên xã hội, ta phải theo dõi tượng, phải làm thí nghiệm, phải cân, đong, đo, đếm, …, điều kiện cho phép, lặp lại nhiều. Ta gọi chung công việc phép thử. Khi lặp lại phép thử ta thấy có phép thử cho kết quả, thí dụ đun nước điều kiện cao độ áp suất bình thường đến 100°C nước sôi, trứng gà đàn gà trống ấp không nở, …, ta gọi kết tất yếu. Ngoài ra, có phép thử lặp lại cho kết khác nhau, số kết hữu hạn, vô hạn, lấy giá trị rời rạc hay liên tục mà thực phép thử ta đoán trước kết xuất hiện, nhiên ta liệt kê tất kết nó. Ta gọi phép thử phép thử ngẫu nhiên. Mỗi kết phép thử ngẫu nhiên gọi kiện sơ cấp hay biến cố sơ cấp, ký hiệu ω . Tập hợp tất biến cố sơ cấp gọi không gian kiện sơ cấp hay không gian mẫu, ký hiệu Ω . Một tập biến cố sơ cấp Ω kiện gọi biến cố ngẫu nhiên. Ta đặt tên cho biến cố ngẫu nhiên ta tìm nét chung cho kiện sơ cấp thuộc biến cố đó. Nói riêng, tập rỗng φ Ω gọi biến cố không thể, kiện không xảy phép thử thực hiện, biến cố không bao gồm biến cố sơ cấp nào. Tập Ω gọi biến cố chắn, kiện tất yếu xảy phép thử thực hiện, biến cố chắn gồm tất biến cố sơ cấp. Ví dụ 1.1.1 Gieo lần xúc xắc quan sát số chấm xuất mặt xúc xắc phép thử ngẫu nhiên. Gọi Ai kiện “mặt có i chấm”, i =1, ., 6. Các kiện A1, A2, …, A6 biến cố sơ cấp; Không gian biến cố sơ cấp Ω = { A1, A2, …, A6 }. Ví dụ 1.1.2 Gieo đồng xu cân đối đồng chất. Đó phép thử ngẫu nhiên. Gọi S kiện “mặt sấp xuất hiện”, N kiện “mặt ngửa xuất hiện”. Các kiện S, N biến cố sơ cấp; Không gian biến cố sơ cấp Ω = {S , N } . 1.2 Mối quan hệ biến cố Định nghĩa 1.2.1 i) Biến cố A gọi kéo theo biến cố B biến cố A xảy biến cố B xảy ra, kí hiệu A ⊂ B . ii) Hai biến cố A B gọi A kéo theo B B kéo theo A . iii) Các biến cố không đồng thời xảy xuất chúng loại trừ xuất biến cố khác phép thử. 4i) Các biến cố đồng thời xảy chúng xuất phép thử (còn gọi biến cố tương thích). 5i) Các biến cố gọi đồng khả xuất biến cố hay biến cố khác với khả nhau. Ví dụ 1.2.2 Trong phép thử gieo lần xúc xắc. Xét biến cố A i: “Xuất mặt i chấm”, i = 1,…,6; A c: “Xuất mặt có số chấm chẵn”; A : “ Xuất mặt có số chấm hoặc 6”; A l: “Xuất mặt có số chấm lẻ”; A nt: “Xuất mặt có số chấm nguyên tố”; Ta có A c A hai biến cố nhau. Các biến cố A 2, A 4, A kéo theo biến cố A c, biến cố A 1, A 3, A kéo theo biến cố A l. 1.3 Các phép toán biến cố Để giải toán xác suất, ta thường biểu diễn biến cố phức tạp theo biến cố đơn giản hơn. Phép hợp (tổng) Định nghĩa 1.3.1 Hợp hai biến cố A B biến cố xảy có hai biến cố A B xảy ra, ký hiệu A ∪ B A + B . Tổng quát, biến cố A gọi hợp n biến cố A 1, A 2, …, A n A xảy có n biến cố xảy ra. Ký hiệu n A = A1 ∪ A2 ∪ . ∪ An A = ∑ Ai . i =1 Ví dụ 1.3.2 Trong phép thử gieo xúc xắc ta có Ac = A2 ∪ A4 ∪ A6 . Ví dụ 1.3.3 Hai xạ thủ bắn đạn vào bia (mỗi xạ thủ bắn viên đạn). Gọi A biến cố ‘‘Xạ thủ thứ bắn trúng bia’’ B biến cố ‘‘Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia’’ C biến cố ‘‘Bia trúng đạn’’. Ta có C = A ∪ B . Phép giao (tích) Định