ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ PHẠM THỊ HƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO LỚP HỆ RỜI RẠC TUYẾN TÍNH SUY BIẾN DƯƠNG VỚI TRỄ BIẾN T
Bài toán ổn định trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc
Xét hệ rời rạc có trễ
(1.1) trong đó x(k) ∈ R n là véc tơ trạng thái; A 0 , A 1 là các ma trận thực hằng có số chiều thớch hợp; h∈ Nlà hằng số trễ ϕ(ã) :{−h,ã ã ã ,0} →R n là hàm điều kiện ban đầu với chuẩn xác định bởi kϕk = max k∈{−h,−(h−1), ,0}kϕ(k)k Bài toán ổn định hữu hạn thời gian được định nghĩa cho hệ (1.1) như sau: Định nghĩa 1.1 ([3]) Cho trước các số dương c 1 , c 2 , N, hệ (1.1) được gọi là ổn định hữu hạn thời gian theo (c 1 , c 2 , N) nếu kϕk< c 1 =⇒ kx(k, ϕ)k< c 2 , ∀k= 0, , N (1.2)
Bài toán ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn
lớp hệ rời rạc tuyến tính có trễ
Xét hệ điều khiển có trễ
(1.3) trong đó x(k) ∈ R n là véc tơ trạng thái; u(k) ∈ R m là véc tơ điều khiển.
A 0 , A 1 , B là các ma trận thực hằng có số chiều thích hợp; h ∈ N là hằng số trễ Bài toán ổn định hóa hữu hạn thời gian được định nghĩa trong phần này như sau: Định nghĩa 1.2 ([3]) Cho trước các số dươngc 1 , c 2 , N, hệ (1.3) được gọi là ổn định hóa hữu hạn thời gian theo (c1, c2, N) nếu tồn tại một điều khiển ngược u(k) =Kx(k) sao cho hệ đóng x(k+ 1) = (A 0 +BK)x(k) +A 1 x(k−h), là ổn định hữu hạn thời gian theo (c 1 , c 2 , N).
Hệ rời rạc suy biến có trễ
Xét hệ phương trình rời rạc suy biến có trễ sau
(1.4) trong đó x(k) ∈ R n , k ∈ N là véc tơ trạng thái, các ma trận A 0 , A 1 ∈ R n×n là các ma trận thực cho trước, ma trận E ∈ R n×n là ma trận suy biến với rank(E) = r < n; 0 < τ ∈ N là hằng số trễ ϕ(ã) : {−τ,ã ã ã ,0} → R n là hàm điều kiện ban đầu với chuẩn xác định bởikϕk= max k∈{−τ,−(τ−1), ,0}kϕ(k)k Trong trường hợpE là ma trận đơn vị, hệ (1.4) luôn tìm được nghiệm bởi công thức truy hồi liên tiếp Tuy nhiên nếu E là ma trận suy biến khi đó ta cần sử dụng tới tính chính quy của cặp ma trận(E, A 0 ) để có thể xây dựng được công thức nghiệm. Định nghĩa 1.3 ([4]) Cặp ma trận (E, A 0 ) được gọi là cặp ma trận chính quy nếu tồn tại số s ∈C sao cho det(sE −A 0 ) 6= 0.
Nhận xét 1.1 Chú ý rằng nếu tồn tại số s∈ Cđể det(sE−A 0 ) 6= 0thì cũng tồn tại vô số các số như vậy, chỉ trừ hữu hạn các giá trị là nghiệm của đa thức đặc trưng det(sE −A 0 ) = 0. Định nghĩa 1.4 ([4]) Cặp ma trận(E, A 0 ) gọi là nhân quả (causal) nếu thỏa mãn deg(det(sE−A 0 )) =rank(E) =r.
Ví dụ 1.1 Xét hai ma trận E
, tính toán trực tiếp bằng phần mềm Matlab ta thu được det (sE −A 0 ) = det
=s 2 −19s, vậy tồn tại s ∈C sao cho det (sE−A 0 ) 6= 0, hơn nữa ta có deg (det (sE −A 0 )) = rank(E) = 2.
Vậy cặp ma trận (E, A 0 ) là chính quy và nhân quả.
