Một số bất đẳng thức xác suất và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Sinh viên thực : Nguyễn Thị Mai Sƣơng Chuyên ngành : Sƣ phạm Toán học Lớp : 11ST Ngƣời hƣớng dẫn : Th.S Tôn Thất Tú Đà Nẵng, tháng năm 2015 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Sinh viên thực : Nguyễn Thị Mai Sƣơng Chuyên ngành : Sƣ phạm Toán học Lớp : 11ST Ngƣời hƣớng dẫn : Th.S Tôn Thất Tú Đà Nẵng, tháng năm 2015 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tơn Thất Tú tận tình hƣớng dẫn suốt trình nghiên cứu nhƣ hồn thiện đề tài khóa luận tốt nghiệp Em chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô khoa Toán, trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Đà Nẵng dạy dỗ, truyền đạt kiến thức cho em suốt bốn năm đại học Đó khơng làm tảng cho q trình nghiên cứu khóa luận mà cịn hành trang q báu để em bƣớc vào đời cách vững tự tin Cuối cùng, em kính chúc q Thầy, Cơ dồi sức khỏe thành công nghiệp cao quý Đà Nẵng, ngày 28 tháng năm 2015 Sinh viên thực Nguyễn Thị Mai Sƣơng MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 SƠ LƢỢC VỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu biến cố 1.1.2 Các phép toán biến cố 1.1.3 Định nghĩa xác suất 1.1.4 Các cơng thức tính xác suất 1.1.5 Khái niệm khác 11 1.2 SƠ LƢỢC VỀ ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN 11 1.2.1 Đại lƣợng ngẫu nhiên 11 1.2.2 Kỳ vọng 11 1.2.3 Phƣơng sai độ lệch chuẩn 12 1.3 SƠ LƢỢC VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP 12 1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy 12 1.3.2 Bất đẳng thức Bunhiakowski 13 1.3.3 Một số bất đẳng thức khác 13 1.4 SƠ LƢỢC VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG VỀ ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN 15 1.4.1 Bất đẳng thức Markov 15 1.4.2 Bất đẳng thức Chebyshev 16 1.4.3 Bất đẳng thức Hölder 16 1.4.4 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 17 1.4.5 Bất đẳng thức Jensen 17 1.5 HÀM GAMMA 17 CHƢƠNG II: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG 18 2.1 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 18 2.1.1 Bất đẳng thức xác suất không điều kiện 18 2.1.2 Bất đẳng thức xác suất có điều kiện 28 2.2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC KỲ VỌNG CỦA ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN 33 2.2.1 Bất đẳng thức Hoeffding 33 2.2.2 Bất đẳng thức Bennett 35 2.2.3 Bất đẳng thức Bernstein 37 2.3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 38 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết xác suất thống kê toán học đời vào kỷ XVII Đến năm 1933, với đời hệ tiên đề lý thuyết xác suất Kolmogorov, xác suất thống kê toán học trở thành ngành toán học phát triển mạnh lý thuyết ứng dụng Nó hỗ trợ hữu hiệu cho nhà nghiên cứu nhiều lĩnh vực khoa học khác nhƣ vật lý, hóa học, sinh học, y học, nông học, kinh tế học, xã hội học,… Bất đẳng thức xác suất giúp ta tìm mối liên hệ biến cố, xác định giới hạn giới hạn dƣới xác suất biến cố hay kỳ vọng đại lƣợng ngẫu