(Luận văn thạc sĩ) phương pháp lặp hiện cho một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ KIM ĐỖ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ KIM ĐỖ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bường Thái Nguyên - 2015 Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt mở đầu 1 Một số khái niệm 1.1 1.2 iii Không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.3 Ánh xạ j -đơn điệu Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 14 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 14 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 16 Phương pháp lặp cho lớp bất đẳng thức biến phân không gian Banach 18 2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân 19 2.2 Một số mệnh đề bổ đề bổ trợ 21 i 2.3 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ không giãn 22 2.3.1 Mô tả phương pháp 22 2.3.2 Định lý hội tụ 23 Tài liệu tham khảo 31 ii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt E không gian Banach E∗ không gian liên hợp E D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị tốn tử A H khơng gian Hilbert C tập lồi đóng H I ánh xạ đơn vị PC phép chiếu mêtric H lên tập lồi đóng C H xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn ⇀ x dãy {xn } hội tụ yếu tới x iii Mở đầu Bất đẳng thức biến phân Stampacchia cộng đưa nghiên cứu vào năm đầu thập kỷ 60 nghiên cứu toán biên phương trình đạo hàm riêng Từ phương pháp bất đẳng thức biến phân quan tâm nghiên cứu rộng rãi trở thành công cụ hữu hiệu việc xây dựng kỹ thuật để giải số toán cân kinh tế tài chính, tốn vận tải, lý thuyết trị chơi nhiều toán thuộc lĩnh vực vật lý kỹ thuật Nhiều toán toán học phát triển dạng bất đẳng thức biến phân toán bù phi tuyến, toán cân bằng, toán tối ưu, toán điểm bất động Do việc nghiên cứu bất đẳng thức biến phân phương pháp giải tốn ln đề tài thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Một phương pháp giải bất đẳng thức biến phân dựa cách tiếp cận thông qua điểm bất động Nội dung phương pháp đưa bất đẳng thức biến phân tốn tìm điểm bất động ánh xạ nghiệm thích hợp Phương pháp chiếu gradient kết theo hướng tiếp cận cách sử dụng phép chiếu mêtric PC để xây dựng dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm bất đẳng thức biến phân Phương pháp có ưu điểm dễ lập trình tốc độ hội tụ nhanh Tuy nhiên với phương pháp việc tính tốn ánh xạ chiếu mêtric PC khơng đơn giản phức tạp tập lồi đóng C Để khắc phục khó khăn này, Yamada đề xuất phương pháp lai đường dốc vào năm 2001 để giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn khơng gian Hilbert Từ đến có nhiều cơng trình nhằm mở rộng hướng nghiên cứu Yamada để giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Mục đích đề tài luận văn nghiên cứu kết [4] phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn không gian Banach lồi