(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách

(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách(Luận văn thạc sĩ) Một phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc điểm bất động tách

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕ ❍❖⑨◆● ❚❍➚ ❚❍❯ ❍×❒◆● ▼❐❚ P❍×❒◆● P❍⑩P ▲➄P ●■❷■ ▼❐❚ ▲❰P ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❇■➌◆ P❍❹◆ ❍❆■ ❈❻P ❱❰■ ❘⑨◆● ❇❯❐❈ ✣■➎▼ ❇❻❚ ✣❐◆● ❚⑩❈❍ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣ ▼➣ sè✿ ✽ ✹✻ ✵✶ ✶✷ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❈⑩◆ ❇❐ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈ P●❙✳❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❚❍❯ ❚❍Õ❨ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✕ ✷✵✷✶ ✐✐ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ữợ sỹ ữợ t t Põ s÷✱ ❚✐➳♥ s➽ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤✉ ❚❤õ②✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❦➼♥❤ trå♥❣ ✈➔ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝ỉ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤✉ ❚❤õ② ✭❱✐➺♥ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ư♥❣ ✈➔ ❚✐♥ ❤å❝✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❇→❝❤ ❦❤♦❛ ❍➔ ữớ ổ t st ữợ t➟♥ t➻♥❤ ✈➔ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ tø ❦❤✐ ❧ü❛ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ❝❤♦ ✤➳♥ ❦❤✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❝ô♥❣ ỷ ỡ t tợ qỵ ❚❤➛②✱ ❈ỉ ❣✐→♦ t❤✉ë❝ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❧ỵ♣ ❈❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✶✷❆✸✱ ❝→❝ ❜↕♥ ❤å❝ ✈✐➯♥ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ❣✐ó♣ ✤ï t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t↕✐ ❚r÷í♥❣✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ❇❛♥ ❣✐→♠ ❤✐➺✉✱ t➟♣ t❤➸ ❝→❝ ❚❤➛②✱ ❈ỉ ❣✐→♦ ❝õ❛ tr÷í♥❣ ❚r✉♥❣ ❤å❝ ♣❤ê t❤ỉ♥❣ ▲÷ì♥❣ ❚❤➳ ❱✐♥❤ ♥ì✐ t→❝ ❣✐↔ ✤❛♥❣ ❝ỉ♥❣ t→❝✱ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ✈➔ ♥❣÷í✐ t❤➙♥ ❧✉ỉ♥ ❦❤✉②➳♥ ❦❤➼❝❤ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ ❝❛♦ ❤å❝ ✈➔ ✈✐➳t ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦ ❚→❝ ❣✐↔ ❍♦➔♥❣ ❚❤à ❚❤✉ ❍÷ì♥❣ ✐✐✐ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ỵ s t tt ❉❛♥❤ s→❝❤ ❜↔♥❣ ✈✐ ▼ð ✤➛✉ ✶ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ ✸ ✶✳✶ ✶✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✶✳✶ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✶✳✷ ⑩♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✶✳✷✳✶ ⑩♥❤ ①↕ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✶✳✷✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✷✳✸ ❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ Pữỡ ởt ợ t tự ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✶✹ ✷✳✶ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ ✈ỵ✐ t♦→♥ tû ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✷✳✶✳✶ ▼ỉ t↔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✷✳✶✳✷ ❙ü ❤ë✐ tö ✷✳✶✳✸ ⑩♣ ❞ö♥❣ ✈➔ ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✐✈ ✷✳✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❣✐↔✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ ✈ỵ✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ t→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✷✳✷✳✶ ▼ỉ t↔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✷✳✷✳✷ ❙ü ❤ë✐ tö ✷✳✷✳✸ ❱➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✹✸ ✈ ❇↔♥❣ ỵ s t tt R Rn ❝→❝ sè t❤ü❝ H ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ ∅ ∀x ❚➟♣ ré♥❣ x∈D x∈ /D x t❤✉ë❝ t➟♣ D x ❦❤æ♥❣ t❤✉ë❝ t➟♣ D x, y x ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ n ợ x ổ ữợ x ✈➔ y ❈❤✉➞♥ ❊✉❝❧✐❞❡ ❝õ❛ x A∗ I ❚♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ t♦→♥ tû A C ∩D C⊆D ●✐❛♦ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ C ✈➔ D C⊂D C ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ t❤ü❝ sü ❝õ❛ D ❋✐①(T ) ❚➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T PC (x) P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ trü❝ ❣✐❛♦ ✭♠➯tr✐❝✮ ❝õ❛ ♣❤➛♥ tû x ❧➯♥ t➟♣ C ✈✳✤✳❦ ❱✐➳t t➢t ❝õ❛ ❝ư♠ tø ✧✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✧ A ▼❛ tr➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✈à ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A det(A) ❱■P ✣à♥❤ t❤ù❝ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣ A ❙❋PP ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ t t tỷ ỗ t C t ❝♦♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ t➟♣ D ❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈✐ ❉❛♥❤ s→❝❤ ❜↔♥❣ ✷✳✶ ❑➳t q✉↔ sè ❝❤♦ ❱➼ ❞ư ✷✳✶✳✽ ✈ỵ✐ x0 = (1, 1) ✱ αk = ✷✳✷ λk = 0.01✱ µ = 0.1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ k+1 ✱ ηk = 2(k+3) ✱ ❑➳t q✉↔ sè ❝❤♦ ❱➼ ❞ö ✷✳✶✳✽ ✈ỵ✐ x0 = (2, 3) ✱ αk = k+3 ✷✳✸ ✷✳✹ k+3 ✱ ηk = k+1 2(k+3) ✱ λk = 0.01✱ µ = 0.1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ k+1 ❑➳t q✉↔ ❝❤↕② ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈ỵ✐ λk = ✱ αk = ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ k+2 2(k + 3) k 0.01 + t q ữỡ tr ợ k = ✱ αk = ✳ ✳ ✹✵ 1.7k + 2(k 0.01 + 3) ✶ ▼ð ✤➛✉ ❈❤♦ H ❧➔ ♠ët ổ rt tỹ ợ t ổ ữợ , C ởt t ỗ ✤â♥❣✱ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ H✱ F ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤✐ tø ♠ët t➟♣ tr♦♥❣ H ❝❤ù❛ C ✈➔♦ H✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✭✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❧❡♠ ✮ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✈ỵ✐ →♥❤ ①↕ F ✈➔ t➟♣ r➔♥❣ ❜✉ë❝ C ✱ ỵ PC, F ữủ t ữ s❛✉✿ ❚➻♠ x∗ ∈ C s❛♦ ❝❤♦ F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C ✭❱■P✮ ❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✤÷đ❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ♥❣÷í✐ ■t❛❧✐❛✱ ❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛ ✭①❡♠ ❬✼❪ ✈➔ ❬✶✵❪✮✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ✤÷❛ r❛ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✈➔♦ ❝✉è✐ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✻✵ ỳ t trữợ ứ ✤â ✤➳♥ ♥❛②✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❧✉æ♥ ❧➔ ♠ët ✤➲ t➔✐ t❤í✐ sü✱ t❤✉ ❤ót ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❞♦ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trồ t tr ỵ tt t ụ ♥❤÷ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ư♥❣ t❤ü❝ t➳✳ ❑❤✐ t➟♣ r➔♥❣ ❜✉ë❝ C ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ P ữủ ữợ t ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ♠ët →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❤♦➦❝ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ✭❤ú✉ ❤↕♥ ❤♦➦❝ ✈æ ❤↕♥✮ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❱■P✮ ❝á♥ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tỹ t ữ ỷ ỵ t ổ t tố ữ ố ợ ❧ỵ♣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✱ ♥➠♠ ✷✵✵✶ ❨❛♠❛❞❛ ❬✶✶❪ ✤➣ ✤➲ ①✉➜t ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ✤÷í♥❣ ❞è❝ ♥❤➜t ✤➸ ❣✐↔✐✳ ❉ü❛ tr➯♥ ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❝õ❛ ❨❛♠❛❞❛✱ ✤➣ ❝â ♥❤✐➲✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤➡♠ ♠ð rë♥❣ ✈➔ ❝↔✐ ❜✐➯♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ❞↕♥❣ ✤÷í♥❣ ❞è❝ ♥❤➜t ❝❤♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ tr➯♥ t➟♣ r➔♥❣ ❜✉ë❝ C ❧➔ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❤ú✉ ❤↕♥✱ ❤å ✈æ ❤↕♥ ✤➳♠ ✤÷đ❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥✳ ▼ư❝ t✐➯✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët số ữỡ ợ t t t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❜➔✐ t♦→♥ ữợ t t tự ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❤♦➦❝✴✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ t→❝❤ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✸❪ ✈➔ ❬✹❪ ❝æ♥❣ ❜è ♥➠♠ ✷✵✶✻ ✈➔ ✷✵✶✼✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✧❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣✧ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ ✈➼ ❞ö ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ ✈➔ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ Pữỡ ởt ợ t t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣✧ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ữỡ ợ ữủ t tr ❬✹❪ ①➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➜♣ ữợ t tự ỡ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ t→❝❤✱ tr➻♥❤ ❜➔② ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✈➔ ♠ët sè →♣ ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t✱ ỗ tớ t sü ❤ë✐ tư ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✳ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ü❝ ♥❣❤✐➺♠ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❜➡♥❣ ♥❣ỉ♥ ♥❣ú ▼❆❚▲❆❇✳ ✸ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ ✈➼ ❞ö ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ ✈➔ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ♠ö❝✳ ▼ö❝ ✶✳✶ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✳ ▼ư❝ ✶✳✷ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝✱ ✈➼ ❞ư ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ t ũ sỹ tỗ t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷đ❝ tê♥❣ ❤đ♣ tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶✱ ✷✱ ✹✕✻✱ ✽❪✳ ✶✳✶ ✶✳✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶ ✭①❡♠ ❬✶❪✮ ❈❤♦ H ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ H✱ x, y = x + y − x−y = x+y − x − y ✹ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷ ✭①❡♠ ❬✶❪✮ ❈❤♦ ❤❛✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❜➜t ❦ý X ✈➔ Y ✳ ▼ët →♥❤ ①↕ A : X −→ Y ❣å✐ ❧➔ t✉②➳♥ t➼♥❤ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❤❛② t♦→♥ tû ♥➳✉✿ ✭❛✮ A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 ✱ ∀x1 , x2 ∈ X ✳ ✭❜✮ A(αx) = αAx✱ ∀x ∈ X ✱ ∀α ∈ R✳ ◆➳✉ Y = X ✱ t❛ ❝ô♥❣ ♥â✐ A ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû tr♦♥❣ X ✳ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝❤✉♥❣ ✈➲ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝✱ →♥❤ ①↕ A : X −→ Y ❣å✐ ❧➔ tư❝ ❧✐➯♥ ♥➳✉ xn −→ x0 ❧✉ỉ♥ ❧✉ỉ♥ ❦➨♦ t❤❡♦ Axn −→ Ax0 ✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❜➜t ❦ý✱ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ❧✐➯♥ tư❝✳ ❑❤✐ ✤â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧✐➯♥ tư❝ t÷ì♥❣ ữỡ ợ t ữủ ữ s ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸ ✭①❡♠ ❬✶❪✮ ▼ët t♦→♥ tû A : X −→ Y ❣å✐ ❧➔ ♥ë✐ ✮ ❜à ❝❤➦♥ ✭❣✐ỵ✐ ♥➳✉ ❝â ♠ët ❤➡♥❣ sè K > s❛♦ ❝❤♦✿ Ax ≤ K x ✭✶✳✶✮ ∀x ∈ X ❙è K ≥ ♥❤ä ♥❤➜t t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✶✳✶✮ ✤÷đ❝ t tỷ A ỵ A ✳ ◆❤÷ ✈➟②✿ ✶✳ Ax ≤ A x ∀x ∈ X ✳ ✷✳ ◆➳✉ ∀x ∈ X ✱ Ax ≤ K x t❤➻ A ≤ K ✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹ ✭①❡♠ ❬✶❪✮ ❈❤♦ A : X −→ Y ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝✳ ⑩♥❤ ①↕ A∗ : Y −→ X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ A ♥➳✉ Ax, y = x, A∗ y ✱ ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y ✳ ❚♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✺ ✭①❡♠ ❬✶❪✮ ❈❤♦ A : X −→ Y ✱ B : X −→ Y ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ✈ỵ✐ A∗ : Y −→ X ✱ B ∗ : Y −→ X ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤đ♣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝õ❛ A ✈➔ B ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ α, β ∈ R✱ t❛ ❝â✿ ✶✳ A∗ = A ✳ ✸✵ ❙û ❞ư♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✈➔ t➼♥❤ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ PC ✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝✿ y k − x∗ = PC (xk + δA∗ (Suk − Axk )) − PC (x∗ ) ≤ (xk − x∗ ) + δA∗ (Suk − Axk ) 2 = xk − x∗ + δA∗ (Suk − Axk ) ≤ xk − x∗ + δ A∗ ≤ xk − x∗ + δ2 A = xk − x∗ − δ(1 − δ A ) Suk − Axk ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ δ ∈ 0, 2 + 2δ xk − x∗ , A∗ (Suk − Axk ) Suk − Axk Suk − Axk A +1 2 + 2δ A(xk − x∗ ), Suk − Axk − δ uk − Axk 2 − δ Suk − Axk − δ uk − Axk ✭✷✳✸✵✮ ✱ t❛ ❝â y k − x∗ ≤ xk − x∗ ∀k ✭✷✳✸✶✮ ❚ø ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✹ ✈➔ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ PC ✱ t❛ ❝â✿ z k − x∗ = PC (y k − λk µF (y k )) − PC (x∗ ) ≤ y k − λk µF (y k ) − x∗ = (I − λk µF )(y k ) − (I − λk µF )(x∗ ) − λk µF (x∗ ) ≤ (I − λk µF )(y k ) − (I − λk µF )(x∗ ) + λk µ F (x∗ ) ≤ (1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ F (x∗ ) ✭✷✳✸✷✮ ❑➳t ❤ñ♣ T (x∗ ) = x∗ ✱ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝õ❛ T ✱ ✭✷✳✸✷✮ ✈➔ ✭✷✳✸✶✮✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ xk+1 − x∗ = αk (xk − x∗ ) + (1 − αk )(T (z k ) − x∗ ) ≤ αk xk − x∗ + (1 − αk ) T (z k ) − x∗ = αk xk − x∗ + (1 − αk ) T (z k ) − T (x∗ ) ≤ αk xk − x∗ + (1 − αk ) z k − x∗ ≤ αk xk − x∗ + (1 − αk ) (1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ F (x∗ ) ≤ αk xk − x∗ + (1 − αk ) (1 − λk τ ) xk − x∗ + λk µ F (x∗ ) = [1 − λk (1 − αk )τ ] xk − x∗ + (1 − αk )λk µ F (x∗ ) k = [1 − λk (1 − αk )τ ] x − x ∗ µ F (x∗ ) + λk (1 − αk )τ τ ✸✶ ❉♦ ✤â✱ k+1 x −x ∗ ≤ max µ F (x∗ ) x −x , τ k ∗ , ✈➔ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ♥↕♣ t♦→♥ ❤å❝✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ xk − x∗ ≤ max x0 − x∗ , µ F (x∗ ) τ ∀k ≥ ❉♦ ✤â✱ ❞➣② {xk } ❜à ❝❤➦♥✱ tø ✤â s✉② r❛ ❝→❝ ❞➣② {y k } ✈➔ {F (y k )} ❜à ❝❤➦♥✳ ❉ü❛ ✈➔♦ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝õ❛ PC ✱ t❛ ❝â y k+1 − y k = PC (xk+1 + δA∗ (Suk+1 − Axk+1 )) − PC (xk + δA∗ (Suk − Axk )) ≤ xk+1 + δA∗ (Suk+1 − Axk+1 ) − xk − δA∗ (Suk − Axk ) = (xk+1 − xk ) + δA∗ (Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 ) = xk+1 − xk 2 2 + δ A∗ (Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 ) + 2δ xk+1 − xk , A∗ (Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 ) ✭✷✳✸✸✮ ❈❤ó þ r➡♥❣✿ δ A∗ (Suk+1 − Suk +Axk − Axk+1 ) ≤ δ A∗ = δ2 A 2 Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 ✭✷✳✸✹✮ ỵ k := xk+1 xk , A (Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 ) ✈➔ sû ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥ ❝õ❛ S ✈➔ PQ ✱ t❛ ✤÷đ❝ Θk = 2δ A(xk+1 − xk ), Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 = 2δ Axk+1 − Axk , Suk+1 − Suk − 2δ Axk+1 − Axk =δ Suk+1 − Suk 2 − Axk+1 − Axk − (Suk+1 − Suk ) − Axk+1 − Axk ≤δ uk+1 − uk − Axk+1 − Axk − (Suk+1 − Suk ) 2 − Axk+1 − Axk ✸✷ =δ PQ (Axk+1 ) − PQ (Axk ) − Axk+1 − Axk − (Suk+1 − Suk ) − Axk+1 − Axk 2 ✭✷✳✸✺✮ ≤ −δ Axk+1 − Axk − (Suk+1 − Suk ) ⑩♣ ❞ö♥❣ ✭✷✳✸✹✮ ✈➔ ✭✷✳✸✺✮ ✈➔♦ ✭✷✳✸✸✮✱ ❦➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ < δ < y k+1 −y k A +1 ✱ t❛ ❝â ≤ xk+1 − xk − δ(1 − δ A ) Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 ≤ xk+1 − xk ❉♦ ✤â y k+1 − y k ≤ xk+1 − xk ∀k ≥ ✭✷✳✸✻✮ ✣➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ỵ t tk = T (z k ) ứ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕ T ✈➔ PC ✱ ✭✷✳✸✻✮✱ ✈➔ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✹✱ t❛ ❝â tk+1 −tk = T (z k+1 ) − T (z k ) ≤ z k+1 − z k = PC (y k+1 − λk+1 µF (y k+1 )) − PC (y k − λk µF (y k )) ≤ y k+1 − λk+1 µF (y k+1 ) − y k + λk µF (y k ) = (I − λk µF )(y k+1 ) − (I − λk µF )(y k ) + µ(λk − λk+1 )F (y k+1 ) ≤ (1 − λk τ ) y k+1 − y k + µ |λk − λk+1 | F (y k+1 ) ≤ (1 − λk τ ) xk+1 − xk + µ |λk − λk+1 | F (y k+1 ) ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐ ❞➝♥ tỵ✐ tk+1 − tk − xk+1 − xk ≤ −λk τ xk+1 − xk + µ |λk − λk+1 | F (y k+1 ) ❱➻ {xk }✱ {F (y k )} ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ lim λk = 0✱ ♥➯♥ t❛ ❝â k−→∞ lim sup( tk+1 − tk − xk+1 − xk ) ≤ k−→∞ ❉♦ ✈➟②✱ tø ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✺✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ lim tk − xk = k−→∞ ✸✸ ❚❛ t❤➜② xk+1 − xk = (1 − αk ) tk − xk ≤ tk − xk , ✈➔ xk − T (y k ) ≤ xk − tk + tk − T (y k ) = xk − tk + T (z k ) − T (y k ) ≤ x k − tk + z k − y k ≤ xk − tk + PC (y k − λk µF (y k )) − PC (y k ) ≤ xk − tk + y k − λk µF (y k ) − y k = xk − tk + λk µ F (y k ) , ❦➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ lim tk − xk = 0✱ lim λk = 0✱ ✈➔ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ ❞➣② {F (y k )}✱ k−→∞ s✉② r❛ k−→∞ lim xk+1 − xk = 0, ✭✷✳✸✼✮ lim xk − T (y k ) = k−→∞ k−→∞ ▲➛♥ ❧÷đt sû ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T ✈➔ T (x∗ ) = x∗ ✱ t❛ ❝â✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ k✱ xk+1 − x∗ = αk (xk − x∗ ) + (1 − αk )(T (z k ) − x∗ ) ≤ αk x k − x ∗ + (1 − αk ) T (z k ) − x∗ = αk x k − x ∗ + (1 − αk ) T (z k ) − T (x∗ ) ≤ αk x k − x ∗ + (1 − αk ) z k − x∗ ✭✷✳✸✽✮ ❚ø ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✸✵✮ ✈➔ ✭✷✳✸✷✮✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ z k − x∗ ≤ (1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ F (x∗ ) = (1 − λk τ )2 y k − x∗ xk − x∗ ≤ (1 − λk τ )2 + λk µ F (x∗ ) ≤ xk − x∗ 2 + λk µ F (x∗ ) 2 2(1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ F (x∗ ) − δ(1 − δ A ) Suk − Axk − δ uk − Axk + uk − Axk 2(1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ F (x∗ ) − δ(1 − λk τ )2 (1 − δ A ) Suk − Axk + λk µ F (x∗ ) 2(1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ F (x∗ ) ✭✷✳✸✾✮ ✸✹ ❚❤❛② ✭✷✳✸✾✮ ✈➔♦ ✭✷✳✸✽✮✱ t❛ ❝â xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ − δ(1 − αk )(1 − λk τ )2 × (1 − δ A ) Suk − Axk + (1 − αk )λk µ F (x∗ ) ❙û ❞ö♥❣ δ ∈ 0, A 2 + uk − Axk 2(1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ F (x∗ ) ✈➔ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ +1 νk := δ(1 − αk )(1 − λk τ )2 , ψ := (1 − αk )λk µ F (x∗ ) 2(1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ F (x∗ ) , t❛ ✤÷đ❝ νk (1 − δ A ) Suk − Axk ≤ ( xk − x∗ 2 + uk − Axk − xk+1 − x∗ ) + ψk ≤ ( xk − x∗ + xk+1 − x∗ ) xk+1 − xk + ψk ✭✷✳✹✵✮ ❱➻ lim xk+1 − xk = 0, {xk }, {y k } ❜à ❝❤➦♥✱ lim λk = 0, lim αk = α ∈ (0, 1)✱ k−→∞ k−→∞ k−→∞ t❛ ❝â lim νk = δ(1 − α) > ✈➔ ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ✭✷✳✹✵✮ ❞➛♥ ✤➳♥ ❦❤✐ k −→ ∞✳ ❚ø k−→∞ ✤â s✉② r❛ lim Suk − Axk = 0, k−→∞ lim uk − Axk = k−→∞ ✭✷✳✹✶✮ ▲↕✐ sû ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ PC ✱ {xk } ⊂ C ✱ t❛ ❝â t❤➸ ✈✐➳t y k − xk = PC (xk + δA∗ (Suk − Axk )) − PC (xk ) ≤ xk + δA∗ (Suk − Axk ) − xk = δA∗ (Suk − Axk ) ≤ δ A∗ Suk − Axk = δ A Suk − Axk , t ủ ợ t ữủ lim y k xk = k−→∞ ✭✷✳✹✷✮ ✸✺ ❚❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❛♠ ❣✐→❝✱ t❛ ❝â y k − T (y k ) ≤ xk − y k + xk − T (y k ) uk − Suk ≤ uk − Axk + Suk − Axk , ❦➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ ✭✷✳✹✷✮✱ ✭✷✳✸✼✮ ✈➔ ✭✷✳✹✶✮ ❞➝♥ tỵ✐ lim y k − T (y k ) = 0, ✭✷✳✹✸✮ lim uk − Suk = k−→∞ k−→∞ ❇➙② ❣✐í t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ lim sup F (x∗ ), x∗ − y k + λk µF (y k ) ≤ k−→∞ ▲➜② ♠ët ❞➣② ❝♦♥ {y ki } ❝õ❛ {y k } s❛♦ ❝❤♦ lim sup F (x∗ ), x∗ − y k = lim F (x∗ ), x∗ − y ki i−→∞ k−→∞ ❱➻ {y ki } ❜à ❝❤➦♥✱ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû r➡♥❣ y ki ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ y ✳ ❑❤✐ ✤â✱ lim sup F (x∗ ), x∗ − y k = lim F (x∗ ), x∗ − y ki i−→∞ k−→∞ = F (x∗ ), x∗ − y ❉➵ t❤➜② r➡♥❣ y ∈ C ✈➻ y ki ⊂ C ✱ y ki y ✈➔ C ✤â♥❣ ②➳✉✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ y ∈ / ❋✐①(T )✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ y = T (y)✳ ❱➻ y ki y ✈➔ T ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✱ ♥➯♥ tø ✭✷✳✹✸✮ ✈➔ ❇ê ✤➲ ❖♣✐❛❧✱ t❛ ❝â✿ lim inf y ki − y < lim inf y ki − T (y) i−→∞ i−→∞ ≤ lim inf i−→∞ y ki − T (y ki ) + T (y ki ) − T (y) = lim inf T (y ki ) − T (y) i−→∞ ≤ lim inf y ki − y i−→∞ ▼➙✉ t❤✉➝♥ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä ❣✐↔ sû ♣❤↔♥ ❝❤ù♥❣ ❜❛♥ ✤➛✉ s❛✐✱ tù❝ ❧➔ y ∈ ❋✐①(T )✳ ❱➻ y ki y ✈➔ lim y k − xk = 0✱ ♥➯♥ xki k−→∞ y ✳ ❱➻ t❤➳ Axki Ay ✳ ❚ø ✤✐➲✉ ♥➔② ✈➔ ✭✷✳✹✶✮ t❛ ❝â uki Ay ✭✷✳✹✹✮ ✸✻ ❱➻ {uki } ⊂ Q ✈➔ Q ✤â♥❣ ②➳✉✱ ♥➯♥ tø ✭✷✳✹✹✮ t❛ s✉② r❛ Ay ∈ Q✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ Ay ∈ ❋✐①(S)✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ♥➳✉ S(Ay) = Ay ✱ tø ❇ê ✤➲ ❖♣✐❛❧ ✈➔ ✭✷✳✹✸✮✱ t❛ ❝â lim inf uki − Ay < lim inf uki − S(Ay) i−→∞ i−→∞ = lim inf uki − Suki + Suki − S(Ay) i−→∞ ≤ lim inf ( uki − Suki + Suki − S(Ay) ) i−→∞ = lim inf Suki − S(Ay) i−→∞ ≤ lim inf uki Ay , i ổ ỵ õ ự tọ Ay ∈ ❋✐①(S)✳ ❱➻ y ∈ ❋✐①(T ) ✈➔ Ay ∈ ❋✐①(S)✱ t❛ s✉② r❛ y ∈ Ω✳ ▼➔ x∗ ∈ ❙♦❧(Ω, F )✱ ♥➯♥ F (x∗ ), y − x∗ ≥ ❉♦ ✤â✱ tø t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ {F (y k )} ✈➔ lim λk = t❛ s✉② r❛ k−→∞ lim sup F (x∗ ), x∗ − y k + λk µF (y k ) k−→∞ = lim sup F (x∗ ), x∗ − y k + λk µ F (x∗ ), F (y k ) k−→∞ = lim sup F (x∗ ), x∗ − y k k−→∞ = F (x∗ ), x∗ − y ≤ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ xk ❤ë✐ tư ✤➳♥ ✤✐➸♠ x∗ ✳ ❚ø t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝õ❛ PC ✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ x−y ≤ x − y, x − y , ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ H1 ✱ sû ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✹ ✈➔ ✭✷✳✸✶✮✱ t❛ ❧➛♥ ❧÷đt t❤✉ ✤÷đ❝ ✸✼ z k − x∗ = PC (y k − λk µF (y k )) − PC (x∗ ) ≤ y k − λk µF (y k ) − x∗ 2 = (I − λk µF )(y k ) − (I − λk µF )(x∗ ) − λk µF (x∗ ) ≤ (I − λk µF )(y k ) − (I − λk µF )(x∗ ) 2 − 2λk µ F (x∗ ), y k − λk µF (y k ) − x∗ ≤ (1 − λk τ )2 y k − x∗ ≤ (1 − λk τ ) xk − x∗ 2 − 2λk µ F (x∗ ), y k − λk µF (y k ) − x∗ − 2λk µ F (x∗ ), y k − λk µF (y k ) − x∗ ❚❤❛② ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✈➔♦ ✭✷✳✸✽✮✱ t❛ ❝â xk+1 − x∗ ≤ αk xk − x∗ + (1 − αk ) z k − x∗ ≤ αk xk − x∗ + (1 − αk )(1 − λk τ ) xk − x∗ 2 − 2λk µ(1 − αk ) F (x∗ ), y k − λk µF (y k ) − x∗ = [1 − λk (1 − αk )τ ] xk − x∗ tr♦♥❣ ✤â θk = + λk (1 − αk )τ θk , ✭✷✳✹✺✮ 2µ F (x∗ ), x∗ − y k + λk µF (y k ) τ ❱➻ lim sup F (x∗ ), x∗ − y k + λk µF (y k ) ≤ 0, k−→∞ ♥➯♥ lim sup θk ≤ k−→∞ ❈❤ó þ r➡♥❣ ∞ λk (1 − αk )τ = ∞ t❤❡♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❜✮✱ →♣ ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✼ ✈➔♦ k=0 ✭✷✳✹✺✮✱ t❛ s✉② r❛ xk −→ x∗ ✱ ✤➙② ❝❤➼♥❤ ❧➔ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳✹ ❚❛ õ t k = tr ỵ ✷✳✷✳✸✳ k+1 ✱ αk = t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ k+2 2(k + 3) ✸✽ ✷✳✷✳✸ ❱➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ❱➼ ❞ư ✷✳✷✳✺ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ✭❱■P✮✕✭❙❋PP✮ ✈ỵ✐ H1 = R2 ✱ H2 = R3 ✱ A : R2 −→ R3 ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ Ax = (x1 + 2x2 , 3x1 − x2 , x2 ), ✈ỵ✐ t♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣ A∗ : R3 −→ R2 ✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ A∗ y = (y1 + 3y2 , 2y1 − y2 + y3 ) ❈❤♦ C = x ∈ R2 | 2x1 + x2 ≤ ✱ Q = x ∈ R3 | 2x1 + x2 − x3 + = tữỡ ự t ỗ õ ré♥❣ ❝õ❛ R2 ✈➔ R3 ✳ ⑩♥❤ ①↕ ❣✐→ F = I ✱ ✈ỵ✐ I ❧➔ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✈à tr♦♥❣ H1 ✭t❤ä❛ ♠➣♥ ✶✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈➔ ✶✲❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ C ✮✳ ⑩♥❤ ①↕ T : C −→ C ✈➔ S : Q −→ Q ❧➛♥ ❧÷đt ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐✿ T (x) = PC (x), S(x) = PQ (x) ❑❤✐ ✤â ❜➔✐ t♦→♥ ✭❱■P✮✕✭❙❋PP✮ trð t❤➔♥❤✿ ❚➻♠ x∗ ∈ Ω s❛♦ ❝❤♦ x∗ , x − x∗ ≥ ∀x ∈ Ω, ✭❱■P✶✮ tr♦♥❣ ✤â Ω ❧➔ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ t→❝❤ t➻♠ x∗ ∈ C s❛♦ ❝❤♦ x∗ = PC (x∗ ), Ax∗ ∈ Q ✈➔ Ax∗ = PQ (Ax∗ ) ✭❙❋P✶✮ ●✐↔✐ t ữợ P t x = T (x) ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ C ✳ ❚❛ ❝â✿ Ax ∈ Q ⇔ 2(x1 + 2x2 ) + (3x1 − x2 ) − x2 + = ⇔ 5x1 + 2x2 + = ỗ tớ u = S(u), ∀u ∈ Q✳ ❉♦ ✤â✱ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❙❋P✶✮ ❧➔✿ Ω = C ∩ x ∈ R2 | 5x1 + 2x2 + = = x ∈ R2 | 5x1 + 2x2 + = 0, x1 ≥ −1 ❉➵ t❤➜② Ω ❦❤→❝ ré♥❣✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➜♣ tr➯♥ ✭❱■P✶✮✳ ❚❛ t❤➜②✿ x∗ , x − x∗ ≥ ∀x ∈ Ω ⇔ x∗ , x∗ ≤ x∗ , x ⇔ x∗ ≤ x∗ ⇔ x∗ ≤ x x ∀x ∈ Ω ∀x ∈ Ω ✭❈❛✉❝❤②✕❙❝❤✇❛r③✮ ∀x ∈ Ω, ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❱■P✶✮ trð t❤➔♥❤ ❜➔✐ t♦→♥✿ t➻♠ x∗ ∈ Ω s❛♦ ❝❤♦ x∗ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❝â ❝❤✉➞♥ ♥❤ä ♥❤➜t tr♦♥❣ Ω✳ ❚ù❝ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔ x∗ = − , − 29 29 ✸✾ ✭❝❤➼♥❤ ❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ O tr➯♥ Ω✮✳ ❚❤➟t ✈➟②✿ ▲➜② x∗ = (x∗1 , x∗2 ) ∈ C ✱ t❛ ❝â −1 − 5x∗1 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ x = x1 + x2 ✳ ❱➻ Ax ∈ Q ♥➯♥ x2 = ✱ ❦❤✐ ✤â t❛ ❝â✿ ∗ x = x∗1 + x∗2 −1 − 5x∗1 = x∗1 = 29x∗1 + 10x∗1 + + 2 + = 29 x∗1 + 29 29 √ 29 ≥ 29 −5 ∗ −2 ❉➜✉ “ = ” ①↔② r❛ ❦❤✐ x∗1 = ,x = 29 29 ❙û ❞ư♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✷ ✈ỵ✐ ✤✐➸♠ ①✉➜t ♣❤→t x0 = (0, 0) ✱ ❝→❝ t❤❛♠ sè ❤➡♥❣ δ = ✱ µ = 2✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❞ø♥❣ ❧➔ s❛✐ sè ❣✐ú❛ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ✤ó♥❣ ✤õ ♥❤ä✱ tù❝ ❧➔ xk − x∗ ≤ ε, ð ✤➙② ❝❤å♥ ε = 10−6 ✳ ❈❤å♥ ❝→❝ λk ✈➔ αk ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✤➸ ①❡♠ ①➨t sü t❤❛② ✤ê✐ t❤í✐ ữỡ tr ợ k = k+1 ✱ αk = ✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❇↔♥❣ ✷✳✸✳ k+2 2(k + 3) k 0.01 + ❼ ❱ỵ✐ λk = ✱ αk = ✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❇↔♥❣ ✷✳✹✳ 1.7k + 2(k 0.01 + 3) ữợ (k) ✶✺✸✻✼✽ xk1 xk2 xk − xk−1 xk − x∗ −0.17227111 −0.06890844 1.538323 × 10−7 ✵✳✵✵✵✶✺✸ −0.17239952 −0.06895981 1.536942 × 10−9 1.536788 × 10−5 −0.17241237 −0.06896495 1.536815 × 10−11 1.536789 × 10−6 −0.17241286 −0.06896515 6.507027 × 10−12 9.999993 × 10−7 ❇↔♥❣ t q ữỡ tr ợ k = k +1 ✱ αk = 2(kk ++13) ✳ ❚❤í✐ ❣✐❛♥ s ữợ (k) ✶✵✵✵ ✶✵✵✵✵ ✾✵✸✾✾ xk1 xk2 xk − xk−1 xk − x∗ −0.1722459 −0.06889836 3.624207 × 10−7 ✵✳✵✵✵✶✽✵ −0.17232985 −0.06893194 9.050217 × 10−8 9.040552 × 10−5 −0.1724054 −0.06896216 9.040966 × 10−10 9.039997 × 10−6 −0.17241286 −0.06896515 1.106215 × 10−11 9.999936 × 10−7 0.01 ❚❤í✐ ❣✐❛♥ ✭s✮ ✵✳✵✸✶✷✹ ✵✳✵✻✷✹✾ ✵✳✺✼✽✶✵ ✺✳✷✺✼✶✼ ❇↔♥❣ t q ữỡ tr ợ k = 1.7k1+ ✱ αk = 2(kk 0.01++13) ✳ ◆❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❤ë✐ tư ❞➛♥ ✈➲ ♥❣❤✐➺♠ ✤ó♥❣✿ x∗ = − ,− 29 29 ≈ (−0.17241379, −0.06896551) ✹✶ ❑➳t ❧✉➟♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ✤↕t ✤÷đ❝ ♠ư❝ t✐➯✉ ✤➲ r❛ ự ởt ữỡ ởt ợ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝❀ ✤÷❛ r❛ ✈➔ t➼♥❤ t♦→♥ ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛✧✳ ❑➳t q✉↔ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ tr ởt số ữỡ ởt ợ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣✳ ❈ö t❤➸✿ ✶✳ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣✱ ♥➯✉ ✈➼ ❞ö ✈➔ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✳ ✷✳ ▼ỉ t↔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ①➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣✿ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➜♣ ữợ t tự