Chương 2. Hai thuật toán chiếu giải hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động 21 2.1. Mô hình bài toán nghiên cứu
2.4. Các thử nghiệm số
Các kết quả thử nghiệm số trong mục này được lập trình trên phần mềm MATLAB 14a và chạy thử nghiệm trên máy tính ASUSPRO, CPU Intel(R) Core(TM) i5-4210U CPU @ 1.70GHz upto 2.40 GHz, 4GB RAM.
Ví dụ 2.1. Xét bài toán tìm phần tử chung của hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động chung sau đây:
Tìm p∗ ∈ Ω :=
100
\
i=1
Fix(Ti)
!
\
100
\
j=1
GMEP(Θj,Ψj, φj)
! .
trong đó
Ti = x
i2, i = 1,2, . . . ,100,
Θj(x, y) = j(y2 −x2), j = 1,2, . . . ,100, Ψj(x) = j(exp(x)−1), j = 1,2, . . . ,100,
φj(x) = x2, j = 1,2, . . . ,100,
với mọi x, y ∈ R. Chúng ta có thể thấy Ti là các ánh xạ không giãn, Θj(x, y) thỏa mãn các điều kiện từ (A1) đến (A4), Ψj(x) là các ánh xạ liên tục và đơn điệu, φj(x) là các hàm lồi liên tục với mọi i, j = 1,2, . . . ,100.
Không khó khăn để chỉ ra rằng Ω = {0}. Tiếp theo, ta lấy rjn = j với mọi j = 1,2, . . . ,100 và với mọi n ∈N. Từ định nghĩa của T j
rjn(x) ta có Tj
rjn(x) ={u∈ R :j(y2 ưu2) +j(exp(x)ư1)(yưu) +y2 ưu2 + 1
j(yưu)(uưx)≥ 0, ∀y ∈ R}.
Bất đẳng thức
j(y2−u2) +j(exp(x)−1)(y −u) +y2 −u2+ 1
j(yưu)(uưx)≥ 0, ∀y ∈ R, có thể viết lại dưới dạng
(j2+j)y2+(j2(exp(x)−1)−x+u)y−[(j2+j+1)u2+(j2(exp(x)−1)−x)u] ≥ 0, với mọi y ∈ R. Điều này là tương đương với
[(j2(exp(x)−1)−x) + (2j2 + 2j + 1)u]2 ≤ 0.
Do đó, ta nhận được
u= x−j2(exp(x)−1) 2j2 + 2j + 1 . Tức là,
T j
rnj(x) = x−j2(exp(x)−1)
2j2 + 2j + 1 , ∀x∈ R, j = 1,2, . . . ,100.
Bây giờ, sử dụng các Thuật toán ALGO-1 và Thuật toán ALGO-2 với điểm khởi tạo x0 = 5, ta nhận được các kết quả thử nghiệm số cho trong các Bảng 2.1 và Bảng 2.2.
Thuật toán TOL n ∥xn−p∗∥ CPU-Time
ALGO-1 10−6 3 8.082669608611148e−08 0.1250 10−8 4 2.061178588919077e−10 0.1653 10−10 5 5.256073354331647e−13 0.2034
ALGO-2 10−6 5 3.634857364404054e−08 0.2116 10−8 6 9.186720897891298e−10 0.2483 10−10 7 2.321850350872623e−11 0.3543
Bảng 2.1: Kết quả tính toán số vớiαn= 1/100
Thuật toán TOL n ∥xn−p∗∥ CPU-Time
ALGO-1 10−6 2 3.846508557989181e−07 0.0814 10−8 3 1.068322236230657e−10 0.1210 10−10 4 2.968458812091512e−14 0.2042 10−15 5 1.387778780781446e−17 0.2177
ALGO-2 10−6 2 3.846508557989181e−07 0.0976 10−8 3 1.068322236230657e−10 0.1222 10−10 4 2.968458812091512e−14 0.1601 10−15 5 1.387778780781446e−17 0.2253
Bảng 2.2: Kết quả tính toán số vớiαn= 1/1000
Kết quả thử nghiệm trên cho thấy, các Thuật toán ALGO-1 và Thuật toán
ALGO-2 đều đạt sai số mong muốn rất cao trong khi số bước lặp cần thiết là rất nhỏ. Bảng 2.1 và Bảng 2.2 không cho thấy sự khác biệt đáng kể nào.
