phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI PHẠM THỊ THƠM Phạm Thị Thơm PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TÁCH HAI CẤP TRONG KHÔNG GIAN HILBERT TOÁN TIN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC CH2021A HÀ NỘI–2021 i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Phạm Thị Thơm PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TÁCH HAI CẤP TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán Tin LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY HÀ NỘI–2021 ii Lời cam đoan Học viên Phạm Thị Thơm iii Lời cảm ơn Học viên Phạm Thị Thơm iv Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục vi Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Chữ viết tắt Danh sách bảng Danh sách hình vẽ Mở đầu Chương Bài tốn bất đẳng thức biến phân tách khơng gian Hilbert 1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.1.1 Toán tử loại đơn điệu phép chiếu mêtric 1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân phương pháp chiếu gradient 14 v 1.1.3 1.2 Một ứng dụng thực tế bất đẳng thức biến phân 16 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách 18 1.2.1 Bài toán chấp nhận tách phương pháp CQ 18 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách phương pháp chiếu 20 Chương Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách 23 2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 24 2.1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 24 2.1.2 Phương pháp đạo hàm tăng cường 26 2.2 2.3 Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tách hai cấp với toán tử giả đơn điệu 28 2.2.1 Mô tả phương pháp 28 2.2.2 Sự hội tụ 30 Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tách hai cấp với toán tử đơn điệu mạnh ngược 31 2.3.1 Mô tả phương pháp 31 2.3.2 Sự hội tụ 32 Chương Áp dụng ví dụ minh họa 3.1 40 Áp dụng tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn chấp nhận tách 40 3.2 Ví dụ minh họa 41 3.3 Ví dụ so sánh hai phương pháp lặp 44 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 vi Phụ lục 56 Bảng ký hiệu R tập số thực Rn không gian Euclide n chiều H không gian Hilbert thực ∅ tập rỗng ∀x với x x∈D x thuộc tập D x∈ /D x không thuộc tập D x, y tích vơ hướng x y x chuẩn Euclide x A∗ toán tử liên hợp toán tử A I toán tử đồng C ∩D giao hai tập C D C \D hiệu hai tập C D C⊆D C tập tập D C⊂D C tập thực D Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T PC (x) phép chiếu trực giao (mêtric) phần tử x lên tập C ∇f (x) vectơ gradient hàm f điểm x ∇2 f (x) ma trận Hesse hàm f điểm x v.đ.k viết tắt cụm từ "với điều kiện" argmin(P ) tập nghiệm tối ưu toán (P ) intX phần tập X A ma trận chuyển vị ma trận A det(A) định thức ma trận vng M Chữ viết tắt VIP(F, C) tốn bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) với ánh xạ giá F tập ràng buộc C SFP toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem) SVIP toán bất đẳng thức biến phân tách (Split Variational Inequality Problem) BVIP toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (Bilevel Variational Inequality Problem) BSVIP toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (Bilevel Split Variational Inequality Problem) 46 phân tách tốn: Tìm x∗ ∈ Sol(F1 , C) cho Ax∗ ∈ Sol(F2 , Q) (SVIP) Do F1 (x) = 21 x nên tập nghiệm Sol(F1 , C) nghiệm có chuẩn nhỏ tập C nghiệm có chuẩn nhỏ thu là: x∗ = PC (0) = (0, 0, 0, 0)T ∈ R4 Nhận thấy, x∗ = (0, 0, 0, 0)T nghiệm toán SVIP Chọn ánh xạ F : R4 → R4 , F (x) = 21 x suy nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (BSVIP) nghiệm toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách (SVIP) Vì tốn (SVIP) Ví dụ 3.3.1 có nghiệm thỏa mãn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp VIP(F, ΩSVIP ), suy toán VIP(F, ΩSVIP ) có nghiệm Với ví dụ 3.3.1 tiêu chuẩn dừng sai số hai xấp xỉ nghiệm nhỏ sai số cho trước Tiến hành so sánh Thuật toán 2.3.1 Thuật toán 1.2.1 Cụ thể Thuật toán 2.3.1 chọn tham số αk = √1 , k+3 ∗ βk = 0.5, λ = 0.1, điều kiện dừng dãy lặp xk+1 − x κk = , ρk = 0.5, ≤ 10−3 Thuật toán 1.2.1 chọn tham số λ = 0.01, γ = 0.001, điều kiện dừng dãy lặp xk+1 − x∗ ≤ 10−3 Tính Thuật tốn với giá trị x0 khác Cụ thể Thuật toán 2.3.1 chọn tham số x0 = (1, 3, 1, 1), αk = √1 , k+3 κk = , ρk = 0.5, βk = 0.5, điều kiện dừng dãy lặp xk+1 − x∗ ≤ 10−3 Thuật toán 1.2.1 chọn tham số x0 = (1, 3, 1, 1), γ = 0.001, điều kiện dừng dãy lặp xk+1 − x∗ ≤ 10−3 Tính Thuật toán với giá trị λ khác 47 Thuật tốn 1.2.1 Thuật tốn 2.3.1 Thời gian(s) Số vịng lặp(n) Thời gian(s) Số vòng lặp(n) x0 = ( 13 , 12 , 12 , 13 ) 0.446 1335 0.025 46 x0 = (1, 3, 1, 1) 0.521 1580 0.028 59 x0 = (5, 6, 7, 5) 0.640 1861 0.037 75 Bảng 3.5: Bảng so sánh hai thuật toán với