nhiên, từ đánh giá khả xảy tƣợng thực tế Ngoài ra, bất đẳng thức xác suất đƣợc sử dụng nhiều phép chứng minh định lý giới hạn hay giải số tốn đƣợc đặt thực tế Đó lý em chọn đề tài “Một số bất đẳng thức xác suất ứng dụng” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Mục đích nghiên cứu: Hệ thống hóa nhƣ xây dựng số bất đẳng thức xác suất khai thác vài ứng dụng chúng - Nhiệm vụ nghiên cứu: + Nhắc lại số kiến thức xác suất biến cố, đại lƣợng ngẫu nhiên + Trình bày số bất đẳng thức xác suất biến cố kỳ vọng + Xây dựng số bất đẳng thức xác suất + Tìm hiểu vài ứng dụng bất đẳng thức xác suất ĐỐI TƢỢNG PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tƣợng nghiên cứu: Biến cố, xác suất biến cố, đại lƣợng ngẫu nhiên đặc trƣng đại lƣợng ngẫu nhiên - Phạm vi nghiên cứu: Một số bất đẳng thức xác suất khơng điều kiện xác suất có điều kiện biến cố ; bất đẳng thức kỳ vọng đại lƣợng ngẫu nhiên ; vài ứng dụng bất đẳng thức xác suất PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài sử dụng phƣơng pháp tham khảo tài liệu kết hợp với việc sử dụng số biến đổi giải tích để đƣa bất đẳng thức xác suất biến cố bất đẳng thức kỳ vọng đại lƣợng ngẫu nhiên Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI - Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài tài liệu tham khảo cho sinh viên học phần Xác suất thống kê - Ý nghĩa khoa học: Đề tài hệ thống lại số bất đẳng thức xác suất nhƣ xây dựng số bất đẳng thức xác suất biến cố, kỳ vọng đại lƣợng ngẫu nhiên ; khai thác vài ứng dụng bất đẳng thức xác suất CẤU TRÚC ĐỀ TÀI Nội dung khóa luận đƣợc chia thành hai chƣơng: - Chƣơng I : Kiến thức - Chƣơng II: Một số bất đẳng thức xác suất ứng dụng CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 SƠ LƢỢC VỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu biến cố a) Phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên thí nghiệm thỏa mãn điều kiện: + Có thể lặp lại vô hạn lần + Không thể biết đƣợc xác kết xảy lần thực b) Không gian mẫu Không gian mẫu tập hợp tất kết xảy phép thử Ký hiệu:  c) Biến cố Định nghĩa Mỗi tập không gian mẫu đƣợc gọi biến cố Ta nói “biến cố A xảy ra” thực phép thử kết phép thử rơi vào A Mỗi phần tử không gian mẫu biến cố đƣợc gọi biến cố sơ cấp Các loại biến cố + Biến cố chắn biến cố chắn xảy thực phép thử + Biến cố biến cố chắn không xảy thực phép thử + Biến cố ngẫu nhiên biến cố biết trƣớc xảy hay khơng phép thử Chú ý: Việc đƣa khái niệm biến cố chắn biến cố khơng thể để hồn thiện mặt lý thuyết, thực tế ta quan tâm biến cố ngẫu nhiên Từ đây, nói đến biến cố, ta hiểu biến cố ngẫu nhiên 1.1.2 Các phép toán biến cố Cho A B hai biến cố không gian mẫu  a) Giao Ký hiệu: A  B hay A.B Biến cố A  B xảy A B đồng thời xảy A  B   ∣   A    B Đặc biệt: Nếu A B đồng thời xảy ra, tức A  B  , ta nói A B xung khắc b) Hợp Ký hiệu: A  B Biến cố A  B xảy A xảy B xảy A  B   ∣   A    B c) Hiệu Ký hiệu: A \ B Biến cố A \ B xảy biến cố A xảy biến cố B không xảy A \ B    A    B Đặc biệt:  \ B đƣợc gọi biến cố đối