nghĩa 1.3.4 Tích hai biến cố A B biến cố xảy A B xảy ra, ký hiệu A ⋅ B A ∩ B . Tổng quát, biến cố A gọi tích n biến cố A 1, A 2, …, A n A xảy tất biến cố A1, A2, …, An xảy ra. Ký hiệu A = A1 ⋅ A2 . An . Ví dụ 1.3.5 Hai xạ thủ bắn đạn vào bia (mỗi xạ thủ bắn viên đạn). Gọi E biến cố ‘‘xạ thủ thứ bắn trật’’. Gọi D biến cố ‘‘xạ thủ thứ hai bắn trật’’ F biến cố ‘‘bia không trúng đạn’’. Ta có F = D ∩ E = DE . Định nghĩa 1.3.6 Hai biến cố A , B gọi xung khắc với chúng không đồng thời xảy phép thử, tức A ∩ B = φ . Dãy biến cố A 1, A 2, …, A n gọi xung khắc đôi hai biến cố chúng xung khắc với nhau. Ví dụ 1.3.7 Trong phép thử gieo lần xúc xắc, biến cố ( i ≠ j; i, j = 1, ) xung khắc, A c A l xung khắc. A i, A j Định nghĩa 1.3.8 Tập hợp biến cố phép thử mà phép thử thực biến cố chúng thiết phải xảy hai biến cố chúng xung khắc gọi nhóm đầy đủ biến cố phép thử đó. Như vậy, nhóm A 1, A 2, …, A n gọi nhóm đầy đủ biến cố phép thử phép thử thực có biến cố nhóm xảy ra. Ví dụ 1.3.9 Trong phép thử gieo lần xúc xắc dãy A 1, A 2, …, A lập thành hệ đầy đủ biến cố. Ví dụ 1.3.10 Kiểm tra sản phẩm, gọi A 0, A 1, A , A tương ứng biến cố có 0, 1, 2, sản phẩm tốt sản phẩm kiểm tra. Các biến cố lập thành nhóm đầy đủ biến cố. Phép hiệu Định nghĩa 1.3.11 Hiệu hai biến cố A B biến cố xảy A xảy B không xảy ra. Ký hiệu A \ B . Định nghĩa 1.3.12 Biến cố đối lập biến cố A , ký hiệu A biến cố mà biến cố xảy A không xảy ra. Ta có A = Ω \ A . Ví dụ 1.3.13 Trong ví dụ 1.2.2 ta có Ac = Al ngược lại Al = Ac . Nhận xét 1.3.15 i) Nếu A biến cố chắn biến cố đối lập với A biến cố ngược lại ; ii) Hai biến cố đối lập xung khắc hai biến cố xung khắc chưa đối lập. Ví dụ 1.3.16 Có viên bi trắng, viên bi vàng viên bi đỏ. X lấy viên bi. A biến cố “X lấy viên bi trắng”. B biến cố “X lấy viên bi vàng”.Hai biến cố A B xung khắc không đối nhau. Ví dụ 1.3.17 Một nhà máy sản xuất sản phẩm. Gọi Ai biến cố ‘‘sản phẩm thứ i sản phẩm tốt’’. Khi Ai biến cố ‘‘sản phẩm thứ i phế phẩm’’. Nếu gọi A biến cố ‘‘có sản phẩm tốt ba sản phẩm nhà máy sản xuất’’ A = A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ∪ A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ∪ A1 ⋅ A2 ⋅ A3 Nếu gọi B biến cố ‘‘có sản phẩm tốt sản phẩm nhà máy sản xuất’’ B = A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ∪ A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ∪ A1 ⋅ A2 ⋅ A3 . Nếu gọi C biến cố ‘‘có sản phẩm tốt sản phẩm nhà máy sản xuất’’ C = A1 ⋅ A2 ⋅ A3 . 1.4 Định nghĩa xác suất Theo dõi nhiều lần phép thử kiện liên quan đến phép thử ta thấy có kiện hay xuất hiện, hay xảy ra, có kiện xuất hiện, xảy ra, kiện tất yếu xảy kiện không xảy ra. Thí dụ, gieo xúc xắc, kiện xuất mặt chẵn kiện xuất mặt lẻ có mức độ xuất nhau, kiện mặt có số nhỏ kiện tất yếu, kiện mặt có số lớn kiện không thể, kiện mặt chia cho xuất hiện, kiện mặt có số chấm xuất hơn. Như phép thử, kiện có mức độ hay khả xuất mà ta muốn đánh giá hay đo số. Giả sử A biến cố phép