ỡ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ t→❝❤✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✳ ✸✳ ✣÷❛ r❛ ❤❛✐ ✈➼ ❞ö sè ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ sü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✱ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ü❝ ♥❣❤✐➺♠ ✤÷đ❝ tỹ ổ ỳ ữợ t tr ❧✉➟♥ ✈➠♥ tr♦♥❣ t÷ì♥❣ ❧❛✐ ✶✳ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè t tỹ t ữủ ổ t ữợ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣✳ ✹✷ ✷✳ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝↔✐ t✐➳♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❤✐➺♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ❝➜♣ ✈➔ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥✳ ✹✸ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ ❍♦➔♥❣ ❚ö② ✭✷✵✶✽✮✱ ❍➔♠ t❤ü❝ ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✷❪ ❘✳P✳ ❆❣❛r✇❛❧✱ ❉✳ ❖✬❘❡❣❛♥✱ ❉✳❘✳ ❙❛❤✉ ✭✷✵✵✾✮✱ ▲✐♣s❝❤✐t③✐❛♥✲t②♣❡ ▼❛♣♣✐♥❣s ✇✐t❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❢♦r ❙♣r✐♥❣❡r✳ ❬✸❪ ❚✳❱✳ ❆♥❤ ✭✷✵✶✼✮✱ ✏❆ str♦♥❣❧② ❝♦♥✈❡r❣❡♥t s✉❜❣r❛❞✐❡♥t ❡①tr❛❣r❛❞✐❡♥t✲ ❍❛❧♣❡r♥ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r s♦❧✈✐♥❣ ❛ ❝❧❛ss ♦❢ ❜✐❧❡✈❡❧ ♣s❡✉❞♦♠♦♥♦t♦♥❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✑✱ ❱✐❡t♥❛♠ ❏✳ ▼❛t❤✳✱ ✹✺✱ ♣♣✳ ✸✶✼✕✸✸✷✳ ❬✹❪ ❚✳❱✳ ❆♥❤✱ ▲✳❉✳ ▼✉✉ ✭✷✵✶✻✮✱ ✏❆ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥✲❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ❛ ❝❧❛ss ♦❢ ❜✐❧❡✈❡❧ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✇✐t❤ s♣❧✐t ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t ❝♦♥str❛✐♥ts✑✱ ♠✐③❛t✐♦♥✱ ❖♣t✐✲ ✻✺✭✻✮✱ ♣♣✳ ✶✷✷✾✕✶✷✹✸✳ ❬✺❪ ❈✳❊✳ ❈❤✐❞✉♠❡ ✭✷✵✵✾✮✱ ❧✐♥❡❛r ✐t❡r❛t✐♦♥s✑ ✱ ✏●❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s ❛♥❞ ♥♦♥✲ ❙♣r✐♥❣❡r ❱❡r❧❛❣ ❙❡r✐❡s✱ ▲❡❝t✉r❡ ◆♦t❡s ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ■❙❇◆ ✾✼✽✲✶✲✽✹✽✽✷✲✶✽✾✲✼✳ ❬✻❪ ■✳❱✳ ❑♦♥♥♦✈✱ ❊✳ ▲❛✐t✐♥❡♥ ✭✷✵✵✷✮✱ ✏❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✑✱ ❉❡♣❛rt♠❡♥t ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s✱ ❋❛❝✉❧t② ♦❢ ❙❝✐❡♥❝❡✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❖✉❧✉✱ ■❙❇◆ ✾✺✶✲✹✷✲✻✻✽✽✲✾✳ ❬✼❪ ❏✳▲✳ ▲✐♦♥s✱ ●✳ ❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛ ✭✶✾✻✼✮✱ ✏❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✑✱ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✳✱ ✷✵✱ ♣♣✳ ✹✾✸✕✺✶✾✳ ❈♦♠♠✳ P✉r❡ ✹✹ ❬✽❪ ❉✳❙✳ ▼✐tr✐♥♦✈✐✁❝✱ ❏✳❊✳ P❡✞❝❛r✐✁❝✱ ❆✳▼✳ ❋✐♥❦ ✭✶✾✾✸✮✱ ✏❇❡ss❡❧✬s ■♥❡q✉❛❧✐t②✑✱ ❈❧❛s✲ s✐❝❛❧ ❛♥❞ ◆❡✇ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✐♥ ❆♥❛❧②s✐s✳ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ ■ts ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✭❊❛st ❊✉r♦♣❡❛♥ ❙❡r✐❡s✮✱ ✈♦❧ ✻✶✳ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ❉♦r❞r❡❝❤t✳ ❬✾❪ ▲✳❉✳ ▼✉✉✱ ◆✳❱✳ ◗✉② ✭✷✵✶✺✮✱ ✏❖♥ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ s♦❧✉t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s ❢♦r str♦♥❣❧② ♣s❡✉❞♦♠♦♥♦t♦♥❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❜❧❡♠s✑✱ ❱✐❡t♥❛♠ ❏✳ ▼❛t❤✳✱ ✹✸✱ ♣♣✳ ✷✷✾✕✷✸✽✳ ❬✶✵❪ ●✳ ❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛ ✭✶✾✻✹✮✱ ✏❋♦r♠❡s ❜✐❧✐♥➨❛✐r❡s ❝♦❡r❝✐t✐✈❡s s✉r ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s ❝♦♥✈❡①❡s✑✱ ❈✳ ❘✳ ❆❝❛❞✳ ❙❝✐✳ P❛r✐s✱ ✷✺✽✱ ♣♣✳ ✹✹✶✸✕✹✹✶✻✳ ❬✶✶❪ ■✳ ❨❛♠❛❞❛ ✭✷✵✵✶✮✱ ✏❚❤❡ ❤②❜r✐❞ st❡❡♣❡st ❞❡s❝❡♥t ♠❡t❤♦❞ ❢♦r t❤❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠ ♦✈❡r t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t s❡ts ♦❢ ♥♦♥❡①♣❛♥s✐✈❡ ♠❛♣♣✐♥❣s✑✱ ■♥✿ ❇✉t♥❛r✐✉✱ ❉✳✱ ❈❡♥s♦r✱ ❨✳✱ ❘❡✐❝❤✱ ❙✳ ✭❡❞s✳✮ ■♥❤❡r❡♥t❧② P❛r✲ ❛❧❧❡❧ ❆❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r ❋❡❛s✐❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❚❤❡✐r ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❊❧s❡✈✐❡r✱ ❆♠st❡r❞❛♠✱ ♣♣✳ ✹✼✸✲✺✵✹✳