biến cố B đƣợc ký hiệu B hay B c Nhận xét: A \ B  AB d) Hiệu đối xứng Ký hiệu: AB Biến cố AB xảy biến cố A xảy biến cố B không xảy biến cố B xảy biến cố A không xảy AB   ∣   A    B     B    A Nhận xét: AB  AB  AB 1.1.3 Định nghĩa xác suất a) Theo quan điểm cổ điển Cho không gian mẫu   1,2 , ,n ,   n  , biến cố sơ cấp i có khả xảy nhƣ nhau, A   biến cố Xác suất biến cố A, ký hiệu P  A , đƣợc định nghĩa là: P  A  A ,  với A số phẩn tử biến cố A b) Theo hệ tiên đề   đại số Cho tập   , gọi họ tập  thỏa mãn điều kiện sau: +  ; + Nếu A A ;  + Nếu A1, A2 , , An ,  An  n 1 Lớp nhƣ đƣợc gọi   đại số tập  Độ đo xác suất Một hàm tập hợp P :  đƣợc gọi độ đo xác suất thỏa mãn điều kiện sau đây: + Với A ,  P  A  1; + P     1; + Nếu A1, A2 , , An ,  đôi xung khắc ( Ai  Aj   với i  j )    P  An    P  An   n1  n1 Khi phần tử A đƣợc gọi biến cố P  A đƣợc gọi xác suất biến cố A   ; ; P  đƣợc gọi không gian xác suất  n  P  Aj  n   n  j 1   n  n P A  A   P A     j i j  i 1  j i  i 1 P  Ai   j 1  i 1 P  Ai  n n2 Áp dụng bất đẳng thức   n cho dãy n số dƣơng  P  Ai  i 1 , ta có: i 1 xi  xi n i 1  n  n P A  j  n  n  n  n2 j 1   P  Aj    P  Aj  n  n  j 1  i 1 P  Ai   j 1   P  Ai   P  Ai  i 1 i 1 Từ suy  n  n P  Ai  n   P  Aj  Ai   n  i 1    i 1  j i   P  Ai  i 1 Dấu “=” xảy P  A1   P  A2    P  An  Trong kết trên, thay Ai Ai , ta có n   n P A i   n   i 1   P  Aj  Ai   n  i 1  j i   P Ai i 1   Suy  P  i 1  n  n   Aj  Ai    1  P  j i  i 1   n    Aj  Ai    n   P  A j  Ai  i 1 j i    j i  n n  n    2  2  n  P A n P  Ai  n  n P  Ai   i    i 1    i 1   n  n  i 1   n  n n n n   P  Ai   P Ai  1  P  Ai   i 1   i 1 30 i 1 n n  n    n  n P  Ai  n  n P  Ai  n P  Ai   n  P  Ai  i 1 i 1  i 1    i 1   n n n   P  Ai  n   P  Ai  n 2 i 1 i 1 Dấu “=” xảy       P A1  P A2   P An  P  A1   P  A2    P  An  c) Tính chất 2.1.2.3 Cho  Ai i 1 họ biến cố độc lập, n n  i 1 1  1  P  Ai   n  n   n   P  Ai   i 1  Dấu “=” xảy P  A1   P  A2    P  An  Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức n   n i 1  n n      cho dãy n số P Ai n i 1  0;1, ta i 1 có: n  i 1 n 1  1  P  Ai   n  i 1       P Ai n  n n     P Ai n  n   P  Ai   i 1  i 1 (Vì  Ai i 1 họ biến cố độc lập) n n n    n   n   1  P  Ai    P  Ai   i 1   i 1    Dấu “=” xảy       P A1  P A2   P An  P  A1   P  A2    P  An  31 d) Tính chất 2.1.2.4 Cho A, B hai biến cố, P  AB   0, đó: P n  A  AB   P n  B  AB    2n1 Chứng minh Nhận xét: Với A, B hai biến cố, P  AB   0, ta ln có đẳng thức P  A  AB   P  B  AB   Thật vậy, ta có P  A  AB   P  B  AB     P  A  AB    P  B  AB      P  AB    P A AB  AB  P B AB  AB P  AB        P AB  P AB P  AB  Trở lại chứng minh tính chất 2.1.2.4 xn  y n  x  y   Áp dụng bất đẳng thức  cho hai số P  A  AB  , P  B  AB    n   0;1  0,   , ta có: P n  A  AB   P n  B  AB   P  A  AB   P  B  AB     2   P n  A  AB   P n  B  AB      2 P n  A  AB   P n  B  AB   n n (Áp dụng nhận xét trên)  2n1 (đpcm) 32 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC KỲ VỌNG CỦA ĐẠI LƢỢNG NGẪU 2.2 NHIÊN 2.2.1 