thử đó, ta tìm số để đánh giá mức độ xuất ta gọi số xác suất biến cố A , ký hiệu P( A) . Khi P( A) = A biến cố chắn P( A) = A biến cố không thể. Vậy xác suất biến cố số biểu thị khả xảy biến cố thực phép thử. Có nhiều định nghĩa khác xác suất, tùy theo mức độ hiểu biết kiến thức toán học ta đưa định nghĩa sau. 1.4.1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Để có định nghĩa, người ta giả thiết phép thử T có số m hữu hạn kết kết đồng khả năng, nghĩa tiến hành phép thử biến cố có khả xuất nhau. 10 2.1.3 Nhận xét Thay lúc đầu, bạn chọn cửa số bạn chọn ngẫu nhiên cửa. Vẫn làm theo cách thủ công trên, giả sử bạn chọn cửa số 2. Bạn có trường hợp sau: + Trường hợp 1: bên ba cánh cửa {X,D,D} Nếu bạn chọn cửa số 2, Monty mở cửa số 3. Nếu bạn đổi, bạn xe hơi. Nếu bạn không đổi, bạn dê. + Trường hợp 2: {D,X,D} Bạn chọn cửa số 2, Monty mở cửa 3. Nếu bạn đổi, bạn dê. Nếu bạn không đổi, bạn xe hơi. + Trường hợp 3: {D,D,X} Bạn chọn cửa số 2, Monty mở cửa số 1. Nếu bạn đổi, bạn xe. Nếu bạn không đổi, bạn dê. Như vậy, bạn đổi xác suất bạn xe xác suất xe , bạn không đổi . Tương tự với trường hợp bạn chọn cửa số xác suất trúng xe giữ đổi . 3 2.1.4 Mở rộng toán Với trường hợp số cửa ta giải theo cách thủ công này, với trường hợp nhiều cửa chẳng hạn 100 cửa sao? Ta tiếp tục mở rộng toán thành 100 cửa 99 cửa có dê cửa có xe hơi. 2.1.4.1 Bài toán Giả sử bạn thí sinh tham dự trò chơi Let’s make a deal. Bạn bước vào vòng thi, trước mặt bạn 100 cánh cửa đánh số từ đến 100. Monty cho bạn biết bên 100 cửa có 99 cửa dê, cửa có xe hơi. Cũng với cách chơi đó, bạn nghĩ cửa có xe hơi? 21 2.1.4.2 Giải toán Thật khó để đoán xác xác suất bạn chọn trúng cửa có xe 99 xác suất trúng dê. 100 100 Giả sử bạn chọn cửa số 1, đương nhiên bạn không chắn sau cánh cửa có xe hay không. Monty mở 98 cửa trừ cửa bạn chọn cửa x cửa có xe, x = 2,100 . Monty hỏi bạn giữ hay đổi? Lúc bạn đổi xác suất bạn trúng xe 99 . 100 Ta thấy xác suất chọn cửa có xe thay đổi Monty mở cửa có dê. Hay nói cách khác, xác suất biến cố thay đổi ta có thêm thông tin liên quan đến biến cố đó. Gọi : X biến cố “chiếc xe nằm sau cửa số 1” Y biến cố “Monty mở 98 cửa 99 cửa lại sau người chơi chọn cửa”. Khi đó, P( X ) xác suất xe cửa số 1. Trên thực tế, người chơi hoàn toàn xe đâu 100 cửa nên ta : P( X ) = . 100 P(Y) xác suất xảy biến cố Y, tức xác suất mà Monty mở 98 cửa 99 cửa lại. 22 P (Y ) = 98 . 99 P(Y/X) xác suất để Monty mở 98 99 cửa xe nằm cửa số 1. Xác suất có nghĩa là, giả sử xe cửa số xác suất để Monty mở 98 cửa 99 cửa lại 98 . Ông ta thừa biết sau 99 cửa 99 dê. Vậy P (Y / X ) = 98 . 99 P(X/Y) xác suất xe nằm cửa số sau Monty mở 98 cửa 99 cửa lại. Áp dụng công thức Bayes, ta 98 . P ( X ).P (Y / X ) 100 99 P(X/Y) = = = . 98 P (Y ) 100 99 Vậy Monty mở 98 cửa 99 cửa lại xác suất để xe cửa số . 100 Trong hai cửa số cửa số x mà Monty không mở chắn có cửa có xe hơi. Gọi Z biến cố ‘‘xe nằm cửa số x’’. Dễ thấy hai biến cố X Z xung khắc xe nằm hai cửa hai cửa nên ta có : P(X) + P(Z) = P(Z) = – P(X) = − P(Z) = 99 = 100 100 99 . 