chặt, phản xạ, thực với chuẩn khả vi Gâteaux Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Một số khái niệm Chương đề cập tới số khái niệm không gian Banach, ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ không giãn, ánh xạ co rút khơng giãn theo tia, tốn bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach Chương 2: Phương pháp lặp cho lớp bất đẳng thức biến phân không gian Banach Chương trình bày hai phương pháp lặp Thơng qua việc hoàn thành luận văn, tác giả nhận thấy vấn đề đề cập luận văn rộng lớn mà khuôn khổ luận văn thể phần Tuy nhiên vấn đề trình bày luận văn kiến thức khởi đầu định hướng cho tác giả tiếp cận vấn đề sau Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ hướng dẫn tận tình GS.TS Nguyễn Bường Qua đây, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian làm luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin, thầy cô trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Kim Đỗ Chương Một số khái niệm Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết ánh xạ j -đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ không giãn toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ không giãn Nội dung chương viết dựa tài liệu [1]-[2] số tài liệu trích dẫn 1.1 1.1.1 Khơng gian Banach Khơng gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn Định nghĩa 1.1 Nếu khơng gian tuyến tính định chuẩn E không gian metric đầy đủ (với khoảng cách d (x, y) = x − y ) E gọi khơng gian Banach hay khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ E không gian Banach với không gian đối ngẫu E ∗ , tức khơng gian phiếm hàm tuyến tính liên tục E Để đơn giản việc trình bày, chuẩn E E ∗ kí hiệu Chúng tơi viết x, x∗ thay viết x∗ (x) với x∗ ∈ E ∗ x ∈ E Ký hiệu 2E họ tập khác rỗng E Cho T ánh xạ với miền xác định D (T ) miền giá trị R (T ) F ix (T ) tập điểm bất động ánh xạ T , nghĩa F ix (T ) = {x ∈ D (T ) : T (x) = x} Ký hiệu mặt cầu đơn vị E SE , SE = {x ∈ E : x = 1} Trước hết ta nhắc lại không gian Banach E gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ E , tồn phần tử x ∈ E cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) , với x∗ ∈ E ∗ Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ E, x = y mà x = 1, y = ta có x+y < Định nghĩa 1.2 cịn phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ SE thỏa x+y = suy x = y với x, y ∈ SE x = y ta có mãn tx + (1 − t) y < với t ∈ (0, 1) Định nghĩa 1.3 Không gian Banach E gọi lồi với ε > 0, tồn δ (ε) > cho với x, y ∈ E , x = 1, y = 1, x − y ≥ ε ta ln có x+y ≤ − δ (ε) co rút không giãn theo tia từ E vào C , cho α > A ánh xạ j -đơn điệu với α−đồng C với S (C, A) = ∅ Giả sử x1 = x ∈ C dãy (xn ) xác định xn+1 = αn xn + (1 − αn ) QC (xn − λn Axn ) , với n = 1, 2, · · · , (λn ) dãy số thực dương (αn ) dãy [0, 1] Nếu (λn ) (αn ) chọn cho λn ∈ a, α k với số a > αn ∈ [b, c] cho số b, c với < b < c < Khi {xn } hội tụ yếu đến phần tử z S (C, A), k số trơn cấp E 17 Chương Phương pháp lặp cho lớp bất đẳng thức biến phân không gian Banach Chương nghiên cứu số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ không giãn không gian Banach Các kiến thức chương viết từ báo [3]-[4] số tài liệu trích dẫn 18 2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Chúng ta nhắc lại toán bất đẳng thức biến phân đề cập Chương 1: tìm điểm p∗ ∈ C cho: F (p∗ ) , j (p∗ − p) ≤ ∀p ∈ C, (2.1) với j (p∗ − p) ∈ J (p∗ − p) Trong trường hợp F ánh xạ η -j -đơn điệu mạnh γ -giả co chặt với η +γ > {Ti }∞ i=1 họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Banach E lồi chặt, phản xạ, thực với chuẩn khả vi Gâteaux đều, chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương pháp lặp ẩn để giải (2.1) với C = ∩∞ i=1 F ix (Ti ) (2.2) Trong phương pháp này, ta xét ánh xạ Vk xác định sau Vk = Vk1 , Vki = T i T i+1 · · · T k , T i = (1 − αi ) I + αi Ti , với i ≤ k , {αi }∞ i=1 thỏa mãn điều kiện: ∞ αi ∈ (0, 1) αi < ∞ i=1 Khi E ≡ H không gian Hilbert, C = ∩N i=1 F ix (Ti ) họ hữu hạn ánh xạ không giãn Ti H , Bường Dương đề xuất thuật toán hội tụ mạnh sau: xk+1 = − βk0 xk + βk0 T0k Vk xk , x1 ∈ E, Vk = TNk TNk −1 · · · T1k , (2.3) 19 T0k = I − µλk F, số µ cố định λk ∈ (0, 1) thỏa mãn điều kiện sau đây: (L1) (L2) lim λk = 0; k→∞ ∞ k=1 λk = ∞; Tik = − βki I+βki Ti , với i = 1, 2, · · · , N ; βki ∈ (α, β) α, β ∈ i − βki → k → ∞ với (0, 1) , k ≥ 0; i = 0, 1, · · · , N βk+1 i = 1, 2, · · · , N Trong trường hợp C = ∩N i=1 F ix (Ti ), sử dụng ánh xạ Wk Takahashi, xây dựng Tk , Tk−1 , · · · , T1 số thực α1 , α2 , , αk với < αi ≤ b < 1, i ≥ sau: Uk,k+1 = I, Uk,k = αk Tk Uk,k+1 + (1 − αk ) I, Uk,k−1 = αk−1 Tk−1 Uk,k + (1 − αk−1 ) I, ······ ··· ·················· Uk,2 = α2 T2 Uk,3 + (1 − α2 ) I, Wk = Uk,1 = α1 T1 Uk,2 + (1 − α1 ) I, Yao cộng nhận kết sau: Định lý 2.1 Cho H không gian Hilbert thực F : H → H ánh xạ L-liên tục Lipschitz η -đơn điệu mạnh với số L, η > Cho {Ti }∞ i=1 dãy vô hạn ánh xạ không giãn H Giả sử λk ∈ (0, 1), thỏa mãn điều kiện (L1) , (L2), γk ∈ [γ, 1/2] với số γ dương Khi đó, dãy {xk }∞ k=1 xác định xk+1 = (1 − γk ) Fk (xk ) + γk Wk Fk (xk ) , (2.4) hội tụ mạnh đến nghiệm p∗ toán (2.1)-(2.2) với điều kiện C = ∅ Fk = I − λk F 20 Cùng thời gian đó, Wang nhận kết tương tự, điều kiện (L1) thay < λk ≤ η/L2 − ε ε số dương đủ nhỏ , với k ≥ k0 > dãy λk F (xk ) → k → ∞ 2.2 Một số mệnh đề bổ đề bổ trợ Để thuận tiện cho việc trình bày kết mục sau, mục trình bày số mệnh đề bổ đề sau: Mệnh đề 2.1 Cho E không gian Banach lồi chặt, phản xạ, thực với chuẩn khả vi Gâteaux Giả sử F ánh xạ γ -giả co chặt η -j -đơn điệu mạnh với η + γ > Cho T ánh xạ giả co liên tục E C = F ix (T ) = ∅, Với t ∈ (0, 1), chọn số µt ∈ (0, 1) {zt } xác định sau