Chương 2. Hai thuật toán chiếu giải hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động 21 2.1. Mô hình bài toán nghiên cứu
2.3. Thuật toán chiếu lai ghép
Thuật toán chiếu co hẹp giải bài toán (2.4) được thiết kế như sau:
Thuật toán chiếu lai ghép (ALGO-2)
Bước 0. Chọn các tham số αn ∈ [0,1], {rjn} ⊂ [ε,∞) với ε > 0 với mọi j = 1,2, . . . , M. Chọn x0 ∈ K0 = H0 :=C tùy ý và gán n := 1.
Bước 1. Với xn đã biết, với mỗi i = 1,2, . . . , N, ta tính các uin như sau:
uin = J−1(αnJ(xn) + (1 −αn)J(Ti(xn))).
Bước 2. Chọn in ∈ argmax
1≤i≤N
{Φ(uin, xn)} và đặt zn = uinn. Xác định tập hợp Cn = {a ∈ C : Φ(a, zn) ≤ Φ(a, xn)}.
Bước 3. Với mỗi j = 1,2, . . . , M, ta tính các wnj như sau:
wnj = T j
rjn(zn), trong đó T j
rjn(x) xác định như trong ALGO-1.
Bước 4. Chọn jn ∈ argmax
1≤j≤M
{Φ(wnj, zn)} và đặt yn =wnjn. Xác định tập hợp Wn = {a ∈ C : Φ(a, yn) ≤ Φ(a, zn)}.
Bước 5. Xác định tập hợp
Qn ={a∈ C : ⟨a−xn, J(xn)−J(x0)⟩ ≥ 0}, Bước 6. Tính
xn+1 = ΠCn∩Wn∩Qn(x0).
Gán n ← n+ 1 và tiếp tục thực hiện Bước 1.
Định lí 2.2. Nếu các điều kiện từ (C1) đến (C6) bảo đảm và lim inf
n→∞ αn(1−αn) >0,
thì dãy {xn} xác định bởi ALGO-2 hội tụ mạnh tới ΠΩ(x0).
Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh kết luận định lí trên thông qua một số bước dưới đây.
Bước 1. Dãy {xn} hoàn toàn được xác định.
Thật vậy, các tập Cn, Wn và Qn có thể được viết lại dưới dạng Cn = C ∩C, W˜ n = C ∩W˜ và Qn =C ∩Q,˜ trong đó
C˜ = {a∈ E : 2⟨a, J(xn)−J(zn)⟩ ≤ ∥xn∥2 − ∥zn∥2}, W˜ = {a∈ E : 2⟨a, J(yn)−J(zn)⟩ ≤ ∥yn∥2 − ∥zn∥2},
Q˜ = {a∈ E : ⟨a, J(xn)−J(x0)⟩ ≥ ⟨xn, J(xn)−J(x0)⟩}.
Dễ thấy rằng C,˜ W˜ và Q˜ là các tập con lồi, đóng của E. Điều này dẫn đến Cn, Wn và Qn cũng là các tập con lồi, đóng của E với mọi n ≥ 0. Vì thế, dãy {xn} hoàn toàn được xác định.
Bước 2. Ω ⊆ Cn∩Wn∩Qn với mọi n ≥ 0 và xn = ΠQn(x0).
Lấy tùy ý p ∈ Ω. Theo Bổ đề 1.6, Bổ đề 1.8 (iii) và Bổ đề 1.9, ta có Φ(p, zn) = Φ(p, uinn)
= Φ(p, J−1(αnJ(xn) + (1 −αn)J(Tin(xn))))
≤ αnΦ(p, xn) + (1−αn)Φ(p, Tin(xn))
≤ αnΦ(p, xn) + (1−αn)Φ(p, xn)
= Φ(p, xn) và
Φ(p, yn) = Φ(p, wnjn) = Φ(p,T jn
rnjn
(zn)) ≤ Φ(p, zn).
Do đó, p ∈ Cn∩Wn với mọi n ≥ 0 và vì thế Ω ⊆ Cn ∩Wn với mọi n ≥ 0.
Tiếp theo, ta sẽ chứng tỏ rằng Ω ⊆ Qn với mọi n ≥ 0 bằng phương pháp quy nạp. Trước hết, ta chú ý rằng
Ω ⊂ Q0 = C.
Giả sử Ω ⊂ Qn với n ≥ 0 và p ∈ Ω. Khi đó, từ định nghĩa xn+1 = ΠCn∩Wn∩Qn(x0)
và Bổ đề 1.4, ta có
⟨y −xn+1, J(xn+1)−J(x0) ≥ 0, ∀y ∈ Cn ∩Wn∩Qn.