100 Như vậy, xác suất để xe nằm cửa số x 99 . Vì vậy, Monty hỏi bạn 100 có đổi sang cửa số x hay giữ lại cửa số tốt bạn nên đổi. Điều làm cho xác suất bạn trúng xe cao hơn. 23 2.2 Nghịch lý ngày sinh 2.2.1 Giới thiệu nghịch lý Nếu tính đầy đủ, tức tính ngày sinh “độc”: 29/2 (4 năm tổ chức sinh nhật lần ) có tất 366 ngày sinh nhật. Nếu bạn có nhóm 367 người chắn có người ngày sinh nhật. Vậy, nhóm có 23 người, xác suất để bạn có ngày sinh ? 2.2.2 Giải nghịch lý Trước tiên, ta giả sử nhóm bạn có n bạn. Vì bạn có 366 cách chọn ngày sinh nhật, n bạn có 366n cách chọn ngày sinh. Tức có tất 366n khả khác nói ngày sinh n bạn nhóm. Bây ta tính xem có cách chọn ngày sinh cho n bạn để sinh nhật n bạn khác nhau. Bạn có 366 cách chọn ngày sinh nhật. Bạn thứ có 365 cách ( phải khác ngày sinh nên không chọn lại ngày sinh bạn thứ nhất.) Tương tự, bạn thứ có 364 cách chọn… Như vậy, tổng số cách chọn để tất n bạn có ngày sinh khác là: 366.365.364 .(366 − n − 1) = 366! . (366 − n)! (Một cách khác, số cách chọn n ngày sinh khác từ 366 ngày có tính đến thứ tự chọn, chỉnh hợp chập n 366 phần tử.) Xác suất để ngày sinh n bạn nhóm khác là: P ( A) = 366! 366 ⋅ (366 − n )! n Suy xác suất để nhóm n bạn có bạn ngày sinh là: () P A = 1− 366! . 366 ⋅ (366 − n )! n Sử dụng phần mềm Maple ta tính xác suất số trường hợp cụ thể sau : 24 > > > > > > > Ta thấy với n=23 P≈0.506. Nói khác đi, có đến 50% khả để nhóm 23 bạn có bạn ngày sinh nhật.h 25 Thậm chí với n=57 xác suất 99%! Sau đồ thị biểu thị mối liên hệ P n. Đồ thị biểu xác suất tính để hai người có chung ngày sinh số người định. Nhìn vào đồ thị ta thấy, xác suất hàm đồng biến {n ∈ N * / n ≥ 2} . Khi n>60, đồ thị tiệm cận với đường thẳng P=1. Hiển nhiên, n > 366 P=1, tức chắn có hai người có ngày sinh. 2.3 Nghịch lý Simpson 2.3.1 Bài toán Thuốc tốt hơn? Một người nghiên cứu muốn xác định xem loại thuốc để chữa bệnh, loại tốt hơn. Kết thống kê lượng người chữa khỏi bệnh, phân biệt theo giới tính, viết Giới tính: Nữ Thuốc I Thuốc II Chữa 150 15 Không chữa 850 285 Giới tính: Nam Thuốc I Thuốc II Chữa 190 720 Không chữa 10 180 26 Dựa vào bảng thống kê trên, có câu trả lời trái ngược sau cho câu hỏi thuốc tốt hơn: 1. Thuốc I đem cho 1200 người dùng, chữa bệnh cho 340 người. Thuốc II đem cho 1200 người dùng, chữa 735 người, thuốc II tốt hơn. 2. Đối với nữ, tỷ lệ chữa bệnh Thuốc I 15%, thuốc II 5%. Đối với nam, tỷ lệ chữa bệnh thuốc I 95%, thuốc II 80%. Trong hai trường hợp tỷ lệ chữa bệnh thuốc I cao hơn, nên thuốc I tốt hơn. Trong hai câu trả lời câu trả lời đáng tin? Vì sao? Nghịch lý nằm đâu? 2.3.2 Giải toán Nghịch lý nằm chỗ thuốc I đem thử cho nam, nhiều nữ so với thuốc II, nên lấy tổng số kết phép thử thiên vị thuốc II không phản ánh tỷ lệ chữa bệnh. Do đó, kết luận sai, kết luận đáng tin hơn. 2.3.3 Bài toán Có bác sĩ X Y chữa bệnh tim phổi. Có 100 ca chữa