Giải tích phân thứ
Tích phân phân thứ
Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Định nghĩa 1.1 ([12]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→R được cho bởi t 0I t α x(t) := 1 Γ(α)
(t−s) α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) +∞
Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t 0 I t α := I với I là toán tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lý sau. Định lý 1.1 ([12]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b] Khi đó, tích phân t 0I t α x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, t 0I t α x cũng là một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
(i) Cho x(t) = (t−a) β , ở đây β > −1 và t > a Với bất kì α > 0, chúng ta có t 0I t α x(t) = Γ(β+ 1) Γ(α+β+ 1)(t−a) α+β , t > a.
(ii) Cho x(t) = e λt , λ >0 Với bất kì α > 0, chúng ta có t 0I t α x(t) =λ −α
Đạo hàm phân thứ
Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Định nghĩa 1.2 ([12]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→R được cho bởi
(t−s) n−α−1 x(s)ds, trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dt d n n là đạo hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function) f(t)
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f(t) là
0 D t α f(t) = t −α Γ(1−α). Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b] Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: f(t) ∈AC[a, b] ⇔ f(t) = c+
Z t a ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), do đó một hàm tuyệt đối liên tục f(t) có đạo hàm f 0 (t) =ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b].
Với n ∈N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
D = d dt Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1 ([12]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f(t) có dạng như sau: f(t) = t 0I t α ϕ(t) + n−1
X k=0 ck(t−t0) k , trong đó ϕ(t) ∈L(a, b), ck(k = 0,1, , n−1) là các hằng số tùy ý và t 0I t α ϕ(t) = 1
Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có ϕ(s) =f (n) (s), c k = f (k) (t0) k! (k = 0,1, , n−1). Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville. Định lý 1.2 ([12]) Cho α ≥ 0, n = dαe Nếu f(t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm phân thứ RL t 0 D t α f(t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau
Z t t 0 f (n) (s)ds (t−s) α−n+1 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2
Hệ quả 1.1 ([12]) Nếu 0 < α 0 và f(t) ∈C[a, b] Khi đó ta có
Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây. Định lý 1.5 ([12]) Cho α >0, n =dαe Nếu f(t) ∈AC n [a, b] thì t 0 I t α C t 0 D α t f(t)
X k=0 f (k) (t0) k! (t−t0) k Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f(t) ∈ AC[a, b] thì t 0I t α C t 0 D t α f(t)
= f(t)−f(t0). Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville. Định lý 1.6 [12] Cho α > 0 và đặt n = dαe Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng ta có:
Tiếp theo chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler. Định nghĩa 1.4 [11] Cho α ∈C, một hàm E α :C −→ C xác định bởi
X k=0 z k Γ(αk+ 1), được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.1 Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có
Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ. Định nghĩa 1.5 [11] Cho α, β ∈ C, một hàm E α,β : C −→ C xác định bởi
X k=0 z k Γ(αk +β), được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là
Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của A.A Kilbas [12].
Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ với trễ không bị chặn 14 2.1 Một số bất đẳng thức tích phân
Tính ổn định hóa của một lớp hệ điều khiển phân thứ với trễ không bị chặn 31 3.1 Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn
Ví dụ số minh họa
Trong mục này, chúng tôi trình bày hai ví dụ số minh họa cho kết quả lý thuyết của mục trước.
