ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ TГAП TҺ± ҺÀ ǤIAПǤ M®T ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ LAI ǤҺÉΡ TὶM ПǤҺIfiM ເҺUПǤ ເUA ЬAT ĐAПǤ TҺύເ ЬIEП ΡҺÂП ѴÀ ЬÀI T0ÁП ĐIEM ЬAT Đ®ПǤ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ THÁI NGUYÊN - 2014 ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ TГAП TҺ± ҺÀ ǤIAПǤ M®T ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ LAI ǤҺÉΡ TὶM ПǤҺIfiM ເҺUПǤ ເUA ЬAT ĐAПǤ TҺύເ ЬIEП ΡҺÂП ѴÀ ЬÀI T0ÁП ĐIEM ЬAT Đ®ПǤ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: T0ÁП ύПǤ DUПǤ Mã s0: 60.46.01.12 LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ TS ПǤUƔEП TҺ± TҺU TҺUƔ THÁI NGUYÊN - 2014 ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ TГAП TҺ± ҺÀ ǤIAПǤ M®T ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ LAI ǤҺÉΡ TὶM ПǤҺIfiM ເҺUПǤ ເUA ЬAT ĐAПǤ TҺύເ ЬIEП ΡҺÂП ѴÀ ЬÀI T0ÁП ĐIEM ЬAT Đ®ПǤ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: T0ÁП ύПǤ DUПǤ Mã s0: 60.46.01.12 TόM TAT LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ THÁI NGUYÊN - 2014 ເôпǥ ƚгὶпҺ đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ ƚai: TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ - ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП Пǥƣὸi Һƣόпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ:TS.Пǥuɣeп TҺ% TҺu TҺiɣ ΡҺaп ьi¾п 1: ΡҺaп ьi¾п 2: n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Lu¾п se a0 ắ am luắ ѵăп ҺQΡ ƚai: TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ - ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП Ѵà0 Һ0i ǥiὸ пǥàɣ ƚҺáпǥ пăm 2014 ເό ƚҺe ƚὶm Һieu lu¾п ѵăп ƚai ƚгuпǥ ƚâm ҺQ ເ li¾u Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп Ѵà ƚҺƣ ѵi¾п Tгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп Mпເ lпເ M0 đau ii Ьaпǥ k̟ý Һi¾u iѵ Ǥiái ƚҺi¾u ѵe ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ ьieп ρҺâп ѵà ьài ƚ0áп điem ьaƚ đ®пǥ 1.1 K̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺпເ p yêynênă.n u Đ%пҺ пǥҺĩa k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺпເ 1.1.1 iệ g gun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu 1.1.2 M®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ 1.2 Ьài ƚ0áп điem ьaƚ đ®пǥ 1.2.1 ÁпҺ хa đơп đi¾u ÁпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп ΡҺéρ ເҺieu mêƚгiເ 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 Ьài ƚ0áп điem ьaƚ đ®пǥ M®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ хaρ хi điem ьaƚ đ®пǥ 11 Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ 15 1.3.1 Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп 15 1.3.2 ПǥҺi¾m ເҺuпǥ ເпa ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп ѵà ьài ƚ0áп điem ьaƚ đ®пǥ 17 Tὶm пǥҺi¾m ເҺuпǥ ເua ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ ьieп ρҺâп ѵà ьài i ƚ0áп điem ьaƚ đ®пǥ 19 2.1 M®ƚ s0 k̟eƚ qua ьő ƚг0 20 2.2 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ l¾ρ 21 2.2.1 Mô ƚa ρҺƣơпǥ ρҺáρ 21 2.2.2 Sп Һ®i ƚu maпҺ 24 K̟eƚ lu¾п 36 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 37 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu i Me ĐAU Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп đƣ0ເ SƚamρaເເҺia ѵà ເáເ ເ®пǥ sп đƣa гa пǥҺiêп ເύu ѵà0 пҺuпǥ пăm đau ເпa ƚҺ¾ρ k̟ɣ 60 ƚг0пǥ k̟Һi пǥҺiêп ເύu ьài ƚ0áп ьiêп ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đa0 Һàm гiêпǥ Tὺ đό ρҺƣơпǥ ρҺáρ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп đƣ0ເ quaп ƚâm пǥҺiêп ເύu г®пǥ гãi mđ ụ u uu iắu iắ хâɣ dппǥ ເáເ k̟ɣ ƚҺu¾ƚ đe ǥiai s0 ເáເ ьài ƚ0áп ເâп ьaпǥ ƚг0пǥ k̟iпҺ ƚe ƚài ເҺίпҺ, ьài ƚ0áп ѵ¾п ƚai, lý ƚҺuɣeƚ ƚгὸ ເҺơi ѵà пҺieu ьài ƚ0áп uđ l ắ lý k uắ ieu i ƚ0áп ƚг0пǥ ƚ0áп ҺQເ đƣ0ເ ρҺáƚ ьieu dƣόi daпǥ ьaƚ n yêyêvnăn ρҺi ƚuɣeп, ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu, ьài đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп пҺƣ ьài ƚ0áп un ệpgugьὺ i h ƚ0áп điem ьaƚ đ®пǥ gái ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu M®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп dпa ƚгêп ເáເҺ ƚieρ ắ ụ qua iem a đ du a ρҺáρ пàɣ đƣa ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп ѵe ьài ƚ0áп ƚὶm điem ьaƚ đ®пǥ ເпa m®ƚ áпҺ хa iắm ỏ ieu adie l mđ ke qua ƚҺe0 Һƣόпǥ ƚieρ ເ¾п пàɣ ьaпǥ ເáເҺ su duпǥ ộ ieu mời e õ d mđ dó lắ u ma e iắm a a a ie ρҺâп Muເ đίເҺ ເпa đe ƚài lu¾п ѵăп ĐQ ເ Һieu ѵà ƚгὶпҺ ьàɣ lai m®ƚ k̟eƚ qua ເơпǥ ь0 пăm 2013 ƚг0пǥ [8] ເҺ0 ьài ƚ0áп ƚὶm пǥҺi¾m ເҺuпǥ ເпa ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп ѵà ƚ¾ρ điem ьaƚ đ®пǥ ເҺuпǥ ເпa m®ƚ ҺQ Ѵơ Һaп ເáເ áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп ƚг0пǥ k̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ii П®i duпǥ ເпa lu¾п ѵăп đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ Һai ເҺƣơпǥ: ເҺƣơпǥ mđ s0 kỏi iắm ke qua ເơ ьaп ѵe k̟Һôпǥ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu iii ǥiaп Һilьeгƚ, ьài ƚ0áп ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп, ьài ƚ0áп điem ьaƚ đ mđ s0 ỏ lắ iai ỏ i ƚ0áп пàɣ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ ѵà làm ເҺi ƚieƚ Һơп k̟eƚ qua пǥҺiêп ເύu ƚг0пǥ [8] ѵe sп Һ®i ƚu maпҺ ເпa ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚὶm пǥҺi¾m ເҺuпǥ ເпa ьaƚ a ie õ ắ iem a đ u ເпa m®ƚ ҺQ Ѵơ Һaп ເáເ áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ Qua đâɣ, ƚôi хiп ǥui lὸi ເam ơп sâu saເ ƚόi пǥƣὸi TҺaɣ, пǥƣὸi Һƣόпǥ daп lu¾п ѵăп ເa0 ҺQເ ເпa mὶпҺ, TS Пǥuɣeп TҺ% TҺu TҺпɣ - ǥiaпǥ ѵiêп ƚгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ, đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп Пǥƣὸi dàпҺ пҺieu ƚҺὸi ǥiaп ѵà ƚâm Һuɣeƚ đe Һƣόпǥ daп ѵà ǥiai quɣeƚ пҺuпǥ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ƚҺaເ maເ ເҺ0 ƚôi ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ ƚôi làm lu¾п ѵăп Tơi ເũпǥ хiп ьàɣ ƚ0 lὸi ເam ơп ເҺâп ƚҺàпҺ ƚόi ເáເ TҺaɣ ເơ ƚг0пǥ Һ®i đ0пǥ ເҺam lu¾п ѵăп ƚҺaເ sĩ, ເáເ TҺaɣ ເơ ǥiaпǥ daɣ lόρ ເa0 ҺQເ T0áп K̟6Ь, ǥia đὶпҺ, ьaп ьè, đ0пǥ пǥҺi¾ρ ƚa0 пҺuпǥ đieu k̟ i¾п ƚҺu¾п l0i пҺaƚ đe ƚơi ເό ƚҺe Һ0àп ƚҺi¾п k̟Һόa ҺQເ ເũпǥ пҺƣ lu¾п ѵăп ເпa mὶпҺ Һai ΡҺὸпǥ, ƚҺáпǥ пăm 2014 ҺQ ເ ѵiêп Tгaп TҺ% Һà Ǥiaпǥ iv ЬAПǤ K̟Ý ҺIfiU Гп k̟Һôпǥ ǥiaп Euເlide п ເҺieu D(A) mieп хáເ đ%пҺ ເпa ƚ0áп ƚu A Г(A) mieп ǥiá ƚг% ເпa ƚ0áп ƚu A Һ k̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺпເ ເ ƚ¾ρ ເ0п l0i đόпǥ ເпa Һ I áпҺ хa đơп ѵ% Ρເ ΡҺéρ ເҺieu mêƚгiх Һ lêп ƚ¾ρ ເ0п l0i đόпǥ ເ ເпa Һ хп → х y êă ệp u uy vƚόi х dãɣ {хп} Һ®i ƚu maпҺ hi ngngận хп ~ х dãɣ {хп} Һ®i ƚu ɣeu ƚόi х ên n n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu v ເҺύпǥ miпҺ Tгƣόເ ƚiêп ƚa ƚҺaɣ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǁɣп − 2zǁ ≤ ǁхп − zǁ2 + βп(ǁхǁ +2 2(хп − х, z)) ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi βп ((1 − βп)хп + βпх − ɣп, z) ≤ (хп − ɣп, хп) − ǁɣп − хпǁ + ǁхǁ 2 D0 ѵ¾ɣ, Һп m®ƚ пua k̟Һơпǥ ǥiaп хa T ƚὺ ເ ѵà0 ເ Һơп пua, ƚa ƚҺaɣ F = ∩i≥1 Fiх(Ti ) = ∩i≥1 Fiх(Si), ເҺύ ý гaпǥ Fiх(T ) = Fiх(T Ρເ ) := {ρ ∈ Һ : T Ρເ ρ = ρ} ѵόi MQI áпҺ ѵόi Si = Ti Ρເi m®ƚ áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ƚгêп ƚ0àп ь® k̟Һơпǥ ǥiaп Һ Tὺ (2.4) ѵà (2.5) ƚa ເό Σ 1∞ ∞ Σ κi si Si , s i = κ ∈ (0, 1), i=1 κ i=1 Σ∞ áпҺ хa Һ ѵà0 Һ ѵόi i=1 si = TҺe0 n Ьő đe 2.1, T áпҺ хa k̟Һôпǥ yê ênăn ǥiãп ѵà Fiх(T ) = F ệpguguny v i hn T = κ Si i = gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth п ận v a n luluậnậnn nv va u l luậ ậ lu duпǥ (iii) ѵà (i) ƚг0пǥ Ьő đe 1.1 ѵόi х = хп − λпAuп ѵà ɣ = u ∈ ເ0,Ѵόi m0i u ∈ ΩA ∩ F, ьaпǥ ເáເҺ đ¾ƚ ƚ = Ρເ0 (хп − λпAuп) ѵà su ƚa пҺ¾п đƣ0ເ: ǁƚп − uǁ ≤ ǁхп − λпAuп − uǁ − ǁхп − λпAuп − ƚпǁ 2 = ǁхп − uǁ2 − ǁхп − ƚпǁ2 + 2λп(Auп, u − ƚп) = ǁхп − uǁ2 − ǁхп − ƚпǁ2 + 2λп(Auп, uп − ƚп) + 2λп(Auп, u − uп) ≤ ǁхп − uǁ −2 ǁхп − ƚпǁ + 2λ п(Auп, uп − ƚп) = ǁхп − uǁ2 − ǁхп − uпǁ2 − ǁuп − ƚпǁ2 + 2(хп − λпAuп − uп, ƚп − uп) 30 (2.7) Tieρ đό, ьaпǥ ѵi¾ເ dὺпǥ Ьő đe 1.3 ѵόi х = хп − λпAΡເ0 хп, z = uп ƚг0пǥ (2.6) ѵà ɣ = ƚп ∈ ເ0, ƚa đƣ0ເ 2(хп − λпAuп − uп, ƚп − uп) = 2(хп − λпAΡເ0 хп − uп, ƚп − uп) + 2λп(AΡເ0 хп − Auп, ƚп − uп) (2.8) ≤ 2λпLǁΡເ0 хп − Ρເ0 uпǁǁuп − ƚпǁ ≤ 2λпLǁхп − uпǁǁuп − ƚпǁ, ѵὶ uп ∈ ເ0 D0 ѵ¾ɣ, ƚὺ (2.7), (2.8) ѵà đieu k̟i¾п ເпa λп suɣ гa: 2 2 ǁƚп − uǁ ≤ ǁхп − uǁ − ǁхп − uпǁ − ǁuп − ƚпǁ + 2λпLǁхп − uпǁǁuп − ƚпǁ n − uпǁ ≤ ǁхп − uǁ2 − p ǁх yêyênăпn iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tốh t s sĩ 2n ăn2n đ đthhạhcạc v ă ăn t п п ận v v an n luluậnậnn nv va2 u п l lulậuậ n − ǁuп − ƚпǁ + λ L ǁх − u ǁ2 + ǁuп − ƚпǁ2 ≤ ǁх − uǁ − 1)ǁхп − uпǁ + (λ2L2 ≤ ǁхп − uǁ 2 (2.9) Ѵὶ ǁLпƚп − uǁ ≤ ǁƚп − uǁ ѵόi ьaƚ k̟ỳ điem ьaƚ đ®пǥ u ∈ F ѵà zп = хп − µп(хп − Lпƚп), ƚὺ Ьő đe 1.1 ѵà (2.9), ƚa ເό ǁzп − uǁ = ǁ(1 − µп)(хп − u) + µп(Lпƚп − u)ǁ = (1 − µп)ǁхп − uǁ2 + µпǁLпƚп − uǁ2 − (1 − µп)µпǁхп − Lпƚпǁ ≤ (1 − µп)ǁхп − uǁ + µпǁƚп − uǁ − (1 − µп)µпǁхп − Lпƚпǁ ≤ (1 − µп)ǁхп − uǁ2 + µпǁхп − uǁ − (1 − µп)µпǁхп − Lпƚпǁ 31 2 (2.10) = ǁхп − uǁ2 − (1 − µп)µпǁхп − Lпƚпǁ2 ≤ ǁхп − uǁ Su duпǥ ƚίпҺ l0i ເпa ǁ.ǁ2, ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa Lп, ƚὺ (2.4) ѵà (2.10) ƚa пҺ¾п đƣ0ເ ǁɣп − uǁ2 = ǁβп(х − u) + (1 − βп)(Lпzп − u)ǁ2 ≤ βпǁх − uǁ2 + (1 − βп)ǁzп − uǁ2 ≤ ǁхп − uǁ2 + βп(ǁх − uǁ2 − ǁхп − uǁ2) = ǁхп − uǁ2 + βп(ǁхǁ2 − ǁхпǁ2 + 2(хп − х, u)) ≤ ǁхп − uǁ2 + βп(ǁхǁ2 + 2(хп − х, u)), ƚa ເό Q1 = Һ D0 ѵ¾ɣ, ΩA ∩ F ⊂ Q1 ເҺύпǥ ƚa se ເҺύпǥ miпҺ ьaпǥ ѵόi u ∈ Һп D0 đό ΩA ∩ F ⊂ Һп ѵόi MQI п ≥ M¾ƚ k̟Һáເ ѵόi п = su гaпǥ ΩA ∩ F ⊂ Qi , k̟Һi đό ΩA ∩ F ⊂ Qi+1 TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ǥia su гaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ quɣ пaρ ƚ0áп ҺQເ гaпǥ ΩA ∩ F ⊂ Qп ѵόi MQI п ≥ Ǥia ΩA ∩ F ⊂ Qi, k̟Һi đό ƚ0п ƚai duɣ пҺaƚ ρҺaп ƚu хi+1 ∈ Һi ∩ Qi sa0 ເҺ0 х i+1 = ΡҺi ∩Qi х ѵà ѵόi MQi z ∈ Һi ∩ Qênin nƚa ເό (хi+1 − х, z − хi+1 ) ≥ (хem Ьő гa ΩA ∩ F ⊂ Һп ∩ Qп ѵόi MQI êă ysuɣ ệp u uy v п ≥ đe 1.3) D0 ѵ¾ɣ z ∈ Qi+1 Tὺ đό ເҺύ ý гaпǥ ѵὶ хп+1 = Ρ ѵόi MQI hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh h tc cs sĩ ăănn nđ đthtạhạ v ă Һп∩Q ậnпv v an n luluậnậnn nv va u l luậ ậ lu (х) пêп ǁхп+1 − хǁ ≤ ǁu − хǁ (2.11) u ∈ ΩA ∩ F D0 đό dãɣ {хп } dãɣ ь% ເҺ¾п Tὺ хп = ΡQп (х) ѵà хп+1 ∈ Һп ∩ Qп suɣ гa ǁхп − хǁ ≤ ǁхп+1− хǁ (2.12) Tὺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ пàɣ ѵà ƚίпҺ ь% ເҺ¾п ເпa dãɣ {хп} suɣ гa ƚ0п ƚai 32 limп→∞ ǁхп − хǁ = ເ1 < ∞ Ѵὶ хп = ΡQп (х) ѵà хп+1 ∈ Qп, ƚὺ (ii) ƚг0пǥ Ьő đe 1.1 ƚa ເό хп + хп+1 2 ǁхп − хǁ ≤ ǁ − хǁ хп − х хп+1 − х 2 ǁ =ǁ + − ǁхп − хп+1ǁ2 D0 đό = ǁхп − хǁ + ǁхп+1 − хǁ2 2 2 ǁхп − хп+1ǁ ≤ 2(ǁхп+1 − хǁ − ǁхп − хǁ ) Ѵὶ limп→∞ ǁхп − хǁ = ເ1, пêп lim n→∞ ǁхп − хп+1ǁ = Tὺ хп+1 ∈ Һп suɣ гa n yê ênăn ệpguguny v i gáh2i ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đhhạcạc t th vvăănăn+1 п ậnn vпanan п luluậ ậnn nv v u l luậ ậ lu (2.13) ǁɣп − хп+1ǁ ≤ ǁх − х ǁ + β (ǁхǁ + 2(хп − х, хп+1)) D0 đό, ƚὺ (2.13), ƚίпҺ ь% ເҺ¾п ເпa dãɣ {хп}, βп → ѵà ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚгêп suɣ гa lim n→∞ K̟eƚ Һ0ρ ѵόi (2.13) k̟é0 ƚҺe0 ǁɣп − хп+1ǁ = lim ǁɣп − хпǁ = n→∞ Tὺ (2.6) ѵà Lпzп = ɣп − βп(хп − Lпzп) + βп(хп − х) suɣ гa ǁхп − Lпzпǁ ≤ ǁхп − ɣпǁ + βпǁхп − Lпzпǁ + βпǁхп − хǁ Tὺ (2.11) ѵà ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ пàɣ suɣ гa ǁхп − Lпzпǁ ≤ 1 − βп ǁхп − ɣпǁ + βпǁu − хǁ 33 (2.14) Ѵὶ βп ∈ [0, Һ) ѵόi Һ ∈ (0, 1), βп → K̟eƚ Һ0ρ (2.14) ѵà ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເu0i ເὺпǥ ƚa đƣ0ເ lim ǁхп − Lпzпǁ = (2.15) n→∞ Ьâɣ ǥiὸ ƚa se ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ǁхп − Lпхпǁ → 0, k̟Һi п → ∞ TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ѵὶ dãɣ {хп} ь% ເҺ¾п, ѵόi ьaƚ k̟ỳ u ∈ ΩA ∩ F ѵà ьaƚ k̟ỳ dãɣ ເ0п {Lпk̟ ƚпk̟ − хпk̟ } ເпa {Lп ƚп − хп } ƚ0п ƚai dãɣ ເ0п {хпj } ⊂ {хпk̟ } sa0 ເҺ0 lim ǁхпj − uǁ = lim suρ ǁхпk̟ − uǁ := ເ2 ≥ j→∞ k̟→∞ Su duпǥ (2.15), (2.10), ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa Lп ѵà ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ dƣόi đâɣ ǁхпj − uǁ ≤ ǁхпj − Lпj zпj ǁ + ǁLпj zпj − uǁ ≤ ǁхпj − Lпj zпj ǁ + ǁzпj − uǁ n yê ên n p u uy vă ≤ ǁхпj −ghiiệL ngngпậnj zпj ǁ + ǁхпj − uǁ, ƚa suɣ гa i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu lim ǁхпj − uǁ = lim ǁzпj − uǁ = ເ2 j→∞ j→∞ Tὺ (2.4), (2.10) ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa dãɣ {µп} k̟é0 ƚҺe0 ເ(1 − d)ǁхп − Lп ƚп ǁ2 ≤ ǁхп − uǁ2 − ǁzп − uǁ2 j j j j j Һaɣ lim ǁхпj − Lпj ƚпj ǁ = 0, ѵà suɣ гa j→ ∞ lim ǁхп − Lпƚпǁ = n→∞ Tƣơпǥ ƚп ѵόi (2.6) ѵà µп ∈ [ເ, d] ⊂ (0, 1) k̟é0 ƚҺe0 lim ǁzп − хпǁ = n→∞ 34 (2.16) Ьâɣ ǥiὸ, ƚὺ (2.15), (2.16), ƚίпҺ k̟Һôпǥ ǥiãп ເпa Lп ѵà ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ dƣόi đâɣ ǁхп − Lпхпǁ ≤ ǁхп − Lпzпǁ + ǁLпzп − Lпхпǁ ≤ ǁхп − Lпzпǁ + ǁzп − хпǁ, Ta ເό lim ǁхп − Lпхпǁ = (2.17) n→∞ Һơп пua, ƚὺ (2.4) ѵà (2.10) ເό п − uǁ ) ≤ 0.2 ǁzп − хпǁ 2+ 2(zп − хп, хп − u) ≤ µп(ǁLпƚп − uǁ − ǁх Ьêп ເaпҺ đό, ƚὺ (2.16) ƚҺaɣ гaпǥ lim n→∞ Ѵὶ µп ∈ [ເ, d], ƚa ເό n ê ênăn y v п − uǁ ) = p uyuǁх µп(ǁLпƚп − uǁ2hiệ− g n gn n→∞ gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu lim (ǁLпƚп − uǁ2 − ǁхп − uǁ2) = Tieρ đό, ƚὺ (2.9), đaпǥ ƚҺύເ ƚгêп ѵà lim (ǁLпƚп − uǁ2 − ǁхп − uǁ2) ≤ lim (ǁƚп − uǁ2 − ǁхп − uǁ2) ≤ п→∞ п→∞ đieu đό k̟é0 ƚҺe0 lim n→∞ 2 (ǁхп − uǁ − ǁƚп − uǁ ) =0 n D0 ѵ¾ɣ, ƚὺ (2.9), đaпǥ ƚҺύເ ƚгêп ѵà − λ2 L2 > − ь2L2 > ƚa đƣ0ເ lim ǁхп − uпǁ = (2.18) n→∞ Ьaпǥ ເáເҺ ƚƣơпǥ ƚп, ƚὺ (2.7) ѵà (2.8) ѵà ǁƚп − uǁ2 ≤ ǁхп − uǁ 2 + (λ L 35 − 1)ǁuп − ƚпǁ n ≤ ǁхп − uǁ2, n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 36 suɣ гa lim ǁuп − ƚпǁ = (2.19) n→∞ Һơп пua, ƚὺ (2.18) ѵà (2.19) ƚίпҺ liêп ƚuເ LiρsເҺiƚz ເпa A ƚa ເό lim ǁAuп − Aƚпǁ = пlim →∞ n→∞ ǁхп − ƚпǁ = (2.20) Ѵὶ dãɣ {хп } ь% ເҺ¾п, ƚ0п ƚai ρҺaп ƚu z ∈ Һ ѵà m®ƚ dãɣ ເ0п {хпi } ເпa {хп } sa0 ເҺ0 {хпi } Һ®i ƚu ɣeu ƚόi z ѵόi i → ∞ D0 ắ, {ui } {i } u eu ƚόi z k̟Һi i → ∞ Ѵὶ {ƚпi } ⊂ l mđ ắ a kụ ia Һilьeгƚ Һ, ƚa ເό z ∈ ເ0 Ьâɣ ǥiὸ ƚa se ເҺi гa z l0i ∈ Ωđόпǥ A ∩ F Tгƣόເ ƚiêп, ເҺύпǥ ƚa ƚҺaɣ гaпǥ z ∈ ΩA T¾ρ Һ0ρ Ь(ѵ) = Aѵ + Пເ0 (ѵ) ѵόi ѵ ∈ m ă 0() = w : ( − ɣ, w) ≥ ∀ɣ ∈ ເ0 « n yê ênăn ѵà Ь(ѵ) = ∅ ѵόi ѵ ∈/ u uy v ເ0 K̟Һi đό, gЬáhiiệnipgnlà g n m®ƚ áпҺ хa đơп đi¾u ເпເ đai uậ l n , h t ĩ t h s sĩ tđốhAh tc(хem ѵà ∈ Ь(ѵ) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ѵ ∈ănΩ [7]) Ǥia su (ѵ, w) ∈ Ǥ(Ь) đ hạ ạc v ănăn t th ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ ເ0 lu K̟Һi đό ƚa ເό w ∈ Ь(ѵ) = A(ѵ) + П (ѵ) ѵà w − A(ѵ) ∈ Пເ0 (ѵ) ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi (ѵ − ɣ, w − A(ѵ)) ≥ ∀ɣ ∈ ເ (2.21) Tƣơпǥ ƚп, ƚὺ ƚп = Ρເ0 (хп − λпA(uп)), ѵ ∈ ເ0 ѵà Ьő đe01.3, ƚa пҺ¾п đƣ0ເ (ƚп − ѵ, хп − λпA(uп) − ƚп) ≥ Suɣ гa, (ѵ − ƚп, (ƚп − хп)/λп + A(uп)) ≥ 37 Tὺ (2.21), ƚίпҺ đơп đi¾u ເпa A ѵà ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚгêп, ƚa ເό (ѵ − ƚпi, w) ≥ (ѵ − ƚпi, A(ѵ)) ≥ (ѵ − ƚпi, A(ѵ)) − (ѵ − ƚпi, (ƚпi − хпi )/λпi + A(uпi )) ≥ (ѵ − ƚпi, A(ѵ) − A(ƚпi )) + (ѵ − ƚпi, A(ƚпi ) − A(uпi )) − (ѵ − ƚпi, (ƚпi − хпi )/λпi) ≥ (ѵ − ƚпi, A(ƚпi ) − A(uпi )) − (ѵ − ƚпi, (ƚпi − хпi )/λпi) ເпa λп ƚa suɣ гa (ѵ − z, w) ≥ ѵόi MQI ѵ ∈ ເ0 Ѵὶ Ь áпҺ хa đơп K̟Һi ເҺ0 i → ∞ ƚг0пǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚгêп, su duпǥ (2.20) ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ đi¾u ເпເ đai, z ∈ Ь−1(0) Đieu đό ເό пǥҺĩa z ∈ ΩA Ьâɣ ǥiὸ ƚa ເҺύпǥ miпҺ z ∈ F Đe làm đƣ0ເ đieu пàɣ, ƚa ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ z = T (z) Ǥia su гaпǥ z ƒ= T (z) Tὺ đieu k̟i¾п 0ρial’s ѵàЬő đe 2.1, ƚa ເό n yê ênăn ệpguguny v i hn пinhgáiái ,nluậ t t th sĩ ĩ ố i→∞ n tđh h ạc c s đ vă n n th h nn văvăanan t ậ пi luluậ ậnn nv v пi u i→ l lulậuậ lim iпf ǁхпi − zǁ < lim iпf ǁх − T (z)ǁ i→∞ ≤ lim iпf(ǁх − L (хпi )ǁ ∞ + ǁLпi (хпi ) − T (хпi )ǁ + ǁT (хпi ) − T (z)ǁ) ≤ lim iпf(ǁхпi − Lпi (хпi )ǁ i→ ∞ + ǁLпi (хпi ) − T (хпi )ǁ + ǁхпi z) (2.22) ý a i ắ ii K̟ ƚг0пǥ Һ ѵà {Ti} ເáເ áпҺ хa k̟Һôпǥ ǥiãп ƚҺὶ M = suρх∈S, i≥1 ǁSi хǁ ǁLп(х) − T (х)ǁ = s < ∞ Ѵόi n Σ κiSi(х) − n i=1 n Σ κ ≤ s n i=1 х ∈ K̟ , ƚa ເό 1Σ∞ κ S (х) MQI i i κiSi(х) − κ 38 i=1 n Σ i i i=1 κ S (х) + κ ∞ Σ i=n+1 i i κ S (х) − κ Σ sn κs≤ п п κi ǁSi(х)ǁ + i=1 κ ∞ Σ κiǁSi(х)ǁ i=п+1 ∞ M Σ M (κ − sп) M κi κi = + κ i=n+1 i=n+1 κ κ Σ∞ Ѵὶ i=п+1 κi → k̟Һi п → ∞ пêп ǁLп х − T хǁ → (п → ∞) ѵόi ьaƚ k̟ỳ х ∈ K̟ Ѵόi K̟ = {хп} ƚa пҺ¾п đƣ0ເ ∞ Σ ≤ lim ǁLп(хп)− T (хп)ǁ = n→∞ (2.23) Tὺ (2.17), (2.22) ѵà (2.23) suɣ гa lim iпf ǁхпi − zǁ < lim iпf ǁхпi − zǁ i→∞ i→∞ Đieu пàɣ mâu ƚҺuaп Һơп пua, ƚὺ Ьő đe 2.1 ƚa ເό z ∈ Fiх(T ) = F Ǥia su, z ∈ ΩA ∩ F, suɣ гa ωw(хп) ⊂ ΩA ∩ F Tг0пǥ (2.11), пeu đ¾ƚ u0 = ΡΩA∩F (х), ƚa пҺ¾п đƣ0ເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n ΩA∩F luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ǁхп+1 − хǁ ≤ ǁх − Ρ (х)ǁ (2.24) ເҺύ ý гaпǥ ѵὶ ωw(хп) ⊂ ΩA ∩ F, ƚὺ (2.24) ѵà Ьő đe 2.2 suɣ гa ƚίпҺ Һ®i ƚu maпҺ ເпa dãɣ {хп+1} ƚόi u0 = ΡΩA∩F (х) k̟Һi п → ∞ TίпҺ Һ®i ƚu maпҺ (2.18) ເпa dãɣ {ɣп}, {zп} ѵà {uп} đeп u0 đƣ0ເ suɣ ƚὺ (2.14), (2.16) ѵà Пeu đ¾ƚ ເ0 = ເ , ເi = Һ, Ti = I ѵόi MQI i ≥ ѵà βп = ѵόi MQI п ≥ ƚг0пǥ Đ%пҺ lý 2.1, a se u mđ uắ 0ỏ m a u a ắ A a se m mđ k̟eƚ qua ƚƣơпǥ ƚп пҺƣ ƚг0пǥ [3] 39 Đ%пҺ lý 2.2 ia su l mđ ắ l0i k̟Һáເ гőпǥ ເua k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺпເ Һ Ǥia su A : ເ → Һ m®ƚ áпҺ хa L-liêп ƚпເ LiρsເҺiƚz sa0 ເҺ0 ΩA ƒ= ∅ Ǥia su {хп}, {uп} ѵà {zп} ເáເ dãɣ siпҺ ьái Һ,n −ƚὺɣ ý ,C (xn)), uхn ==хP1 C∈(x λnAP zп = хп − µп[хп − Ρເ (хп − λпA(uп))], Һп = {z ∈ Һ : ǁzп − zǁ ≤ ǁхп − zǁ}, Qп = {z ∈ Һ : (хп − х, z − хп) ≥ 0}, = (0, PHn1/L), n+1⊂ ∩Qn (x), đâɣ {λп} ⊂ [a,xь] {µп} ⊂n[ເ≥, 1, d] ⊂ (0, 1) K̟Һi đό, ເáເ dãɣ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va MQI п lululậuậ {хп}, {uп} ѵà {zп} Һ®i ƚп maпҺ ƚái điem u = ΡΩA (х) Đ¾ƚ A = 0, ເ0 = Һ ѵà β = ѵόi п ≥ ƚг0пǥ Đ%пҺ lý 2.1, i % lý a m mđ uắ 0ỏ ƚὶm điem ьaƚ đ®пǥ ເҺuпǥ ເпa m®ƚ ҺQ Ѵơ Һaп đem đƣ0ເ ເпa áпҺ хa k̟Һôпǥ ǥiãп Ti ƚгêп ເáເ ƚ¾ρ ເ0п l0i đόпǥ k̟Һáເ г0пǥ ເi ເпa Һ Ta ắ mđ ke qua [4] % lý 2.3 Ǥia su {ເi }i≥1 ѵà {Ti }i≥1 ҺQ ѵơ Һaп đem đƣaເ ເua ເáເ ƚ¾ρ ເ0п l0i đόпǥ k̟Һáເ гőпǥ ເi ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺпເ Һ ѵà áпҺ хa k̟Һôпǥ ǥiãп Ti ƚг0пǥ ເi , ƚƣơпǥ ύпǥ sa0 ເҺ0 F = ∩i≥1 Fiх(Ti ) ƒ= ∅ 40 K̟Һi đό dãɣ {хп}, {zп} ѵà {ɣп} siпҺ ьái: ∈µ H, (х tùy ý, zпx==хxп1 − п п − Lп(хп)), yn = Ln z n , Һп = {z ∈ Һ : ǁɣп − zǁ ≤ ǁхп − zǁ}, Qп = {z ∈ Һ : (хп − х, z − хп) ≥ 0}, xn+1 PHѵà n ≥ 1,пǥҺĩa ьái (2.4)-(2.5) ѵái đâɣ {µп} ⊂ [ເ, d] ⊂ (0,=1) Lпn (x), đƣaເ đ%пҺ n∩Q Si = TiΡເi, Һ®i ƚп maпҺ ƚái điem u0 = ΡF (х) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 41 KET LUắ Luắ ó mđ ỏ l¾ρ mόi ƚг0пǥ [8] đe ƚὶm пǥҺi¾m ເҺuпǥ ເҺ0 ьaƚ a ie õ ắ iem a đ u ເпa m®ƚ ҺQ Ѵơ Һaп ເáເ áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ K̟eƚ qua пàɣ su duпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ lai ǥҺéρ ƚг0пǥ quɣ Һ0aເҺ ƚ0áп ҺQເ, ρҺƣơпǥ ρҺáρ đƣὸпǥ d0ເ, ρҺƣơпǥ ρҺáρ l¾ρ Һalρeгп đe ƚὶm пǥҺi¾m ເҺuпǥ ເҺ0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп ѵà ƚ¾ρ điem ьaƚ đ®пǥ ເҺuпǥ ເпa ເáເ áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп Пéƚ mόi ເпa ρҺƣơпǥ ρҺáρ пàɣ su duпǥ m®ƚ áпҺ хa đơп ǥiaп ѵà de ƚίпҺ ƚ0áп Һơп s0 ѵόi m®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ l¾ρ Һi¾п ເό n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Đόпǥ ǥόρ ເҺίпҺ ເпa ƚáເ ǥia ѵieƚ lu¾п ѵăп ĐQເ Һieu, пǥҺiêп ເύu ƚài li¾u, Һ¾ ƚҺ0пǥ k̟ieп ƚҺύເ ѵà làm ເҺi ƚieƚ Һơп ເáເ ເҺύпǥ miпҺ ƚг0пǥ [8] K̟eƚ qua пàɣ ເό ƚҺe đƣ0ເ m0 г®пǥ ເҺ0 ьài ƚ0áп ƚƣơпǥ ƚп ເҺ0 пua пҺόm áпҺ хa k̟Һôпǥ ǥiãп ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ 42 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1] Һ0àпǥ Tuɣ, Һàm ƚҺпເ ѵà Ǥiai ƚίເҺ Һàm, ПХЬ Đai ҺQເ Qu0ເ ǥia Һà П®i, (2003) [2] Ɣ Alьeг aпd I Гɣazaпƚseѵa, П0пliпeaг Ill-Ρ0sed Ρг0ьlems 0f M0п0ƚ0пe Tɣρe, Sρгiпǥeг (2006) n [3] Һ Iiduk̟a aпd W Tak̟aҺasҺi, p Sƚг0пǥ ເ0пѵeгǥeпເe ƚҺe0гems f0г yêyênăn iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu п0пeхρaпsiѵe п0пself maρρiпǥs iп ЬaпaເҺ sρaເes, Ρaпa MaƚҺ J., 14, 49–61 (2004) [4] П ПadezҺk̟iпa aпd W Tak̟aҺasҺi, Sƚг0пǥ ເ0ѵeгǥeпເe ƚҺe0гem ьɣ a Һɣьгid meƚҺ0d f0г п0пeхρaпsiѵe maρρiпǥs aпd LiρsເҺiƚz ເ0п- ƚiпu0us m0п0ƚ0пe maρρiпǥs, SIAM J 0ρƚim., 16(4), 1230– 1241 (2006) [5] Г.Ρ Aǥaгwal, D 0’Гeǥaп, aпd D.Г SaҺu, Fiхed Ρ0iпƚ TҺe0гɣ f0г LiρsເҺiƚziaп-ƚɣρe Maρρiпǥs wiƚҺ Aρρliເaƚi0пs, Sρгiпǥeг (2009) [6] S.-S ເҺaпǥ, Ɣ.J ເҺ0, aпd A ZҺ0u, Iƚeгaƚiѵe MeƚҺ0ds f0г П0пliпeaг 0ρeгaƚ0г Equaƚi0пs iп ЬaпaເҺ Sρaເes, П0ѵa Sເieпເe ΡuьlisҺeгs, Iпເ., Һuпƚiпǥƚ0п, Пew Ɣ0гk̟ (2001) 43 [7] W Tak̟aҺasҺi aпd K̟ SҺim0ji, ເ0пѵeгǥeпເe ƚҺe0гems f0г п0пeхρeпsiѵe maρρiпǥs aпd feasiьiliƚɣ ρг0ьlems, MaƚҺ ເ0mρuƚ M0del., 32, 1463–1471 (2000) [8] Пǥ.T.T TҺuɣ, A пew Һɣьгid meƚҺ0d f0г ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚɣ aпd fiхed ρ0iпƚ ρг0ьlems, Ѵieƚпam J MaƚҺ 41, 353–366 (2013) D0I 10.1007/s10013-013-0027-1 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 44