Bất đẳng thức Hoeffding a) Định lý (Bất đẳng thức Hoeffding) Cho X1 , , X n đại lượng ngẫu nhiên độc lập với  X i  bi Khi đó, với t  : 2 t  b a  P  Sn  ESn  t   e  i i P  Sn  ESn  t   e  (15) 2t  bi ai 2 P  Sn  ESn  t   2e  Và (16) 2 t  bi ai 2 (17) n Với Sn   X i i 1 b) Bổ đề Với đại lượng ngẫu X nhiên số thực s  0, P  X  t   inf e st E  e sX  s 0 Chứng minh bổ đề Với số thực s  0, P  X  t   P e sX e st  E  esX  e st  e st E  e sX  Suy P  X  t   inf e st E  esX  s 0 c) Bổ đề Nếu X đại lượng ngẫu nhiên với a  X  b,   EX Khi đó, với s  0,  E e s X    e 33 s  ba  Chứng minh bổ đề Với số thực s  0, e sX hàm lồi nên e s X    e  s e  X a b X  s b a b a   b a  X  a sb b  X sa   e  s  e  e  ba  ba  Lấy kỳ vọng hai vế, ta đƣợc  E e s X     e  pe  Với p  Ta có:  a ba  s s ba      a  e sb  b    e sa     b  a b  a    1 p e  p s ba   u  e (18) , u  s  b  a    u    pu  ln 1  p  peu    0  peu p  'u    p   p  u  p  pe p  1  p  eu  ''  u   p 1  p  eu  p  1  p  eu     ' 0        Vì  hàm trơn nên theo khai triển Taylor quanh u  , ta có: u2   u       u  '     " c  , c   0, u  2 u2 s b  a    8 Kết hợp với (18) ta thu đƣợc kết bổ đề Chứng minh định lý Áp dụng kết vào chứng minh bất đẳng thức Hoeffding  P  Sn  ESn  t   e  st E e  s Sn  ESn    s   X i  EX i    st    e E e i 1     n 34  n s X i  EX i    e E  e   i 1   st e  st  E e  n s X i  EX i  i 1 s  bi   n  e st  e  (Vì X1, X , , X n độc lập) i 1 e  st e s2 n  bi ai  i 1 Tối tiểu hàm mũ cách chọn s  4t   bi   , ta thu đƣợc bất đẳng thức (15) cần chứng minh Sử dụng bất đẳng thức (15), với X i đƣợc thay  X i , ta thu đƣợc bất đẳng thức (16) nhƣ sau: 2 t P   Sn  E   Sn   t   e   P  Sn  ESn  t   e      bi  2 t  bi ai 2 Bất đẳng thức (17) dễ dàng đƣợc suy từ hai bất đẳng thức (15) (16) 2.2.2 Bất đẳng thức Bennett a) Định lý (Bất đẳng thức Bennett) Cho X1, , X n đại lượng ngẫu nhiên độc lập với EX i  0, EX i2   i2 , n    i X i  c với i Khi đó, với t  0, n i 1  n   P  Xi  t   e  i 1   n  c t  h  2  c2  n  Trong h  u   1  u  ln 1  u   u, với u  35 b) Bổ đề Cho X đại lượng ngẫu nhiên với EX  0, EX   X  c Khi E e sX e 2 c2 e sc 1 sc  với s  , Chứng minh bổ đề Sử dụng khai triển Taylor cho hàm e x , ta có, với s    sr X r E  e sX   E 1  sX   r! r 2   sr E  X r  r 2 r! 1  Ta có EX r  E X  E X r X    sr X r    E      r 2 r !  r 2 (Vì EX  )  E X c r 2   c r 2 Kết hợp với khai triển Taylor ta thu đƣợc: s r c r 2    sc   sc E e     1     e   sc  r! c r 2 r ! c r 2 r  sX Nhận thấy  x  e x , với x  0, 2 E  e sX   e c e sc 1 s c  Chứng minh định lý Sử dụng bổ đề bổ đề với s  0, ta có  n  s t n P   X i  t   e  E es Xi  e  i 1  i 1   n s c e 1 s c  s t c2    tc  Tối tiểu hàm mũ cách chọn s  ln 1   , ta thu đƣợc bất đẳng c  n  thức cần chứng minh 36 Bất đẳng thức Bernstein 2.2.3 a) Định lý (Bất đẳng thức Bernstein) Cho X1, , X n đại lượng ngẫu nhiên độc lập với EX i  0, EX i2   i2 ,  i2n!a n2 n n , a  0, n  2, với i Khi đó, với    i E X i  n i 1 t  0, ta có  2   P  Xi  n t   e  i 1  n n t2 n  a t  b) Bổ đề Cho X đại lượng ngẫu nhiên với EX  0, EX   với n  2, EX  n  2n!a n2   , a  Khi E e sX  e s 2 21c  , với sa  c  Chứng minh bổ đề Sử dụng khai triển Taylor cho hàm e x , ta có, với s    sr X r E  e   E 1  sX   r! r 2  sX  sr E  X r  r 2 r! 1     sr X r   1 E      r 2 r !  (Vì EX  ) s r 2r !a r 2 s 2  s 2  i i 1  1 c       2r ! i 0 r 2 i 0  s 2 s 2 2 1c 1 e   1  c  Chứng minh định lý Sử dụng bổ đề bổ đề với s  0, ta có   P   X i  n t   e s  i 1   E e   e n n nt sX i s n s n t 21c  (19) i 1 Hàm mũ đạt giá trị nhỏ s  so  37 nt 1  c  , đặt so a  c, ta thu đƣợc n c at at  n 1 Và so  t at  n Thay kết vào (19) ta thu đƣợc bất đẳng thức cần chứng minh MỘT SỐ ỨNG DỤNG 2.3 Bất đẳng thức xác suất cho ta nhiều ứng dụng quan trọng toán học lý thuyết thực tế như: ước lượng xác suất, chứng minh bất đẳng thức,… Sau số toán giúp ta thấy vài ứng dụng bất đẳng thức xác suất Bài tập 2.3.1 Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có phân phối Poisson Chứng minh P(0  X  2 )  X~      1  Giải nên E  X    , Var  X    P   X  2   P    X       P  X        P  X      Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có: P(0  X  2 )   Bài tập 2.3.2   1 (đpcm)  2  Gieo xúc xắc cân đối đồng chất n lần độc lập Gọi S n n  31 số lần xuất mặt chấm Chứng minh P   n  S   n   6  36 Giải S P 5   6 n    C       n … n 1 1 5 C     6 6 n 38 n2 n 1   6 n n   5n  1 S ~ B  n,  nên E  S   , Var  S   n  1    6   36  6 n n n    P  n  S   n   P  n  S   n  6 6     n   n   P S   n  1 P S   n  6     Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có: n 31 n  (đpcm) P  n  S   n  1  36 36 6  Bài tập 2.3.3 đại Cho lƣợng ngẫu nhiên X có hàm mật  x k e x , x0 k  f ( x)   k ! với k  Chứng minh P   X  2(k  1)   k  0, x0  Giải E X       xf  x dx   k 1  x  x e dx   x k 1e  x dx k! k! Áp dụng tính chất hàm Gamma, ta thu đƣợc:  k  1!  k  E X   k! Tƣơng tự E X      x f  x  dx     x k 2 e x dx   x k 2 e x dx   k   k  1 k! k! Suy Var  X   E  X    E  X     k   k  1   k  1  k  P   X  2(k  1)   P  (k  1)  X  (k  1)  k  1   P  X  (k  1)  k  1 1 k  k 1 k 1 39 độ Cho xi , yi , i  1, n số thực tùy ý Khi đó, với p  Bài tập 2.3.4 q  1, 1   Hãy chứng minh: p q 1 n  n  n   n p p  q q a)   xi   yi   n   xi    yi  ;  i 1  i 1   i 1   i 1  p q  p   q  b)  xi yi    xi    yi  i 1  i 1   i 1  n n n Giải a) Chọn X , Y đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập có miền giá trị lần lƣợt x1, , xn ,  y1, , yn  với xác suất P  X  xi   P Y  yi   E  XY     xi y j pij ,  xi y j  1i , j n 1i , j n    p E X   E Y q , i  1, n Ta có: n với pij  P  X  xi , Y  y j  n2 (Vì X , Y độc lập)  xi y j n2 1i , j n n  p 1 n    xi     xi n  n i 1 i 1  p q  q 1 n    yi     yi n  n i 1 i 1  n Theo bất đẳng thức Hưlder, ta có:   EY  E XY  E X  p p q q p 1 p  1 q  xi y j    xi    yi   n 1i , j n  n i 1   n i 1  n 40 n q   1i , j  n p  p   q  xi y j  n   xi    yi   i 1   i 1  n n p q     p   q     xi   yi   n   xi    yi   i 1  i 1   i 1   i 1  n n n n q b) Chọn vectơ ngẫu nhiên  X , Y  có bảng phân phối đồng thời sau: X x1 Y … x2 n y1 n E  XY      p E X   E Y q  1i , j n n n n yn P  X  xi  P Y  yi  n y2 xn n … với pij  P  X  xi , Y  y j  xi y j pij n  xi yi n i 1  p 1 n    xi     xi n  n i 1 i 1  n n p q  q 1 n    yi     yi n  n i 1 i 1  n Theo bất đẳng thức Hölder, ta có: 41 n   EY  E XY  E X p p q q 1 n n 1 n p p  q q   xi yi    xi    yi  n i 1  n i 1   n i 1  p  p  q   xi yi    xi    yi  i 1  i 1   i 1  n n n Nhận xét: Cho hai dãy số thực  xi  ,  yi  , p  0, q  0, p q 1   Khi p q q n 1 n   n  p   q  x y  max x y ; x y   i i  i   i    i   i   n i   i 1   i 1   i 1  i 1    n Bài tập 2.3.5 n Chứng minh  k , k n  n Cnk  2n  , với n  * ,   Giải Gọi X đại lƣợng có phân phối nhị thức X ~ B  n, p  , p   0;1 E  X   np, Var  X   np 1  p  Khi Theo bất đẳng thức Chebyshev, ta có:   P X  E  X    Var  X     X  np  P     np 1  p        k 1;n , X k  np np1 p  Cnk p k 1  p  nk   Var  X   2Var  X  2 Chọn p  , ta thu đƣợc bất đẳng thức cần chứng minh 42 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu, đề tài “Một số bất đẳng thức xác suất ứng dụng” đạt đƣợc số kết sau: - Trình bày sơ lƣợc kiến thức xác suất biến cố kỳ vọng đại lƣợng ngẫu nhiên - Hệ thống hóa xây dựng số bất đẳng thức xác suất không điều kiện có điều kiện biến cố - Hệ thống hóa số bất đẳng thức kỳ vọng đại lƣợng ngẫu nhiên - Trình bày vài ứng dụng bất đẳng thức xác suất Đề tài mở hƣớng nghiên cứu tiếp theo: - Tìm tịi thêm bất đẳng thức đẹp xác suất biến cố kỳ vọng đại lƣợng ngẫu nhiên - Tiếp tục mở rộng phạm vi nghiên cứu bất đẳng thức xác suất cho đại lƣợng ngẫu nhiên - Tiếp tục khai thác thêm nhiều ứng dụng bất đẳng thức xác suất Cuối cùng, dù có nhiều cố gắng nhƣng khóa luận khơng thể tránh đƣợc sai sót Rất mong nhận đƣợc đóng góp q báu từ thầy bạn để đề tài đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Zhengyan Lin, Zhidong Bai (2010), Probability Inequalities, Science Press Beijing [2] Hoeffding, Wassily (1963), Probability inequalities for sums of bounded random variables, Journal of the American Statistical Association 58 (301): 13–30 [3] Jimmy Jin, James Wilson and Andrew Nobel Chernoff (2014), Höeffding’s and Bennett’s Inequalities, UNC-Chapel Hill [4] Phạm Văn Kiều (1993), Lý thuyết xác suất thống kê toán học, NXB ĐHSP Hà Nội [5] Đinh Văn Gắng (2000), Lý thuyết xác suất thống kê, NXB Giáo Dục [6] Đào Hữu Hồ (2007), Xác suất Thống kê, NXB ĐHQG Hà Nội 44 ... Bất đẳng thức Jensen 17 1.5 HÀM GAMMA 17 CHƢƠNG II: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG 18 2.1 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 18 2.1.1 Bất đẳng thức xác. ..   n  1!, n  * 17 p0 CHƢƠNG II: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.1 2.1.1 Bất đẳng thức xác suất khơng điều kiện a) Tính chất 2.1.1.1... Phạm vi nghiên cứu: Một số bất đẳng thức xác suất không điều kiện xác suất có điều kiện biến cố ; bất đẳng thức kỳ vọng đại lƣợng ngẫu nhiên ; vài ứng dụng bất đẳng thức xác suất PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN