Tính ổn định và ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc tuyến tính suy biến dương với trễ biến thiên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ PHẠM THỊ HƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO LỚP HỆ RỜI RẠC TUYẾN TÍNH SUY BIẾN DƯƠNG VỚI TRỄ BIẾN T

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

PHẠM THỊ HƯƠNG

TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA

TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO LỚP HỆ RỜI RẠC TUYẾN TÍNH SUY BIẾN DƯƠNG

VỚI TRỄ BIẾN THIÊN Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN HỮU SÁU

THÁI NGUYÊN - 2021

Mục lục

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu

hạn cho lớp hệ rời rạc 3

1.1.1 Bài toán ổn định trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc 3

1.1.2 Bài toán ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc tuyến tính có trễ 4

1.2 Hệ rời rạc suy biến có trễ 4

1.3 Hệ dương 7

1.4 Một số bổ đề bổ trợ 9

Chương 2 Tính ổn định và ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn của hệ rời rạc suy biến dương có trễ 10 2.1 Tiêu chuẩn ổn định trong khoảng thời gian hữu hạn của hệ rời rạc suy biến dương có trễ 10

2.2 Tiêu chuẩn ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc suy biến dương có trễ 21

2.3 Tiêu chuẩn ổn định vững hữu hạn thời gian cho hệ rời rạc suy biến có trễ biến thiên 24

hay |λ| = px2+ y2 , với λ = x + iy, x, y ∈ R ||x|| chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn ρ(A) là bán kính phổ của ma trận A

hay ρ(A) = max{|λ| : λ ∈ σ(A)},

(A)(ij) phần tử nằm ở hàng i và cột j của ma trận A (A)T(i) véc tơ hàng thứ i của ma trận A

A Hurwitz ma trận vuông, mọi giá trị riêng của ma trận A có phần thực là âm

A  0 ma trận không âm tức là aij ≥ 0, ∀i = 1, m, ∀j = 1, n

deg[f (s)] bậc của đa thức f (s)

Danh sách hình vẽ

2.1 Quỹ đạo nghiệm của hệ trong Ví dụ 2.1 21

2.2 Quỹ đạo của hệ đóng trong Ví dụ 2.2 24

2.3 Quỹ đạo của x1(k) trong Ví dụ 2.3 30

2.4 Quỹ đạo của x2(k) trong Ví dụ 2.3 30

2.5 Quỹ đạo của x3(k) trong Ví dụ 2.3 31

Lời nói đầu

Trong những năm gần đây bài toán ổn định trong khoảng thời gian hữu hạn của các hệ phương trình vi phân/sai phân đã và đang nhận được sự quan tâm lớn từ các nhà khoa học trong và ngoài nước [7, 9, 13, 14, 18, 20, 21] Một hệ được gọi là ổn định trong khoảng thời gian hữu hạn nếu khi ta đưa ra một giới hạn cho điều kiện ban đầu, trạng thái của hệ không vượt ra khỏi ngưỡng đã giới hạn trong suốt khoảng thời gian hữu hạn đã cho Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov tác giả S.B Stojanovi´c cùng các cộng sự [15] đã nghiên cứu bài toán ổn định và ổn định hóa hữu hạn cho hệ tuyến tính, thu được các điều kiện đủ dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính tuy nhiên hệ được xét không phải hệ suy biến và trễ là hằng số Cũng bằng phương pháp hàm Lyapunov tác giả X Wang cùng các cộng sự [18] đã xét bài toán ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ phi tuyến, các điều kiện đủ được đưa ra dưới dạng các bất đẳng thức ma trận, tuy nhiên hàm trễ cần điều kiện khả vi và bị chặn Đối với hệ dương (là những hệ động lực mà véc tơ trạng thái của hệ luôn không âm với điều kiện ban đầu không âm [5]) L.V Hien [7] đã sử dụng phương pháp so sánh nghiệm kết hợp với tính chất của ma trận Metzler đã đưa ra các điều kiện dưới dạng bài toán quy hoạch tuyến tính để xét bài toán ổn định hữu hạn thời gian cho hệ với ma trận hệ số là biến thiên và trễ biến thiên, tuy nhiên hệ được xét không phải là hệ suy biến Gần đây năm 2018, N.H Sau và V.N Phat [13] đã xét bài toán ổn định trong khoảng thời gian hữu hạn cho hệ suy biến dương có trễ là hằng số, tuy nhiên hệ được xét là hệ liên tục và bài toán ổn định hóa chưa được xét tới Bài toán ổn định và ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc tuyến tính suy biến dương với trễ biến thiên được nghiên cứu bởi D.C Huong và N.H.