bệnh, sau thống kê số ca thành công thất bại bác sĩ: Bác sĩ X: Tim Phổi Thành công: 70% 10% Thất bại 20% 0% Tim Phổi Thành công: 2% 81% Thất bại 8% 9% : Bác sĩ Y: : Dựa vào bảng thống kê có hai kết luận khác nhau. Kết luận 1: Bác sĩ X giỏi bác sĩ Y. Kết luận 2: Bác sĩ Y giỏi bác sĩ X. Vậy, hai kết luận kết luận đáng tin hơn? Vì sao? 27 2.3.4 Giải toán Tổng % số ca thành công bác sĩ Y 83% lớn bác sĩ X (80%). Nhưng tính xác suất để xem bác sĩ giỏi ta phải tính xác suất thành công ca mổ hai bác sĩ bệnh. Gọi TX biến cố “Bác sĩ X mổ thành công bệnh tim”. Vậy xác suất bác sĩ X mổ thành công bệnh tim P (TX ) = 70 = = 0, 77778 . 90 HX biến cố “Bác sĩ X mổ thành công bệnh phổi”. Vậy xác suất bác sĩ X mổ thành công bệnh phổi P (H X ) = 10 = 1. 10 TY biến cố “Bác sĩ Y mổ thành công bệnh tim”. Vậy xác suất bác sĩ Y mổ thành công bệnh tim P (TY ) = = = 0, . 10 HY biến cố “Bác sĩ Y mổ thành công bệnh phổi’’. Vậy xác suất bác sĩ Y mổ thành công bệnh phổi P (HY ) = P (HY ) = 81 = = 0,9 . 90 10 Ta thấy P (TX ) > P(TY ) P (H X ) > P (HY ) Như vậy, bác sĩ X bác sĩ giỏi bác sĩ Y. Kết luận đáng tin hơn. 2.4 Bài toán: Hoàng tử có chị em gái không? 2.4.1 Giới thiệu toán Biết cha mẹ hoàng tử Romeo có (hoàng tử Romeo hai người đó). Hỏi xác suất để hoàng tử Romeo có sister (chị gái em gái) bao nhiêu? Có đáp án sau: 28 1) Hoàng tử có người anh chị em ruột. Có hai khả người trai, gái. Như xác suất để người gái (tức hoàng tử có sister) . 2) Có khả cho gia đình có con: {B,B}, {B,G}, {G,B}, {G,G}. (B= boy= trai, G= girl= gái, xếp theo thứ tự thứ nhất- thứ hai). Vì ta biết hoàng tử trai (đây điều kiện) nên loại khả {G,G}, khả {B,B}, {B,G}, {G,B}. Trong số khả có khả có gái. Như xác suất để hoàng tử có chị em gái . Trong hai đáp án trên, hẳn có (ít nhất) đáp án sai. Thế sai, sai chỗ nào? 2.4.2 Giải toán Ở đáp án thứ 2, ta thấy khả {B,B} thực khả đơn, mà khả kép gồm hai khả hoàng tử nói đến người trai thứ người trai thứ hai. Như vậy, phải tính {B,B} khả {B=H,B} {B,B=H} (H hoàng tử). Như tông cộng có khả xác suất = . Sai sai cách đếm số khả năng. Như vậy, xác suất để hoàng tử có chị em gái . 2.5 Bài toán: Văn Phạm có thủ phạm? 2.5.1 Bài toán Một người đàn ông tên Văn Phạm bị tình nghi thủ phạm vụ án. Cảnh sát điều tra tin sau đây: 1) Ngoài nạn nhân có người có mặt lúc xảy vụ án, hai người Văn Phạm, người cảnh sát ai, hai người thủ phạm; 29 2) Thủ phạm phải đàn ông. Hỏi xác suất để “ Văn Phạm thủ phạm” ? Gọi người thứ hai mà cảnh sát là “X”. X đàn ông đàn bà. Ta gọi A biến cố “Văn Phạm thủ phạm”. B biến cố “X đàn ông” . C biến cố “thủ phạm đàn ông” . Có hai cách giải khác sau: 1) Theo công thức xác suất toàn phần ta có P ( A) = P ( A / B ).P ( B ) + P ( A / B ).P ( B ) Nếu X đàn bà X thủ phạm Văn Phạm phải thủ phạm. Bởi P( A / B) = . Nếu X đàn ông hai người X Văn Phạm thủ phạm nên () PB = . X đàn ông đàn bà, ta coi số đàn ông số đàn bà. Bởi P( B) = P( B) = . Từ ta có  1 1  1 P( A) =  .  +1.  = ,  2 2  2 có nghĩa xác suất để “Văn Phạm thủ phạm” . 2) Ta có P(A) xác suất biến cố “Văn Phạm thủ phạm” chưa có điều kiện “thủ phạm đàn ông”. Vì hai người Văn Phạm X thủ phạm, nên xác suất P(A) điều kiện P ( A) = . Ta thấy, tất nhiên Văn Phạm thủ phạm thủ phạm đàn ông nên 30 P (C / A) = . Ngược lại, X thủ phạm, thủ phạm đàn ông đàn bà mà chưa đặt điều kiện “thủ phạm đàn ông” nên P (C / A) = . P ( A / C ) xác suất để Văn Phạm thủ phạm, biết thủ phạm đàn ông. Áp dụng công thức Bayes ta có 1 1.   P ( A).P (C / A) 2 P( A / C ) = = = 2= . 1 1 1 P (A).P (C / A) + P ( A).P (C / A) 1.   +   .   2 2 2 tức xác suất để Văn Phạm thủ phạm . Hai cách giải cho đáp số khác nhau, (ít nhất) hai cách sai. Cách giải sai sai chỗ ? 2.5.2 Giải toán Vấn đề nằm lẫn lộn không gian xác suất lúc lập mô hình để tính xác suất. Trong cách giải thứ nhất, ta viết P(A) để tính xác suất kiện “Văn Phạm thủ phạm”, không gian xác suất ta phải không gian ΩC tất khả (với người Văn Phạm X thủ phạm) thỏa mãn điều kiện “thủ phạm đàn ông”, không gian Ω tất khả xảy (với người Văn Phạm X thủ phạm), thủ phạm đàn ông hay đàn bà. Ta có P( A / B ) xác suất để Văn Phạm thủ phạm X đàn bà. Ta thấy X đàn bà X thủ phạm tất nhiên Văn Phạm phải thủ phạm. Bởi P( A / B) = . P ( A / B ) xác suất để văn Phạm thủ phạm X đàn ông. Khi P ( A / B) = 31 . Trong không gian Ω xác suất để X đàn ông P (B ) = . Nhưng không gian ΩC dùng cách giải thứ nhất, ta phải dùng xác suất PC không gian đó. Gọi PC ( B) xác suất X đàn ông biết hai người X Văn Phạm thủ phạm, biết thủ phạm đàn ông. Khi PC ( B ) = . PC ( B ) = . Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần A không gian ΩC cách giải thứ ta 2 PC ( A) = PC ( A / B ).PC ( B ) + PC ( A / B ).PC ( B ) = . + 1. = . 3 Tức ta sửa lỗi xác suất B đi, cách giải thứ cho đáp số 2. Vậy, xác suất để Văn Phạm thủ phạm . 2.6 Ứng dụng Xác suất thống kê môn có ứng dụng to lớn sống chúng ta, đóng vai trò quan trọng hầu hết lĩnh vực giới đại từ khoa học, công nghệ đến kinh tế, trị, sức khỏe môi trường… Bài toán Monty Hall ứng dụng nhiều trò chơi truyền “Ô cửa bí mật”, “Nào thỏa thuận”, “Hãy chọn giá đúng”, … Các nghịch lý ứng dụng việc đánh giá chất lượng y tế, giáo dục, kinh tế, môi trường,… để xác định thủ phạm điều tra. 32 Các nội dung ứng dụng nhiều seminar lớp học lấy làm để giải thích tượng thực tiễn kết bóng đá, quần vợt, … 33 KẾT LUẬN Khóa luận nêu vấn đề sau: 1, Nhắc lại số khái niệm, định lí tính chất lý thuyết xác suất cần thiết xác suất, không gian xác suất, xác suất có điều kiện, phân bố xác suất đều, định lý Bayes 2, Khóa luận trình bày số nghịch lý xác suất: Bài toán Monty Hall, nghịch lý ngày sinh, nghịch lý Simpson, nghịch lý Hoàng tử có chị em gái không?, nghịch lý Văn Phạm có phải thủ phạm?. Giới thiệu nghịch lý, tìm cách giải mở rộng nghịch lý. Sau đưa số ứng dụng nghịch lý. Kết có khóa luận cố gắng thân, nhiều hạn chế định. Tôi mong nhận góp ý quý báu thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện hơn. Cuối cùng, lần xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo hướng dẫn Th.S Hoàng Thị Duyên thầy cô giáo giảng dạy suốt trình học tập hoàn thành khóa luận. Tôi xin chân thành cảm ơn! 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Hữu Hồ (2008), Hướng dẫn giải toán Xác suất – Thống kê, NXB Đại học quốc gia Hà Nội. [2] Đào Hữu Hồ (1998), Xác suất- Thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [3] Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tiến Dũng (2010), Nhập môn đại xác suất & thống kê, NXB Trung tâm Toán tài Công Nghiệp Hà Nội. [4] Hoàng Hữu Như (1976), Bài tập lý thuyết Xác suất Thống kê toán, NXB ĐH THCN. [5] N. C. Văn, T. T. Ninh,(2004), Lý thuyết xác suất thống kê toán, NXB Đại học Kinh tế quốc dân. [6] Nguyễn Văn Toản (1995), Giáo trình Lý thuyết xác suất Thống kê toán, NXB ĐH Huế. [7] Trần Lộc Hùng, Phan Văn Danh, Trần Thị Diệu Trang (1998), Lý thuyết xác suất Thống kê toán, NXB Giáo dục. [8] S. M. Ross (2004), Introductionnto Probability and Statistics and Statistics for Engineer and Scientists. 35 36 [...]... định lí và tính chất cơ bản của lý thuyết xác suất cần thiết như xác suất, không gian xác suất, xác suất có điều kiện, phân bố xác suất đều, định lý Bayes 2, Khóa luận đã trình bày về một số nghịch lý trong xác suất: Bài toán Monty Hall, nghịch lý ngày sinh, nghịch lý Simpson, nghịch lý Hoàng tử có chị em gái không?, nghịch lý Văn Phạm có phải thủ phạm? Giới thiệu nghịch lý, tìm cách giải quyết và mở... sửa lỗi về xác suất của B đi, thì cách giải thứ nhất sẽ cho cùng đáp số 2 Vậy, xác suất để Văn Phạm là thủ phạm là 2 3 2.6 Ứng dụng Xác suất thống kê là một môn có ứng dụng to lớn trong cuộc sống chúng ta, đóng vai trò quan trọng trong hầu hết mọi lĩnh vực của thế giới hiện đại từ khoa học, công nghệ đến kinh tế, chính trị, sức khỏe và môi trường… Bài toán Monty Hall được ứng dụng nhiều trong các trò... TTG, TGT , TGT , GTT , GTG, GGT, GGG} Trong đó, T là con trai, G là con gái Sự kiện ‘‘2 trai 1 gái’’ là hợp của 3 sự kiện thành phần trong mô hình xác suất này : TTG, TGT, GTT Như vậy, xác suất để gia đình đó có 2 trai, 1 gái là 3 8 17 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ NGHỊCH LÝ TRONG XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Bài toán Monty Hall 2.1.1 Giới thiệu về bài toán Bài toán xuất phát từ một trò chơi truyền hình nổi tiếng của... Nghiệp Hà Nội [4] Hoàng Hữu Như (1976), Bài tập lý thuyết Xác suất và Thống kê toán, NXB ĐH và THCN [5] N C Văn, T T Ninh,(2004), Lý thuyết xác suất và thống kê toán, NXB Đại học Kinh tế quốc dân [6] Nguyễn Văn Toản (1995), Giáo trình Lý thuyết xác suất và Thống kê toán, NXB ĐH Huế [7] Trần Lộc Hùng, Phan Văn Danh, Trần Thị Diệu Trang (1998), Lý thuyết xác suất và Thống kê toán, NXB Giáo dục [8] S M Ross... khi người chơi chọn một cửa” Khi đó, P( X ) là xác suất xe hơi ở cửa số 1 Trên thực tế, người chơi hoàn toàn không biết chiếc xe