Về tính ổn định và ổn định hóa của một lớp hệ phương trình vi phân phân thứ với trễ không bị chặn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TS MAI VIẾT THUẬN

TS NGUYỄN TRƯỜNG THANH

THÁI NGUYÊN - 2021

Chương 2 Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ với trễ không bị chặn 14 2.1 Một số bất đẳng thức tích phân 14

2.2 Áp dụng nghiên cứu tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ với trễ không bị chặn 25

Chương 3 Tính ổn định hóa của một lớp hệ điều khiển phân thứ với trễ không bị chặn 31 3.1 Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn 31

3.2 Ví dụ số minh họa 37

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích phân thứ là một chủ đề toán học có lịch sử lâu đời Nó được phát triển bởi các nhà toán học nổi tiếng như Leibniz, Liouville, Riemann, Caputo Vì khó tính toán và sự không chắc chắn về ý nghĩa hình học của giải tích phân thứ nên nó không nhận được sự quan tâm nghiên cứu lớn của các nhà khoa học trong thế kỷ trước Tuy nhiên, trong những năm gần đây, các nhà khoa học chỉ ra rằng giải tích phân thứ có thể mô tả chính xác một số hiện tượng vật lý, hóa học và tài chính Ngoài ra, giải tích phân thứ có thể được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực điều khiển và kỹ thuật.

Tính ổn định là một trong những tính chất định tính quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ thống Vì vậy nó nhận được sự quan tâm nghiên cứu của đông đảo các nhà khoa học Năm 1996, D Matignon [15] lần đầu tiên đưa ra một kết quả về tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ thông qua việc nghiên cứu phổ của ma trận của hệ Sau đó, nhiều kết quả về tính ổn định của hệ phương trình vi phân phân thứ đã được phát triển và công bố Các phương pháp chính để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ có thể kể đến như sử dụng phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp tiếp cận bất đẳng thức ma trận tuyến tính [16], phương pháp cơ sở Riesz và phương pháp nửa nhóm Đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến, các phương pháp chính để nghiên cứu tính ổn định của hệ bao gồm phương pháp so sánh [5], bất đẳng thức tích phân [8], kỹ thuật tuyến tính hóa [13] và phương pháp hàm Lyapunov [14] Mặt khác, độ

trễ thời gian là một hiện tượng phổ biến thường gặp trong các hệ thống thực tế khác nhau, chẳng hạn như các quá trình điện, đồng bộ, hóa học Cần lưu ý rằng, sự tồn tại của độ trễ có thể gây ra một số phản ứng không mong muốn, thậm chí không ổn định Vì vậy việc nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân phân thứ có trễ là một bài toán có ý nghĩa và quan trọng Một phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứ với trễ bị chặn là sử dụng định lý Razumikhin cho hệ phân thứ được nghiên cứu bởi B Chen và J Chen [4] Gần đây, sử dụng bất đẳng thức Halanay phân thứ, B.B He cùng các cộng sự [7] nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của một lớp hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến có trễ không bị chặn Năm 2021, nhóm tác giả trên nghiên cứu bài toán ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển phân thứ phi tuyến có trễ không bị chặn bằng cách sử dụng bất đẳng thức Halanay phân thứ và kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính [9].

Luận văn tập trung trình bày tính một số tiêu chuẩn cho bài toán nghiên cứu tính tính ổn định và ổn định hóa của một lớp hệ phương trình vi phân phân thứ với trễ không bị chặn dựa trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp bài báo đã được công bố trong những năm gần đây (xem [7, 8, 9]) Luận văn gồm có 3 chương gồm những nội dung sau:

Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm phân thứ Caputo Ngoài ra, chúng tôi trình bày phương pháp trực tiếp Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [6, 11, 12, 14].

Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán nghiên cứu tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ với trễ không bị chặn Nội dung chính của chương này

được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [7].

Trong chương 3 của luận văn, chúng tôi tập trung trình bày một tiêu chuẩn cho bài toán nghiên cứu tính ổn định hóa của một lớp hệ điều khiển phân thứ với trễ không bị chặn Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [9].

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Mai Viết Thuận và TS Nguyễn Trường Thanh Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học của mình Những người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học -Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những người bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn.