1

Sau [9] bằng cách sử dụng tính chất của ma trận Metzler/Schur kết hợp với phương pháp so sánh nghiệm.

Luận văn trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán ổn định và ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc tuyến tính suy biến dương với trễ biến thiên dựa trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp bài báo đã được công bố trong những năm gần đây Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung dự kiến như sau:

Chương 1 trình bày một số khái niệm về bài toán ổn định và ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc, hệ rời rạc suy biến dương có trễ Cuối chương 1, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ Nội dung chính của Chương 1 được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [2, 3, 5, 9, 11].

Chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn ổn định, ổn định vững và ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc suy biến dương có trễ Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [9].

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Hữu Sáu Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học của mình Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình chỉ bảo và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin cùng các giảng viên tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu.

Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn!

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định và ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ phương trình rời rạc Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [1, 2, 3, 5, 9, 11].

1.1.Bài toán ổn định và ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc

1.1.1 Bài toán ổn định trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ ổn định hữu hạn thời gian được định nghĩa cho hệ (1.1) như sau:

Định nghĩa 1.1 ([3]) Cho trước các số dương c1, c2, N , hệ (1.1) được gọi là ổn định hữu hạn thời gian theo (c1, c2, N ) nếu

kϕk < c1 =⇒ kx(k, ϕ)k < c2, ∀k = 0, , N (1.2)

3

Định nghĩa 1.2 ([3]) Cho trước các số dương c1, c2, N , hệ (1.3) được gọi là ổn định hóa hữu hạn thời gian theo (c1, c2, N ) nếu tồn tại một điều khiển ngược u(k) = Kx(k) sao cho hệ đóng

x(k + 1) = (A0 + BK)x(k) + A1x(k − h),

là ổn định hữu hạn thời gian theo (c1, c2, N ).

1.2.Hệ rời rạc suy biến có trễ

Xét hệ phương trình rời rạc suy biến có trễ sau

trong đó x(k) ∈ Rn, k ∈ N là véc tơ trạng thái, các ma trận A0, A1 ∈ Rn×n

là các ma trận thực cho trước, ma trận E ∈ Rn×n là ma trận suy biến với rank(E) = r < n; 0 < τ ∈ N là hằng số trễ ϕ(·) : {−τ, · · · , 0} → Rn là hàm điều kiện ban đầu với chuẩn xác định bởi kϕk = max

k∈{−τ,−(τ −1), ,0}kϕ(k)k Trong trường hợp E là ma trận đơn vị, hệ (1.4) luôn tìm được nghiệm bởi công thức truy hồi liên tiếp Tuy nhiên nếu E là ma trận suy biến khi đó ta cần sử dụng tới tính chính quy của cặp ma trận (E, A0) để có thể xây dựng được công thức nghiệm.

Định nghĩa 1.3 ([4]) Cặp ma trận (E, A0) được gọi là cặp ma trận chính quy nếu tồn tại số s ∈ C sao cho det(sE − A0) 6= 0.

Nhận xét 1.1 Chú ý rằng nếu tồn tại số s ∈ C để det(sE − A0) 6= 0 thì cũng tồn tại vô số các số như vậy, chỉ trừ hữu hạn các giá trị là nghiệm của đa thức

toán trực tiếp bằng phần mềm Matlab ta thu được

det (sE − A0) = det

vậy tồn tại s ∈ C sao cho det (sE − A0) 6= 0, hơn nữa ta có deg (det (sE − A0)) = rank(E) = 2.

