(LUẬN văn THẠC sĩ) phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ THU PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TÁCH HAI CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ THU PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TÁCH HAI CẤP Chuyên ngành: Mã số: TOÁN ỨNG DỤNG 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 download by : skknchat@gmail.com iii Mục lục Lời cảm ơn Bảng ký hiệu Chữ viết tắt Mở đầu Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân tách 1.1 Một số tốn tử khơng gian Hilbert 1.1.1 Một số tính chất khơng gian Hilbert 1.1.2 Ánh xạ khơng giãn tốn tử chiếu 1.1.3 Tốn tử tuyến tính bị chặn ánh xạ đơn 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 1.2.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách điệu Chương Phương pháp chiếu giải lớp bất đẳng phân tách hai cấp 2.1 Bài toán phương pháp 2.1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp 2.1.2 Phương pháp chiếu hội tụ 2.2 Một số áp dụng ví dụ minh họa 2.2.1 Một số áp dụng 2.2.2 Ví dụ minh họa download by : skknchat@gmail.com 7 10 12 12 13 13 thức biến 15 15 15 17 28 28 30 iv Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 download by : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Trong trình học tập thực luận văn này, Trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để tham gia học tập, nghiên cứu Tôi xin trân thành cảm ơn Ban Giám hiệu nói chung Q thầy trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Tốn K12A (khóa 2018–2020) tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nhận hướng dẫn giúp đõ tận tình PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY Tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến xin gửi lời tri ân sâu sắc điều cô làm cho suốt trình thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn trân thành tới gia đình, bạn bè, người đồng hành, động viên, tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Thái Nguyên, ngày 28 tháng năm 2020 Tác giả luận văn Lê Thị Thu download by : skknchat@gmail.com Bảng ký hiệu H, H1 , H2 C, Q F F1 F2 A A∗ X, Y Ω1 , Ω2 PΩ PΩ Γ R RN xk → x∗ xki x¯ không gian Hilbert thực tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert ánh xạ đơn điệu ánh xạ giả đơn điệu C ánh xạ giả đơn điệu Q toán tử tuyến tính bị chặn tốn tử liên hợp tốn tử A khơng gian tuyến tính định chuẩn tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân phép chiếu mêtric lên Ω1 phép chiếu mêtric lên Ω2 tập nghiệm SFP tập số thực không gian Euclid thực N chiều dãy {xk } hội tụ mạnh x∗ dãy {xki } hội tụ yếu đến x ¯ download by : skknchat@gmail.com Chữ viết tắt VIP(F, C) Sol(F, C) SFP SVIP BVIP BSVIP toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) với ánh xạ giá F tập ràng buộc C tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem) toán bất đẳng thức biến phân tách (Split Variational Inequality