Danh mục ký hiệu

Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị của ma trận A

λ(A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A λmax(A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin(A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

kAk chuẩn phổ của ma trận A, kAk = pλmax(A>A)

A ≥ 0 ma trận A nửa xác định dương, tức là hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A ≥ B nghĩa là A − B ≥ 0

A > 0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn, x 6= 0 LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1, x2, , xn)> ∈ Rn

Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn ACm[a, b] không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]

t0Itα toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số

dαe số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [6, 11, 12].

1.1.Giải tích phân thứ

1.1.1 Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường.

Định nghĩa 1.1 ([12]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t0Itα := I với I là toán tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lý sau.

Định lý 1.1 ([12]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b] Khi đó, tích phân t0Itαx(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa,

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực.

Định nghĩa 1.2 ([12]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dtdnn là đạo hàm thông thường cấp n.

Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.

Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b] Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f0(t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b].

Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm ACn[a, b] như sau:

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm ACn[a, b].

Mệnh đề 1.1 ([12]) Không gian ACn[a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có

Định lý 1.2 ([12]) Cho α ≥ 0, n = dαe Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạo hàm phân thứ RLt0 Dtαf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2

Hệ quả 1.1 ([12]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì

Mệnh đề 1.2 ([11]) Cho trước một số thực dương α Khi đó đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là

Định nghĩa 1.3 ([11]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

t Dαt x(t) := t0Itn−αDnx(t),

trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dxdnn

là đạo hàm thông thường cấp n.

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1(t), x2(t), , xd(t))T đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:

t0Dtαx(t) := Ct0Dtαx1(t), Ct0Dαtx2(t), , Ct0Dtαxd(t)
T

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứ cấp α.

Định lý 1.3 ([12]) Cho α ≥ 0, n = dαe Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạo hàm phân thứ Caputo Ct

0Dαtf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] Hơn

Mệnh đề 1.3 ([11]) Cho trước một số thực dương α Khi đó đạo hàm phân thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là

t0Dtα[λf (t) + µg(t)] = λCt0Dαt f (t) + µCt0Dtαg(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ ACn[a, b].

Chứng minh Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.

Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.

Mệnh đề 1.4 ([11]) Cho trước một số thực dương α Nếu ξ là hằng số thì Ct

0Dtαξ = 0.

Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ.

Định lý 1.4 ([12]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b] Khi đó ta có

t0Dtα(t0Itαf (t)) = f (t).

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ Điều này được chỉ rõ trong định

Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville.

Định lý 1.6 [12] Cho α > 0 và đặt n = dαe Với bất kì x ∈ ACn[a, b],

với hầu hết t ∈ [a, b].

Tiếp theo chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.

được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.

Nhận xét 1.1 Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có

được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là

Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của A.A Kilbas [12].

1.2.Một số bổ đề bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.

Bổ đề 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [3]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương Khi đó ta có đánh giá sau:

±2xTy ≤ xTSx + yTS−1y.

Bổ đề 1.2 (Bổ đề Schur [3]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương Khi đó X+ZTY−1Z <

Bổ đề 1.3 ([6]) Cho x(t) ∈ Rn là một véc tơ hàm khả vi liên tục và P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương Khi đó ta có ước lượng sau đây:

1 2

t0Dtα xT(t)P x(t)
≤ xT(t)P Ct0Dtαx(t), ∀t ≥ t0 ≥ 0.

Bổ đề 1.4 ([10]) Cho α ∈ (0, 1) và cho x(t) ∈ R là một hàm khả vi liên tục Khi đó với mọi t ≥ 0, ta có bất đẳng thức sau đây

0 Dtαx2(t) ≤ x(t)RL0 Dtαx(t).

Trong chương này, chúng tôi trình bày hai bất đẳng thức tích phân để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân phân thứ Riemann-Liouville và hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ không bị chặn Nội dung của chương được viết dựa trên bài báo của B.B He cùng các cộng sự [7] xuất bản trên tập san Nonlinear Dynamics năm 2018.

2.1.Một số bất đẳng thức tích phân

Xét hệ phương trình vi phân phân thứ có trễ biến thiên không bị chặn

0Dtα = f (t, x(t), x(t − τ (t))), t ≥ 0, (2.1) trong đó 0 < α < 1, x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, 0Dαt biểu thị đạo hàm phân thứ của x(t) theo nghĩa Riemann-Liouville hoặc Caputo Hàm f : R+ × Rn × Rn −→ Rn là hàm phi tuyến thỏa mãn f (t, 0, 0) = 0, τ : [0, +∞) −→ [0, +∞) là hàm trễ không bị chặn.