Ví dụ 1.2 Xét cặp ma trận E
, tính toán trực tiếp ta thu được det (sE−A 0 ) = det
= 0 với mọi s ∈C Vậy cặp ma trận (E, A 0 ) không chính quy.
Ví dụ 1.3 Xét cặp ma trận sau E
6 toán trực tiếp ta có det (sE−A 0 ) = det
Vậy cặp ma trận (E, A 0 ) là chính quy, tuy nhiên dễ thấy rằng hạng của ma trận E, rank(E) = 2, vậy deg(det(sE−A 0 )) = 16= 2 =rank(E), hay cặp ma trận (E, A 0 ) không nhân quả.
Giả sử cặp ma trận(E, A 0 ) thỏa mãn các điều kiện chính quy và nhân quả Khi đó tồn tại hai ma trận không suy biến P, Q (xem Bổ đề 2.10, trang 22, [11]) sao cho với phép biến đổiy(k) =Q −1 x(k) = [y 1 (k), y 2 (k)]trong đóy 1 (k) ∈R r , y 2 (k) ∈R n−r , k ∈ N hệ (1.4) viết dưới dạng sau
(1.5) vậy ta thu được công thức nghiệm sau
Qua một số bước biến đổi, từ (1.6) ta thu được nghiệm của hệ phương trình (1.4) cho bởi
Lưu ý rằng với hệ rời rạc thông thường có trễ dạng
(1.7) trong đó x(k) ∈ R n , k, h ∈ N; f : N×R (h+1)n → R n là hàm véc tơ cho trước thỏa món điều kiện f(k,0,0, ,0) = 0, k ∈ N φ(ã) : {−h,ã ã ã ,0} → R n là hàm điều kiện ban đầu với chuẩn xác định bởi kφk= max k∈{−h,−(h−1), ,0}kφ(k)k. Nghiệm của hệ (1.7) xác định bởi điều kiện ban đầu luôn tìm được bởi công thức truy hồi liên tiếp như sau: x(1) =f(0, x(0), x(−1), , x(−h))
Hệ dương
Xét hệ rời rạc có trễ hằng số
(1.8) trong đó x(k) ∈ R n là véc tơ trạng thái, u(k) ∈ R m là véc tơ điều khiển,
A 0 , A 1 ∈ R nìn , B ∈ R nìm , k ∈ N là hằng số trễ, ϕ(ã) : {−τ,ã ã ã ,0} → R n là hàm điều kiện ban đầu. Định nghĩa 1.5 ([5]) Hệ (1.8) được gọi là hệ dương nếu với bất kỳ điều kiện ban đầu ϕ(ã) 0 và mọi vộc tơ đầu vào u(ã) 0 thỡ ta cú x(k;ϕ) 0 với mọi k ∈N. Định nghĩa 1.6 ([10]) Cho ma trận Q= [q ij ] n×n ∈ R n×n
Q được gọi là ma trận không âm, kí hiệu Q 0, nếu q ij ≥ 0 với mọi i, j = 1, n.
Q được gọi là ma trận Metzler nếu q ij ≥ 0 với mọi i 6=j; i, j = 1, n. Định nghĩa 1.7 [19] Ma trận vuông A∈ R n×n được gọi là ma trận Hurwitz (ma trận ổn định) nếu mọi giá trị riêng của ma trận A có phần thực là âm. Định lý sau cho ta một điều kiện cần và đủ cho tính dương của hệ (1.8). Định lý 1.1 [12] Hệ tuyến tính (1.8) là dương khi và chỉ khi A 0 , A 1 ∈ R n×n 0,+ ,
Ví dụ 1.4 Xét hệ rời rạc sau
Ta thấy rằng các ma trận
A 0 , A 1 là không âm, điều kiện ban đầu không âm, vậy theo Định lý 1.1 hệ (1.9) là hệ dương.
Ví dụ 1.5 Xét hệ rời rạc
Ta thấy rằng ma trận
A 0 không thỏa mãn điều kiện A 0 0, vậy theo Định lý 1.1 hệ (1.10) không là hệ dương.
Một số bổ đề bổ trợ
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1 ([5]) Cho A là một ma trận Metzler Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
2) Tồn tại véc tơ γ ∈R n sao cho: γ 0 và Aγ ≺0.
3) Tồn tại véc tơ λ∈R n sao cho: λ 0 và λ T A ≺0.
4) Ma trận A là khả nghịch và thỏa mãn A −1 0.
Bổ đề 1.2 ([5]) Cho M ∈ R n×n là một ma trận không âm Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(iv) M −I là ma trận Hurwitz.
Bổ đề 1.3 ([11]) Cho hai ma trậnE
∈R n×n Cặp (E, A) là chính quy và nhân quả khi và chỉ khi det(A 4 )6= 0.
Tính ổn định và ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn của hệ rời rạc suy biến dương có trễ 10 2.1 Tiêu chuẩn ổn định trong khoảng thời gian hữu hạn của hệ rời rạc suy biến dương có trễ
Tiêu chuẩn ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc suy biến dương có trễ
hạn cho lớp hệ rời rạc suy biến dương có trễ
Dựa trên các kết quả về tính ổn định trong khoảng thời gian hữu hạn trong Định lý 2.1, phần này sẽ nghiên cứu bài toán ổn định hóa hữu hạn thời gian cho lớp hệ rời rạc suy biến dương với trễ biến thiên (2.1) Để nghiên cứu bài toán ổn định hóa phần này sẽ sử dụng hàm điều khiển ngược có dạngu(k) =Kx(k), trong đó K ∈R m×n là ma trận cần tìm Định lý sau sẽ cho ta một tiêu chuẩn để xác định ma trận K dựa trên bài toán quy hoạch tuyến tính. Định lý 2.3 Cho γ > 0 Giả sử A 1 0, hệ điều khiển (2.1) là hệ dương và ổn định hóa hữu hạn thời gian theo (c 1 , c 2 , N, c 1 < c 2 ) nếu tồn tại η > 1 và λ= (λ 1 , λ 2 , , λ n ) ∈ R n +, k j ∈ R m , j = 1,2, , n thỏa mãn điều kiện sau
Hơn nữa ta tìm được
Chứng minh Sử dụng hàm điều khiển ngược u(k) =Kx(k), thay vào hệ (2.1) ta thu được hệ đóng
Ex(k+ 1) =A K x(k) +A 1 x(k−h(k)), (2.46) trong đó A K =A 0 +BK Vì λ j >0 với mọi j = 1,2, , n, ta có
(A 0 +γ(I n −E)) (i,j ) λ j + (B) T i k j ≥ 0, i, j = 1,2, , n, bất đẳng thức này tương đương với
Kết quả này suy raA 0 +γ(I n −E) +BK 0 Do đó, ta có A K +γ(I n −E) 0. Đặt n
P i=1 k i k 1 λ 1 k 2 λ 2 k n λ n λ= Kλ Sử dụng điều kiện (2.44), ta thu được
Kết hợp (2.45)-(2.47) và Định lý 2.1, ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.4 Chú ý rằng dựa vào Định lý 2.3 ta có thể thiết kế điều khiển ngược để đảm bảo hệ đóng là ổn định hữu hạn thời gian Điều kiện đủ đảm bảo tính dương và tính ổn định hóa hữu hạn thời gian cho hệ ở dạng bài toán quy hoạch tuyến tính, do đó có thể dùng các phần mềm trên máy tính như Matlab, Cplex ([17]) để tìm được các nghiệm chấp nhận được.
Hệ quả sau từ Định lý 2.3 cho phép ta tìm được điều khiển u(k) = Kx(k) sao cho hệ: x(k+ 1) = A 0 x(k) +A 1 x(k−h(k)) +Bu(k) (2.48) là ổn định hóa hữu hạn thời gian theo (c 1 , c 2 , N).
