Ví dụ 2.2.4. Xét trường hợp H1 = R4,H2 = R2 và toán tử tuyến tính bị chặn
A : R4 → R2 cho bởi
A(x) = (x1 −x2 −x4, x2 +x3 −x4)T, ∀x= (x1, x2, x3, x4)T ∈ R4.
Ma trận của toán tử tuyến tính bị chặn này là
A = 1 −1 0 −1 0 1 1 −1
!
.
Chuẩn của toán tử A là √
3. Toán tử liên hợp A∗ : R2 → R4 của A được cho bởi
A∗(y) = (y1,−y1 +y2, y2,−y1 −y2)T, y = (y1, y2)T ∈ R2.
Cho C và Q được xác định bởi
C = {(x1, x2, x3, x4)T ∈ R4 : x1 −x2 + 2x3 = 1}.
và
Q = {(u1, u2)T ∈ R2 : u1 −u2 = 3}.
Tập nghiệm Γ của bài toán chấp nhận tách SFP được xác định như sau:
Γ ={x = (x1, x2, x3, x4)T ∈ R4 : x ∈ C và A(x) ∈ Q}
= {x = (x1, x2, x3, x4)T ∈ R4 : x1 −x2 + 2x3 = 1, x1 −2x2 −x3 = 3}
Lấy x = (−5α−1,−3α−2, α, β) ∈ Γ bất kỳ, ta có kxk= q (−5α−1)2 + (−3α −2)2 +α2 +β2 = r 35α + 11 35 2 +β2 + 54 35 ≥ r 54 35.
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên đạt được khi α = −11
35 và β = 0. Do đó nghiệm có chuẩn nhỏ nhất là x∗ = 4 7,−37 35,−11 35,0 T .
Chọn điểm xuất phát ban đầu x0 = (5,3,6,−4)T ∈ C, ta có kết quả tính toán cho dãy lặp trong Hệ quả 2.2.3 như sau:
k xk 1 xk 2 xk 3 xk 4 err=kxk−x∗k 0 5.0000 3.0000 6.0000 -4.0000 9.5887 1 3.3333 3.0303 0.3030 -3.6364 6.1595 2 3.5301 1.7505 -0.4315 -3.3333 5.2689 3 3.4667 1.1733 -0.6852 -3.0769 4.7661 4 3.3234 0.8742 -0.7603 -2.8571 4.4346 ... ... ... ... ... ... 8796 0.5759 -1.0542 -0.3151 -0.0045 7.04×10−3 8797 0.5759 -1.0542 -0.3151 -0.0045 7.04×10−3 ... ... ... ... ... ... 78796 0.5719 -1.0568 -0.3144 -0.0005 7.76×10−4 78797 0.5719 -1.0568 -0.3144 -0.0005 7.76×10−4
Bảng 2.1: Bảng kết quả tính toán vớiαk= k+101 ,δk = 0.2
Ta thấy sau 78797 bước lặp, nghiệm xấp xỉ
x78797 = (0.5719,−1.0568,−0.3144,−0.0005)T
là một xấp xỉ tốt cho nghiệm có chuẩn nhỏ nhất
x∗ = 4 7,−37 35,−11 35,0 T .
Kết luận
Đề tài luận văn đã trình bày một phương pháp lặp giải bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp trong không gian Hilbert. Cụ thể:
(1) Trình bày một số kiến thức cơ bản của không gian Hilbert thực cùng khái niệm về toán tử chiếu, ánh xạ đơn điệu, liên tục Lipschitz; Trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, bài toán bất đẳng thức biến phân tách cùng một số kết quả liên quan đến bài toán này.
(2) Trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp trong không gian Hilbert thực, trình bày một phương pháp chiếu giải bài toán này cùng định lý hội tụ mạnh của phương pháp.
(3) Trình bày một số áp dụng giải bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân tách, bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách, bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấp nhận tách.
(4) Đưa ra và tính toán ví dụ minh họa giải bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert hữu hạn chiều.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Hoàng Tụy, Hàm thực và Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2005).
Tiếng Anh
[2] R.P. Agarwal, D. O’Regan, D.R. Sahu,Fixed Point Theory for Lipschitzian- type Mappings with Applications, Springer (2009).
[3] P.K. Anh, T.V. Anh, L.D. Muu, "On bilevel split pseudomonotone varia- tional inequality problems with applications",Acta Math Vietnam.,42(3), pp. 413-429 (2017).
[4] C. Byrne, Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasi- bility problem, Inverse Problems, 18(2), pp. 441–453 (2002).
[5] Y. Censor, A. Gibali, S. Reich, "Algorithms for the split variational in- equality problem", Numer. Algorithms, 59(2), pp. 301-323 (2012).
[6] Y. Censor and T. Elfving, A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space, Numer. Algorithms, 8(2-4), pp. 221–239 (1994).
[7] I.V. Konnov, Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer Verlag, Berlin, Germany (2001).
[8] H.K Xu, Iterative methods for the split feasibility problem in infinite di- mensional Hilbert spaces, Inverse Problems, 26, 105018 (2010).