Problem) toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (Bilevel Variational Inequality Problem) toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (Bilevel Split Variational Inequality Problem) download by : skknchat@gmail.com Mở đầu Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H1 H2 Giả sử A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn ánh xạ F1 : H1 −→ H1 F2 : H2 −→ H2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách (Split Variational Inequality Problem) tốn tìm nghiệm x∗ tốn bất đẳng thức biến phân không gian H1 cho ảnh y ∗ = Ax∗ , qua toán tử tuyến tính bị chặn A, nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân khác khơng gian H2 Cụ thể, Tìm x∗ ∈ C : F1 (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C (1) cho y ∗ = Ax∗ ∈ Q : F2 (y ∗ ), y − y ∗ ≥ ∀y ∈ Q (2) Ký hiệu tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (1) (2) Ω1 Ω2 tốn bất đẳng thức biến phân tách tốn Tìm x∗ ∈ Ω1 cho Ax∗ ∈ Ω2 (3) Bài toán (3) dạng toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem) Bài toán chấp nhận tách xuất mơ hình thực tế, chẳng hạn mơ hình IMRT (Intensity–Modulated Radiation Therapy) xạ trị liệu u cầu tìm nghiệm tốn khơng gian cho ảnh qua tốn tử tuyến tính bị chặn nghiệm tốn khơng gian khác Bài tốn chấp nhận tách không gian Hilbert hữu hạn chiều giới thiệu lần Yair Censor Tommy Elfving [6] Luận văn xét toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (Bilevel Split download by : skknchat@gmail.com Variational Inequality Problem) Tìm x∗ ∈ Ω : F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ Ω, (4) F : H1 → H1 ánh xạ, Ω = {x∗ ∈ Ω1 : Ax∗ ∈ Ω2 } tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách (3) Nội dung đề tài luận văn trình bày hai chương Chương "Bài tốn bất đẳng thức biến phân tách" trình bày số kiến thức không gian Hilbert thực tốn tử khơng gian (tốn tử chiếu, ánh xạ đơn điệu, ánh xạ liên tục Lipschitz ); giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, toán bất đẳng thức biến phân tách số kết liên quan Chương "Phương pháp chiếu giải lớp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp" trình bày phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp, chứng minh hội tụ phương pháp đưa ví dụ số minh họa cho hội tụ phương pháp download by : skknchat@gmail.com Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân tách Chương trình bày khái qt khơng gian Hilbert thực toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp không gian Hilbert Nội dung chương viết thành hai mục Mục 1.1 trình bày số kiến thức không gian Hilbert thực khái niệm toán tử chiếu, ánh xạ đơn điệu, liên tục Lipschitz không gian Hilbert Mục 1.2 giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, toán bất đẳng thức biến phân tách số kết liên quan đến toán Nội dung chương viết sở tổng hợp kiến thức [1], [2], [5] [7] 1.1 Một số tốn tử khơng gian Hilbert Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng chuẩn ký hiệu tương ứng , 1.1.1 Một số tính chất khơng gian Hilbert Định lý 1.1.1 (xem [1]) Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, (i) | x, y | ≤ x · y với x, y ∈ H (bất đẳng thức Cauchy–Schwartz); (ii) x + y + x−y = 2( x + y ) (đẳng thức hình bình hành); download by : skknchat@gmail.com 19 Bước 1: Các dãy {xk }, {y k } {z k } thỏa mãn bất đẳng thức z k − x∗ ≤ y k − x∗ ≤ xk − x∗ ∀k ∈ N, x∗ nghiệm BSVIP Vì F ánh xạ β -đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz H1 Ω tập lồi đóng khác rỗng nên theo Định lý 1.2.2, BSVIP có nghiệm x∗ Do x∗ ∈ Ω hay x∗ ∈ Ω1 ⊂ C , Ax∗ ∈ Ω2 ⊂ Q Theo Bổ đề 2.1.4, ta có với k ∈ N z k − x∗ wk −Ax∗ ≤ y k − x∗ − (1 − λk L1 ) y k − tk − (1 − λk L1 ) tk − z k , (2.5) ≤ uk −Ax∗ −(1−µk L2 ) uk −v k −(1−µk L2 ) v k −wk (2.6) 1 {µk } ⊂ [e, f ] ⊂ 0, nên từ (2.5) (2.6), Vì {λk } ⊂ [c, d] ⊂ 0, L1 L2 ta có z k − x∗ ≤ y k − x∗ (2.7) wk − Ax∗ ≤ uk − Ax∗ (2.8) Vì uk = Axk A∗ = A nên từ (2.8) ta có y k − x∗ = xk + δk A∗ (wk − uk ) − x∗ = xk − x∗ + δk A∗ (wk − uk ) ≤ xk − x∗ + δk A∗ wk − uk ≤ xk − x∗ + δk A∗ wk − uk 2 + 2δk xk − x∗ , A∗ (wk − uk ) + 2δk A(xk − x∗ ), wk − uk + 2δk [ wk − Ax∗ , wk − uk − wk − uk ] ≤ xk − x∗ A∗ wk − uk + δk [( wk − Ax∗ − uk − Ax∗ ) − wk − uk ] wk − uk + δk A∗ ≤ xk − x∗ + δk = xk − x∗ − δk (1 − δk A ) wk − uk − δk wk − uk Kết hợp (2.7) với (2.9) ý {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0, (2.9) A z k − x∗ ≤ y k − x∗ ≤ xk − x∗ download by : skknchat@gmail.com +1 , ta 20 Bước 2: Các dãy {xk }, {y k }, {z k } {F (xk )} bị chặn Từ Bổ đề 2.1.3 Bước 1, ta xk+1 − x∗ = (1 − ηk )z k − αk µF (z k ) − [(1 − ηk )x∗ − αk µF (x∗ )] + ηk (xk − x∗ ) − αk µF (x∗ ) ≤ (1 − ηk )z k − αk µF (z k ) − [(1 − ηk )x∗ − αk µF (x∗ )] + ηk (xk − x∗ ) − αk µ F (x∗ ) ≤ (1 − ηk − αk τ ) z k − x∗ + ηk (xk − x∗ ) − αk µ F (x∗ ) (2.10) ≤ (1 − ηk − αk τ ) xk − x∗ + ηk (xk − x∗ ) + αk µ F (x∗ ) = (1 − αk τ ) xk − x∗ + αk µ F (x∗ ) µ F (x∗ ) k ∗ , = (1 − αk τ ) x − x + αk τ τ τ =1− − µ(2β − µL2 ) ∈ (0, 1] Bằng quy nạp, ta µ F (x∗ ) } ∀k ∈ N τ Do dãy {xk } bị chặn theo Bước dãy {y k } {z k } xk − x∗ ≤ max{ x0 − x∗ , bị chặn Mặt khác, F L-liên tục Lipschitz H1 nên F (xk ) ≤ F (xk ) − F (x0 ) + F (x0 ) ≤ L xk − x0 + F (x0 ) ≤ L( xk + x0 ) + F (x0 ) Từ tính bị chặn dãy {xk } (2.11), ta suy dãy {F (xk )} bị chặn Bước 3: Với k ∈ N, ta có xk+1 − x∗ ≤ (1 − αk τ ) xk − x∗ − 2αk µ F (x∗ ), xk+1 − x∗ , x∗ nghiệm BSVIP Sử dụng bất đẳng thức x−y ≤ x − y, x − y ∀x, y ∈ H1 , download by : skknchat@gmail.com (2.11) 21 Từ Bổ đề 2.1.3 Bước 1, ta xk+1 − x∗ = (1 − ηk )z k − αk µF (z k ) − [(1 − ηk )x∗ − αk µF (x∗ )] + ηk (xk − x∗ ) − αk µF (x∗ ) ≤ (1 − ηk )z k − αk µF (z k ) − [(1 − ηk )x∗ − αk µF (x∗ )] + ηk (xk − x∗ ) − 2αµ F (x∗ ), xk+1 − x∗ ≤ (1 − ηk )z k − αk µF (z k ) − [(1 − ηk )x∗ − αk µF (x∗ )] + ηk xk − x∗ − 2αµ F (x∗ ), xk+1 − x∗ ≤ (1 − ηk − αk τ ) z k − x∗ + ηk xk − x∗ ≤ (1 − ηk − αk τ ) z k − x∗ + ηk x k − x ∗ − 2αµ F (x∗ ), xk+1 − x∗ − 2αµ F (x∗ ), xk+1 − x∗ (2.12) = (1 − αk τ ) xk − x∗ − 2αk µ F (x∗ ), xk+1 − x∗ Bước 4: Ta chứng minh {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ BSVIP Ta xét hai trường hợp: Trường hợp Tồn k0 cho dãy { xk − x∗ } giảm với k ≥ k0 Khi tồn giới hạn hữu hạn lim xk − x∗ Do đó, từ Bước (2.12), ta k→∞ ≤ y k − x∗ − z k − x∗ ≤ xk − x∗ − z k − x∗ αk τ 2αk µ ≤− z k − x∗ − F (x∗ ), xk+1 − x∗ − ηk − ηk ( xk − x∗ − xk+1 − x∗ ) + − ηk (2.13) Vì tồn giới hạn dãy { xk − x∗ }, lim αk = 0, lim ηk = η < 1, {xk } k→∞ k→∞ {z k } hai dãy bị chặn nên từ (2.13), ta có lim ( y k − x∗ − z k − x∗ ) = 0, lim ( xk − x∗ k→∞ k→∞ − z k − x∗ ) = (2.14) Vì (2.14), ta suy lim ( xk − x∗ − y k − x∗ ) = k→∞ download by : skknchat@gmail.com (2.15) 22 , ta L1 ≤ y k − x∗ − z k − x∗ Kết hợp (2.5) với giả thiết {λk } ⊂ [c, d] ⊂ 0, (1 − dL1 ) y k − tk (2.16) Do vậy, từ (2.14) (2.16), ta lim y k − tk = (2.17) k→∞ Từ (2.9) {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0, A a(1 − b A ) wk − uk +1 , ta suy ≤ xk − x∗ − y k − x∗ Kết hợp bất đẳng thức với (2.15), ta nhận lim wk − uk = k→∞ Chú ý với k y k − xk = δk A∗ (wk − uk ) ≤ δk A∗ ≤b A wk − uk wk − uk Do đó, lim wk − uk = nên k→∞ lim y k − xk = k→∞ (2.18) Từ (2.17), (2.18) bất đẳng thức tam giác, ta có lim xk − tk = k→∞ (2.19) Ta chứng minh lim inf F (x∗ ), xk+1 − x∗ ≥ ki k→∞ k Chọn dãy {x } {x } cho lim inf F (x∗ ), xk+1 − x∗ = lim F (x∗ ), xki − x∗ k→∞ i→∞ Vì dãy {xki } bị chặn nên ta giả sử {xki } hội tụ yếu đến x ¯ ∈ H1 Do lim inf F (x∗ ), xk+1 − x∗ = lim F (x∗ ), xki − x∗ k→∞ i→∞ = F (x∗ ), x¯ − x∗ download by : skknchat@gmail.com (2.20) 23 Từ (2.18), (2.19) xki x¯, ta suy y ki tki hội tụ yếu đến x¯ Kết hợp với {tki } ⊂ C C đóng yếu, ta x¯ ∈ C Từ (2.19), ta suy dãy {xk − tk } bị chặn Vì {xk } bị chặn nên {tk } bị chặn Ta chứng minh x ¯ ∈ Sol(C, F1 ) Lấy x ∈ C bất kỳ, từ định nghĩa tki , ta có y ki − λki F1 (y ki ) − tki , x − tki ≤ ∀i Vì λki > với i nên từ bất đẳng thức trên, ta F1 (y ki ), x − tki ≥ y ki − tki , x − tki λki (2.21) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ý λki ≥ c > với i, ta có y ki − tki , x − tki λki ≤ y ki − tki x − tki c (2.22) Vì y ki − tki → dãy {tki } bị chặn nên lim y ki − tki x − tki c i→∞ = Từ (2.22), ta suy y ki − tki , x − tki lim = i→∞ λki Do đó, sử dụng (2.21), điệu kiện (A3 ) hội tụ yếu hai dãy {y ki }, {tki } đến x ¯, ta ≤ lim sup F1 (y ki ), x − tki ≤ F1 (¯ x), x − x¯ i→∞ Do F1 (¯ x), x − x¯ ≥ Vì x ∈ C x¯ ∈ C nên x¯ ∈ Sol(C, F1 ) Vì {xk } bị chặn A tốn tử tuyến tính bị chặn nên {uk = Axk } bị chặn Kết hợp với lim wk − uk = 0, ta suy dãy {wk } bị chặn k→∞ Từ (2.17) bất đẳng thức tam giác, ta với k ≤ uk − Ax∗ − wk − Ax∗ ≤ ( uk − Ax∗ + wk − Ax∗ ) uk − wk download by : skknchat@gmail.com 24 Sử dụng bất đẳng thức trên, lim wk − uk = tính bị chặn hai dãy k→∞ k k {u } {w }, ta thu lim ( uk − Ax∗ k→∞ Từ (2.6) {µk } ∈ [e, f ] ⊂ 0, (1 − f L2 ) uk − v k − wk − Ax∗ ) = (2.23) , ta có L2 ≤ uk − Ax∗ − wk − Ax∗ Do đó, kết hợp với (2.23), ta lim uk − v k = (2.24) k→∞ Từ (2.24) tính bị chặn dãy {uk }, ta suy dãy {v k } bị chặn Vì xki A tốn tử tuyến tính bị chặn nên uki → Axki ta có v ki từ v ki x¯ A¯ x Kết hợp với (2.24), A¯ x Ngồi ra, {v ki } ⊂ Q Q lồi đóng (do đóng yếu) nên A¯ x, ta có A¯ x∈Q Tiếp theo ta chứng minh A¯ x ∈ Sol (Q, F2 ) Lấy y ∈ Q bất kỳ, từ v ki = PQ (uki − µki F2 (uki )), ta có uki − µki F2 (uki ) − v ki , y − v ki ≤ Vì µki > với i, từ bất đẳng thức ta có F2 (uki ), y − v ki ≥ uki − v ki , y − v ki µki (2.25) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ý µki ≥ e > với i, ta uki − v ki , y − v ki µki ≤ uki − v ki y − v ki e Kết hợp với (2.24) với tính bị chặn {v ki }, ta lim i→∞ uki − v ki y − v ki e = Do đó, từ (2.26), ta có uki − v ki , y − v ki lim = i→∞ µki download by : skknchat@gmail.com (2.26) 25 Sử dụng (2.25), điều kiện (B5) hội tụ yếu hai dãy {uki }, {v ki } đến A¯ x, ta ≤ lim sup F2 (uki ), y − v ki ≤ F2 (A¯ x), y − A¯ x i→∞ Chú ý y ∈ Q A¯ x ∈ Q nên từ bất đẳng thức trên, ta suy A¯ x ∈ Sol(Q, F2 ) Từ x ¯ ∈ Sol(C, F1 ) A¯ x ∈ (Q, F2 ), ta có x¯ ∈ Ω Vì x∗ ∈ Sol(Ω, F ) x¯ ∈ Ω nên F (x∗ ), x ¯ − x∗ ≥ Do đó, từ (2.20), ta thu lim inf F (x∗ ), xk+1 − x∗ ≥ k→∞ Từ Bước 3, ta có xk+1 − x∗ ≤ (1 − αk τ ) xk − x∗ + αk τ ξk , −2µ F (x∗ ), xk+1 − x∗ τ ≥ nên ξk = Vì lim inf F (x∗ ), xk+1 − x∗ k→∞ lim sup ξk ≤ k→∞ Theo Bổ đề 2.1.3, ta suy lim xk − x∗ k→∞ = hay xk → x∗ Trường hợp Giả sử với số tự nhiên m, tồn số tự nhiên p cho p ≥ m xp − x∗ ≤ xp+1 − x∗ Theo Bổ đề 2.1.4, tồn số tự nhiên k0 dãy không giảm {τ (k)}k≥k0 N cho lim τ (k) = ∞ bất đẳng k→∞ thức sau xτ (k) − x∗ ≤ xτ (k+1) − x∗ , xk − x∗ ≤ xτ (k+1) − x∗ ∀k ≥ k0 (2.27) Từ (2.27) (2.10), ta xτ (k) − x∗ ≤ xτ (k+1) − x∗ ≤ (1 − ητ (k) − ατ (k) τ ) z τ (k) − x∗ + ητ (k) xτ (k) − x∗ + ατ (k) µ F (x∗ ) download by : skknchat@gmail.com (2.28) 26 Theo Bước (2.28), ta có ≤ y τ (k) − x∗ − z τ (k) − x∗ ≤ xτ (k) − x∗ − z τ (k) − x∗ ατ (k) u ατ (k) τ z τ (k) − x∗ + F (x∗ ) ≤− − ητ (k) − ητ (k) (2.29) Vì lim αk = 0, lim ηk = η < {z k } bị chặn nên từ (2.29), ta suy k→∞ k→∞ lim ( y τ (k) − x∗ − z τ (k) − x∗ ) = 0, lim ( xτ (k) − x∗ − z τ (k) − x∗ ) = k→∞ k→∞ (2.30) Từ (2.30), ta lim ( xτ (k) − x∗ − y τ (k) − x∗ ) = k→∞ (2.31) Do đó, từ (2.30), (2.31) tính bị chặn dãy {xk }, {y k }, {z k }, ta lim ( y τ (k) − x∗ − z τ (k) − x∗ ) = (2.32) lim ( xτ (k) − x∗ − y τ (k) − x∗ ) = (2.33) k→∞ k→∞ Từ (2.5) {λk } ⊂ [c, d] ⊂ 0, , ta có L1 (1−dL1 ) y τ (k) −t(τ (k)) +(1−dL1 ) tτ (k) −z (τ (k)) ≤ y τ (k) −x∗ − z τ (k) −x∗ Kết hợp với (2.32), ta lim y τ (k) − tτ (k) = 0, lim tτ (k) − z τ (k) = k→∞ k→∞ Từ (2.9) {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0, A a(1 − b A ) wτ (k) − uτ (k) +1 (2.34) , ta có ≤ xτ (k) − x∗ − y τ (k) − x∗ Kết hợp bất đẳng thức với (2.33), ta lim wτ (k) − uτ (k) = k→∞ Vì y τ (k) − xτ (k) = δτ (k) A∗ (wτ (k) − uτ (k) ) ≤ δτ (k) A∗ wτ (k) − uτ (k) ≤ b A wτ (k) − uτ (k) download by : skknchat@gmail.com (2.35) 27 nên từ (2.35), ta có lim y τ (k) − xτ (k) = k→∞ (2.36) Theo bất đẳng thức tam giác (2.34), (2.36), ta lim xτ (k) − z τ (k) = 0, lim xτ (k) − tτ (k) = k→∞ k→∞ (2.37) Lập luận Trường hợp 1, ta có lim inf F (x∗ ), xτ (k) − x∗ ≥ k→∞ (2.38) Theo Bổ đề 2.1.3 xτ (k)+1 − xτ (k) = (1 − ητ (k) )z τ (k) − ατ (k) µF (z τ (k) ) − [(1 − ητ (k) )xτ (k) − ατ (k) µF (xτ (k) )] − ατ (k) µF (xτ (k) ) ≤ (1 − ητ (k) )z τ (k) − ατ (k) µF (z τ (k) ) − [(1 − ητ (k) )xτ (k) − ατ (k) µF (xτ (k) )] + ατ (k) µ F (xτ (k) ) ≤ (1 − ητ (k) − ατ (k) ) z τ (k) − xτ (k) + ατ (k) µ F (xτ (k) ) ≤ z τ (k) − xτ (k) + ατ (k) µ F (xτ (k) ) (2.39) Từ lim αk = 0, tính bị chặn dãy {F (xτ (k) )}, (2.37) (2.39), ta k→∞ lim xτ (k)+1 − xτ (k) = k→∞ (2.40) Sử dụng (2.40) bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có lim F (x∗ ), xτ (k)+1 − xτ (k) = k→∞ (2.41) Kết hợp (2.38) (2.41), ta lim inf F (x∗ ), xτ (k)+1 − x∗ k→∞ = lim inf k→∞ F (x∗ ), xτ (k) − x∗ + F (x∗ ), xτ (k)+1 − xτ (k) = lim inf F (x∗ ), xτ (k) − x∗ ≥ (2.42) k→∞ Theo Bước (2.27), ta có xτ (k)+1 − x∗ ≤ (1 − ατ (k) τ ) xτ (k) − x∗ ≤ (1 − ατ (k) τ ) xτ (k)+1 − x∗ − 2ατ (k) µ F (x∗ ), xτ (k)+1 − x∗ − 2ατ (k) µ F (x∗ ), xτ (k)+1 − x∗ download by : skknchat@gmail.com 28 Vì ατ (k) > nên xτ (k)+1 − x∗ ≤− 2µ F (x∗ ), xτ (k)+1 − x∗ τ Kết hợp với (2.27), ta thu xk − x∗ ≤ 2µ F (x∗ ), xτ (k)+1 − x∗ ∀k ≥ k0 τ (2.43) Lấy giới hạn (2.43) k → ∞, sử dụng (2.42), ta lim sup xk − x∗ ≤ k→∞ Do xk → x∗ Định lý 2.1.5 chứng minh 2.2 2.2.1 Một số áp dụng ví dụ minh họa Một số áp dụng Xét trường hợp đặc biệt Định lý 2.1.5 F : H1 → H1 ánh xạ đồng Dễ thấy F β -đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz H1 với β = L = Khi BSVIP trở thành tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ 2β SVIP Chọn µ = µ thỏa mãn < µ < Từ Định lý 2.1.5, ta thu L hệ thuật tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ SVIP Hệ 2.2.1 (xem [3]) Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 , A : H1 → H2 toán tử tuyến tính bị chặn với tốn tử liên hợp A∗ , F1 : H1 → H1 , F2 : H2 → H2 thỏa mãn điều kiện (B2) – (B5) Xét dãy số {αk }, {ηk }, {δk }, {λk }, {µk } thỏa mãn đồng thời điều kiện Thuật toán 2.1.2 Xét dãy {xk } cho x0 ∈ H1 tùy ý xk+1 = ηk xk + (1 − ηk − αk )z k ∀k ≥ 0, z k xác định Thuật toán 2.1.2 Giả sử tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F1 ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, F2 )} SVIP khác rỗng Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến x∗ ∈ Ω, x∗ = min{ x : x ∈ Ω} download by : skknchat@gmail.com 29 Khi F1 = F2 = 0, từ Thuật toán 2.1.2 Định lý 2.1.5, ta thu thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm SFP Hệ 2.2.2 (xem [3]) Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 