giá trị x0 khác Thuật toán 1.2.1 Thuật toán 2.3.1 Thời gian(s) Số vòng lặp(n) Thời gian(s) Số vòng lặp(n) λ= 1000 4.79 15758 0.039 80 λ= 100 0.521 1580 0.037 77 λ= 20 0.082 315 0.034 68 Bảng 3.6: Bảng so sánh hai thuật toán với giá trị λ khác 48 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hồng Tụy (2018), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Thị Bạch Kim, Giáo trình Các phương pháp tối ưu, NXB Đại học Bách khoa Hà Nội (2008) [4] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy, Giáo trình Tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2011) Tiếng Anh [5] C Byrne, Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem, Inverse Problems, 18(2), pp 441–453 (2002) [6] Agarwal R.P., O’Regan D., Sahu D.R., Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer (2009) [7] P.N Anh, A new extragradient iteration algorithm for bilevel variational inequalities, Acta Mathematica Vietnamica, 37, 95 - 107 (2012) 50 [8] M Solodov, An explicit descent method for bilevel convex optimization, J Convex Anal, 14, 227 - 237 (2007) [9] T.V Anh, "A strongly convergent subgradient extragradient-Halpern method for solving a class of bilevel pseudomonotone variational inequalities", Vietnam J Math., 45, pp 317–332 (2017) [10] P.K Anh, T.V Anh, L.D Muu, "On bilevel split pseudomonotone variational inequality problems with applications", Acta Math Vietnam., 42(3), pp 413–429 (2017) [11] K Goebel, W.A Kirk, Topics in Metric Fixed Point Theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol 28 Cambridge University Press, Cambridge (1990) [12] I.V Konnov, E Laitinen, Theory and Applications of Variational Inequalities, Preprint, Department of Mathematical Sciences (2002) [13] P.-E Mainge, "A hybrid extragradient-viscosity method for monotone operators and fixed point problems", SIAM J Control Optim., 47, pp 1499–1515 (2008) [14] L.D Muu, N.V Quy, "On existence and solution methods for strongly pseudomonotone equilibrium problems", Vietnam J Math., 43, 229–238 (2015) [15] H.-K Xu, "Iterative algorithms for nonlinear operators", J Lond Math Soc., 66, pp 240–256 (2002) [16] P N Anh, L D Muu, V H Nguyen and J J Strodiot, "Using the Banach contraction principle to implement the proximal point method for multivalued monotone variational inequalities", J Optim Theory Appl., 124, pp 285-306 (2005) 51 [17] F Facchinei and J S Pang, Finite-dimensional variational inequalities and complementarity problems, Springer-Verlag, NewYork, 2003 [18] L C Zeng and J C Yao, "Strong convergence theorem by an extragradient method for fixed point problems and variational inequality problems", Taiwanese J Math., 10 , pp 1293-1303 (2006) [19] G M Korpelevich, "Extragradient method for finding saddle points and other problems", Ekonomika i Matematicheskie Metody., 12 , pp 747-756 (1976) [20] P N Anh, L D Muu and J J Strodiot, "Generalized projection method for non-Lipschitz multivalued monotone variational inequalities", Acta Math Vietnam., 34 , pp 67-79 (2009) [21] F Facchinei and J S Pang, "Finite-dimensional variational inequalities and complementarity problems", Springer-Verlag, NewYork, (2003) [22] N Nadezhkina and W Takahashi, "Weak convergence theorem by an extragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings", J Optim Theory Appl., 128 , pp 191-201 (2006) [23] Y Yao, Y C Liou, and J C Yao, "An extragradient method for fixed point probelms and variational inequality programs", J Inequal Appl., (2007), Article ID 38752, 12 pages, doi:10.1155/2007/38752 [24] P N Anh and T Kuno, "A cutting hyperplane method for generalized monotone nonlipschitzian multivalued variational inequalities, in: Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes ", Eds: H G Bock, H X Phu, R Rannacher, and J P Schloder, Springer, (2012) 52 [25] T.V Anh, A parallel method for variational inequalities with the multiple-sets split feasibility problem constraints, J Fixed Point Theory Appl., 19 (2017), 2681–2696 [26] H.H Bauschke, P.L Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces New York: Springer (2011) [27] Ng Buong, Iterative algorithms for the multiple-sets split feasibility problem in Hilbert spaces, Numerical Algorithms, 76 (2017), 783–798 [28] Ng Buong, Ng.S Ha, Ng.T.T Thuy, A new explicit iteration method for a class of variational inequalities, Numerical Algorithms, 72(2) (2016), 467–481 [29] C Byrne, Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem, Inverse Problems, 18 (2002), 441–453 [30] C Byrne, A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction, Inverse Problems, 20 (2004), 103–120 [31] Y Censor, T Bortfeld, B Martin, A Trofimov, A