Hệ quả 2.2 Giả sử A 0 , A 1 là các ma trận không âm Hệ điều khiển (2.48) là hệ dương và ổn định hóa hữu hạn thời gian theo (c 1 , c 2 , N, c 1 < c 2 ) nếu tồn tại η > 1, λ = (λ 1 , λ 2 , , λ n ) ∈ R n +, k j ∈ R m , j = 1,2, , n sao cho điều kiện sau thỏa mãn
X i=1 k i ≺0, λ max λ min < c 2 c 1 η −(N+h) Hơn nữa ta tìm được
Chứng minh Chứng minh tương tự như Định lý 2.3, áp dụng kết quả từ Hệ quả 2.1 cho hệ đóng x(k+ 1) = (A 0 +BK)x(k) +A 1 x(k−h(k)) ta thu được điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.2 Xét hệ điều khiển (2.1), trong đó
0.Choc 1 = 1, c 2 = 1.1, N = 90, γ = 2.5 các điều kiện (2.43) - (2.45) chấp nhận được với λ
Lưu ý rằng, trong ví dụ này, thông qua việc tính toán trực tiếp thu được det(sE−A 0 ) =− 50 1 , với mọi s ∈C, điều này
24 suy ra rằng deg(det(sE −A 0 )) = 0 < 2 = rank(E) Hay hệ mở không thỏa mãn điều kiện nhân quả Tuy nhiên áp dụng Định lý 2.3, hệ là ổn định hóa hữu hạn thời gian theo (1, 1.1, 90) với hàm điều khiển ngược
u 1 (k) = 0.1x 1 (k) +x 2 (k), u 2 (k) = 0.2x 1 (k)−20x 3 (k). Để mô tả trạng thái của hệ ta chọn h(k) = 3round(sin 2 (k)), Hình 2 mô tả quỹ đạo x 1 (k), x 2 (k) và x 3 (k) của hệ đóng với điều kiện ban đầu ϕ(k) (0.8, 0.4, 0.18), k ∈ {−3,−2,−1,0}.
Hình 2.2: Quỹ đạo của hệ đóng trong Ví dụ 2.2.
Tiêu chuẩn ổn định vững hữu hạn thời gian cho hệ rời rạc suy biến có trễ biến thiên
rời rạc suy biến có trễ biến thiên
Trong phần này, một kết quả mở rộng cho bài toán ổn định vững hữu hạn thời gian cho lớp hệ suy biến có trễ biến thiên với nhiễu bị chặn Xét hệ có dạng sau:
(2.49) trong đó x(k) ∈ R n là véc tơ trạng thái; E, A 0 , A 1 ∈ R n×n , D ∈ R n×m là các ma trận hằng số cho trước h(k) ∈ N là hàm trễ thỏa mãn điều kiện
0< h(k) ≤h; k, h∈ N ω(k) ∈R m 0,+ là véc tơ nhiễu thỏa mãn điều kiện:
0 ω(k) ω, (2.50) ω là véc tơ đã biết Ta kí hiệu x(k, ϕ, ω) là nghiệm với điều kiện ban đầu ϕ(s), s∈ {−h, , 0} của hệ (2.49). Định nghĩa 2.5 ([11]) (i) Hệ (2.49) là chính quy nếu tồn tại s ∈ C sao cho det(sE −A 0 ) 6= 0 (ii) Hệ (2.49) là nhân quả nếu deg(det(sE −A 0 )) = r rank(E). Định nghĩa 2.6 ([8]) Cho các số dương c 1 , c 2 , N, hệ (2.49) được gọi là ổn định vững hữu hạn thời gian theo (c 1 , c 2 , N) nếu hệ là chính quy, nhân quả và thỏa mãn điều kiện sau kϕk< c 1 =⇒ kx(k, ϕ)k< c 2 , ∀k= 0, , N, (2.51) với mọi nhiễu w(ã) thỏa món (2.50).
Bổ đề 2.1 Cho γ > 0 Giả sử A 0 +γ(I n −E) 0, A 1 , D 0 và A 04 là ma trận Hurwitz Khi đú, với điều kiện ban đầu ϕ(ã) 0 và ω(k) 0, k ∈ N, hệ (2.49) là hệ dương.
