ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ KIM ĐỖ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ KIM ĐỖ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ KIM ĐỖ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bường Thái Nguyên - 2015 c Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt mở đầu 1 Một số khái niệm 1.1 1.2 iii Không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.3 Ánh xạ j -đơn điệu Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 14 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 14 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 16 Phương pháp lặp cho lớp bất đẳng thức biến phân không gian Banach 18 2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân 19 2.2 Một số mệnh đề bổ đề bổ trợ 21 i c 2.3 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ không giãn 22 2.3.1 Mô tả phương pháp 22 2.3.2 Định lý hội tụ 23 Tài liệu tham khảo 31 ii c Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt E không gian Banach E∗ không gian liên hợp E D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị toán tử A H khơng gian Hilbert C tập lồi đóng H I ánh xạ đơn vị PC phép chiếu mêtric H lên tập lồi đóng C H xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x iii c Mở đầu Bất đẳng thức biến phân Stampacchia cộng đưa nghiên cứu vào năm đầu thập kỷ 60 nghiên cứu tốn biên phương trình đạo hàm riêng Từ phương pháp bất đẳng thức biến phân quan tâm nghiên cứu rộng rãi trở thành công cụ hữu hiệu việc xây dựng kỹ thuật để giải số toán cân kinh tế tài chính, tốn vận tải, lý thuyết trị chơi nhiều tốn thuộc lĩnh vực vật lý kỹ thuật Nhiều toán toán học phát triển dạng bất đẳng thức biến phân toán bù phi tuyến, toán cân bằng, toán tối ưu, toán điểm bất động Do việc nghiên cứu bất đẳng thức biến phân phương pháp giải tốn ln đề tài thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Một phương pháp giải bất đẳng thức biến phân dựa cách tiếp cận thông qua điểm bất động Nội dung phương pháp đưa bất đẳng thức biến phân tốn tìm điểm bất động ánh xạ nghiệm thích hợp Phương pháp chiếu gradient kết theo hướng tiếp cận cách sử dụng phép chiếu mêtric PC để xây dựng dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm bất đẳng thức biến phân Phương pháp có ưu điểm dễ lập trình tốc độ hội tụ nhanh Tuy nhiên với phương pháp việc tính tốn ánh xạ chiếu mêtric PC khơng đơn giản phức tạp tập lồi đóng C Để khắc phục khó khăn này, Yamada đề xuất phương pháp lai đường c dốc vào năm 2001 để giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert Từ đến có nhiều cơng trình nhằm mở rộng hướng nghiên cứu Yamada để giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Mục đích đề tài luận văn nghiên cứu kết [4] phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn không gian Banach lồi chặt, phản xạ, thực với chuẩn khả vi Gâteaux Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Một số khái niệm Chương đề cập tới số khái niệm không gian Banach, ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ không giãn, ánh xạ co rút không giãn theo tia, toán bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert tốn bất đẳng thức biến phân không gian Banach Chương 2: Phương pháp lặp cho lớp bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach Chương trình bày hai phương pháp lặp Thơng qua việc hồn thành luận văn, tác giả nhận thấy vấn đề đề cập luận văn rộng lớn mà khuôn khổ luận văn thể phần Tuy nhiên vấn đề trình bày luận văn kiến thức khởi đầu định hướng cho tác giả tiếp cận vấn đề sau Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ hướng dẫn tận tình GS.TS Nguyễn Bường Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian làm luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo c sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin, thầy trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Kim Đỗ c Chương Một số khái niệm Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết ánh xạ j -đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ khơng giãn tốn bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ không giãn Nội dung chương viết dựa tài liệu [1]-[2] số tài liệu trích dẫn 1.1 1.1.1 Khơng gian Banach Khơng gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn Định nghĩa 1.1 Nếu không gian tuyến tính định chuẩn E khơng gian metric đầy đủ (với khoảng cách d (x, y) = kx − yk) E gọi khơng gian Banach hay khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ E không gian Banach với không gian đối ngẫu E ∗ , tức c không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục E Để đơn giản việc trình bày, chuẩn E E ∗ kí hiệu k.k Chúng tơi viết hx, x∗ i thay viết x∗ (x) với x∗ ∈ E ∗ x ∈ E Ký hiệu 2E họ tập khác rỗng E Cho T ánh xạ với miền xác định D (T ) miền giá trị R (T ) F ix (T ) tập điểm bất động ánh xạ T , nghĩa F ix (T ) = {x ∈ D (T ) : T (x) = x} Ký hiệu mặt cầu đơn vị E SE , SE = {x ∈ E : kxk = 1} Trước hết ta nhắc lại không gian Banach E gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ E , tồn phần tử x ∈ E cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) , với x∗ ∈ E ∗ Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ E, x 6= y mà kxk = 1, kyk = ta có x + y < Định nghĩa 1.2 cịn phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ SE thỏa kx + yk = suy x = y với x, y ∈ SE x 6= y ta có mãn ktx + (1 − t) yk < với t ∈ (0, 1) Định nghĩa 1.3 Không gian Banach E gọi lồi với ε > 0, tồn δ (ε) > cho với x, y ∈ E , kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta ln có x + y ≤ − δ (ε) c ... pháp lặp cho lớp bất đẳng thức biến phân không gian Banach 18 2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân 19 2.2 Một số mệnh đề bổ đề bổ trợ 21 i c 2.3 Phương pháp lặp. .. xạ không giãn, ánh xạ co rút không giãn theo tia, toán bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert tốn bất đẳng thức biến phân không gian Banach Chương 2: Phương pháp lặp cho lớp bất đẳng thức biến. .. Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 14 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 14 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 16 Phương