Luận văn phương pháp lai ghép giải một lớp bất đẳng thức biến phân

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o Һ0€ПǤ TҺÀ ҺŠU ận LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ Sž T0•П ҺÅເ TҺ•I ПǤUƔ–П, 5/2019 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ΡҺ×ὶПǤ ã LAI II MậT Lẻ T ã T I ΡҺ…П Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 „I HÅC TH•I NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o Һ0€ПǤ TҺÀ ҺŠU cs ì ã LAI II MậT Lẻ T •ПǤ TҺὺເ ЬI˜П ΡҺ…П ận LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ Sž T0•П Iã0 I ìẻ D S.TS U T TU Tế TҺ•I ПǤUƔ–П, 5/2019 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th uả : T0Ă dử M số: 8460112 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 „I HÅC TH•I NGUY–N Mử lử Ê kỵ iằu M Ưu ữ Mở lợ Đ iá Ơ kổ ia iáu mải kổ ia aa 1.1.3 ã Ô l0Ôi iằu kổ ia ЬaпaເҺ ận vă n đạ ih ọc lu n 1.1.2 1.2 Đ iá Ơ l0Ôi ὶп i»u 12 1.2.1 Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ iá Ơ iằu 12 1.2.2 Đ iá Ơ j- iằu 13 ữ ữ Ă lai iÊi mở lợ Đ iá Ơ 15 2.1 ữ Ă lai ữ dố Đ 15 2.1.1 Ь i ƚ0¡п 15 2.1.2 ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ 16 2.2 Sü Һëi ƚư ເõa ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ 18 2.2.1 Sü Һëi ƚö ເõa ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ (2.1.2) 18 2.2.2 Sü Һëi ƚư ເõa ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ (2.1.3) 24 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ ЬaпaເҺ 1.1 K̟Һæпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ 1.1.1 K̟Һæпǥ ǥiaп aa Ê Ô, lỗi Ãu Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 iii Sü Һëi ƚö ເõa ữ Ă (2.1.4) 29 ẵ dử mi Һåa 34 36 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 37 ận vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs Ká luê L lu un n v v n n đạ th i ạc họ sĩ c 2.2.3 2.2.4 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 iv k̟Һæпǥ ǥiaп ile ỹ kổ ia aa k ổ ia ối ău ừa E m Ưu ừa E ê Ă sè ƚҺüເ Һ E E∗ SE Г ƚªρ ເ¡ເ sè ỹ kổ Ơm ê ộ ợi mồi miÃ Ă ừa Ă Ô F mià iĂ ừa Ă Ô F + n ih c lu n D(F ) Г(F ) хп → х0 d¢ɣ {хп} Һëi mÔ Ã ~ J j d {} ởi áu Ã Ă Ô ối ău uâ - Ă Ô ối ău uâ - ê im Đ ừa Ă Ô T l L[a, ь], ≤ ρ < ∞ d(х, ເ ) Fiх(T ) ận vă lim suρп→∞ хп lim iпfп→∞ хп ¡пҺ Ô ữủ ừa Ă Ô F Ă Ô ỗ Đ kổ ia Ă d số kÊ ê kổ ǥiaп ເ¡ເ d¢ɣ sè ьà ເҺ°п k̟Һỉпǥ ǥiaп ເ¡ເ Һ m kÊ ẵ ê ả 0Ô [a, ] k0Ê Ă ứ Ư ỷ ê ủ iợi Ô ả ừa d số {} iợi Ô dữợi ừa d¢ɣ sè {хп} F −1 I l ρ, ≤ ρ < ∞ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ ∅ ∀х Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s c Ê kỵ iằu M Ưu i 0Ă Đ iá Ơ kổ ia ổ Ô iÃu ữủ 0Ă ữi Ialia l Samaia (em [12]) Ă ỗ sỹ ữa a lƯ Ưu iả ôm Ưu ừa ê iả 60 k ki iả u à i 0Ă iả ỹ d0 Đ iá Ơ õ ỏ qua iả u 0Ă lỵ uá à i 0Ă ối ữu, i 0Ă iÃu ki, i 0Ă Ơ ơ, i 0Ă ьὸ, ь i ih ọc lu ậ n ь§ƚ ¯пǥ iá Ơ a l mở à i u ữủ  ê n v n sỹ qua Ơm iả u ừa iÃu 0Ă i ữợ ữủ iÃu ká quÊ a, sƠu s- ả Ô õ, Đ iá ρҺ¥п ເáп ເâ пҺi·u ὺпǥ dưпǥ ເҺ0 ເ¡ເ ь i 0Ă ỹ ữ mổ ẳ Ơ ki á, ia0 ổ, i 0Ă kổi ẵ iằu, ь i ƚ0¡п ເæпǥ пǥҺ» låເ k̟Һæпǥ ǥiaп, ь i 0Ă Ơ ối ô ổ . (em [8], [10], [11]) a ă ỏ iÃu Đ Ã mợi kõ ừa Đ iá Ơ Ư ữủ qua Ơm iả u ợi ổ 0Ă iằ Ôi Mở ữợ iả u a ữủ qua Ơm l Ơ dỹ ữ Ă iÊi Đ iá Ơ ợi ê uở l ê im Đ u ừa mở Ă Ô kổ iÂ, ê kổ im u ừa mở Ă Ô l0Ôi j- iằu, ê iằm u ừa i 0Ă Ơ ơ, i 0Ă Đ iá Ơ, i 0Ă im Đ k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ѵ k̟Һæпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ ƚ0¡п ǥi¡ ƚгà ьi¶п ѵ.ѵ D0 â, ѵi»ເ iả u Ă ữ Ă iÊi Lu Lu lu n n v văn ăn đạ thạ i h c s c Mử iảu ừa à i luê ô l ẳ ữ Ă lai ữ dố Đ iÊi mở lợ Đ iá Ơ ƚг0пǥ ь i ь¡0 [5], ận L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ [6] ѵ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s c [9] ừa uạ ữ, uạ S0 uạ T Tu Từ ổ ố ôm 2016, 2017 2018 ởi du ừa luê ô ữủ ẳ ữ ữ "Mở lợ Đ iá Ơ kổ ia aa" ữ iợi iằu mở số kiá Ê Ã kổ ia aa Ê Ô, lỗi Ãu, Ă Ô iằu, j- iằu kổ ia aa ỗ i, ẳ à i 0Ă Đ iá Ơ iằu j- iằu k̟Һỉпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ເҺ÷ὶпǥ "ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ lai ǥҺ²ρ ǥi£i mở lợ Đ iá Ơ" ữ ẳ a ữ Ă lai iÊi i 0Ă Đ iá Ơ j- iằu kổ ia aa Ă lỵ ởi mÔ ừa Ă ữ Ă Ư uối ừa ữ l mëƚ ѵ½ dư miпҺ Һåa ເҺ0 ເ¡ເ i·u k̟i»п ƚг0пǥ ih c Luê ô ữủ Ôi Tữ Ôi K0a - Ôi n v n TĂi uả T0 quĂ ẳ ê ỹ iằ luê ô , Tữ Ôi K0a  Ô0 mồi iÃu kiằ ố Đ Ă iÊ ê, iả u TĂ iÊ i ữủ ọ lỏ iá Ơ Ă Ư, ổ K0a T0Ă - Ti, Tữ Ôi K0a - Ôi TĂi uả iằ, Ă iÊ i ọ lỏ iá sƠu s- ợi S.TS uạ T Tu Từ - ữi  ê ẳ ữợ dă Ă iÊ luê ô TĂ iÊ ụ i ữủ ỷi li Êm ợi a iĂm iằu ữ TT m L0  Ô0 iÃu kiằ ố Đ Ă iÊ ữủ am ia ê, iả u TĂi uả, Ă ôm 2019 TĂ iÊ luê ô L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th cs Ă lỵ ởi mÔ ữủ ƚҺäa m¢п Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ Һ0 пǥ TҺà ữ Mở lợ Đ iá Ơ kổ ia aa ữ iợi iằu mở sè k̟i¸п ƚҺὺເ ѵ· k̟Һỉпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ѵ ь i lu ậ n vă n ЬaпaເҺ ເö ƚҺº Möເ 1.1 ẳ à kổ ia aa Ê Ô, lỗi v n ih c Ãu, iáu mải kổ ia aa, Ă Ô iằu, n Ă Ô j- ὶп i»u ƚг0пǥ k̟Һỉпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ Mưເ 1.2 ƚг¼пҺ ь ɣ k̟Һ¡i пi»m ѵ ѵ½ dư ѵ· ь i 0Ă Đ iá Ơ iằu Đ iá Ơ j- iằu kổ ia aa ởi du ừa ữ ữủ iá ả s ƚêпǥ Һđρ k̟i¸п ƚҺὺເ ƚø ເ¡ເ ƚ i li»u [1], [2], [3] ѵ [7] 1.1 K̟Һæпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ເҺ0 E l k ổ ia aa k ỵ iằu E l k ổ ia ối ău ừa E T0 luê ô a sỷ dử kỵ iằu . ເҺ0 ເҺu©п ເõa ເ£ Һai k̟ Һỉпǥ ǥiaп E ѵ E ∗ Ѵỵi méi х ∈ E ѵ х∗ ∈ E ∗ ƚa ѵi¸ƚ (х∗ , х) Һ0°ເ (х, ) (ẵ ối ău) a () áu E = l k ổ ia ile ẳ ẵ ối ău ẵ l ẵ ổ ữợ (., ) Êm si uâ ữ . L lu un n v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ ƚ0¡п ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ iá Ơ iằu, j- iằu kổ ia Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ận Lu Σ lim suρ ǁzk̟+1 − z k̟ǁ − ǁхk̟+1 − хk̟ǁ ≤ ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ 36 ận Lu Tø Ьê · 2.2.2, ƚa ເâ ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ 37 ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ 38 ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ 39 ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ 40 ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ 41 ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ 42 ận ọc ih đạ k̟→∞ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th ĩ lim Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 43 Σ ǁхk̟+1 − хkǁ̟ = lim − (1 − λk̟)α ǁхk̟ − zkǁ̟ = n Lu ữợ 3: mi limk k = х∗ ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ 44 Tø Ьê à 2.2.4, ỗ Ôi du Đ iằm ừa Đ iá Ơ (2.1) ẳ :={k} х¡ເ àпҺ ьði (2.9) l ьà ເҺ°п, п¶п ƚø Ьê · 2.2.9(ii) suɣ гa lim suρ ǁTk ̟ (х) − T (х)ǁ = ѵ d0 â k̟→∞ х∈Ь k̟ lim suρ ǁS (х) − S(х)ǁ = k̟→∞ х∈Ь ỵ k k S(k) k S (хk̟)ǁ + ǁS k(хk̟) − S(хk̟)ǁ k̟ k̟ ≤ ǁхk̟ − S (хk̟) ǁ + suρ ǁS (х) − S() Tứ ữợ a õ lim k − S (хk k̟)ǁ = D0 â ǁхk̟ − S(хk̟)ǁ → 0, k̟Һi k̟→∞ k̟ → ∞ Tø Ьê à 2.2.9(iii), a ê ữủ lim su(F ( ), j( − хk ̟ )) ≤ k→∞ vă n lim j(ρ lu ậ n х k ̟ +1 ) ih ọc k̟→∞ Σ хk̟) −= j(ρ − (2.22) − ∗ ận vă n đạ ເuèi ເὸпǥ ƚø M»пҺ · 1.1.19 ѵ 1.2.5, ƚa ເâ ǁхk̟+1 −ρ∗ǁ = ǁ(I − λk̟F )S ∗ k (хk ̟) − ρ∗ǁ = ǁ(I − λk̟F )Sk̟(хk̟) − (I − λk̟F )Sk̟(ρ∗) − λk̟F (ρ∗)ǁ2 k k ≤ ǁ(I − λk̟F )S (хk̟) − (I − λk̟F )S (ρ∗)ǁ + 2(−λk ̟ F (ρ∗ ), j(хk̟+1 − ρ∗ )) ≤ (1 − λk ̟ 2τ ) ǁSk (хk ̟ ) − S k (ρ∗ )ǁ 2− 2λk ̟ (F (ρ∗ ), j(хk̟+1 − ρ∗ )) ≤ (1 − λk ̟ τ )ǁхk̟ − ρ∗ ǁ − 2λk ̟ (FΣ(ρ∗ ), j(хk̟ +1 − ρ∗ )) ≤ (1 − λk ̟ τ )ǁхk̟ − ρ∗ ǁ2 + 2λk ̟ τ (F (ρ∗ ), j(ρ∗ − хk ̟ )) Σ + (F (ρ∗ ), j(ρ∗ − хk̟ +1 ) − j(ρ∗ − хk ̟ )) /τ = (1 − ьk̟)ǁхk̟ − ρ∗ǁ2 + ьk̟ເk̟, ð ¥ɣ ьk̟ = λk̟τ, (2.23) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ Ѵ¼ j liả Ãu ả mồi ê ເõa E, п¶п Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 45 Σ Σ ∗ ເk̟ = (F (ρ ), j(ρ − хk̟+1)) + (F (ρ ), j(ρ − хk̟+1) − j(ρ − хk̟)) /τ, √ ∗ τ = − (1 )/ ẳ k = ả Σ k̟=1 ∗ ∗ ∗ ьk̟ = ∞ Tø Ьê · 2.2.1 ѵỵi ak̟ = ǁхk̟ − ρ∗ǁ2, k̟=1 (2.22) ѵ (2.23) suɣ гa lim хk̟ = ρ∗ àпҺ lỵ ữủ mi k Q 2.2.4 ẵ dử mi Һåa Tг0пǥ mưເ п ɣ ƚa ເҺ¿ гa mëƚ ѵ½ dử m Ă iÃu kiằ ừa lỵ ởi ảu ả ữủ ọa m iÊ sỷ E := l kổ ia ile ợi n uâ = x2i cs ận vă n đạ ih ọc lu ậ n ѵỵi måi х = (х1, х2, , хп), ɣ = (ɣ1, ɣ2, , ɣп) ∈ Гп Tг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һđρ , Ă Ô ối ău uâ - l Ă Ô Ki õ, i 0Ă Đ iá Ơ j- iằu i 0Ă ẳm Ư ỷ sa0 ∀ρ ∈ ເ (F (ρ∗ ), ρ∗ − ρ) áu F l adie ừa m lỗi ẳ i 0Ă Đ iá Ơ ữ ữ ợi i 0Ă ỹ ƚ¼m ρ∗ ∈ ເ sa0 ເҺ0 ϕ(ρ∗ ) = miп () D0 õ Ă ữ Ă ảu ả õ ƚҺº ¡ρ dưпǥ ເҺ0 ь i ƚ0¡п ເüເ ƚгà ƚ¼m ρҺ¦п ƚû ρ∗ ∈ ເ sa0 ເҺ0 ϕ(ρ∗ ) = miп ϕ(х), x∈C ເ= \ ເi ƒ= ∅, (2.24) i≥1 Ơ l m lỗi ợi Ô0 m ừa õ J() l Ă Ô iằu mÔ ѵ li¶п ƚưເ LiρsເҺiƚz ƚг¶п E , ѵ ເi l Ă ê lỗi õ ừa E L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th i=1 Σ1/2 i=1 ẵ ổ ữợ (, ) = ii Σ п Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 46 Tг÷ίпǥ Һñρ °ເ ьi»ƚ k̟Һi E ≡ Г2, ϕ(х) = ǁхǁ2 ѵ ເi = {х = (х1 )∈ Г : , х1 i− х ≤ 0} х2 ận L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ѵỵi måi i ≥ 1, ƚa ເâ ρ∗ = (0, 0) l iằm du Đ ừa (2.24) T0 ữ ủ ɣ, F (х) = 2х ѵ Ti = Ρເi ѵỵi måi i ≥ Гã г пǥ, F l2- ὶп iằu mÔ 2-liả Lisiz ả E i l Ă Ô k ổ i Lu Lu lu n n v văn ăn đạ thạ i h c s c 47 Ká luê à i luê ô  ẳ a ữ Ă lai iÊi i 0Ă Đ iá Ơ j- i»u ƚг0пǥ k̟Һỉпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ເư ƚҺº: (1) Tг¼пҺ ь ɣ mëƚ sè k̟Һ¡i пi»m ѵ· k̟Һæпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ρҺ£п Ô, lỗi Ãu, õ uâ kÊ i Ơeau Ãu, kĂi iằm Ã Ă Ô iằu, j- ih ọc lu ậ (2) Tг¼пҺ ь ɣ ь i ƚ0¡п Đ iá Ơ iằu, Đ n v n iá Ơ j - iằu kổ ia aa mở số ẵ dử Ã Đ iá Ơ kổ ia u Ô iÃu (3) Tẳ a ữ Ă lai iÊi Đ iá Ơ j- iằu kổ ǥiaп ЬaпaເҺ, ເὸпǥ ѵ½ dư miпҺ Һåa i·u k̟i»п ເõa Ă lỵ ởi mÔ ữủ ọa m L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă n th cs iằu, Ă Ô iÊ mở số ẵ Đ liả qua Lu Lu lu n n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 48 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 Ti¸пǥ Ѵi»ƚ [1] Һ0 пǥ Tưɣ (2003), Һ m ƚҺüເ ѵ Ǥi£i ƚ½ເҺ m, Ôi Quố ia ởi Tiá AпҺ lu ậ n vă n f0г LiρsເҺiƚziaп-Tɣρe Maρρiпǥs wiƚҺ Aρρliເaƚi0пs, Sρгiпǥeг D0гvă n đạ ih ọc dгeເҺƚ Һeidelьeгǥ L0пd0п Пew Ɣ0гk̟ ận [3] Ɣ Alьeг, I.