hơi ở đâu trong 100 cửa này nên ta được : P( X ) = 1 100 P(Y) là xác suất xảy ra biến cố Y, tức là xác suất mà Monty mở 98 cửa trong 99 cửa còn lại 22 P (Y ) = 98 99 P(Y/X) là xác suất để Monty mở 98 trong 99 cửa khi chiếc xe hơi nằm ở cửa số 1 Xác suất này có nghĩa là,... , AN } được gọi là phân bố xác suất đều nếu như P ( A1 ) = = P( AN ) = 1 N Các phân bố xác suất đều là các phân bố quan trọng hay gặp trong thực tế Lý do chính dẫn đến phân bố xác suất đều là tính đối xứng, cân bằng, hay hoán vị được của các sự kiện thành phần Ví dụ 1.6.1 Lấy một bộ bài tú lơ khơ mới có 52 quân, đặt nằm sấp Khi đó xác suất để rút một con bài trong đó ra một cách tùy ý được con “2... Các nghịch lý được ứng dụng trong việc đánh giá chất lượng y tế, giáo dục, kinh tế, môi trường,… và là căn cứ để xác định thủ phạm trong các cuộc điều tra 32 Các nội dung này được ứng dụng nhiều trong các bài seminar trên lớp học và được lấy làm căn cứ để giải thích các hiện tượng trong thực tiễn như kết quả bóng đá, quần vợt, … 33 KẾT LUẬN Khóa luận đã nêu được những vấn đề sau: 1, Nhắc lại một số. .. không gian xác suất trong lúc lập mô hình để tính xác suất Trong cách giải thứ nhất, khi ta viết P(A) để tính xác suất của sự kiện “Văn Phạm là thủ phạm”, không gian xác suất của ta phải là không gian ΩC tất cả các khả năng (với một trong 2 người Văn Phạm và X là thủ phạm) thỏa mãn điều kiện “thủ phạm là đàn ông”, chứ không phải là không gian Ω của tất cả các khả năng có thể xảy ra (với một trong 2 người... suất để X là đàn ông là P (B ) = 1 2 Nhưng trong không gian ΩC dùng trong cách giải thứ nhất, thì ta phải dùng xác suất PC của không gian đó Gọi PC ( B) là xác suất X là đàn ông khi biết rằng một trong hai người X và Văn Phạm là thủ phạm, và biết rằng thủ phạm là đàn ông Khi đó PC ( B ) = 2 3 PC ( B ) = 1 3 và Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần của A trong không gian ΩC như cách giải thứ nhất... có xác suất trúng xe hơi cao nhất? Hiện ta chưa có dự kiện nào để dự đoán nên nếu ta chọn ngẫu nhiên một cửa bất kỳ, do trong ba cửa này chỉ có một cửa có xe hơi nên xác suất để ta trúng được xe hơi là 1/3 và xác suất trúng con dê là 2/3 Ta sẽ chọn ngẫu nhiên một cửa, chẳng hạn là cửa số 1 Monty Hall đương nhiên biết cửa nào có xe hơi, cửa nào có con dê Sau khi bạn chọn cửa số 1 Monty sẽ mở cửa số . về xác suất và xác suất có điều kiện. Với những lý do trên, tôi đã quyết định chọn đề tài khóa luận là Một số nghịch lý trong xác suất và ứng dụng . Mục đích của khóa luận là đưa ra các nghịch. tài thú vị đặt ra trong cuộc sống. Việc giải quyết các nghịch lý trong xác suất có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong cuộc sống cũng như trong khoa học. Các nghịch lý trong xác suất là nguồn gốc. nghĩa xác suất theo hệ tiên đề Kolmogorov 12 1.5 Công thức tính xác suất 12 1.5.1 Công thức cộng xác suất 12 1.5.2 Công thức nhân xác suất 13 1.6 Phân bố xác suất đều 16 CHƯƠNG 2 18 MỘT SỐ NGHỊCH