Ví dụ 2.2. Ta xét các phương trình tích phân Fredholm loại một sau đây:
Z π 0
cos(t−s)x(t)dt = π
2 cos(s), 0 ≤ s≤ π. (2.15) Ta biết rằng tập nghiệm của Bài toán (2.15) là một tập khác rỗng. Hơn nữa, x(t) = cost hoặc x(t) = cost + sin(2n + 1)t, n = 1,2, . . . là nghiệm của bài toán trên (chi tiết có thể xem [8] hoặc tài liệu dẫn trong [5]).
Ta sẽ xấp xỉ nghiệm của bài toán (2.15) trên không gian L2[0, π] bằng cách giải bài toán điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn (một trường hợp riêng của bài toán (2.4)). Đó là bài toán:
Tìm p∗ ∈
N
\
i=1
Fix(Ti), trong đó
Ti = PCi,
Ci = {x ∈L2[0, π] : ⟨ai, x⟩ = bi}, ai = ai(t) = cos(t−si), ∀t ∈ [0,1],
bi = π
2 cossi,
0 = s1 < s2 < . . . < sM = π, với i = 1,2, . . . , M.
Bây giờ, chúng ta thử nghiệm sự hội tụ của Thuật toán ALGO-1, Thuật toán ALGO-2 và so sánh chúng với Thuật toán (4.3) của Sunthrayuth và cộng sự (để thuận tiện, ta sẽ gọi là Thuật toán ALGO-3) trong [8]. Lựa chọn các điểm ban đầu x1(t) = 1 và un(t) = u(t) = sin 3t với mọi t ∈ [0, π], Sunthrayuth đã chứng tỏ được rằng p∗(t) = cost + sin 3t là hình chiếu của u(t) lên tập nghiệm của bài toán (2.15) (Nhận xét 4.5 trong [8]). Trong thử nghiệm các Thuật toán ALGO-1, Thuật toán ALGO-2, điểm ban đầu cũng sẽ được chọn là x0(t) =u(t) với mọi t ∈ [0, π].
Sử dụng điều kiện dừng
err = ∥xn−p∗∥ < TOL
trong đó TOL là một mức sai số cho trước, các kết quả tính toán số được thể hiện trong Bảng 2.3.
Thuật toán ALGO-1 Thuật toán ALGO-2 Thuật toán ALGO-3 an,i= 1/(M+ 1), αn= 0.05 αn= 0.05 αn = 1/n, βn= 0.06
err 6.3442e-05 6.3793e-05 9.9998e-05
n 15 17 20965
CPU-Time 0.9346 1.2949 36.6183
an,i= 1/(M+ 1),
αn= 0.3 αn= 0.3 αn = 1/(n+ 1), βn= 0.01
err 7.6576e-05 9.9863e-05 9.9997e-05
n 22 144 29643
CPU-Time 1.0690 6.4950 50.6245
Bảng 2.3: Kết quả tính toán số với TOL=10−4, M=N= 100
Các kết quả bằng số ở trên cho thấy các Thuật toán ALGO-1, Thuật toán ALGO-2 vượt trội hơn Thuật toán ALGO-3 do Sunthrayuth và đồng sự đề xuất về cả số bước lặp cần thiết cùng thời gian tính toán.
KẾT LUẬN
Luận văn đã nghiên cứu và trình bày lại có hệ thống một số vấn đề cơ bản sau đây:
Một là, tổng quan một số nội dung cần thiết về cấu trúc hình học các không gian Banach, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, phép chiếu tổng quát cùng một số lớp ánh xạ và hàm số như ánh xạ đơn điệu, ánh xạ không giãn tương đối, ánh xạ tựa không giãn, hàm lồi nửa liên tục trên (dưới).
Hai là, trình bày chi tiết nội dung và sự hội mạnh của Thuật toán chiếu co hẹp (ALGO-1) và Thuật toán chiếu lai ghép (ALGO-2) tìm nghiệm chung của bài toán hệ cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động chung trên các không gian Banach lồi đều và trơn đều.
Ba là, trình bày các thử nghiệm số trên phần mềm MATLAB, nhằm minh họa và làm rõ hơn các vấn đề lí thuyết mà luận văn đề cập.