Định nghĩa 2.1 ([7]) Nghiệm tầm thường (x ≡ 0) của hệ (2.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu x(t) −→ 0 khi t −→ +∞.

Trước hết, chúng tôi trình bày hai bất đẳng thức tích phân quan trọng

dưới đây Hai bất đẳng thức này được áp dụng để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của hệ (2.1) trong cả hai trường hợp: đạo hàm phân thứ Caputo và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville.

Chứng minh Chứng minh của Định lý được chia ra làm hai bước Bước 1: Ta chứng minh rằng φ(t) bị chặn đều trên [−h, +∞) Thật vậy, vì τ (t) ≤ t + h với s ∈ [0, t], nên ta có

φ(s) Rõ ràng φ(t) xác định và là hàm không tăng với t vì φ(t) không âm và bị chặn trên [−h, +∞) Suy ra tồn tại inf

t≥0φ(t) Do đó để chứng tỏ lim

t−→+∞φ(t) = 0 ta chỉ cần chứng minh inf

t≥0φ(t) = 0 là đủ Theo định nghĩa của cận dưới đúng, với bất kỳ  > 0 tồn tại một hằng số T ≥ 0 sao cho φ(t) ≤ φ(T ) ≤ inf

tùy ý nên suy ra inf

t≥0φ(t) = 0 Định lý được chứng minh hoàn toàn Định lý 2.2 ([7]) Cho φ : (0, +∞) −→ R+ là một hàm liên tục Giả sử rằng a : (0, +∞) −→ R là một hàm liên tục thỏa mãn lim

và tiến tới 0 khi t −→ +∞, µ > 0 là một hằng số dương sao cho bất đẳng thức dưới đây thỏa mãn với mọi t ≥ 0

Chứng minh Chứng minh của định lý được chia làm hai bước Bước 1: Ta chứng minh φ(t) bị chặn đều với mọi t > g(T ).

Vì ăt) liên tục và lim

t−→+∞ăt) = 0 nên ặ) bị chặn trên [g(T ), +∞) Vì

kỳ  > 0 tồn tại số G > g(T ) sao cho φ(t) ≤ φ(G) ≤ inf

Theo định nghĩa của φ(t) và (2.12), với mọi t ≥ g−1(G) > g(T ) ta có đánh giá dưới đây

minh hoàn toàn.

Từ Định lý 2.1 ta thu được hệ quả sau Hệ quả này sẽ được áp dụng để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ biến thiên không bị chặn.

Hệ quả 2.1 ([7]) Cho α ∈ (0, 1) và V : [−h, ∞) −→ R+ bị chặn trên [−h, 0] và liên tục trên [0, +∞) Giả sử rằng τ (.) ∈ C (R+, R+) thỏa mãn τ (t) ≤ t + h với số cố định h > 0 nào đó, t − τ (t) −→ +∞ khi t −→ +∞ Tồn tại các số dương λ > µ > 0 sao cho với mọi t ≥ 0 bất đẳng thức dưới đây được thỏa mãn

Với mọi t ≥ 0, lấy biến đổi Laplace hai vế của (2.15), ta thu được trong đó ký hiệu ∗ biểu diễn toán tử tích chập Vì M (t), tα−1 và Eα,α(−λtα) không âm nên ta thu được ước lượng dưới đây cần chỉ ra µkKkL1(R+) < 1 Thật vây, theo công thức (1.10.7) trang 50 trong cuốn sách của A.A Kilbas cùng các cộng sự [12], ta có

d dt[t

αEα,α+1(−λtα)] = tα−1Eα,α(−λtα)

Từ Định lý 2.2 ta thu được hệ quả sau Hệ quả này sẽ được áp dụng để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân phân thứ Riemann-Liouville có trễ biến thiên không bị chặn.

Hệ quả 2.2 ([7]) Cho α ∈ (0, 1) và V : (0, +∞) −→ R+ liên tục trên (0, +∞) và t1−αV (t) liên tục trên [0, +∞), τ : (0, +∞) −→ (0, +∞) liên tục và thỏa mãn t−τ (t) ≥ g(t) > 0, ∀t > 0, trong đó g(t) là hàm đơn điệu