Luận văn một phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

I HC THãI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC o0o Һ0€ПǤ TҺÀ TҺƒ0 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n lulunnn nv va lulu lu MậT ì ã ເҺI˜U ǤIƒI Ь€I T0•ПЬ‡T •ПǤ TҺὺເ ЬI˜П ΡҺ…П ҺAI ເ‡Ρ LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ Sž T0•П ҺÅເ TҺ•I ПǤUƔ–П, П‹M 2020 I HC THãI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC o0o T T0 MậT ì ã IU II I T0ãT •ПǤ TҺὺເ ЬI˜П ΡҺ…П ҺAI ເ‡Ρ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu uả : T0ã Dệ M số: 8460112 LU T S T0ã Ă ữợ dă k0a Һåເ ΡǤS.TS ПǤUƔ™П TҺÀ TҺU TҺÕƔ TҺ•I ПǤUƔ–П, П‹M 2020 iii Mử lử Li Êm Ê kỵ iằu DaпҺ s¡ເҺ ь£пǥ Mð ¦u n yê ờn n p u uy v ữ Đ iá Ơ hii ngngn0 kổ ia ile g nhá áiĩ, lu t h t tđốh h tc cs sĩ ǥiaп Һilьeгƚ 1.1 Mở số ẵ Đ ừa kvnổ n n thth ăan n v n v n n v va ậ n n mÔ 1.1.1 Sü Һëi ƚư ɣ¸u,luluậlậulҺëi ulậuậ 1.1.2 T0¡п ƚû ເҺi¸u ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ 1.1.3 Пâп ρҺ¡ρ ƚuɣ¸п 1.1.4 ã Ô kổ i 0Ă ỷ iằu 1.2 Ь i ƚ0¡п ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ iá Ơ mở số i 0Ă liả qua 11 1.2.1 i 0Ă Đ iá ρҺ¥п 11 1.2.2 Mëƚ ь i 0Ă ỹ ữủ mổ Ê dữợi dÔ Đ iá Ơ 12 1.2.3 Mëƚ sè ь i ƚ0¡п li¶п quaп 14 1.2.4 Mëƚ ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ l°ρ iÊi Đ iá Ơ .16 ữ Mở ữ Ă iáu iÊi Đ iá Ơ ເ§ρ ƚг0пǥ k̟Һỉпǥ ǥiaп Һilьeгƚ 22 2.1 Ь i ƚ0¡п Đ iá Ơ Đ 22 2.1.1 i 0Ă Đ iá Ơ Һai ເ§ρ 22 iv 2.1.2 Mëƚ sè ь i ƚ0¡п li¶п quaп 23 2.1.3 Tuê 0Ă Ô0 m ô ữ iÊi Đ iá Ơ Đ 24 2.2 ữ Ă iáu iÊi Đ iá Ơ Đ 26 2.2.1 Mổ Ê ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ 26 2.2.2 Sü Һëi ƚö 27 Ká luê 32 T i liằu am kÊ0 33 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va lulu lu Li Êm Luê ô ữủ Ôi Tữ Ôi K0a - Ôi TĂi uả T0 quĂ ẳ ê ỹ iằ luê ô , Tữ Ôi K0a  Ô0 mồi iÃu kiằ ố Đ ổi ữủ am ia ê, iả u Tổi i ữủ ỷi li Êm ợi a iĂm iằu, ỏ Ô0, K0a T0Ă - Ti Tữ Ôi K0a quỵ Ư ổ ỹ iá iÊ dÔ lợ a0 T0Ă K12A (kõa 2018 2020)  ê ẳ uÃ Ô kiá quỵ Ău ụ ữ Ô0 iÃu kiằ ổi 0ờnờn n kõa Һåເ y ă ệp uguny v hii ngnп ậ º luê ô mở Ă t0 g nhỏ ỏi, lu ổi luổ ê ữủ sỹ ữợ t h tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ dă i ù iằ ẳ ừa S.TS U T TҺU TҺÕƔ Tæi хiп vvăănănn thth n ậ va n lulunnn nv va ọ lỏ iá sƠu s- ເỉ ѵlululậuậ хiп ǥûi lίi ƚгi ¥п ເõa ƚỉi èi ợi iÃu ổ  d ổi Tổi i ỷi li Êm Ơ Đ ợi ia ẳ, Ô , ỗ iằ  luổ iả, ộ ủ Ô0 iÃu kiằ ổi suố quĂ ẳ ê ỹ iằ luê ô TĂi uả, Ă ôm 2020 TĂ iÊ luê ô T TÊ0 Ê kỵ iằu (Ã, Ã) ѴI(F, ເ ) Пເ(х0) S(F,ເ) 0Ρ(F, ເ) FΡ(F, ເ ) Ρເ ЬѴI(F, Ǥ, ເ ) S(Ǥ,ເ) k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺüເ mở ê lỗi õ kĂ ộ ừa ẵ ổ ữợ i 0Ă Đ iá Ơ ợi Ă Ô iĂ F ê uở õ Ă uá i ừa Ôi ê iằm ừa i 0Ă Đ iá Ơ ѴI(F, ເ) ь i ƚ0¡п ƚèi ÷u ên n n y êă ệp u uy v hii ngngận ëпǥ ь i ƚ0¡п iºm ngь§ƚ i u t th há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ ρҺ²ρ ເҺi¸u mải iáu lả Đ th h t i 0Ă Đvnnn iáƠ n v v an n lulunnn nv va lulu lu ê iừa 0ĂĐ Ơ I(, ) êiằm iằm i 0Ă ЬѴIьi¸п (F, Ǥ, ເ ) DaпҺ s¡ເҺ ь£пǥ T 1.1 Ь£пǥ 5, 5) Г3 , ເҺåп µ, =µ 1/(k .2121 1.2 ̟ +̟ 2) T ∈ Г3 Ь£пǥ ẵ ẵ 0Ă 0Ă ợi ợi 00 == (5, (20, 60,10) = 1/(k + 2) 1.3 Ê ẵ 0Ă ợi х0 = (−20, −60, −10)T ∈ Г3 , µ = 1/(k̟ + 4) 21 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Mð ¦u ເҺ0 Һ l mëƚ k̟Һỉпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺüເ ợi ẵ ổ ữợ (Ã, Ã) uâ à l mở ê lỗi õ kĂ ộ ừa , Ă Ô F : ữ ữủ ồi l Ă Ô iĂ (0 mở i ữ ủ, F i ứ ợi ) i 0Ă Đ iá Ơ ( ) , iá - I(F, ), ữủ Ă iu ữ sau: Tẳm sa0 (F (), х − х∗) ≥ ѵỵi måi х ∈ ເ n yê ên n ă ệp u uny v ເ ) ữủ iợi iằu lƯ Ưu iả i 0Ă Đ iá ƠngI hii ngng(F, ỏ i u t th há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đh п«m 1966 ьði Ǥ.J Һaгƚmaп ѵ nǤ k̟Һi пǥҺi¶п ເὺu ѵi»ເ ǥi£i ь i t th vvăănănn SƚamρaເເҺia, vva an ậ n luluậ ậnn n v lulu iả ữ ẳ Ô0 m iả [7] 0Ă iÃu ki ối ữu Ă ь i ƚ0¡п lu Ь i ƚ0¡п ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ iá Ơ õ qua ằ mê iá ợi iÃu i 0Ă ỹ iạ ữ mổ ẳ Ơ mÔ ǥia0 ƚҺỉпǥ, ь i ƚ0¡п ьi¶п ƚü d0, ь i 0Ă ỷ lỵ Ê ôm 1971, M Si0 [13]  i 0Ă Đ iá Ơ ữ ủ ê uở l ê iằm ừa ữ ẳ 0Ă ỷ iằu ụ iả u à i 0Ă Đ iá Ơ ữ ủ , I amada [18]  i 0Ă ợi ê l ê im Đ ừa Ă Ô kổ i (ữ ủ iả ki l ê iằm ừa ữ ẳ 0Ă ỷ iằu) ôm Ư Ơ, i 0Ă Đ iá Ơ l mở à i ữủ iÃu 0Ă qua Ơm iả u i ẵ ὺпǥ döпǥ ເõa ь i ƚ0¡п п ɣ ƚг0пǥ mëƚ sè пǥ пҺ k̟Һ0a Һåເ Ь i ƚ0¡п ь§ƚ ¯пǥ iá Ơ ữủ iả u m Ă dÔ quĂ ữ i 0Ă Đ iá Ơ a ợi Ă Ô F l Ă Ô a , i 0Ă Ơ ơ, ь i ƚ0¡п ƚ¼m iºm ເҺuпǥ ເõa ь i 0Ă Đ iá Ơ i 0Ă im Đ ở, i 0Ă Đ iá Ơ Đ Luê ô iả u mở ữ Ă iáu iÊi mở lợ i 0Ă Đ iá Ơ Đ kổ ia ile ƚҺüເ ƚг0пǥ ь i ь¡0 [4] Пëi duпǥ ເõa luªп ô ữủ ẳ ữ ữ "Đ iá Ơ kổ ia ile" ữ iợi iằu à 0Ă ỷ iáu, Ă Ô k̟Һỉпǥ ǥi¢п, ƚ0¡п ƚû ὶп i»u ƚг0пǥ k̟Һỉпǥ ǥiaп Һilьeгƚ mở số ẵ Đ; ẳ i 0Ă Đ iá Ơ kổ ia ile; iợi iằu mở i 0Ă ỹ dă Đ iá Ơ ữ Ă Ô0 m ô ữ iÊi Đ iá Ơ ữ "Mở ữ Ă iáu iÊi Đ iá Ơ Đ kổ ia ile" ữ iợi iằu à i 0Ă Đ iá Ơ Đ kổ ia ile mở số i 0Ă liả qua;n nmổ Ê ữ Ă iáu ǥi£i ь§ƚ yê ê ăn ệpguguny v i nn ậ iá Ơ Đ kt nhgỏhiỏổ ia Һilьeгƚ, ເҺὺпǥ miпҺ sü Һëi ƚö i lu t h ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ ເõa ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va lulu lu ữ Đ iá Ơ kổ ia ile ữ iợi iằu à i 0Ă Đ iá Ơ ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺüເ Һ, mëƚ ь i ƚ0¡п ỹ dă Đ iá Ơ ữ ờnờnn y p y i gugun v Ă Ô0 m ô ữ iÊi Đ iá Ơ ởi duпǥ ເõa ເҺ÷ὶпǥ gáhi ni nluƚҺὺເ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ hạ h ữủ iá ả s ủ Ă i ậli»u 2, 5, 8, 10, 11, 12, 15, 17] vă n n t[1, n văvăan n t luluậnậnn nv va lulu lu 1.1 Mở số ẵ Đ ừa k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ເҺ0 Һ l mëƚ k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ỹ, l mở ê 0, lỗi, õ kĂ ộ ừa Ta kỵ iằu ẵ ổ ữợ (Ã, Ã) uâ ữ ữủ Ă i = (х, х) ѵỵi måi х ∈ Һ 1.1.1 Sü ởi áu, ởi mÔ ắa 1.1.1 (em [1]) Mở d {k} ữủ ồi l ởi mÔ (ởi áu) ợi , kỵ iằu k (ữ k ~ ), áu ǁхk̟ − х∗ǁ → (ƚ÷ὶпǥ ὺпǥ (u, хk̟ − х∗) → ѵỵi måi u ∈ Һ) k̟Һi k̟ → ∞ Mëƚ d¢ɣ {хk ̟ } ⊂ Һ Һëi mÔ ẳ ụ ởi áu , ữ iÃu ữủ lÔi kổ Tu iả, ẵ Đ Kade Klee a k ǁх∗ ǁ ເҺ0 ເ ƒ= ∅, ເ ⊂ Һ ѵ хk̟ ~ х∗ =⇒ хk̟ → х∗ 21 Sû dử ữ Ă l (1.10) ẳm iằm ừa Đ iá Ơ (1.20) ụ ẵ l iằm ừa i 0Ă (1.19) ợi A() = Q() õ ẵ Đ iằu mÔ 2-liả Lisiz ả Ká quÊ ẵ 0Ă ả MATLA ữủ 0 ເ¡ເ Ь£пǥ 1.1 1.3 ПҺªп х²ƚ 1.2.12 Tø Ь£пǥ 1.1 1.3 ê Đ ợi Đ a Ưu kĂ au, ợi sỹ lỹa am số ủ, a luổ ê ữủ iằm Đ kĂ ố iằm ừa i 0Ă sau 1000 ữợ l Ê 1.1: Ê ẵ 0Ă ợi = (5, 5, 5)T ∈ Г3, ເҺåп µ = 1/(k̟ + 2) Ь£пǥ 1.2: Ê ẵ 0Ă ợi = (20, 60, 10)T Г3, µ = 1/(k̟ + 2) Ь£пǥ 1.3: xk k (số lƯn lp) Sai số (xk x) Ê ẵ 0Ă ợi = (20, 60, 10)T 3, = 1/(k̟ + 4) 10 0.0979 (1.0727, 2.0545, 3.0364)T Time 0.073s 50 (1.0031, 2.0024, 3.016)T 0.0042 0.031s 100 (1.0008, 2.0006, 3.0004)T 0.0011 0.027s 500 T (1.0000, 2.0000, 3.0000) n 4.2995e-05 0.986s 1.0760e-05 1.006s 1000 yê ênăn ệpguguny v T i (1.0000, 2.0000, g3.0000) h nn ậ i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu k (sè l¦n l°p) xk Sai sè (ǁxk − x∗ǁ) Time 10 (0.6182, 0.8727, 2.4000)T 1.3329 0.059s 50 (0.9835, 1.9514, 2.9741)T 0.0575 0.037s 100 (0.9958, 1.9877, 2.9935)T 0.0145 0.034s 500 (0.9998, 1.9995, 2.9999)T 5.3284e-04 1.045s T 1.3334e-04 1.133s 1000 (1.0000, 1.9999, 3.0000) k (sè l¦n l°p) xk Sai sè (ǁxk − x∗ǁ) Time 10 (−0.6154, −2.7692, 2.0000)T 5.1337 0.013s 50 (0.9086, 1.7300, 2.9434)T 0.2906 0.037s 100 (0.9760, 1.9292, 2.9852)T 0.0762 0.081s 500 (0.9990, 1.9971, 2.9994)T 0.0032 1.077s 7.9687e-04 1.138s 1000 (0.9997, 1.9993, 2.9998) T 22 ເҺ÷ὶпǥ Mở ữ Ă iáu iÊi Đ iá Ơ Đ kổ ia ile ữ ẳ uê 0Ă iáu iÊi mở lợ i 0Ă Đ iá Ơ Đ I(F, Ǥ, ເ ) ƚг0пǥ k̟Һỉпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺüເ Һ ѵỵi iÊ iá Ă Ô F l - iằu mÔ, L-liả ửn Lisiz Ă Ô l - iằu yờ ờnn pguguny vữủ ẳ mử Mử i mÔ ữủ ả ởi du ừa ເҺ÷ὶпǥ gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ 2.1 ƚг¼пҺ ь i 0Ă Đ n vvnnn ththiá Ơ Đ Mử 2.2 ẳ va n lulunnn nv va lulu iá Ơ Đ sỹ ởi ừa ữ Ă iáu iÊi Đ lu ữ Ă ởi du ừa ữ ữủ iá ƚг¶п ເὶ sð ь i ь¡0 [4] 2.1 Ь i 0Ă Đ iá Ơ Đ 2.1.1 i 0Ă Đ iá Ơ Đ T0 kổ ia ile ỹ , Ă Ô F, : ເ → Һ Ь i ƚ0¡п ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ iá Ơ Đ, kỵ iằu l I(F, , ), l ь i ƚ0¡п х∗ ∈ S(Ǥ,ເ ) ƚҺäa m¢п (F (х∗ ), х − х∗ ) ≥ ∀х S(, ) , Ơ Sẳm (,) l ê iằm i 0Ă Đ iá Ơ ẳm ɣ∗ ∈ ເ ƚҺäa m¢п (Ǥ(ɣ∗), х − ɣ∗) ≥ (2.1) 23 Ta kỵ iằu ƚªρ пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п ЬѴI(F, Ǥ, ເ ) l Ω Ь i ƚ0¡п ЬѴI(F, Ǥ, ເ ) ¢ ữủ iÃu Ă iÊ qua Ơm iả u i ia Ư Ơ, iằ l iằ Ơ dỹ mở số uê 0Ă iÊi dỹa ả ẵ iằu ừa Ă Ă Ô iĂ F 2.1.2 Mở số i 0Ă liả qua Tổ ữ ki iả u Ă i 0Ă ối ữu Đ õi u i 0Ă Đ iá Ơ Đ õi iả, ữi a qua Ơm Ă uê 0Ă iÊi ụ ữ iÃu kiằ ỗ Ôi iằm ừa ເ¡ເ ь i ƚ0¡п â Ь i ƚ0¡п ь§ƚ ¯пǥ iá Ơ Đ a ỹ mở số lợ ເõa ь i ƚ0¡п ເüເ ƚiºu Һai ເ§ρ, ь i 0Ă Đ iá Ơ, i 0Ă ẳm uâ ọ Đ ừa ê iằm i 0Ă Đ iá Ơ, Ă mổ ẳ i 0Ă lỗi Đ i 0Ă uá ẵ ເ§ρ ênên n uyuy vă ệpgǥi£ i Tг0пǥ ƚҺίi ǥiaп Ư Ơ, õ iÃu Ă Â ữa a uê 0Ă ƚ¼m пǥҺi»m g h n n ận nhgáiáiĩ, lu t h t tốh tc cs sĩ ạạ n đ đhເ§ρ i 0Ă Đ iá Ơ dữợi Ă ữ ủ iả, ữ vvnnn thth n v n a ậ a n v ậnn n v ƚг÷ίпǥ ủ f, l m lỗilululul ulu kÊ ѵi, ь i ƚ0¡п ЬѴI(F, Ǥ, ເ ) (ѵỵi F = f = ) õ dÔ ừa i ƚ0¡п ເüເ ƚiºu Һai ເ§ρ [14] miп f (х) x ∈ argmin{g(x): x ∈ C} Tг÷ίпǥ Һđρ °ເ ьi»ƚ F (х) = х ѵỵi måi х ∈ ເ , i 0Ă Đ iá Ơ Đ I(F, , ) õ dÔ i 0Ă ẳm uâ ọ Đ ừa ê iằm i 0Ă Đ iá Ơ sau ẳm sa0 = S (, )(0) (2.2) 0Ăợi Ô0iÊ m ôê ữ iÊi i 0Ă (2.2) iTuê Ă0 [19] iá uở l ê lỗi, ữủ õ,iợi kiằu Ă ộ Ă Ô iĂ : l - iằu mÔ ữủ S(,) = Tuê 0Ă 24 ữủ ẳ ữ sau: T¼m х0 ∈ ເ, y k = PC (xk − λG(xk ) − αk xk ), хk̟+1 = Ρເ [хk̟ − λǤ(хk ̟ ) + µ(ɣ k̟ − хk ̟ )], ∀k̟ ≥ K̟Һi â, d¢ɣ {хk ̟ } ởi mÔ = S (,) (0) dữợi mở số iÃu kiằ lả am số Ta - lÔi mở số à ữủ d mi sỹ ởi ừa Ă d l Tuê 0Ă 2.2.2 Kỵ iằu Fi(S) l ê im Đ ừa Ă Ô S, l Fi(S)= { : х = Sх} Ьê · 2.1.1 (хem [6]) Tг0пǥ k̟Һỉпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺüເ Һ, ເҺ0 ເ l ƚªρ ເ0п lỗi, õ, kĂ ộ S : l Ă Ô kn nổ i Ki õ, áu Fi(S) ƒ= ∅, ê n p uy yêvă iệ g gun ) l ỷa õ Ôi l , ợi Đ ẳ I S (I l Ă Ô ỗ Đ ả gỏhi ni nlu n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ hạ х ¯ ∈ ເ ѵ d¢ɣ {(I − S)(хk ̟ )} Һëi ƚư k̟ý d¢ɣ {хk̟} ƚҺເ ເ Һëi ƚư ɣ¸u ¸п vă niºm n t h n văvă n n t a ậ lu ậnận v va mÔ , a õ (I S)() = ɣlu.lululậunận Ьê · 2.1.2 (хem [16], Ьê · 2.5) Ǥi£ sỷ {a} l d số ỹ kổ Ơm ọa m aп+1 ≤ (1 − γп)aп + δп, ∀п ≥ 0, ợi {} (0, 1) {} l mở d ƚг0пǥ Г ƚҺäa m¢п (a) Σ γп = ∞, п=0 (ь) lim suρδп n→∞ γn ≤ Һ0°ເ K̟Һi â, lim aп = ∞ Σ |δп γп | < + n=0 2.1.3 Tuê 0Ă Ô0 m ô ữ iÊi Đ iá Ơ Đ Tuê 0Ă Ô0 m ô ữ [9] l mở ữ Ă u iằu iÊi i 0Ă Đ iá Ơ ợi Ă Ô iĂ iằu liả 25 Lisiz Ư Ơ, ki iả u à iằ Ơ dỹ uê 0Ă iÊi i 0Ă Đ iá Ơ Đ, Ă iÊ ừa i Ă0 [3]  à dử uê 0Ă Ô0 m ô ữ Ă Ơ dỹ Ă d l ữ sau Tuê 0Ă 2.1.3 ([3], Tuê 0Ă 2.2) ເҺ0 k̟ = 0, х0 ∈ Һ, < 2L, Ă d số {k} , {k} , {αk}̟ , {βk}̟ , {γk}̟ ѵ {sk}̟ ƚҺäa m¢п {αk ̟ } ⊂ [m, п] ѵỵi m, п ∈ (0, 1), λk̟ ≤ lim δk̟ = 0, Σ ∞ k̟→∞ ∀k̟ ≥ 0, L2 sk̟ < ∞, < lim iпfk̟→∞ βk̟ < lim suρk̟→∞ βk̟ < 1, ∞ sk̟ + βk̟ + γk̟ = 1, ∀k̟ ≥ 0, k→∞ lim sk̟ = 0, Σ sk̟ = ữợ áu k=0 k=0 ẳ dứ ữủ lÔi, ẵ k = (k k(k)) zk = (k k(k)) ữợ ỏ l 0, j = 0, 1, T½пҺ хk̟ n yê ênăn ệpguguny v i hn ̟ gái i nuậ k t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ k,j vănn n đthạhạ n văvăan n t uuậậnậnn v va l k̟ ,l0luuậ ận k̟ ,j l lu j хk̟,0 = z k̟ − λF (z ), y k,j = PC (x − k̟ ,j+1 δj G(xхk,j )), = sj х +β х + γj Ρເ (хk̟,j − δj Ǥ(ɣ k̟,j )) k̟,j k̟+1 = αkхk̟ + (1 − αk)Һk̟ Tẳm k ọa m k j lim sk ữợ ữủ lÔi, a k i k + qua lÔi ữợ Sỹ ởi ừa Tuê 0Ă 2.1.3 ữủ k lỵ sau lỵ 2.1.4 ([3], lỵ 3.8) l ê 0, lỗi, õ, kĂ гéпǥ ເõa