Vậy cặp ma trận (E, A0) là chính quy và nhân quả.

trực tiếp ta thu được

det (sE − A0) = det

Vậy cặp ma trận (E, A0) là chính quy, tuy nhiên dễ thấy rằng hạng của ma trận E, rank(E) = 2, vậy deg(det(sE − A0)) = 1 6= 2 = rank(E), hay cặp ma trận (E, A0) không nhân quả.

Giả sử cặp ma trận (E, A0) thỏa mãn các điều kiện chính quy và nhân quả Khi đó tồn tại hai ma trận không suy biến P, Q (xem Bổ đề 2.10, trang 22, [11]) sao cho với phép biến đổi y(k) = Q−1x(k) = [y1(k), y2(k)] trong đó y1(k) ∈ Rr, y2(k) ∈ Rn−r, k ∈ N hệ (1.4) viết dưới dạng sau

Lưu ý rằng với hệ rời rạc thông thường có trễ dạng

trong đó x(k) ∈ Rn, k, h ∈ N; f : N × R(h+1)n → Rn là hàm véc tơ cho trước thỏa mãn điều kiện f (k, 0, 0, , 0) = 0, k ∈ N φ(·) : {−h, · · · , 0} → Rn là hàm điều kiện ban đầu với chuẩn xác định bởi kφk = max

kφ(k)k Nghiệm của hệ (1.7) xác định bởi điều kiện ban đầu luôn tìm được bởi công thức truy hồi liên tiếp như sau: hàm điều kiện ban đầu.

Định nghĩa 1.5 ([5]) Hệ (1.8) được gọi là hệ dương nếu với bất kỳ điều kiện ban đầu ϕ(·)  0 và mọi véc tơ đầu vào u(·)  0 thì ta có x(k; ϕ)  0 với mọi k ∈ N.

Định nghĩa 1.6 ([10]) Cho ma trận Q = [qij]n×n ∈ Rn×n

ˆ Q được gọi là ma trận không âm, kí hiệu Q  0, nếu qij ≥ 0 với mọi i, j = 1, n.

ˆ Q được gọi là ma trận Metzler nếu qij ≥ 0 với mọi i 6= j; i, j = 1, n Định nghĩa 1.7 [19] Ma trận vuông A ∈ Rn×n được gọi là ma trận Hurwitz (ma trận ổn định) nếu mọi giá trị riêng của ma trận A có phần thực là âm.

Định lý sau cho ta một điều kiện cần và đủ cho tính dương của hệ (1.8).

Định lý 1.1 [12] Hệ tuyến tính (1.8) là dương khi và chỉ khi A0, A1 ∈ Rn×n0,+ ,

1.4.Một số bổ đề bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.

Bổ đề 1.1 ([5]) Cho A là một ma trận Metzler Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

1) A là ma trận Hurwitz.

2) Tồn tại véc tơ γ ∈ Rn sao cho: γ  0 và Aγ ≺ 0 3) Tồn tại véc tơ λ ∈ Rn sao cho: λ  0 và λTA ≺ 0 4) Ma trận A là khả nghịch và thỏa mãn A−1  0.

Bổ đề 1.2 ([5]) Cho M ∈ Rn×n là một ma trận không âm Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

Chương 2 Tính ổn định và ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu

hạn của hệ rời rạc suy biến dương có trễ

Hệ suy biến rời rạc tuyến tính với trễ biến thiên xuất hiện trong nhiều mô hình xử lý tín hiệu, dữ liệu trong ngành khoa học máy tính [16] Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán ổn định, ổn định hóa hữu hạn thời gian cho hệ rời rạc suy biến dương có trễ Chương này trình bày một số điều kiện đủ cho tính ổn định và ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ này Nội dung được trình bày trong chương này dựa trên bài báo [9].

2.1.Tiêu chuẩn ổn định trong khoảng thời gian hữu hạn của hệ rời rạc suy biến dương có trễ

Xét hệ rời rạc với trễ biến thiên sau E có dạng sau E = diag{Ir, 0} ∈ Rn×n Trong hệ (2.1), h(k) ∈ N là hàm trễ thỏa mãn điều kiện 0 < h(k) ≤ h; k, h ∈ N ϕ(·) : {−h, , 0} → Rn là hàm véc tơ điều kiện ban đầu với chuẩn kϕk = maxk∈{−h,−(h−1), ,0}kϕ(k)k.

Định nghĩa 2.1 ([11]) (i) Hệ (2.1) (u(k) = 0) được gọi là chính quy nếu

10

det(zE − A0) 6= 0 (ii) Hệ (2.1) (u(k) = 0) được gọi là nhân quả nếu deg(det(zE − A0)) = rank(E) = r.

Định nghĩa 2.2 ([5]) Hệ (2.1) (u(k) = 0) gọi là hệ dương nếu với bất kỳ điều kiện ban đầu không âm ϕ : {−h, −h + 1, , 0} → Rn0,+, thì ta có nghiệm x(k)  0 với mọi k ∈ N.

Định nghĩa 2.3 ([3]) Cho các số dương c1, c2, N , hệ (2.1) (u(k) = 0) được gọi là ổn định hữu hạn thời gian (FTS) theo (c1, c2, N ) nếu hệ là chính quy, nhân quả và thỏa mãn điều kiện

kϕk < c1 =⇒ kx(k, ϕ)k < c2, ∀k = 0, , N (2.2)

Định nghĩa 2.4 Hệ (2.1) được gọi là ổn định hóa hữu hạn thời gian theo (c1, c2, N ) nếu tồn tại một hàm điều khiển ngược u(k) = Kx(k) sao cho hệ

là ổn định hữu hạn thời gian theo (c1, c2, N ).

Trước tiên, ta sẽ xét bài toán ổn định hữu hạn thời gian cho hệ suy biến (2.1) với u(k) = 0, k ∈ N Ta kí hiệu A0 :=

Định lý 2.1 Cho số γ > 0 Giả sử rằng A0+ γ(In− E)  0, A1  0, hệ (2.1) với u(k) = 0 là dương và ổn định hữu hạn thời gian theo (c1, c2, N , c1 < c2) nếu tồn tại η > 1 và λ ∈ Rn+ sao cho điều kiện sau được thỏa mãn

và A04 là ma trận Metzler Vì A03Λ1  0 nên từ (2.7) ta thu được A04Λ2 ≺ 0 Sử dụng Bổ đề 1.1, ta nhận được ma trận A04 là Hurwitz và det(A04) 6= 0, do đó theo Bổ đề 1.3 hệ (2.1) với u(k) = 0 là chính quy và nhân quả ([11]) Ta có hệ (2.1) với u(k) = 0 viết lại như sau

Vì A04 là ma trận Metzler và Hurwitz, sử dụng Bổ đề 1.1, ta có −A−104  0 Kết hợp điều này với A01, A02, A03  0, A1i  0, i = 1, 2, 3, 4, ta thu được A01, A03, A11, A12, A13, A14 là các ma trận không âm Từ phương trình thứ nhất của hệ (2.52), ta thu được

Vì 0 < h(k) ∈ N, nên tồn tại h1 ∈ N sao cho 0 < h1 ≤ h(k), k ∈ N Mặt khác, vì A01  0, nên ta có Ak01  0, k ∈ N Từ giả thiết X1(0)  0 và A11  0, A12  0, ta thu được Ak01X1(0)  0 và Ak−θ−101 A11X1(θ − h(θ))  0, Ak−θ−101 A12X2(θ − h(θ))  0, với mọi 0 ≤ θ ≤ k − 1 ≤ h1 Vậy, X1(k)  0, ∀k ∈ [0, h1] Từ X1(k)  0, X1(k − h(k))  0, X2(k − h(k))  0, k ∈ [0, h1] và sử dụng phương trình thứ hai trong hệ (2.52), ta thu được X2(k)  0, ∀k ∈ [0, h1] Vậy nghiệm x(k) của hệ (2.52) là hệ dương trên [0, h1] Chứng minh tương tự ta chỉ ra được hệ là dương trên khoảng [h1, 2h1], [2h1, 3h1], Vậy ta có x(k)  0, ∀k ∈ N, hay hệ (2.1) với u(k) = 0 là hệ dương.

Tiếp sau đây, ta sẽ chỉ ra hệ là ổn định hữu hạn thời gian Theo chứng minh trên ta có A01, A03, A11, A12, A13, A14 là các ma trận không âm kết hợp với

Nhân trái hai vế của bất phương trình (2.19) với ma trận không suy biến −A−104  0 ta thu được

(A03+ αh1A13)Λ1+ αh1A14Λ2 ≺ Λ2,

điều này suy ra đánh giá (2.15) đúng Tiếp theo, ta nhân trái hai vế của bất đẳng thức A03+ αh1A13
Λ1+ αh1A14Λ2 ≺ Λ2 với ma trận không âm A02  0,

đúng Mặt khác, vì A01, A03, A11, A12, A13, A14 là các ma trận không âm, nên từ (2.11) và (2.12), ta thu được ∀i ∈ {1, 2, , r},

từ đây suy ra đánh giá (2.13) đúng.

Bước 4 Cuối cùng, ta sẽ chứng minh định lý như sau Từ (2.13) ta có

Điều này chứng tỏ rằng hệ (2.1) với u(k) = 0 là ổn định hữu hạn thời gian theo (c1, c2, N , c1 < c2) Định lý được chứng minh.

Định lý 2.2 Cho trước số γ > 0 Giả sử A0+ γ(In−E)  0, A1  0, hệ (2.1) với u(k) = 0 là dương và ổn định hữu hạn thời gian theo (c1, c2, N, c1 < c2) nếu tồn tại η > 1, các số dương a1, a2 và λ ∈ Rn thỏa mãn điều kiện sau

Chứng minh Để chứng minh định lý trên, ta sẽ chỉ ra rằng các điều kiện trong Định lý 2.2 là tương đương với các điều kiện trong Định lý 2.1 Thật vậy, nếu tồn tại η > 1 và λ ∈ Rn+ thỏa mãn (2.4) và (2.5), khi đó η và λ cũng thỏa mãn các điều kiện (2.35)-(2.37) với a1 = min

1≤i≤nλi = λmin; a2 = max

Nhận xét 2.2 Lưu ý rằng Định lý 2.2 cho ta một tiêu chuẩn đơn giản để đảm bảo tính dương và tính ổn định hữu hạn thời gian của hệ (2.1) (với u(k) = 0) dưới dạng bài toán quy hoạch tuyến tính, các điều kiện có thể dễ dàng giải bằng các thuật toán giải bài toán quy hoạch tuyến tính Trong Định lý 2.2, điều kiện (2.36) được đưa ra để có thể tăng độ lớn của trễ h Việc giải bài toán tối ưu sau có thể cho phép ta tìm được giá trị lớn nhất có thể của trễ khi mà các tham số c1, c2, N được cho trước:

min δ > 0 sao cho

Sử dụng kết quả trên ta xét tính ổn định trong khoảng thời gian hữu hạn của hệ dương thông thường có dạng sau:

Hệ quả 2.1 Giả sử rằng A0, A1  0 Khi đó hệ (2.38) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian theo (c1, c2, N , c1 < c2) nếu tồn tại η > 1 và λ ∈ Rn+

thỏa mãn các điều kiện sau

minkϕkλmaxα−k, k ∈ {0, 1, , N } điều này chứng minh rằng hệ (2.38) là ổn định hữu hạn thời gian theo (c1, c2, N , c1 < c2).

Nhận xét 2.3 Theo kết quả trong bài báo [12], hệ (2.38) là hệ dương khi và chỉ khi A0, A1  0 ([12]) Do đó từ Hệ quả 2.1, ta thấy rằng hệ dương (2.38) là ổn định trong khoảng thời gian hữu hạn nếu tồn tại một số η > 1 và λ ∈ Rn+

sao cho (2.39) được thỏa mãn Mặt khác, nếu điều kiện (2.39) trong Hệ quả 2.1 thỏa mãn với η = 1, thì áp dụng Định lý 1 trong bài báo [12], hệ (2.38) là ổn định tiệm cận Trong trường hợp này, tính ổn định hữu hạn thời gian được đảm bảo với mọi N ∈ N.