zt = t (I − µt F ) zt + (1 − t) T zt (2.5) Khi đó, {zt } hội tụ mạnh đến nghiệm p∗ toán (2.1)-(2.2) t → Mệnh đề 2.2 Cho E , F T Mệnh đề 2.1 Nếu tồn dãy giới nội {xk } ⊂ E cho limk→∞ xk − T xk = p∗ = limt→0 zt tồn tại, zt xác định (2.5) Khi lim sup F (p∗ ) , j (p∗ − xk ) ≤ (2.6) k→∞ Bổ đề 2.1 Cho E không gian Banach trơn, thực F : E → E ánh xạ γ -giả co chặt η -j -đơn điệu mạnh với η + γ > Khi đó, với λ ∈ (0, 1) , I − λF ánh xạ co với số − λτ , τ = − (1 − η) /γ Bổ đề 2.2 Cho {ak } dãy số thực không âm thỏa mãn điều kiện ak+1 ≤ (1 − bk ) ak + bk ck , {bk } {ck } dãy số thực cho 21 (i) bk ∈ [0, 1] ∞ k=1 bk = ∞; (ii) lim supk→∞ ck ≤ Khi đó, limk→∞ ak = Bổ đề 2.3 Cho {xk } {zk } dãy bị chặn không gian Banach E cho xk+1 = (1 − γk ) xk + γk zk với k ≥ 1, {γk }∞ k=1 thỏa mãn < lim inf γk ≤ lim sup γk < Giả thiết có k k lim sup ( zk+1 − zk − xk+1 − xk ) ≤ k→∞ Khi đó, limk→∞ xk − zk = 2.3 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ không giãn 2.3.1 Mô tả phương pháp Dễ dàng nhận thấy (2.3) (2.4) thuật tốn song song Vì tốn nhiều thời gian tính tốn N số đủ lớn Đồng thời, việc tìm giá trị tốn tử Vk Wk điểm khơng gian E H phức tạp Để khắc phục hạn chế đó, [4], Nguyễn Bường học trò sử dụng ánh xạ Sk , thay cho Vk Wk để xây dựng hai phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân sau: với x1 ∈ E , dãy lặp {xk }∞ k=1 xác định xk+1 = (1 − γk ) xk + γk Sk Fk (xk ) , 22 (2.7) xk+1 = (1 − γk ) Sk xk + γk Fk (xk ) , (2.8) < lim inf γk ≤ lim sup γk < 1, (2.9) với k ≥ 1, k k Sk = ∞ k k si , si Ti /sk , si > 0, sk = i=1 i=1 si = s < ∞, (2.10) i=1 Fk = I − λk F với λk ∈ (0, 1), có tính chất (L1) (L2) 2.3.2 Định lý hội tụ Sự hội tụ hai phương pháp (2.7) (2.8) trình bày định lý sau Định lý 2.2 Cho E không gian Banach lồi chặt, phản xạ, thực với chuẩn khả vi Gâteaux Giả sử F ánh xạ γ -giả co chặt η -j -đơn điệu mạnh với η + γ > Cho {Ti }∞ i=1 dãy vô hạn ánh xạ không giãn E cho ∩∞ i=1 F ix (Ti ) = ∅ Giả thiết λk ∈ (0, 1) , γk si thỏa mãn điều kiện (L1)-(L2), (2.9) (2.10) Khi đó, cho k → ∞, dãy {xk }∞ k=1 , xác định (2.7), hội tụ mạnh đến nghiệm p∗ tốn (2.1)-(2.2) Chứng minh Rõ ràng từ (2.10) suy Sk ánh xạ không k giãn E Sk p = p với p ∈ ∩∞ i=1 F ix (Ti ) ⊆ ∩i=1 F ix (Ti ) với k ≥ Vì vậy, sử dụng Bổ đề 2.1, từ (2.7) (2.10) ta có đánh giá sau: xk+1 − p = (1 − γk ) xk + γk Sk Fk (xk ) − p ≤ (1 − γk ) xk − p + γk Sk Fk (xk ) − Sk p 23 ≤ (1 − γk ) xk − p + γk Fk (xk ) − p ≤ (1 − γk ) xk − p + γk [(1 − λk τ ) xk − p + λk F (p) ] F (p) = (1 − γk λk τ ) xk − p + γk λk τ τ F (p) ≤ max x1 − p , τ ∞ Vì vậy, {xk }∞ k=1 giới nội Do đó, dãy sau giới nội {F (xk )}k=1 , ∞ ∞ {Sk Fk+1 xk }∞ k=1 {Fk (xk )}k=1 Dẫn đến dãy {Fk+1 (xk ) − p}k=1 giới nội Không làm tính tổng qt, ta giả thiết dãy bị chặn số dương M1 Đặt zk = Sk Fk (xk ) Từ (2.7) (2.10), ta có xk+1 = (1 − γk ) xk + γk zk , Sk+1 Fk+1 (xk ) − Sk Fk+1 (xk ) = = sk+1 k+1 i=1 si Ti (Fk+1 (xk )) − sk 1 − sk sk+1 k si Ti (Fk+1 (xk )) i=1 k si Ti (Fk+1 (xk )) + i=1 sk+1 sk+1 Tk+1 (Fk+1 (xk )) sk+1 (M1 + Tk+1 (Fk+1 (xk )) − Tk+1 p + p ) ≤ sk+1 sk+1 ≤ (2M1 + p ) sk+1 Do đó, 24 zk+1 − zk = Sk+1 Fk+1 (xk+1 ) − Sk Fk (xk ) ≤ Sk+1 Fk+1 (xk+1 ) − Sk+1 Fk+1 (xk ) + Sk+1 Fk+1 (xk ) − Sk Fk+1 (xk ) + Sk Fk+1 (xk ) − Sk Fk (xk ) ≤ Fk+1 (xk+1 ) − Fk+1 (xk ) + + Fk+1 (xk ) − Fk (xk ) ≤ xk+1 − xk + 2λk+1 M1 + sk+1 (2M1 + p ) sk+1 sk+1 (2M1 + p ) + |λk+1 − λk | M1 s1 Điều với điều kiện (L1) sk+1 → với k → ∞ kéo theo lim sup ( zk+1 − zk − xk+1 − xk ) ≤ k→∞ Theo Bổ đề 2.3, ta nhận (2.11) lim xk − zk = k→∞ Mặt khác, zk − Sk xk = Sk Fk (xk ) − Sk xk ≤ Fk (xk ) − xk ≤ λk M1 λk → k → ∞, ta có với (2.11) dẫn đến z k − Sk x k → 0, kết luận (2.12) lim xk − Sk xk = k→∞ Bây giờ, ta lim xk − Sxk k→∞ = với S = s ∞ si T i (2.13) i=1 Thật vậy, với x ∈ D, tập hợp giới nội E , chúng 25 ta đánh giá đại lượng Sk x − Sx = ≤ sk sk k i=1 k i=1 si T i x − s si T i x − s ( s − sk ) ≤ sk s k i=1 ∞ si T i x i=1 k i=1 ∞ si T i x + si T i x s i=k+1 ∞ si T i x + si T i x s i=k+1 M ( s − sk ) M + ≤ s s ∞ M si = s i=k+1 ∞ si , i=k+1 M = x + p ≥ Ti x − Ti p + p ≥ Ti x , với điểm p ∈ ∩∞ i=1 F ix (Ti ) i ≥ Vì vậy, lim sup Sxk − Sx = 0, k→∞ x∈D với tập giới nội D E Lấy D = {xk }∞ k=1 , ta có Sk xk − Sxk → k → ∞ Điều với (2.12) dẫn đến đẳng thức thứ (2.13) Tiếp theo, S ánh xạ khơng giãn, liên tục giả co E Bằng cách sử dụng Mệnh đề 2.1 2.2 với T thay S , ta nhận (2.6) Bây giờ, ta đánh giá đại lượng xk+1 − p∗ sau xk+1 − p∗ ≤ (1 − γk ) xk − p∗ = (1 − γk ) xk − p∗ ≤ (1 − γk ) xk − p∗ = (1 − γk ) xk − p∗ + γk + γk + γk + γk Sk Fk (xk ) − p∗ Sk Fk (xk ) − Sk p∗ Fk (xk ) − p∗ Fk (xk ) − Fk (p∗ ) − λk F (p∗ ) 26 2 ≤ (1 − γk ) xk − p∗ + γk [(1 − λk τ ) xk − p∗ −2λk F (p∗ ), j (xk − p∗ − λk F (xk )) ] = (1 − γk λk τ ) xk − p∗ + 2γk λk [ F (p∗ ), j (p∗ − xk ) + F (p∗ ), j (p∗ − xk + λk F (xk )) − j (p∗ − xk ) ] ≤ (1 − γk λk τ ) xk − p∗ + γk λk τ [ F (p∗ ), j (p∗ − xk ) + F (p∗ ), j (p∗ − xk + λk F (xk )) − j (p∗ − xk ) ]/τ ≤ (1 − bk ) xk − p∗ + bk ck , bk = γk λk τ, ck = [ F (p∗ ) , j (p∗ − xk ) + F (p∗ ) , j (p∗ − xk + λk F (xk )) − j (p∗ − xk ) ]/τ ∞ k=0 λk ∞ = ∞ nên k=0 bk = ∞ Chính từ Bổ đề 2.2, bất đẳng thức (2.6) tính liên tục chuẩn - yếu ánh xạ j suy limk→∞ xk − p∗ = Định lý chứng minh Vì Định lý 2.3 Với điều kiện Định lý 2.2, dãy {xk }∞ k=1 , xác định (2.8), hội tụ tới nghiệm p∗ Chứng minh Với điểm cố định p ∈ ∩∞ i=1 F ix (Ti ) , theo Bổ đề 2.1, ta có xk+1 − p = γk (I − λk F ) xk + (1 − γk ) Sk xk − p ≤ γk (I − λk F ) xk − p + (1 − λk ) Sk xk − Sk p ≤ γk [(1 − λk τ ) xk − p + λk F (p) ] + (1 − λk ) xk − p F (p) = (1 − γk λk τ ) xk − p + γk λk τ τ F (p) ≤ max x1 − p , τ ∞ Suy ra, {xk }∞ k=1 giới nội Do đó, dãy sau giới nội {F (xk )}k=1 , ∞ ∞ {Sk xk }∞ k=1 , {Fk (xk )}k=1 {xk − p}k=1 Khơng làm tính tổng 27 quát, ta giả thiết dãy bị chặn số dương M2 Đặt zk = Sk xk − γk λk F (xk ) / (1 − γk ) Từ (2.8) (2.9), có xk+1 = γk xk + (1 − γk ) zk , với zk+1 − zk ≤ Sk+1 xk+1 − Sk xk + γk λk F (xk )/(1 − γk ) − γk+1 λk+1 F (xk+1 )/(1 − γk+1 ) ≤ Sk+1 xk+1 − Sk+1 xk + Sk+1 xk − Sk xk + γk λk F (xk ) / (1 − γk ) − γk+1 λk+1 F (xk+1 ) / (1 − γk+1 ) k+1 ≤ xk+1 − xk + 2ssk+1 (M2 + p ) + (λk + λk+1 ) βM2 / (1 − β) (M2 + p ) + (λk + λk+1 ) βM2 / (1 − β) , β ≤ xk+1 − xk + 2ssk+1 số dương cố định thỏa mãn γk ≤ β < Điều với điều kiện (L1) sk+1 → k → ∞ kéo theo lim sup ( zk+1 − zk − xk+1 − xk ) ≤ k→∞ Theo Bổ đề 2.3, có lim xk − zk = k→∞ Mặt khác, zk − Sk xk = γk λk F (xk ) / (1 − γk ) ≤ λk βM2 / (1 − β) λk → k → ∞, ta có zk − Sk xk → Thêm nữa, chứng minh từ Định lý 2.2, có xk − Sxk → k → ∞ bất đẳng thức (2.6) Bây giờ, ta đánh giá đại lượng xk+1 − p∗ Như Định lý 2.2 chứng minh, có xk+1 − p∗ ≤ (1 − γk ) Sk xk − p∗ + γk Fk (xk ) − p∗ 28 ≤ (1 − γk ) xk − p∗ ≤ (1 − bk ) xk − p∗ + γk Fk (xk ) − Fk (p∗ ) − λk F (p∗ ) + bk ck , bk ck định nghĩa Định lý 2.2 Chính vậy, từ Bổ đề 2.3 bất đẳng thức (2.6), suy limk→∞ xk − p∗ lý chứng minh 29 = Định Kết luận Đề tài giới thiệu bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn không gian Banach lồi chặt, phản xạ, thực với chuẩn khả vi Gâteaux số phương pháp lặp giải tốn Đề tài trình bày hai định lý hội tụ hai phương pháp lặp Nguyễn Bường, Nguyễn Thị Hồng Phương Nguyễn Thị Thu Thủy [4] giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vơ hạn ánh xạ khơng giãn Đóng góp tác giả luận văn tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức làm chi tiết số chứng minh [4] 30 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Bường (2001), Hiệu chỉnh toán phi tuyến phương pháp toán tử đơn điệu, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Koji Aoyama, Hideaki Iiduka and Wataru Takahashi (2005), Weak convergence of an iterative sequence for accretive operators in Banach space, Fixed Point Theory and Applications, Volume 2006, Article ID 35390, Pages 1-13 [4] Buong Ng., Phuong N.T.H and Thuy N.T.T (2014) Explicit iteration methods for a class of variational inequalities in Banach spaces, Iz VUZ Matematika, to appear 31 ... Phương pháp lặp cho lớp bất đẳng thức biến phân không gian Banach 18 2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân 19 2.2 Một số mệnh đề bổ đề bổ trợ 21 i 2.3 Phương pháp lặp. .. xạ không giãn, ánh xạ co rút khơng giãn theo tia, tốn bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach Chương 2: Phương pháp lặp cho lớp bất đẳng thức biến. .. Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 14 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 14 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 16 Phương