Theo giả thiết quy nạp, bất đẳng thức sau bảo đảm
⟨y −xn+1, J(xn+1)−J(x0) ≥ 0, ∀y ∈ Ω.
Đặc biệt, chúng ta có
⟨p−xn+1, J(xn+1)−J(x0) ≥ 0.
Điều này suy ra Ω ⊆ Qn+1. Vì vậy, Ω⊆ Cn∩Wn∩Qn với mọi n ≥ 0.
Một mặt khác, từ định nghĩa của Qn ta biết rằng
⟨y−xn, J(xn)−J(x0) ≥ 0, ∀y ∈ Qn. Do đó, theo Bổ đề 1.4 ta cũng có
xn = ΠQn(x0).
Bước 3. Tồn tại giới hạn lim
n→∞Φ(xn, x0).
Từ định nghĩa
xn+1 = ΠCn∩Wn∩Qn(x0) ∈Cn∩Wn∩Qn ⊂ Qn và thực tế
xn = ΠQn(x0) dẫn đến
Φ(xn, x0) ≤ Φ(x, x0), ∀x∈ Qn,∀n ≥ 0,
và vì thế ta nhận được Φ(xn, x0) ≤ Φ(xn+1, x0) for all n ≥ 0. Do đó, sự tồn tại giới hạn lim
n→∞Φ(xn, x0) ở phần còn lại là được lập luận tương tự Bước 3 trong chứng minh Định lí 2.1.
Bước 4. Tồn tại dãy con {xnk} của dãy {xn} sao cho xnk → p∗ ∈C.
Vì xn+1 = ΠCn∩Wn∩Qn(x0)∈ Cn∩Wn∩Qn ⊂ Qn và xn = ΠQn(x0) nên Φ(xn+1, xn) = Φ(xn+1,ΠQn(x0))≤ Φ(xn+1, x0)−Φ(xn, x0) → 0.
Do đó, ta nhận được
∥xn+1−xn∥ → 0. (2.13)
Từ tính bị chặn của {xn}, tồn tại dãy con {xnk} của dãy {xn} sao cho xnk ⇀ p∗.
Từ (2.13) dẫn đến
xnk+1 ⇀ p∗.
Ngoài ra, từ việc xnk+1 ∈ Cnk∩Wnk ∩Qnk cùng tính đóng và lồi của tập giao Cnk ∩Wnk ∩Qnk nên
p∗ ∈ Cnk ∩Wnk ∩Qnk. Tiếp theo, ta có ước lượng
Φ(p∗, x0) =∥p∗∥2 −2⟨p∗, J(x0)⟩+∥x0∥2
≤ lim inf
k→∞ ∥xnk+1∥2 −2⟨xnk+1, J(x0)⟩+∥x0∥2
= lim inf
k→∞ Φ(xnk+1, x0)
= lim
k→∞Φ(xnk+1, x0).
Điều này suy ra
k→∞lim(Φ(xnk+1, x0)−Φ(p∗, x0)) ≥ 0. (2.14) Mặt khác, lại vì xnk+1 = ΠCnk∩Wnk∩Qnk(x0) nên
Φ(xnk+1, x0)≤ Φ(p∗, x0).
Kết hợp với (2.14), ta được
k→∞lim Φ(xnk+1, x0) = Φ(p∗, x0).
và đương nhiên ta cũng có giới hạn sau
k→∞lim(∥xnk∥2 − ∥p∗∥2) = lim
k→∞(∥xnk∥2 − ∥p∗∥2 −2⟨xnk −p∗, J(x0)⟩)
= lim
k→∞((Φ(xnk, x0)−Φ(p∗, x0))
= lim
k→∞((Φ(xnk+1, x0)−Φ(p∗, x0)) = 0.
Điều này dẫn đến
∥xnk∥ → ∥p∗∥.
Vì mọi không gian Banach lồi đều có tính chất Kadec-Klee (Nhận xét 1.2) nên ta nhận được xnk → p∗ như đã khẳng định.
Bước 5. Tồn tại các giới hạn lim
k→∞znk = p∗ và lim
k→∞ynk =p∗.
Vì xnk+1 = ΠCnk∩Wnk∩Qnk(x0)∈ Cnk ∩Wnk ∩Qnk ⊂ Cnk và Φ(xnk+1, znk)≤ Φ(xnk+1, xnk), ∀k ≥ 0, nên Φ(xnk+1, znk) →0. Theo Bổ đề 1.3, ta có
∥xnk+1−znk∥ → 0,
nên cũng có∥xnk−znk∥ → 0.Từ Bước 4, chúng ta có thể kết luận làznk → p∗. Tương tự, vì xnk+1 = ΠCnk∩Wnk∩Qnk(x0) ∈Cnk ∩Wnk ∩Qnk ⊂ Wnk và
Φ(xnk+1, ynk) ≤ Φ(xnk+1, znk) → 0,
nên Φ(xnk+1, ynk) → 0. Theo Bổ đề 1.3, ta lại có ∥xnk+1 −ynk∥ → 0. Do đó,
∥xnk −ynk∥ → 0 và vì vậy ynk →p∗.
Trong các phần tiếp theo, chúng ta sử dụng các lập luận tương tự như chứng minh của Định lý 2.1 từ Bước 6 đến Bước 8 và thay thế tất cả các dãy bằng các dãy con tương ứng. Khi đó, chúng ta thu được kết luận tương tự sau đây:
(a) lim
k→∞∥J(xnk)−J(Tink(xnk))∥ = 0;
(b) p∗ ∈
N
\
i=1
Fix(Ti)
!
;
(c) p∗ ∈
M
\
j=1
GMEP(Θj,Ψj, φj)
! . Bước 6. Ta có p∗ = ΠΩ(x0).
Thật vậy, từ thực tế xnk+1 = ΠCnk∩Wnk∩Qnk(x0) và Bổ đề 1.4, ta có
⟨y−xnk, J(xnk)−J(x0)⟩ ≥ 0, ∀y ∈ Cnk ∩Wnk ∩Qnk. Vì Ω⊂ Cnk ∩Wnk ∩Qnk với mọi k ≥ 0 nên
⟨y−xnk, J(xnk)−J(x0)⟩ ≥ 0, ∀y ∈ Ω.
Cho k → ∞ trong bất đẳng thức trên ta nhận được
⟨y−p∗, J(p∗)−J(x0)⟩ ≥ 0, ∀y ∈ Ω.
Kết hợp điều đó với Bổ đề 1.4 dẫn đến p∗ = ΠΩ(x0).
Cuối cùng. vì {xnk} là một dãy con tùy ý của {xn} hội tụ mạnh nên xn → ΠΩ(x0) khi n → ∞.
Nếu E ≡ H là không gian Hilbert thực thì J ≡ I và Φ(x, y) = ∥x−y∥2, ∀x, y ∈ H.
Do đó, ta cũng nhận được hệ quả trực tiếp dưới đây.
Hệ quả 2.2. Nếu các điều kiện từ (C1) đến (C6) bảo đảm và lim inf
n→∞ αn(1−αn) >0, thì dãy {xn} xác định bởi
uin =αnxn+ (1−αn)Ti(xn), i = 1,2, . . . , N, Chọn in ∈ argmax
1≤i≤N
{∥uin−xn∥}, zn =uinn,
Cn ={a∈ C : ∥a−zn∥ ≤ ∥a−xn∥}, wnj =T j
rnj
(zn), j = 1,2, . . . , M, Chọn jn ∈argmax
1≤j≤M
{∥wnj −xn∥}, yn = wnjn,
Wn = {a∈ C :∥a−yn∥ ≤ ∥a−zn∥}, Qn = {a ∈ C :⟨a−xn, xn−x0⟩ ≥ 0}, xn+1 = PCn∩Wn∩Qn(x0), n ≥ 0,
hội tụ mạnh tới PΩ(x0) với Tj
rjn(x) xác định như trong Hệ quả 2.1.
Nhận xét 2.2. Ở mỗi bước, uin và wjn có thể được tính toán đồng thời bởi N và M bộ xử lý song song tương ứng. Hơn nữa, rất dễ dàng tìm được chỉ số tối ưu in và jn. Đặc biệt, có thể áp dụng thuật toán ALGO-1 và thuật toán ALGO-2 để tìm phần tử chung u ∈ C, vừa là nghiệm của hệ bài toán tối ưu (Θj = 0,Ψj = 0) (hệ bài toán cân bằng (Ψj = 0, φj = 0), hệ bài toán bất đẳng thức biến phân (Θj = 0, φj = 0), hệ bài toán cân bằng hỗn hợp (Ψj = 0), hệ bài toán cân bằng suy rộng (φj = 0), hệ bất đẳng thức biến phân hỗn hợp kiểu Browder (Θj = 0)) và một điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ tựa Φ-không giãn.