Giả sử A : H1 → H2 toán tử tuyến tính bị chặn với tốn tử liên hợp A∗ , F : H1 → H1 β -đơn 2β điệu mạnh L-liên tục Lipschitz H1 Giả sử < µ < dãy số L {αk }, {ηk }, {δk } thỏa mãn đồng thời điều kiện  ∞    {αk } ⊂ (0, 1), lim αk = 0, αk = ∞,   k→∞   k=0 ≤ ηk ≤ − αk ∀k ≥ 0, lim ηk = η < 1,   k→∞     {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0, A 2+1 Xét dãy {xk } cho x0 ∈ H1 tùy ý  y k = PC (xk + δk A∗ (PQ (Axk ) − Axk )), xk+1 = η xk + (1 − η )y k − α µF (y k ) ∀k ≥ k k k Giả sử tập nghiệm Γ = {x∗ ∈ C : Ax∗ ∈ Q} toán SFP khác rỗng Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân Tìm x∗ ∈ Γ cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ Γ Xét trường hợp đặc biệt Hệ 2.2.1 F1 = F2 = ηk = với k Khi ta thu thuật tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ SFP Hệ 2.2.3 (xem [3]) Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 Giả sử A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính bị chặn với tốn tử liên hợp A∗ Giả sử dãy số {αk }, {δk } thỏa download by : skknchat@gmail.com 30 mãn đồng thời điều kiện     {αk } ⊂ (0, 1), lim αk = 0, ∞ αk = ∞, k→∞    {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0, k=0 A +1 Xét dãy {xk } cho x0 ∈ H1 tùy ý xk+1 = (1 − αk )PC (xk + δk A∗ (PQ (Axk ) − Axk )) ∀k ≥ Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ SFP với điều kiện tập nghiệm Γ = {x∗ ∈ C : Ax∗ ∈ Q} SFP khác rỗng 2.2.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 2.2.4 Xét trường hợp H1 = R4 , H2 = R2 tốn tử tuyến tính bị chặn A : R4 → R2 cho A(x) = (x1 − x2 − x4 , x2 + x3 − x4 )T , ∀x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 Ma trận tốn tử tuyến tính bị chặn A= Chuẩn toán tử A √ −1 −1 1 −1 Toán tử liên hợp A∗ : R2 → R4 A cho A∗ (y) = (y1 , −y1 + y2 , y2 , −y1 − y2 )T , y = (y1 , y2 )T ∈ R2 Cho C Q xác định C = {(x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 : x1 − x2 + 2x3 = 1} Q = {(u1 , u2 )T ∈ R2 : u1 − u2 = 3} Tập nghiệm Γ toán chấp nhận tách SFP xác định sau: Γ = {x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 : x ∈ C A(x) ∈ Q} = {x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 : x1 − x2 + 2x3 = 1, x1 − 2x2 − x3 = 3} = {(−5α − 1, −3α − 2, α, β)T : α, β ∈ R} download by : skknchat@gmail.com 31 Lấy x = (−5α − 1, −3α − 2, α, β) ∈ Γ bất kỳ, ta có (−5α − 1)2 + (−3α − 2)2 + α2 + β x = = 35 α + ≥ 54 35 11 35 + β2 + 54 35 Dấu bất đẳng thức đạt α = − 11 β = Do 35 nghiệm có chuẩn nhỏ T 37 11 ,− ,− ,0 35 35 Chọn điểm xuất phát ban đầu x = (5, 3, 6, −4)T ∈ C , ta có kết tính tốn x∗ = cho dãy lặp Hệ 2.2.3 sau: k xk1 xk2 xk3 xk4 err = xk − x∗ 5.0000 3.0000 6.0000 -4.0000 9.5887 3.3333 3.0303 0.3030 -3.6364 6.1595 3.5301 1.7505 -0.4315 -3.3333 5.2689 3.4667 1.1733 -0.6852 -3.0769 4.7661 3.3234 0.8742 -0.7603 -2.8571 4.4346 8796 0.5759 -1.0542 -0.3151 -0.0045 7.04 ×10−3 8797 0.5759 -1.0542 -0.3151 -0.0045 7.04 ×10−3 78796 0.5719 -1.0568 -0.3144 -0.0005 7.76 ×10−4 78797 0.5719 -1.0568 -0.3144 -0.0005 7.76 ×10−4 Bảng 2.1: Bảng kết tính tốn với αk = k+10 , δk = 0.2 Ta thấy sau 78797 bước lặp, nghiệm xấp xỉ x78797 = (0.5719, −1.0568, −0.3144, −0.0005)T xấp xỉ tốt cho nghiệm có chuẩn nhỏ 37 11 x∗ = ,− ,− ,0 35 35 T download by : skknchat@gmail.com 32 Kết luận Đề tài luận văn trình bày phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp không gian Hilbert Cụ thể: (1) Trình bày số kiến thức không gian Hilbert thực khái niệm toán tử chiếu, ánh xạ đơn điệu, liên tục Lipschitz; Trình bày tốn bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, toán bất đẳng thức biến phân tách số kết liên quan đến tốn (2) Trình bày toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp khơng gian Hilbert thực, trình bày phương pháp chiếu giải toán định lý hội tụ mạnh phương pháp (3) Trình bày số áp dụng giải tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán bất đẳng thức biến phân tách, toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán chấp nhận tách, tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn chấp nhận tách (4) Đưa tính tốn ví dụ minh họa giải tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert hữu hạn chiều download by : skknchat@gmail.com 33 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2005) Tiếng Anh [2] R.P Agarwal, D O’Regan, D.R Sahu, Fixed Point Theory for Lipschitziantype Mappings with Applications, Springer (2009) [3] P.K Anh, T.V Anh, L.D Muu, "On bilevel split pseudomonotone variational inequality problems with applications", Acta Math Vietnam., 42(3), pp 413-429 (2017) [4] C Byrne, Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem, Inverse Problems, 18(2), pp 441–453 (2002) [5] Y Censor, A Gibali, S Reich, "Algorithms for the split variational inequality problem", Numer Algorithms, 59(2), pp 301-323 (2012) [6] Y Censor and T Elfving, A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space, Numer Algorithms, 8(2-4), pp 221–239 (1994) [7] I.V Konnov, Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer Verlag, Berlin, Germany (2001) [8] H.K Xu, Iterative methods for the split feasibility problem in infinite dimensional Hilbert spaces, Inverse Problems, 26, 105018 (2010) download by : skknchat@gmail.com ... toán bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, toán bất đẳng thức biến phân tách số kết liên quan Chương "Phương pháp chiếu giải lớp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp" ... bày tốn bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, toán bất đẳng thức biến phân tách số kết liên quan đến tốn (2) Trình bày toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp khơng... Phương pháp chiếu giải lớp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp Chương trình bày phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp không gian Hilbert thực với ánh xạ giá toán cấp