unified approach for inversion problems in intensity-modulated radiation therapy, Phys Med Biol., 51 (2006), 2353–2365 [32] Y Censor, T Elfving, A multiprojection algorithm using Bregman projections in a product space, Numer Algorithms, (1994), 221–239 [33] Y Censor, T Elfving, N Kopf, T Bortfeld, The multiple–sets split feasibility problem and its applications for inverse problems, Inverse Problems, 21 (2005), 2071–2084 [34] Y Censor, A Gibali and S Reich, Algorithms for the split variational inequality problem, Numer Algorithms, 59 (2012), 301–323 53 [35] Y Censor, A Motova, A Segal, Perturbed projections and subgradient projections for the multiple-sets split feasibility problem, J Math Anal Appl., 327 (2007), 1244–1256 [36] C.E Chidume, Geometric properties of Banach spaces and nonlinear iterations, Springer Verlag Series, Lecture Notes in Mathematics, ISBN 978-1-84882-189-7 (2009) [37] S.Y Cho, X Qin, J.C Yao, Y Yao, Viscosity approximation splitting methods for monotone and nonexpansive operators in Hilbert spaces, J Nonlinear Convex Anal., 19 (2018), 251–264 [38] K Goebel, W.A Kirk, Topics in Metric Fixed Point Theory Cambridge Stud Adv Math 28 Cambridge: Cambridge University Press (1990) [39] P Hartman, G Stampacchia, On some non-linear elliptic differentialfunctional equations Acta Math 115 (1966), 271–310 [40] P.T Hieu, Ng.T.T Thuy, J.J Strodiot, Explicit iteration methods for solving variational inequalities in Banach spaces, Bull Malays Math Sci Soc., 42 (2019), 467–483 [41] B Liu, B Qu, N Zheng, A successive projection algorithm for solving the multiple-sets split feasibility problem, Numer Funct Anal Optim., 35 (2014), 1459–1466 [42] P.E Maingé, Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization, Set-Valued Anal., 16 (2008), 899–912 [43] O.G Mancino, G Stampacchia, Convex programming and variational inequalities, J Optim Theory Appl., 9(1) (1972), 3–23 (1972) 54 [44] A Moudafi, Viscosity approximation methods for fixed–points problems J Math Anal Appl., 241 (2000), 46–55 [45] X Qin, J.C Yao, Projection splitting algorithms for nonself operators, J Nonlinear Convex Anal., 18 (2017), 925–935 [46] G Stampacchia, Formes bilineaires coercivites sur les ensembles convexes, C R Acad Sci Paris 258 (1964), 4413–4416 [47] W Takahashi, Introduction to Nonlinear and Convex Analysis Yokohama Publishers, Yokohama (2009) [48] W Takahashi, C.F Wen, J.C Yao, An implicit algorithm for the split common fixed point problem in Hilbert spaces and applications, Appl Anal Optim., (2017), 423–439 [49] Ng.T.T Thuy, P.T Hieu, A hybrid method for solving variational inequalities over the common fixed point sets of infinite families of nonexpansive mappings in Banach spaces, Optimization, 69 (2020), 2155–2176 [50] Ng.T.T Thuy, P.T Hieu, J.J Strodiot, Convergence of a hybrid viscosity approximation method for finding zeros of m-accretive operators, Numerical Algorithms, 83 (2020), 1591–1612 [51] Ng.T.T Thuy, P.T Hieu, J.J Strodiot, Regularization methods for accretive variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups, Optimization, 65(8) (2016), 1553–1567 [52] Ng.T.T Thuy, A strong convergence theorem for an iterative method for solving the split variational inequalities in Hilbert spaces, Vietnam J Math (2021), https://doi.org/10.1007/s10013-021-00476-w 55 [53] T.M Tuyen, Ng.T.T Thuy, Ng.M Trang, A strong convergence theorem for a parallel iterative method for solving the split common null point problem in Hilbert spaces, J Optim Theory Appl., 183 (2019), 271–291 [54] H.K Xu, A variable Krasnoselskii–Mann algorithm and the multiple-set split feasibility problem, Inverse Problems, 22 (2006), 2021–2034 [55] H.K Xu, Strong convergence of an iterative method for nonexpansive and accretive operators, J Math Anal Appl., 314 (2006), 631–643 [56] Y.H Yao, Y.C Liou, J.C Yao, Split common fixed point problem for two quasi-pseudo-contractive operators and its algorithm construction, Fixed Point Theory Appl., 2015 (2015), 19 pages 56 Phụ lục ... toán bất đẳng thức biến phân tách" trình bày phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp với toán tử giả đơn điệu phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tách hai cấp với toán... khơng gian này; giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân tách số phương pháp lặp giải toán liên quan Chương "Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán bất. . .Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tách hai cấp với toán tử đơn điệu mạnh ngược 2.3.1 Mô tả phương pháp Trong mục ta nghiên cứu phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân tách hai