Ví dụ 3.1 Xét hệ điều khiển (3.1), trong đó x(t) ∈R 2 , u(t) ∈R và
Cho trướcλ = 2, à= 1 Áp dụng Thuật toỏn 3.1 và sử dụng hộp cụng cụ LMI Control Toolbox trong MATLAB , ta thấy điều kiện (3.5) trong Định lý 3.1 được thỏa mãn với 1 = 11,4403, 2 = 4,6994, 3 = 2,8845, 4 4,6830, 5 = 4,8894, 6 = 18,9786 và
Theo Định lý 3.1, hệ đóng tương ứng ổn định tiệm cận và điều khiển ngược ổn định hóa xác định bởi u(t) h
Ví dụ 3.2 Xét hệ điều khiển sau đây
Dưới tác động của điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ trạng thái u(t) Kx(t) +K1x(t−τ(t)), ta có hệ đóng dưới đây
Cho trước λ= 1, à = 0,5 Áp dụng Thuật toỏn 3.1 và sử dụng hộp cụng cụ LMI Control Toolbox trong MATLAB , ta thấy điều kiện (3.5) trong Định lý 3.1 được thỏa mãn với 1 = 4,24, 2 = 3,95, 3 = 10,04, 4 3,74, 5 = 4,66, 6 = 10,31 và
−0,08 0,01 −0,12 i Theo Định lý 3.1, dưới tác động của điều khiển ngược u(t) h
0,05 0,005 −0,36 i x(t−τ(t)) hệ đóng (3.14) ổn định tiệm cận.
Luận văn đã đạt được những kết quả sau:
• Trình bày lại một số khái niệm cơ bản về giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo;
• Trình bày hai bất đẳng thức Halanay mở rộng cho hệ có trễ biến thiên không bị chặn và áp dụng hai bất đẳng thức này nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình vi phân phân thứ Riemann-Liouville;
• Trình bày bài toán thiết kế điều khiển ngược phụ thuộc trạng thái để ổn định hóa hệ điều khiển phân thứ Caputo phi tuyến có trễ biến thiên không bị chặn;
• Trình bày một số ví dụ để minh họa cho các kết quả lý thuyết;
[1] Hoàng Thế Tuấn, Về một số vấn đề định tính của hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ Toán học, Viện Toán học, 2017.
[2] Bùi Thị Thúy, Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số, Luận án tiến sĩ Cơ học, Học viện Khoa học và Công nghệ, 2017.
[3] S Boyd, L El Ghaoui, E Feron and V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadel- phia.
[4] B Chen and J Chen (2015), “Razumikhin-type stability theorems for functional fractional-order differential systems and applications”, Applied Mathematics and Computation, 254, pp 63–69.
[5] S.K Choi and N Koo (2011), “The monotonic property and stability of solutions of fractional differential equations”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 74, pp 6530–6536.
[6] M.A Duarte-Mermoud, N Aguila-Camacho, J.A Gallegos and R. Castro-Linares (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lyapunov uniform stability for fractional order systems”,
Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), pp 650–659.
[7] B.B He, H.C Zhou, C.H Kou and Y.Q Chen (2018), “New integral inequalities and asymptotic stability of fractional-order systems with unbounded time delay”, Nonlinear Dynamics, 94, pp 1523–1534.
[8] B.B He, H.C Zhou, Y.Q Chen and C.H Kou (2018), “Asymptotical stability of fractional order systems with time delay via an integral inequality”, IET Control Theory & Applications, 12(12), pp 1748– 1754.
[9] B.B He, H.C Zhou, C.H Kou and Y.Q Chen (2021), “Stabilization of uncertain fractional order system with time-varying delay using BMI approach”, Asian Journal of Control, 23(1), pp 582–590.
[10] Z Jiao, Y.Q Chen and Y Zhong (2013), “Stability analysis of linear time-invariant distributed-order systems”, Asian Journal of Control, 15(3), pp 640–647.
[11] T Kaczorek (2011),Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer.
[12] A.A Kilbas, H.M Srivastava and J.J Trujillo (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer.
[13] B.K Lenka and S Banerjee (2018), “Sufficient conditions for asymp- totic stability and stabilization of autonomous fractional order sys- tems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simu- lation, 56, pp 365–379.
[14] Y Li, Y.Q Chen and I Podlubny (2010), “Stability of fractional- order nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and gen- eralized Mittag-Leffler stability”, Computers & Mathematics withApplications, 59, pp 1810–1821.