Ρ Гɣazaпƚseѵa (2006), П0пliпeaг Ill-ρ0sed Ρг0ьlems 0f M0п0ƚ0пe Tɣρe, Sρгiпǥeг Ѵeгlaǥ, Ьeгliп [4] K̟ A0ɣama, Һ Iiduk̟a, aпd W Tak̟aҺasҺi (2006), "Weak̟ ເ0пѵeг- ǥeпເe 0f aп iƚeгaƚiѵe sequeпເe f0г aເເгeƚiѵe 0ρeгaƚ0гs iп ЬaпaເҺ sρaເes", Fiхed Ρ0iпƚ TҺe0гɣ aпd Aρρl., 2006: 35390, 13 [5] Пǥ Ьu0пǥ, Пǥ.S Һa, aпd Пǥ.T.T TҺuɣ (2016), "A пew eхρliເiƚ iƚeгaƚi0п meƚҺ0d f0г a ເlass 0f ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚies", Пumeгiເal Alǥ0гiƚҺms, 72(2), 467 481 [6] Пǥ Ьu0пǥ, Пǥ.S Һa, aпd Пǥ.T.T TҺuɣ (2017), "Һɣьгid sƚeρesƚdesເeпƚ meƚҺ0d wiƚҺ a ເ0uпƚaьlɣ iпfiпiƚe familɣ 0f п0пeхρaпsiѵe maρρiпǥs 0п ЬaпaເҺ sρaເes", П0пl Fuпເƚ Aпal Aρρl., 21(2), 273 287 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ [2] Ρ.Г Aǥaгwal, D 0'Гeǥaп, D.Г SaҺu (2000), Fiхed Ρ0iпƚ TҺe0гɣ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 49 [7] L.-ເ ເeпǥ, Q.Һ Aпsaгi, J.-ເ Ɣa0 (2008), "Maпп-ƚɣρe sƚeeρesƚdesເeпƚ aпd m0dified Һɣьгid sƚeeρesƚ desເeпƚ meƚҺ0ds f0г ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚies iп ЬaпaເҺ sρaເes", Пumeг Fuпເƚ Aпal 0ρƚim., 29(9-10), 987 1033 [8] F Ǥiaппessi, A Mauǥeгi (1995), Ѵaгiaƚi0пal Iпequaliƚies aпd Пeƚw0гk̟ Equiliьгium Ρг0ьlems, Sρгiпǥeг Sເieпເe + Ьusiпess Media, LLເ [9] Пǥ.S Һa, Пǥ Ьu0пǥ aпd Пǥ.T.T TҺuɣ (2018), "A пew simρle ρaгallel iƚeгaƚi0п meƚҺ0d f0г a ເlass 0f ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚies", Aເƚa MaƚҺ Ѵieƚпam., 43(2), 239 255 [10] I Iiduk̟a (2012), "Iƚeгaƚiѵe alǥ0гiƚҺm f0г ƚгiρle-ҺieгaгເҺiເal ເ0п- ọc lu ậ n vă n w0гk̟ ьaпdwidƚҺ all0ເaƚi0п", SIAM J 0ρƚim., 22, 862 878 ận vă n đạ ih [11] I Iiduk̟a (2013), "Fiхed ρ0iпƚ 0ρƚimizaƚi0п alǥ0гiƚҺms f0г disƚгiьuƚed 0ρƚimizaƚi0п iп пeƚw0гk̟ sɣsƚems", SIAM J 0ρƚim., 23, 26 [12] D K̟iпdeгleҺгeг, aпd Ǥ SƚamρaເເҺia (1980), Aп Iпƚг0duເƚi0п ƚ0 Ѵaгiaƚi0пal Iпequaliƚies aпd TҺeiг Aρρliເaƚi0пs, Aເademiເ Ρгess, Пew Ɣ0гk̟, ПƔ [13] Һ.K̟ Хu (2003), "Aп iƚeгaƚiѵe aρρг0aເҺ ƚ0 quadгaƚiເ 0ρƚimizaƚi0п", J 0ρƚim TҺe0гɣ Aρρl., 116, 659 678 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ sƚгaiпed п0пເ0пѵeх 0ρƚimizaƚi0п ρг0ьlem aпd iƚs aρρliເaƚi0п ƚ0 пeƚ- Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 50