Bài viết Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn giải hệ Navier – Stokes nghiên cứu các dạng của hệ phương trình Navier – Stokes bằng cách dùng các phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp sai phân hữu hạn.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI HỆ NAVIER – STOKES Nguyễn Thị Lý Trường Đại học Thủy lợi, email:lycs2@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp xấp xỉ tối ưu để giải hệ phương trình vi phân hệ phương trình đạo riêng, ví dụ hệ phương trình đạo hàm riêng khơng dừng Navier – Stokes Tuy nhiên, mơ hình tính tốn sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn dẫn đến hệ phương trình cỡ lớn Để đơn giản tính tốn người ta xây dựng mơ hình rút gọn dựa phương pháp POD Phương pháp POD phương pháp tuyến tính ta xác định hệ sơ sở trực chuẩn Hệ sở xác định không gian cỡ nhỏ để xây dựng mơ hình rút gọn nhờ phép chiếu Galerkin [1] Phép chiếu Galerkin hệ véc tơ sở POD đưa vào hệ Navier-Stokes dẫn đến hệ phương trình vi phân bậc hai Để tiện lợi cho việc tính tốn, khơng tính tổng quát, giả sử φ( x, y, t ) véc tơ không Xét không gian Sobolev tiêu chuẩn miền bị chặn Ω kí hiệu H m (Ω) (m ≥ 0) Ta có L2 (Ω) = H (Ω) không gian Sololev trang bị nửa chuẩn: 1/ v m ,Ω ⎪⎧ ⎪⎫ = ⎨ ∑ ∫ D α v dxdy ⎬ , ⎪⎩ α = m Ω ⎭⎪ chuẩn 1/2 ⎧m m ⎫ = ⎨ ∑ v i , Ω ⎬ , ∀v ∈ H m ( Ω ) m ,Ω ⎩ i =0 ⎭ Ở α = (α1 , α ) với α1 α hai số không âm, α = α1 + α v Đặc biệt, không gian H 01 (Ω) H (Ω) định nghĩa H 01 (Ω) = {v ∈ H (Ω); u ∂Ω = 0} Dễ ràng thấy i tương đương với i PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Cho Ω ⊂ R miền liên thông, bị chặn Xét hệ phương trình khơng dừng Navier – Stokes Bài tốn I Tìm u = (u1 , u2 ) , p cho với T > ⎧u t − υΔu + (u ⋅ ∇)u + ∇p = f Ω × (0, T ) ⎪ Ω × (0, T ) ⎪divu = ⎨ ∂Ω × (0, T ) ⎪u( x, y , t ) = φ( x, y, t ) ⎪⎩u( x, y , 0) = φ( x, y, 0) Ω Trong u biểu diễn véc tơ vận tốc, p áp suất, υ số (nghịch đảo số Reynolds), f = ( f1 , f ) trọng lượng, φ( x, y, t ) hàm véc tơ H 01 (Ω) Cụ thể ta định nghĩa không gian ⎧ ⎫ L20 (Ω) = ⎨q ∈ L2 (Ω); ∫ qdxdy = ⎬ Ω ⎩ ⎭ L20 (Ω) không gian L2 (Ω) Ta thấy cần thiết phải định nghĩa mở rộng không gian Sobolev phụ thuộc vào thời gian để tìm nghiệm tổng quát Bài tốn I Xét Φ khơng gian Hilbert, với T > số tự nhiên n ≥ , với t ∈ [ 0, T ] , Ta định nghĩa: 222 T n ⎧⎪ ⎫⎪ di H n (0, T ; Φ) = ⎨v(t ) ∈ Φ; ∫ ∑ i v(t ) dt < ∞ ⎬ dt i =0 Φ ⎩⎪ ⎭⎪ Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 với chuẩn a ( v, v ) ≥ υ v ∀v ∈ H 01 (Ω) 1/2 ⎡ n T di ⎤ v t dt ⎥ ; v ∈ H n (Φ ) ( ) = ⎢ ∑ i ∫ H n (Φ ) ⎢⎣ i = 0 dt ⎥⎦ Φ Φ chuẩn không gian Φ a (u, v ) ≤ υ u v ∀u, v ∈ H 01 (Ω) v b( q, v ) ≥ β q , ∀q ∈ L20 (Ω) v1 v∈H 01 ( Ω ) sup Đặc biệt n = ta có: β số dương Đặt ⎛T ⎞2 v L2 ( Φ ) = ⎜ ∫ v ( t ) Φ dt ⎟ ⎝0 ⎠ Ta định nghĩa thêm không gian: { L∞ (0, T , Φ) = v(t ) ∈ Φ; ess sup v(t ) với chuẩn v L∞ ( Φ ) ≤ t ≤T N = sup u,v,w∈ X Φ } a1 (u, v, w ) , f u1 v1 w1 −1 = sup v∈X (f, v ) v1 Định lý Nếu f ∈ L (0, T ; H −1 (Ω) ) , tốn II có nghiệm, xác định υ −2 N f L2 ( H −1 ) < ước số tự nhiên M h ⊂ M không gian véc tơ đa thức phần bậc X h ⊂ X h × M h Ta thấy m − Đặt m ( X h , M h ) có tính chất sau: ∀v ∈ H m+1 (Ω) ∩ X ∀q ∈ M ∩ H m (Ω) , Ω Ta có số C dương, khác lần xuất hiện, độc lập với khơng gian, thời gian lưới tính tốn, nhiên số C phụ thuộc vào Ω , số Reynolds, số tham biến khác giới thiệu báo Ta thấy với u, v, w ∈ X dạng tam tuyến tính a1 (.,.,.) có tính chất sau đây: a1 (u, v, w ) = −a1 (u, w, v) a1 (u, v, v) = Dạng song tuyến tính a(.,.) b(.,.) có tính chất sau: inf ∇ ( v - v h ) ≤ Ch m v m +1 v h ∈X h inf ( q − qh ) ≤ Ch m q m qh ∈M h (1) Hai bất đẳng thức gọi điều kiện LBB rời rạc, điều kiện viết lại dạng: b(qh , v h ) sup ≥ β qh ∀q0 ∈ M h (2) ∇v h vh ∈X h β số dương độc lập với h Để tìm nghiệm phương pháp số cho 223 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 toán II, ta rời rạc hóa tốn II Chúng ta sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho biến không gian dùng sơ đồ sai phân hữu hạn đạo hàm theo thời gian Cho L số nguyên dương, kí hiệu bước thời gian k = T / L ( T toàn thời gian): t ( n ) = nk ; ≤ n ≤ L ; (u nh , phn ) ∈ X h × M h có xấp xỉ tương ứng theo phương pháp phần tử hữu hạn (u (t ( n ) ), p (t ( n ) ) ≡ (u n , p n ) Do dùng sơ đồ nửa ẩn Euler cho thời gian phương pháp phần tử hữu hạn để đưa toán I trở thành toán sau đây: Bài toán III Tìm (u nh , phn ) ∈ X h × M h cho ⎧(u nh , v h ) + ka (u nh , v h ) ⎪ n −1 n n ⎪+ ka1 (u h , u h , v h ) − kb( ph , v h ) ⎪ n n −1 ⎨= k ( f , v h ) + (u h , v h ) ∀v h ∈ X h ⎪ n ⎪b(qh , u h ) = ∀qh ∈ M h ⎪u = Ω ⎩ h ≤ n ≤ L Xét A(.,.) X h × X h xác định A(u nh , v h ) = (u nh , v h ) + ka(u nh , v h ) + ka1 (u nh−1 , u nh , v h ) Ta có = u i =1 n + k 1/2υ ∑ ( p i − phi ) ≤ C (h m + k ) i =1 (u, p ) ∈ ⎡⎣ H 01 (Ω) ∩ H m+1 (Ω) ⎤⎦ × ⎡⎣ H m ∩ M ⎤⎦ nghiệm xác tốn I C số phụ thuộc vào u n , p n m+1 m+1 1≤ n ≤ L Nếu ta biết giả thiết số Reynolds Re = υ −1 , tham số h tam giác, không gian véc tơ hữu hạn X h × M h , bước thời gian k f , cách giải toán III, ta thu nghiệm (u1nh , u2nh , phn ) nL=1 Sau ta chọn nghiệm thời điểm từ họ L nghiệm (u1nh , u n2 h , phn )T (1 ≤ n ≤ L ) toán III (chẳng hạn chọn =20 =30, nói chung =L ): U i ( x, y ) = (u1nh , u2nh , phn )T với ≤ n1 < n2 < < n ≤ L Các nghiệm chọn thời điểm thường gọi snapshots KẾT LUẬN A(u nh , u nh ) = (u nh , u nh ) + ka(u nh , u nh ) + ka1 (u nh−1 , u nh , u nh ) n h n u n − u nh + k 1/2υ ∑ ∇(ui − uih ) + kν ∇u n h kb(.,.) thỏa mãn điều kiện LBB rời rạc X h × M h theo lý thuyết phần tử hữu hạn ta thu kết sau Đinh lý Với giả thiết (1), (2), n f ∈ H −1 (Ω)2 thỏa mãn N ∑ f i −1 i =1 < υ , tốn III có nghiệm (u nh , phn ) ∈ X h × M h thỏa mãn n u nh + kυ ∑ ∇uih i =1 n ≤ kυ −1 ∑ f i i =1 −1 Trong báo tác giả nghiên cứu dạng hệ phương trình Navier – Stokes cách dùng phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp sai phân hữu hạn Nghiệm xấp xỉ hệ Navier – Stokes dạng rời rạc đánh giá sai số xem xét TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P Holmes, J.L Lumley, and G Berkooz Turbulence, Coherent Structures, Dynamical Systems and Symmetry Cambridge Monographs on Mechanics, Cambridge University Press, 1996 k = O(h ) , 224 ... i =1 −1 Trong báo tác giả nghiên cứu dạng hệ phương trình Navier – Stokes cách dùng phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp sai phân hữu hạn Nghiệm xấp xỉ hệ Navier – Stokes dạng rời rạc đánh... có xấp xỉ tương ứng theo phương pháp phần tử hữu hạn (u (t ( n ) ), p (t ( n ) ) ≡ (u n , p n ) Do dùng sơ đồ nửa ẩn Euler cho thời gian phương pháp phần tử hữu hạn để đưa toán I trở thành toán... tìm nghiệm phương pháp số cho 223 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 toán II, ta rời rạc hóa tốn II Chúng ta sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho biến