Một số bất đẳng thức loại aczél và ứng dụng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN MAI THỊ NHƯ NGỌC MỘT SÔ VÂN ĐÊ VÊ BAT ĐĂNG THỨC LOẠI ACZÉL VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Đinh - 2020 MAI THỊ NHƯ NGỌC Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN MỘT SÔ BAT ĐĂNG THỨC LOẠI ACZÉL VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 Người hướng dẫn TS LÂM THỊ THANH TÂM Mục lục 3.1 Mở rộng bất đẳng thức Aczél-Vasic-Pecaríc đảo ngược 23 3.2Mở rộng dạng tích phân bất đẳng thức Aczél-Vasic- Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài Một số vấn đề bất đẳng thức loại Aczél ứng dụng cơng trình nghiên cứu khoa học tơi hướng dẫn TS.Lâm Thị Thanh Tâm, nội dung không chép chưa cơng bố hình thức nào, kết riêng trích dẫn nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên thực đề tài Mai Thị Như Ngọc MỞ ĐẦU Từ xưa đến nay, bất đẳng thức vấn đề khó, đa dạng, hấp dẫn thu hút quan tâm đơng đảo người giảng dạy Tốn từ bậc phổ thông đến đại học nhà nghiên cứu Toán Hiện nay, bất đẳng thức lĩnh vực toán học đồ sộ, phát triển rộng phạm vi ứng dụng lớn Các bất đẳng thức công cụ quan trọng để phát triển nhiều lĩnh vực toán học khác tốn phổ thơng, chủ đề bất đẳng thức gặp thường xuyên bất đẳng thức hay xuất kỳ thi học sinh giỏi để đánh giá tư học sinh giỏi Trong số bất đẳng thức kinh điển tiếng, bất đẳng thức Aczél phát biểu với số thực không âm a , bi (i = 1, 2, ,n) cho nn i a 1 i=2 i1 i=2 i a > b i 2 b > 0, ta có i n n a2 - a2 b |l1 i=2 n - b2 ab - ab | 2) ta có n (1.1) „r—— -— n > 2ai a2 an Định lý 1.1.2 Với số thực không âm a ,a , ,a (n > 2), số thực Aí, A2, , A cho A > 1, i = 1, , n V—= Khi í n n i aia2 .an 2), n b2 i=í í > aibi ) i=í (1.3) 1.3 Bất đẳng thức Holder Định lý 1.3.1 Cho > 0, bị > 0, i = 1, 2, , n (n > 2) + 11 (n \ p / n X q aibi "0 (£bq) ị X zX ( p b Ụ ^£ a'l’ị Định lý 1.3.3 Với "ịj > (i = 1, 2, • • • , n; j = 1, 2, (i) Nếu Xj > V > j ii n X p / n X q _ £") j=i (1.4) i=1 với p > Khi Định lý 1.3.2 Cho " > 0, b > 0, i = 1, 2, , n (n > 2) + với p < q < Khi ị p n > £ ii (1.5) i=1 • • • , m) nm m £ n nè í "ịj (ii) Nếu Xj < (j = 1,2, ,m) j=1 i=1 nm ' \ xj í™ m "j' n è n nè aị j> i=1 i=1 Xj m/n (1.7) "ij (iii) Nếu X1 > 0, Xj < (j = 2,3, ,m) < j=i nm j X ÃJ £n n(£ a, i=1 j=1 j> (1.6) j j=1 i=1 Chương BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI ACZÉL VÀ MỘT Số ỨNG (1.8) DỤNG Trong chương này, trình bày bất đẳng thức Aczél, số bất đẳng thức loại Aczél số ứng dụng bất đẳng thức Các kết chương trích dẫn từ tài liệu [1, 5, 6] 2.1 Bất đẳng thức Aczél Năm 1956, Aczél giới thiệu bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Aczél Bất đẳng thức phát biểu sau Định lý 2.1.1 Với n G N , n > a , bi (i = 1,2, ,n) nn + số thực cho a — i a > bị — i=2 i1 i=2 i b > Khi 2 60 60 am X í _ í n Xm—í a Ia —í a (n+1)(m-1) E 1(m-1) m—2 A m—í A aXm-1) i=2 n E Xm—í a Ia a m —2 X 1(m-1) a (n+1)(m-2) I aX m—2 am X a aXm-1) i=2 2) n a 1(m- E —í 2) i=2 (n+1)(m-1) X A n+1 «Xm- X'2 X2 a aX (n+1)2 í m—2 A í X a í a (n+1)1 m—2 A í A m—2 X a a (n+1)4 í m—2 A í n X a m a X a m (n+1)m a1m Aí a1 X a i=2 X a i=2 n+13 n+1 a1 X (n+1)2 X4 a (n+1)4 X i 2 a Ỉ3 i=2 E 1) i=2 a 14 n+1 X 4 i=2 X n+1 14 E a a aX a E m aim i=2 í i=2 a A X Âí n+1 a - n+1 a1 - X2 - A aXí a i1 Aí _ A X i J_í_ A í A i=2 n+1)3 «(Xm —- n+1 ( m—í m—2 E Xĩm- 2) am í am í i=2 + 1) > V(n) > a a a V(n (3.8) Từ (3.6E), 1(m (1.6), -1) (n+1)(m(3.6D) -1) I 1( m-2) cách lập luận tương tự trường hợp X A X — a A — Xm—2 n+1 E 1, ta thu bất đẳng thức (3.6) aimm- 1) i=2 n +1 am í a Trường (n+1)(hỢp m-1) 3: A1 > x > • • • > X > có dấu "=" xảy ra, m a m a Ia m “™ í aa m sốaachẵn Sử phương phápíAmchứng minh tương tự (3.6E) m (n +1)adụng i=2 X — (E X X X — X — ) m 61 V(n + 1) > V(n) > (3.8) trường hợp 1, ta bất đẳng thức (3.6) Trường hỢp 4: A1 > A > • • • > Am > có dấu " = " xảy ra, m số lẻ Sử dụng phương pháp chứng minh tương tự trường hợp 2, ta bất đẳng thức (3.6) □ Bằng phương pháp chứng minh tương tự Định lý 3.3.1 sử dụng Định lý 2.2.4 thay cho Định lý 2.2.3, nhận kết sau Định lý 3.3.2 Cho n, m G N , n > 2, A + < A2 < • • • < Am < với arj X n X- (r = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) số thực dương cho aXj ỵa aXj > r=2 (j = 1,2, , m) Nếu m V (n) = n V(n + 1) > V(n) > Định lý 3.3.3 Cho n, m G N , n > ; A > 0, A + (3.7) < • • • < Am < với m < arj (r = 1,2, , n; j = 1, 2, , m) số thực dương j=1 Aj X cho alj n X a j > (j = 1, 2, ,m) Nếu X r=2 m V (n) = n m nm a 1j j =1 - a rj r=2 j=1 Đặt m = 2, a = a , a = b (r = 1,2, • • • , n) từ Định lý 3.3.2 r r r2 r Định lý 3.3.3, ta hệ sau Hệ 3.3.4 Cho n E N , n > 2; A = 0, A < 0, + -1 < + A A2 A n X — g a0 V * (n) = (■ n \ A2 b1 — g b' r=2 V (n + 1) > V (n) > * (3.9) * _2_ n \ A2 11 —mg ar — ^a i —Định 52 arlý b Tương tự,(ađặt = Ỵ' 2,(■a = a , a =b1b—(r52 = 1,2, , n)ibtừ V (n) = 3.3.1, ta có hệ sau r1 r r2 n r=2 r * Hệ 3.3.5 Cho n G N , n > A + > A2 > 0, 1 + A > với A1 a bi (i = 1,2, , n) số thực dương cho a1 i V (n + 1) < V (n) < (3.10) ỵ^aị > i b1 — Ẻ b' > Nếu i * n * =2 n i=2 i Đặc biệt, đặt A = A = A < Hệ 3.3.4 nhận hệ sau bất đẳng thức Aczél-Bjelica đảo ngược (2.15) 64 64 Hệ 3.3.6 Cho n E N , n > A < với a , bi (i = 1,2, • • • , n) + i n lài=2số thực dương cho a — n a > b i1 1 Tương tự, đặt A1 = A = A Hệ — Nếu è b1 > n a1b1 — V *(n) = arbr _ (3.11) V*(n + 1) > V*(n) > 3.3.5 ta nhận hệ sau bất đẳng thức Aczél-Bjelica (2.14) Hệ 3.3.7 Cho n G N , n > < A < với a , b (i = + i i nn 1,2, • • • , n) số thực dương cho a ỵa a > b1 ỵb b 1 i=2 i1 i=2 i > Nếu n a1b1 — V *(n) = Ẹ X- X aj - arbr E r=2 (3.12) V*,m) (n +Khi 1) (j = 1, 2, ••• Từ Định lý 3.3.2, ta nhận số bất đẳng thức làm mịn bất đẳng thức loại Aczél (2.5) sau _x n m \ xj Hệ 3.3.8 Cho n, m G N , n > A n - a 1j Ẻ + < A2 < A3 < < Am < với arj (r = 1, a 2, ,n; j = 1,2, , m) jsố thực dương cho j= r=2 m nm a > j j=1 - a rj Ẻ r=2 j mn j=1 với Ẻ 1j nm (2) \ - a rj, nm a (3.13) rj r=2 j=1 □ r=2 j =1 n Ẻa nEn n na -En m íj) j=1 m nm nm r=2 m V (2) = ij («ÍJ -arja > > jTừ ij Khi Chứng minh Định lý V(n) ta có> 1+ V(2) >j V=1 =1 j=1 rj=2 =13.3.2, j=1 r=2 j=1 m Rj- a j=1 nm a1j > - V , m = m 1+ m m a 1j- a - n I nm nm a a 2j rj r=2j=1 j=1 65 Bằng kĩ thuật tương tự chứng minh Hệ 3.3.8 sử dụng Định lý 3.3.3 Định lý 3.3.1 ta thu vài làm mịn bất đẳng thức loại Aczél (2.5) (2.4) sau Hệ 3.3.9 Cho n, m G N , n > A > 0, A < A + m A < với m j=i X ( j = , , , m) Khi a^j r=2 X Ă j m m = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) số a j (r X“ < n (a r=2 ỉj j=1 nm > n j arj — j=1 V(2) 1+ nm r=2 j=1 nm — a rj r=2 j=1 m > nm n n a ij — arj (3.14) , với m m V n ( )= j=1 Hệ 3.3.10 Cho n, m X\1 j=1 Xj a 1j (aj j=1 GN, n > > với arj (r = 1, 2, , n; + A > A > • • • > A > j = 1,2, , m) m số thực dương 67 ™ V cho a 1j 52 “j > (j = 1, 2, , m) Khi r=2 rj X Ă j n —t r=2 nm arj — V (2) 1+ r=2 j =1 nm a rj r=2 j =1 m nm a1j — < j =1 arj, (3.15) r=2 j =1 với m ỳ(2) = n j=1 x ^j'AĂj 2j (“Ồ Chứng minh Từ Định lý 3.3.1, ta có V V (n) < (2) < Khi a1j — j=1 + V (2) □ 68 ™ V m nm “ 1j j=1 — “ rj r=2 j=1 j=1 1+ /\ V (2) fnm=x “rIj=2—j=1t n “j r=2 j=1 □ 69 Tương tự, ta có số hệ làm mịn bất đẳng thức loại Aczél sau Hệ 3.3.11 Cho n E N , n > A = 0, A < 0, -1 + -1 < + X n a S ) (■ — b— x E r=2 bí n a1b1 — arbr r=2 V *(2) 1+ n > a1b1 — arbr, (3.16) r=2 / X/ > X V ‘(2) = (aí — aịộ — (a1b1 — a2b2) > a1b1 — A1 với Chứng minh n r=2 arbr Từ Hệ 3.3.8 với m = A < 0, A < ta suy bất đẳng thức (3.16) bi - £ bi > Khi i =2 i n \ *2 (ai- - g a'|' (■ < ^a b — ^2 a br^ 1 r bị arbr, Z X V *(2) 1+ br r=2 \—/2 n < aibi - g g ) A (bị - bị )* - («161 - a b ) < 2 2 (3.17) r=2 với /\2 V*(2) = (aị - aị9*■ suy Chứng minh Từ Hệ 3.3.10 với m = A1 > 0, A2 > ta □ bất đẳng thức (3.17) n aibi - arbr V *(2) 1+ g r=2 n aibi - arbr r=2 Hệ 3.3.13 Cho n G N , n > A < 0, với a , bị (i = 1,2, + ị nn số thực dương cho aị - £ a > bị - £ b > 1 i Khi > aibi - ị=2 ịi ị=2 ị arbr, (3.18) r=2 với 22 V = (aị - aị) * (bị - bị) * - (aibi - a bj > Chứng minh Từ Hệ 3.3.8 với m = A1 = A = A < ta suy *(2) 2 bất đẳng thức (3.18) □ 72 KÊT LUẬN Luận văn trình bày số bất đẳng thức loại Aczél, ứng dụng mở rộng bất đẳng thức loại Aczél cụ thể là: Trình bày số kiến thức chuẩn bị nhằm bổ trợ cho việc trình bày nội dung chương 3: bất đẳng thức kinh điển bất đẳng thức AMGM, Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Holder mở rộng tổng quát bất đẳng thức Holder Trình bày bất đẳng thức Aczél số bất đẳng thức loại Aczél thiết lập cơng bố tạp chí tốn học uy tín giới: bất đẳng thức Aczél-Popoviciu, bất đẳng thức Aczél-Vasic-Popoviciu, bất đẳng thức Aczél-Vasic-Pecaríc, bất đẳng thức Aczél-Bjelica số đảo ngược bất đẳng thức Đồng thời trình bày số ứng dụng bất đẳng thức giải toán trung học phổ thơng Trình bày số mở rộng số bất đẳng thức loại Aczél bao gồm: dạng tổng quát bất đẳng thức Aczél-Vasic-Pecaríc đảo ngược, dạng tích phân bất đẳng thức Aczél-Vasic-Pecaríc đảo ngược làm mịn số bất đẳng thức loại Aczél 73 TÀI LIEU THAM KHAO [1] J Aczél, Some general methods in the theory of functional equations in one variable, New applications of functional equations, Uspehi Mat Nauk (N S.) 11, 69(3), 1956 [2] J-F Tian, Reversed version of a generalized Aczél's inequality and its application, Journal of Inequalities Applications, 2012 [3] J E Pecaríc, P M Vasic, On the Jensen inequality for monotone functions, An Univ TimisoaraSer S^ t Matematice 17, 1, 1976 [4] D S Mitrinovíc, P M Vasicc, Analytic Inequalities, Springer-Verlag, New York, 1970 [5] Ming-Hu Ha , J-F Tian, Properties and refinements of Aczél type inequalities, Journal of Mathematical Inequalities, Volume 12, Number 1, 2018 J E Peccaríc, F Proschan, Y.L Tong Convex functions, partial orderings, and statistical applications, Mathematics in Science and Engineering, Volume 187, Academic Press, Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo and Toronto, 1992 Bất đẳng thức (3.1A) xảy aa, 1-p với i = 1, 2, , n, a ft số thực không âm thỏa mãn a + ft > Khi 74 aa, = ftbp 1p \ / 11 o a (A, 'j 1-p = ft [(A,x,)p]p a x i ft Vậy dấu "=" Bất đẳng thức (3.1A) xảy Xi = Xj, với i, j = 1,2, , n Bổ đề 3.1.1 chứng minh xong □ Bổ đề 3.1.2 Cho a j > (r = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) A = 0, r m m nm nm “rj I r=2 j=1 ... j j=1 i=1 Chương BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI ACZÉL VÀ MỘT Số ỨNG (1.8) DỤNG Trong chương này, chúng tơi trình bày bất đẳng thức Aczél, số bất đẳng thức loại Aczél số ứng dụng bất đẳng thức Các kết chương... 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số bất đẳng thức kinh điển bất đẳng thức AM-GM, Cauchy-Schwarz, Holder Chương 2: Bất đẳng thức loại Aczél số ứng dụng Chương trình bày bất đẳng thức. .. đẳng thức Aczél số bất đẳng thức loại Aczél thiết lập cơng bố tạp chí tốn học uy tín giới Đồng thời trình bày số ứng dụng bất đẳng thức Chương 3: Một số mở rộng bất đẳng thức loại Aczél Trong