0 và A 1 0 suy ra A 0i 0, i = 1,2,3, A 1j 0, j = 1,4 và A 04 là ma trận Metzler Mặt khác,
A 04 là ma trận Hurwitz, áp dụng Bổ đề 1.2, suy ra ma trận −A −1 04 0 Đặt
D = (D T 1 D 2 T ) T , với D 1 ∈ R r×m , D 2 ∈ R (n−r)×m Khi đó, hệ (2.49) viết lại dưới dạng x 1 (k+ 1) = A 01 x 1 (k) +A 11 x 1 (k−h(k)) +A 12 x 2 (k−h(k)) +D 1 ω(k), x 2 (k) =A 03 x 1 (k) +A 13 x 1 (k−h(k)) +A 14 x 2 (k−h(k)) +D 2 ω(k),
Từ trên ta có −A −1 04 0, kết hợp với A 01 , A 02 , A 03 0, A 1i 0, (i 1,2,3,4), D 1 , D 2 0, ta nhận được A 01 , A 03 , A 11 , A 12 , A 13 , A 14 , D 1 ,D 2 là cỏc ma trận khụng õm Giả sử với điều kiện ban đầu ϕ i (ã) 0, i = 1,2, và ω(k) 0, k ∈N Khi đó, từ phương trình thứ nhất của (2.52) ta có x 1 (1) =A 01 ϕ 1 (0) +A 11 ϕ 1 (−h(0)) +A 12 ϕ 2 (−h(0)) +D 1 ω(0) 0, do đó từ phương trình thứ hai của (2.52) ta thu đượcx 2 (1) 0 Giả sử quy nạp x i (l) 0, i = 1,2, l ≤ k với k ∈ N Thì, (2.52) suy ra x i (k+ 1) 0, i = 1,2; vậy, x i (l) 0 với l ≤ k + 1 Theo quy nạp ta có x i (k) 0, i = 1,2 với mọi k ∈N Vậy hệ (2.49) là hệ dương.
Trước tiên ta xét hệ suy biến với nhiễu là hằng số có dạng:
Bổ đề 2.2 Giả sử A 04 là ma trận Hurwitz, x(k, ϕ, ω) và z(k, φ i , ω), i = 1,2 là nghiệm của hệ (2.49) và (2.53) với điều kiện ban đầuϕ(s) và φ i (s), i= 1,2, tương ứng Khi đó các phát biểu sau là đúng: i) Nếu ϕ(s) φ 1 (s) ∀s∈ {−h, ,0} thì x(k, ϕ, ω) z(k, φ 1 , ω), ∀k ∈N. ii) Nếu φ 1 (s) φ 2 (s) ∀s∈ {−h, ,0}thì z(k, φ 1 , ω) z(k, φ 2 , ω), ∀k∈ N. Chứng minh (i) Đặt e(k) =z(k)−x(k), (k) =ω−ω(k) Ta xét hệ
Theo Bổ đề 2.1, ta có e(k, φ 1 − ϕ, ) 0, ∀k ∈ N Điều này suy ra rằng z(k, φ 1 , ω)−x(k, ϕ, ω) 0, ∀k ∈N.
(ii) Chứng minh tương tự (i) và áp dụng Bổ đề 2.1, ta thu được (ii).
1≤i≤nξ i Định lý 2.4 Cho γ > 0 Giả sử A 0 +γ(I n −E) 0, A 1 , D 0, hệ (2.49) là hệ dương và ổn định vững hữu hạn thời gian theo (c 1 , c 2 , N, c 1 < c 2 ) nếu tồn tại ρ > 1, η >1 và ξ ∈R n + thỏa mãn điều kiện sau
2 ρ < c 2 − kζ ω k c 1 η −(N+h) (2.56) Chứng minh Tương tự như trong chứng minh Định lý 2.1, từ (2.54) suy ra
A 04 là ma trận Hurwitz Sử dụng Bổ đề 1.1 và det(A 04 ) 6= 0 ta thu được hệ (2.49) là chính quy và nhân quả Kết hợp điều này với Bổ đề 2.1 ta nhận được hệ (2.49) là hệ dương Để chứng minh tính ổn định vững hữu hạn thời gian của hệ ta sẽ chia chứng minh thành các bước sau:
Bước 1 Ta sẽ chỉ ra tồn tại một hàm ban đầu φ λ (ã) của (2.53) sao cho với mọi hàm ban đầu ϕ(ã) của hệ (2.49) thỏa món kϕk < c 1 thỡ x(k, ϕ, ω) z(k, φ λ , ω), k∈ {1,2, , N}.
Thật vậy, đặt ϕ = (c 1 c 1 c 1 ) T ∈ R n +, δ 1 = maxn c 1 ξ 1 , ã ã ã , c ξ 1 n o và chọn λ= δ 1 ξ Khi đó, λ ϕ và
(−ηE +A 0 +A 1 )λ≺ 0 (2.57) Đặt φ λ (s) = λ, s ∈ {−h, ,0}, là một điều kiện ban đầu của hệ (2.53) Khi đú với mọi hàm ban đầu ϕ(ã) của (2.49) thỏa món kϕk< c 1 , ta cú ϕ(s) ϕ λ, s∈ {−h, ,0} Sử dụng kết quả này với Bổ đề 2.2 ta thu được x(k, ϕ, ω) z(k, φ λ , ω), k ∈ {1, , N} (2.58)
Bước 2 Từ (2.55) ta thu được à := ρλ ζ ω Sử dụng điều này kết hợp với (2.57) ta có
28 Đặt φ à (s) = à, s ∈ {−h, ,0} Vỡ ρ > 1 ta cú λ ≺ à, khi đú từ Bổ đề 2.2 suy ra z(k, φλ, ω) z(k, φà, ω), k ∈ {1, , N} (2.60)
Từ Bổ đề 1.1 và (2.54) ta có ζ ω tồn tại và không âm Đặt φ ζ ω (s) = ζ ω , s ∈ {−h, ,0}, từ ζ ω à thỡ ta cú φ ζ ω (s) φ à (s), s∈ {−h, ,0} (2.61) Đặt φ à−ζ ω (s) := φ à (s)−φ ζ ω (s), s ∈ {−h, ,0}, từ (2.61) suy ra φ à−ζ ω (s)
0, s ∈ {−h, ,0} Sử dụng phép biến đổi tọa độ z(k) =u(k) +ζ ω , (2.62) thì, từ hệ (2.53), ta thu được
Eu(k+ 1) =A 0 u(k) +A 1 u(k−h(k)), (2.63) và z(k, φ à , ω) =ζ ω +u(k, φ à−ζ ω ), (2.64) trong đú u(k, φ à−ζ ω ) là nghiệm với điều kiện ban đầu φ à−ζ ω (ã) của hệ (2.63).
Vỡ à−ζ ω à, nờn ta thu được φ à−ζ ω (s) φ à (s), s ∈ {−h, ,0}, khi đú, từ
Bổ đề 2.2 suy ra u(k, φ à−ζ ω ) u(k, φ à ), k ∈ {1, , N} (2.65) Áp dụng Định lý 2.1 vào hệ (2.63), khi đó tồn tại số dương α ∈(0,1) sao cho u(k, φ à ) α −h à min kφ à kàα −k , ∀k ∈ {1, , N} (2.66)
Chỳ ý rằng, λ = δ 1 ξ và φ à = à = ρλ, với δ 1 = max
1≤i≤n c 1 ξ i vậy ta thu được à ρ c 1 max
1 ξ i ξ ρ c 1 ξ 1 min ξ Kết hợp điều này với (2.66) ta thu được u(k, φ à ) kξk ξ min ρ c 1 1 ξ min ξ η N +h , ∀k ∈ {1, , N} (2.67) trong đó η = α −1 > 1 Kết hợp (2.58), (2.60), (2.64), (2.65) và (2.67) ta thu được x(k, ϕ, ω) ζ ω + kξk ξ min ρ c 1 1 ξ min ξ η N +h , k ∈ {1, , N} (2.68)
Sử dụng điều kiện (2.68) ta thu được kx(k, ϕ, ω)k kζ ω k+ ρ c 1 kξk ξ 2 min η N +h kξk < c 2 , k ∈ {1, , N}, điều này có nghĩa rằng hệ (2.49) ổn định vững hữu hạn thời gian theo(c 1 , c 2 , N).
Nhận xét 2.5 Ta thấy rằng các điều kiện (2.54)-(2.56) trong Định lý 2.4 không tuyến tính đối với các biến ρ, η và ξ Tuy nhiên, để tìm được nghiệm chấp nhận được của các điều kiện này, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Gán η nhận một giá trị sao cho η >1.
Bước 2: Tìm ξ thỏa mãn điều kiện (2.54) thông qua việc giải bài toán quy hoạch tuyến tính.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện (2.55)-(2.56). Để minh họa cho kết quả trên ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 2.3 Xét hệ suy biến (2.49), trong đó
Cho các số c 1 = 1, c 2 = 1.45, N = 100, γ = 1.6, dễ kiểm tra được
A 0 +γ(I 3 −E) 0, A 1 , D 0, và các điều kiện (2.54)-(2.56) thỏa mãn với ξ
30 Để mô tả cho quỹ đạo trạng thái của hệ, ta chọn ω(k) = a|sin(0.2k)|, a ∈ {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}, hàm trễ h(k) = 2round(sin 2 (k)) ≤ 2 với hàm ban đầu ϕ(s) = (0.1, 0.1, 0.16 3 ), s ∈ {−2,−1,0}.
Hình 2.3, Hình 2.4 và Hình 2.5 mô tả quỹ đạo của x 1 (k), x 2 (k) và x 3 (k), tương ứng.
Hình 2.3: Quỹ đạo của x 1 (k) trong Ví dụ 2.3.
Hình 2.4: Quỹ đạo của x 2 (k) trong Ví dụ 2.3.
Hình 2.5: Quỹ đạo của x 3 (k) trong Ví dụ 2.3.
Luận văn đã đạt được những kết quả sau:
Trình bày lại một số khái niệm về bài toán ổn định và ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc, hệ suy biến có trễ, hệ dương.
Trình bày lại một số tiêu chuẩn ổn định và ổn định hóa trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc suy biến dương có trễ. Đưa ra một tiêu chuẩn ổn định vững trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp hệ rời rạc suy biến dương có trễ với nhiễu bị chặn. Đưa ra các ví dụ số và hình minh họa cho kết quả lý thuyết.
[1] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn Lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001.
[2] Nguyễn Hữu Sáu, Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính suy biến có trễ, Luận án tiến sĩ Toán học, Viện Toán học, 2018.
[3] F Amato, R Ambrosino, M Ariola, C Cosentino, G De Tommasi (2014), Finite-Time Stability and Control, Springer.
[4] L Dai (1989), Singular control systems, Springer.
[5] L Farina, S Rinaldi (2000), dương Linear Systems Theory and Applica- tions, Wiley.
[6] W M Haddad, V Chellaboina (2004), “Stability theory for nonnegative and compartmental dynamical systems with time delay”, Systems & Con- trol Letters, 51, pp 355-361.
[7] L.V Hien (2014), “An explicit criterion for finite-time stability of linear nonautonomous systems with delays”, Applied mathematics letters, 30, pp 12–18.
[8] N H Muoi, G Rajchakit, V N Phat (2016), “Lmi approach to finite time stability and stabilization of singular linear discrete delay systems”, Acta Applicandae Mathematicae, 146, pp 81–93.
[9] D.C Huong, N.H Sau (2019), “Finite-time stability and stabilisation of singular discrete-time linear dương systems with time-varying delay”, In- ternational Journal of Systems Science, 50, pp 2824–2837.
[10] T Kaczorek, dương 1D and 2D Systems, Springer-Verlag, London, 2002.
[11] J Lam, S Xu (2006), Robust Control and Filtering of Singular Systems, Springer.
[12] X Liu, W Yu, L Wang (2009), “Stability analysis of dương systems with bounded time-varying delays”, IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Ex- press Briefs, 56 , pp 600–604.
[13] N H Sau, V N Phat, P Niamsup (2018), “On finite-time stability of linear dương differential-algebraic delay equations”, IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, 65, pp 1984-1987.
[14] N.K Son, D Hinrichsen (1996), “Robust Stability of positive con- tinuous time systems”, Numerical Functional Analysis and Optimization, 17(5-6), pp 649-659.
[15] S.B Stojanovi´c, D.L Debeljkovi´c, D.S Anti´c (2012), “Finite-time stability and stabilization of linear time-delay systems”, Facta universitatis-series: Automatic Control and Robotics, 11, pp 25-36.
[16] S.B Stojanovi´c, D.L Debeljkovi´c, N Dimitrijevic (2012), “Finite–time stability of discrete-time systems with time–varying delay”, Chem Ind. Chem Eng, 18, pp 525-533.
[17] R.J Vanderbei (2014),Linear Programming: Foundations and Extensions, Springer.
[18] X Wang, S Huang, W Zou, Z Xiang (2020), “Finite-time stabilization for a class of nonlinear systems with time-varying delay”, InternationalJournal of Robust and Nonlinear Control, 30, pp 3164–3178.