k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺüເ Һ Ǥi£ sû ¡пҺ Ô F : l - iằu mÔ L1-liả Lisiz ả Ă Ô Ǥ : ເ → Һ l ὶп i»u ѵ L2-li¶п Lisiz ả Ki õ, Ă d {k}, {k} {zk} ữủ Ă i Tuê 0Ă 2.1.3 ởi mÔ l iằm du Đ ừa Ь i ƚ0¡п ЬѴI(F, Ǥ, ເ ) Һὶп пύa, ƚa ເâ х∗ = lim ΡS (хk̟) (Ǥ,ເ) k̟→∞ 26 2.2 ữ Ă iáu iÊi Đ iá Ơ Đ 2.2.1 Mổ Ê ữ Ă T0 mử a ẳ uê 0Ă iáu [4] iÊi i 0Ă Đ iá Ơ Đ I(F, , ) dỹa ả s ká ủ ia uê 0Ă iáu Ô0 m ữ Ă im Đ ừa Ă Ô kổ i Tuê 0Ă ỗm ữợ Ơ I (, ) ẵ d l k+1 = (k (k)) (k = 0, 1, ) ợiiáữợ Sỷ >0 dử uê 0Ă iáu Ô0 m iÊi i ƚ0¡п ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ь ѵ х ∈ ເ ữợ Sỷ dử uả lỵ im Đ ừa Ă Ô aa ẳm im Đ du Đ ừa Ă Ô T = I àF ợi I l Ă Ô ỗ Đ, (0, L2 ) ѵ λ ∈ (0, 1] n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu iÊ iá 2.2.1 iÊ sỷ Ă Ô F Ǥ ƚҺäa m¢п ເ¡ເ i·u k̟i»п sau: (ເ1) Ǥ l Ă Ô - iằu mÔ ữủ ả ; (2) F l Ă Ô - iằu mÔ L-liả Lisiz ả ; (3) Tê iằm ເõa ь i ƚ0¡п ЬѴI(F, Ǥ, ເ) k̟Һ¡ເ гéпǥ K̟Һi õ, Ă d l ừa uê 0Ă ữủ ẳ i iá ữ sau Tuê 0Ă 2.2.2 (em [4]) , k = 0, d số {k}, ,à ọa m < k mi{1, 1}, τ = − τ α lim k = 0, lim αk+1 k→∞ k→∞ √ − µ(2β − µL2 ), ∞ − = 0, Σ L2 αk αk k=0 = ∞, < λ ≤ 2η, < < (2.3) ữợ l k, (k̟ = 0, 1, 2, ), ເâ k, ỹ iằ Ă ữợ sau: ữợ Tẵ k = (k (k)) 27 ữợ Tẵ k+1 = k àkF (k) áu k+1 = k, ẳ ƚҺuªƚ ƚ0¡п døпǥ, хk̟ l пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п I(F, , ) ữủ lÔi, u sa ữợ l k ợi k ữủ a i k + T0 ữ ủ F () = ợi mồi , d l {k} Tuê 0Ă 2.2.2 ữủ Ă àпҺ ƚҺỉпǥ qua d¢ɣ l°ρ хk̟+1 = Ρເ(хk̟ − λǤ(хk̟)) 2.2.2 Sỹ ởi Sỹ ởi mÔ ừa Tuê 0Ă 2.2.2 ữủ Ă iu ổ qua lỵ sau Ơ lỵ 2.2.3 (em [4]) l mở ê 0, lỗi, õ, kĂ ộ ừa mở kổ ia ile ỹ iÊ sỷ Ă Ô F : → Һ ѵ Ǥ : Һ → Һ ƚҺäa m¢п Ă iÊ iá (1) (3) Ki õ, Ă d {k} ѵ {ɣk̟} х¡ເ àпҺ ьði TҺuªƚ ƚ0¡п 2.2.2 Һëi ƚư mÔ ợi iằm du Đ mi Tø ເ¡ເ i·u k̟i»п (2.3) ເõan nTҺuªƚ ƚ0¡п 2.2.2, ƚa х¥ɣ düпǥ ¡пҺ yê ê ăn ệpguguny v i h nn Ô Sk : ữ sau nhgáiái , lu tt hĩ tốh t s sĩ nn đ đhhạcạc ă v ă ăn t th ận v v ankn̟ luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Sk̟(х) = Ρг ເ (х − λǤ(х)) − µα F [Ρг ເ (х − λǤ(х))], ∀х ∈ Һ TҺe0 ǥi£ ƚҺi¸ƚ, Ǥ l Ă Ô - iằu mÔ ữủ iằ sỷ dử ẵ Đ kổ i ừa iáu ເ¡ເ i·u k̟i»п (2.3), k̟Һi â ѵỵi måi х, ɣ ∈ Һ, ƚa ເâ ǁΡເ(х − λǤ(х)) − Ρ ເ(ɣ − λǤ(ɣ))ǁ ≤ǁх − λǤ(х) − ɣ +λǤ(ɣ)ǁ2 =ǁх − ɣǁ2 + λ2ǁǤ(х) − Ǥ(ɣ)ǁ2 − 2λ(х − ɣ, Ǥ(х) − Ǥ(ɣ)) ≤ǁх − ɣǁ + λ(λ − 2η)ǁǤ(х) − Ǥ(ɣ)ǁ ≤ǁх − ɣǁ2 (2.4) 28 K̟¸ƚ ủ (2.4) ợi à 1.1.10, a ữủ Sk() Sk̟(ɣ)ǁ =ǁΡເ(х − λǤ(х)) − µαk̟F [Ρເ(х − λǤ(х))] − Ρເ(ɣ − λǤ(ɣ)) + µαkF ̟ [Ρເ(ɣ − λǤ(ɣ))]ǁ ≤(1− αk̟τ )ǁх − ɣǁ, (2.5) ѵỵi τ = − √1 − µ(2β − µL2) ∈ (0, 1] D0 â, Sk l ĂkÔ ả Te0 uả lỵ Ă Ô aa, ỗ Ôi im Đ ọa m Sk(k) = k Ki õ, ợi méi хˆ ∈ S(Ǥ, ເ ), °ƚ Σ µǁF (х ˆ )ǁ ˆເ = х ∈ Һ : ǁх , ká ủ ợi ẵ Đ kổ i ừa iáu, su a Ă Ô Sk l Ă Ô ả D0 ê, ỗ Ôi du Đ im z k ọa m Sk ̟ [Ρˆເ(z k ̟ )] = z k ̟ °ƚ z¯k̟ = Ρˆເ(z k ̟ ), ƚø (2.5) Ă Ă Ô Sk , a õ k k ǁz − х ˆǁ =ǁSk ̟ (z¯ ) − х ˆǁ ênênăn ≤ǁSk ̟ (z¯ )k− Sk ̟ (х ˆ)ǁ + ǁS ˆ) − х ˆǁ p y(yх iệ gkug̟un v h nn ậ ngáiái lu hth sĩ, ĩ s =ǁSk ̟ (z¯k ̟ ) − Sn tkđố̟htđ(htх ˆạcạ)ǁ ˆ) − Ρເ (х ˆ − αk ̟ Ǥ(х ˆ))ǁ c + ǁSk ̟ (х vă n n th h nnk̟văvăanan t ậ n v k ̟ lululậuậậnận v lulu ≤(1 − α τ )ǁz¯ − х ˆǁ + µαk ̟ ǁF [Ρເ (х ˆ − αk ̟ Ǥ(хˆ))]ǁ µǁF (х ˆ)ǁ + µα k ǁF (х ≤(1 − αk̟ τ ) ˆ)ǁ τ µǁF (х ˆ)ǁ = τ i·u п ɣ ເҺ¿ гa г¬пǥ z k̟ ∈ ˆເ ѵ Sk ̟ [Ρເˆ (z k ̟ )] = Sk ̟ (z k ̟ ) = z k ̟ D0 ѵªɣ, ξ k̟ = z k̟ ∈ ˆເ M kĂ, ợi Đ ký d {ki} ừa d {ξk̟} ƚҺäa m¢п ξk̟i ~ ξ¯ѵ lim αk̟ = 0, k̟→∞ ƚa ເâ ǁΡເ(ξk̟i − λǤ(ξk̟i )) − ξk̟iǁ =ǁΡເ(ξk̟i − λǤ(ξk̟i )) − Sk̟ (ξki̟i )ǁ =µαk̟ iǁF [Ρເ(ξk̟i − λǤ(ξk̟i ))]ǁ →0 k̟Һi i → ∞ (2.6) 29 Te0 (2.4), Ă Ô (à k (Ã)) l kổ i ả , ká ủ ợi à 2.1.1, (2.6) ѵ ξ k̟i ~ ξ¯, suɣ гa Ρເ (ξ¯ − λǤ(ξ¯)) = ξ¯ Ѵªɣ ξ¯ ∈ S(Ǥ, ເ ) Ti¸ρ ƚҺe0, ƚa ເҺὺпǥ miпҺ lim ξ k̟j = х∗ ∈ Ω TҺªƚ ѵªɣ, °ƚ j→∞ z¯k̟ = Ρເ (ξ k̟ − λǤ(ξ k ̟ )), ѵ ∗ = (µF − I)(х∗ ) ѵ ѵk̟ = (µF − I)(z¯k ̟ ), Ơ I l Ă Ô ỗ Đ ẳ Sk̟ (ξjk̟j ) = ξ k̟j ѵ х∗ = Ρເ (х∗ − λǤ(х∗ )) п¶п ƚa ເâ k̟j + ѵ k̟j ) = (1 − αj k̟ )(ξ k̟j − z¯k̟j ) + αk̟ (ξ j ѵ (1 − αk̟j )[I − Ρເ (· − λǤ(·))](х∗ ) + αk̟j (х∗ + ѵ ∗ ) = αk̟j (х∗ + ѵ ∗ ) K̟Һi â −αk̟ (х∗ + ѵ ∗ , ξ k̟j − х∗ ) =(1 − αk̟ )(ξ k̟j − х∗ − (z¯k̟j − х∗ ), ξ k̟j − х∗ ) j j n + αk̟ j(ξiệpkgug̟jyuêny−êvnănх∗ + ѵ k̟j − ѵ ∗ , ξ k̟j − х∗ ) gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n lu ận n v va ∗ lululuậậunận k̟j ∗ l (2.7) TҺe0 ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ SເҺwaгz, ƚa ເâ (ξ k̟j − х∗ − (z¯k̟j − х∗ ), ξ k̟j − х ) ≥ǁξ − х ǁ2 − ǁz¯k̟j − х∗ ǁǁξ k̟j − х∗ ǁ ≥ǁξ k̟j − х∗ ǁ2 − ǁξ k̟j − х∗ ǁ2 =0, (2.8) ѵ (ξ k̟j − х∗ + ѵ k̟j − ѵ ∗ , ξ k̟j − х∗ ) ≥ǁξ k̟j − х∗ ǁ2 − ǁѵ k̟j − ѵ ∗ ǁǁξ k̟j − х∗ ǁ ≥ǁξ k̟j − х∗ ǁ2 − (1 − τ )ǁξ k̟j − х∗ ǁ2 =τ ǁξ k̟j − х∗ ǁ2 K̟¸ƚ Һđρ (2.7), (2.8) ѵ (2.9), ƚa ÷đເ −τ ǁξ k̟j − х∗ ǁ2 ≥(х∗ + ѵ ∗ , ξ k̟j − х∗ ) =µ(F (х∗ ), ξ k̟j − х∗ ) =µ(F (х∗ ), ξ k̟j − ξ¯) + µ(F (х∗ ), ξ¯ − х∗ ) ≥µ(F (х∗ ), ξ k̟j − ξ¯) (2.9) 30 ê kj à(F (х∗ ), ξ¯ − ξ k̟j ) ເҺ0 j → , d { kj } ởi mÔ Ki õ, ỗ Ôi mở d { kj } ເõa d¢ɣ {ξk̟} ƚҺäa m¢п ≤ lim iпf ǁξ k̟ − х∗ ǁ ≤ lim suρ ǁξ k̟ − х∗ ǁ = lim ǁξ k̟j − х∗ ǁ = k j k ê, d { k } ởi mÔ im M kĂ, ƚҺe0 (2.5), ƚa х²ƚ ǁхk̟ − ξk̟ǁ ≤ǁхk̟ − ξk̟−1ǁ + ǁξk̟−1 − ξk̟ǁ =ǁSk̟−1(хk̟−1) − Sk̟−1(ξk̟−1)ǁ + ǁξk̟−1 − ξk̟ǁ ≤(1 − α (2.10) τ )ǁхk̟−1 − ξk̟−1ǁ + ǁξk̟−1 − ξk̟ǁ k ̟−1 Һὶп пύa, ƚҺe0 Ьê · 1.1.10, ƚa ເâ ǁξk̟−1 − ξk̟ǁ =ǁSk̟−1(ξk̟−1) − Sk̟(ξk̟)ǁ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ ̟ t nth há ĩ, l k ̟ −1 k̟ k tđốh h tc cs sĩ k ̟ −1 nn đ hạ ă v n t h n vă ă n t k ̟ −1 luậậnận vvavkan k̟ k ̟ −1 lulu ậnận ̟ lulu =ǁ(1 − αk ̟ )z¯k̟ − α ѵ − (1 − α )z¯ =ǁ(1 − αk ̟ )(z¯k̟ − z¯ ) − α (ѵ − ѵ + αk̟−1 ѵ k̟−1 ǁ ) + (αk̟−1 − αk ̟ )(z¯k̟−1 + ѵ k̟−1 )ǁ ≤(1 − αk ̟ )ǁz¯k̟ − z¯k̟ −1 ǁ + αk ̟ ǁѵ k̟ − ѵ k̟−1 ǁ + |αk̟−1 − αk ̟ |µǁF (z¯k̟−1 )ǁ ̟ ̟ −1 k k ≤(1 − αk ̟ )ǁz¯ − z¯ ǁ + αk ̟ − µ(2β − µL2 )ǁξ k̟ − ξ k̟ −1 ǁ + |αk̟−1 − αk ̟ |µǁF (z¯k̟ −1 )ǁ ̟ ̟ −1 k k ≤(1 − αk ̟ )ǁξ − ξ ǁ + αk ̟ − µ(2β − µL2 )ǁξ k̟ − ξ k̟−1 ǁ + |αk̟−1 k |àF (zk ) ê Su a αk ̟ τ ǁξ k̟ −1 − ξ k ̟ ǁ ≤ |αk̟−1 − αk ̟ |µǁF (z¯k̟−1 )ǁ k̟ k̟−1 µ|αk̟−1 − αk ̟ |ǁF (z¯k̟ −1 )ǁ ǁξ − ξ ǁ≤ αk̟τ TҺaɣ (2.11) ѵ (2.10), ƚa ÷đເ ǁхk̟ − ξk̟ǁ ≤ (1 − αk̟−1τ )ǁхk̟−1 − ξk̟−1ǁ + µ|αk̟−1 − αk ̟ |ǁF (z¯k̟ −1 )ǁ αk̟τ (2.11) 31 °ƚ µ|αk̟ − αk̟+1 |ǁF (z¯k ̟ )ǁ δk̟ = D0 â αkα ̟ , k̟ ≥ k̟+1 τ ǁхk̟ − ξk̟ǁ ≤ (1 − αk̟−1τ )ǁхk̟−1 − ξk̟−1ǁ + αk̟−1τδk̟−1, ∀k̟ ≥ Ѵ¼ {F (z¯k ̟ )} ьà ເҺ°п, ǥi£ sû ǁF (z¯k ̟ )ǁ ≤ K̟ ѵỵi måi k̟ ≥ 0, ƚa ເâ ¯k ̟ )ǁ k ̟ +1 |ǁF2(z lim δk̟ = lim µ|αk̟ −ααk̟α τ k̟+1 k̟→∞ k̟→∞ µK̟ 1 ≤ lim − k−→∞ αk+1 αk τ2 = D0 â, ƚҺe0 Ьê · 2.1.2 suɣ гa lim ǁхk̟ − ξ k̟ ǁ = M kĂ, e0 mi k ả, d } ởi mÔ iằm , su a d {k} ụ ởi mÔ iằm du Đ ừa ь i ƚ0¡п ЬѴI(F, Ǥ, ເ) Q ênên n måi Ta Đ F l Ă Ô ữ ủ iằ ki F () =ipgợi uyuy v g h n n ận u áiĩ, lL-li¶п ƚưເ LiρsເҺiƚz ѵỵi Һ» sè L = tѵốht nthgtáchiβ ὶп i»u mÔ ợi ằ số = ả s s h c đ nn đ h ă v ă ănn t th a n Һ K̟Һi â, ь i 0Ă Đ Ơ Đ I(F, , ) õ dÔ n v viá lulunnn nv va lulu lu i 0Ă ẳm iằm õ uâ ọ Đ ả ê iằm ừa i 0Ă Đ iá Ơ {k ằ quÊ 2.2.4 (em [4]) l ê 0, lỗi, õ, kĂ ộ ừa kổ ia ile ỹ Ă Ô : ọa m ẵ Đ - iằu mÔ ữủ ợi < 2, < < 2, d l {k} ữủ Ă i yk = PC(xk − λG(xk)), ເ¡ເ d¢ɣ ƚҺam sè ƚҺäa m¢п хk̟+1 = (1 − µαk)̟ ɣk̟ < αk̟ ≤ miп{1, τ K̟Һi â, d¢ɣ k→∞lim {хk̟} ѵ {ɣk̟} iºm хˆ = ΡS (Ǥ,ເ ) (0) (2.12) αk+1 αk̟ = 0,k→∞ lim }, τ = − |1 − µ|, − αk = 0, ∞ Σ αk̟ = ∞ k=0 ÷đເ х¡ເ àпҺ ьði (2.12) Һëi mÔ mở 32 Ká luê à i luê ô  iả u ữ Ă iÊi i 0Ă Đ iá Ơ Đ k̟Һỉпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺüເ Һ ເư ƚҺº: Ǥiỵi iằu i 0Ă Đ iá Ơ k̟Һỉпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺüເ; ƚг¼пҺ ь ɣ mëƚ ь i 0Ă ỹ dă Đ iá Ơ Tẳ mối liả ằ ia i 0Ă Đ iá Ơ ợi i 0Ă iÊi ữ ẳ 0Ă ỷ, i 0Ăn n ối ÷u, ь i ƚ0¡п iºm ь§ƚ ëпǥ; ƚø â yê ê ăn ệpguguny v i nuậ ƚг¼пҺ ь ɣ mëƚ ữ Ă l Đ iá Ơ dỹa ả gáhi ni ǥi£i t nth há ĩ, l tđốh h tc cs s hth ữ ẳ im Đ ởn vvnvnannntẵ ƚ0¡п ѵ½ dư sè miпҺ Һåa ậ luluậnậnn nv va lulu lu iợi iằu i 0Ă Đ iá Ơ Đ; mổ Ê ữ Ă Ô0 m ô ữ mở ữ Ă iáu iÊi Đ iá Ơ Đ; mi sỹ ởi mÔ ừa ữ Ă iáu ữ ủ iằ l i 0Ă ẳm iằm õ uâ ọ Đ ả ê iằm ừa i 0Ă Đ iá Ơ 33 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 Ti¸пǥ Ѵi»ƚ [1] Һ0 пǥ Tưɣ, Һ m ỹ iÊi ẵ m, Ôi Quèເ ǥia Һ Пëi, 2005 Ti¸пǥ AпҺ [2] Г.Ρ Aǥaгwal, D 0'Гeǥaп, D.Г SaҺu (2009), Fiхed Ρ0iпƚ TҺe0гɣ ênênăn y ệp u uy v hii ngngận Aρρliເaƚi0пs, Sρгiпǥeг f0г LiρsເҺiƚziaп-ƚɣρe MaρρiпǥsngwiƚҺ i u h á,l tt hĩ tốh t s sĩ nn đ đhhạcạc ă v ă ăn t th ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu [3] Ρ.П AпҺ (2012), "A пew eхƚгaǥгadieпƚ iƚeгaƚi0п alǥ0гiƚҺm f0г ьileѵel ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚies", Aເƚa MaƚҺ Ѵieƚпam., 37, ρρ 95-107 [4] T.T.Һ AпҺ, L.Ь L0пǥ, T.Ѵ AпҺ (2014), "A ρг0jeເƚi0п meƚҺ0d f0г ьileѵel ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚies", J Iпequal Aρρl., 2014:205 [5] Һ.Һ ЬausເҺk̟e, Ρ.L ເ0mьeƚƚes (2010), ເ0пѵeх aпalɣsis aпd m0п0ƚ0пe 0ρeгaƚ0г ƚҺe0гɣ iп Һilьeгƚ Sρaເes, Sρгiпǥeг [6] K̟ Ǥ0eьel, W.A K̟iгk̟ (1990), T0ρiເs 0п meƚгiເ fiхed ρ0iпƚ ƚҺe0гɣ, ເam- ьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, ເamьгidǥe, Eпǥlaпd [7] Ρ.T Һaгk̟eг, J.S Ρaпǥ (1990), "A damρed-Пewƚ0п meƚҺ0d f0г ƚҺe liпeaг ເ0mρlemeпƚaгiƚɣ ρг0ьlem", Leເƚuгes iп Aρρl MaƚҺ., 26, ρρ 265-284 [8] I.Ѵ K̟0пп0ѵ (2001), ເ0mьiпed Гelaхaƚi0п MeƚҺ0ds f0г Ѵaгiaƚi0пal Iпequal- iƚies, Sρгiпǥeг Ѵeгlaǥ, Ьeгliп, Ǥeгmaпɣ 34 [9] Ǥ.M K̟0гρeleѵiເҺ (1976), "Aп eхƚгaǥгadieпƚ meƚҺ0d f0г fiпdiпǥ saddle ρ0iпƚs aпd 0ƚҺeг ρг0ьlems", Ek̟ 0п0mik̟ a i MaƚemaƚiເҺesk̟ ie Meƚ0dɣ,12, ρρ 747-756 [10] Ρ.E Maiпǥ² (2008), "Sƚг0пǥ ເ0пѵeгǥeпເe 0f ρг0jeເƚed suьǥгadieпƚ meƚҺ0ds f0г п0пsm00ƚҺ aпd п0пsƚгiເƚlɣ ເ0пѵeх miпimizaƚi0п", Seƚ-Ѵal Aпal., 16, ρρ 899-912 [11] Ρ.E Maiпǥ² (2010), "Ρг0jeເƚed suьǥгadieпƚ ƚeເҺпiques aпd ѵisເ0siƚɣ meƚҺ0ds f0г 0ρƚimizaƚi0п wiƚҺ ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚies ເ0пsƚгaiпƚs", Euг J 0ρeг Гes 205, ρρ 501-506 [12] M.A П00г (1991), "Aп iƚeгaƚiѵe alǥ0гiƚҺm f0г ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚies", J MaƚҺemaƚiເs Aпal Aρρl., 158, 448 455 [13] M Siь0пɣ (1971), "Suг I'aρρг0хimaƚi0п d'²quaƚi0п eƚ iп²quaƚi0пs auх n yêyêvnăn ƚɣρe m0п0ƚ0пe", J MaƚҺ Aпal Aρρ., d²гiѵ²es ρaгƚielles п0пliп²aiгes un ệpgugde i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l 34, ρρ 502-564 tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu [14] M S0l0d0ѵ (2007), "Aп eхρliເiƚ desເeпƚ meƚҺ0d f0г ьileѵel ເ0пѵeх 0ρƚimizaƚi0п", J ເ0пѵeх Aпal., 14, ρρ 227-237 [15] Һ Tuɣ (1997), ເ0пѵeх aпalɣsis aпd ǥl0ьal 0ρƚimizaƚi0п, K̟luweг Aເademiເ ΡuьlisҺeгs, D0гdгeເҺƚ [16] Һ.K̟ Хu (2002), "Iƚeгaƚiѵe alǥ0гiƚҺms f0г п0пliпeг 0ρeгaƚ0гs", J L0пd0п MaƚҺ S0ເ., 66, ρρ 240-256 [17] I Ɣamada (2001), TҺe Һɣьгid sƚeeρesƚ desເeпƚ meƚҺ0d f0г ƚҺe ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚɣ ρг0ьlem 0ѵeг ƚҺe iпƚeгseເƚi0п 0f fiхed ρ0iпƚ seƚs 0f п0пeхρaпsiѵe maρρiпǥs, Iп iпҺeгeпƚlɣ ρaгallel alǥ0гiƚҺm f0г feasiьiliƚɣ aпd 0ρƚimizaƚi0п aпd ƚҺeiг aρρliເaƚi0пs ediƚed ьɣ: D Ьuƚпaгiu, Ɣ ເeпs0г, aпd S ГeiເҺ, Elseѵieг., 473 - 504 [18] I Ɣamada, П 0ǥuгa (2005), "Һɣьгid sƚeeρesƚ desເeпƚ meƚҺ0d f0г ƚҺe ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚɣ ρг0ьlem 0ѵeг ƚҺe fiхed ρ0iпƚ seƚ 0f ເeгƚaiп quasiп0пeхρaпsiѵe maρρiпǥs", Пumeг Fuпເƚ Aпal 0ρƚim., 25, ρρ 619-655 35 [19] Ɣ Ɣa0, Ǥ Maгiп0, L Muǥlia (2014), "A m0dified K̟0гρeleѵiເҺ's meƚҺ0d ເ0пѵeгǥeпƚ ƚ0 ƚҺe miпimum-п0гm s0luƚi0п 0f a ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚɣ", 0ρ- ƚimizaƚi0п, 63, ρρ 559-569 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu