Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC————— o0o —————ĐẶNG ANH ĐỨCTÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MỘT LỚP HỆ CHUYỂN MẠCHVI PHÂN HÀM PHI TUYẾN KHƠNG DỪNGLUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Trang 2 Đ
Một số khái niệm về hệ chuyển mạch
Định nghĩa 1.1 (xem [21]) Hệ chuyển mạch thuộc lớp hệ động lực lai gồm một số hữu hạn các hệ con thời gian liên tục hoặc rời rạc và quy tắc chuyển giữa các hệ con đó Hệ này được mô tả bởi phương trình ˙ x(t) = f σ(t) (t, x, x t ), t ≥0, σ ∈ Σ + , (1.1) trong đú t≥ 0, x t (ã) ∈ C họ hàm trễ xỏc định bởi x t (θ) := x(t+θ), θ ∈ [−h,0] với h > 0, f σ(t) (ã,ã,ã) ∈ F := {f k (ã,ã,ã), k ∈ N} họ N cỏc hàm số phi tuyến liên tục trên R n xác định bởi fk(t, x, ϕ) : R +×R n × C →R n và Σ+ là tập các tín hiệu chuyển mạch gồm các hàm hằng từng khúc, liên tục phải với các điểm gián đoạn τ k , k = 1,2, (được gọi là tín hiệu chuyển mạch) thỏa mãn thời gian dừng tối thiểu (minimum dwell time) sau τ min (σ) := inf k∈ N
(τ k+1 −τ k ) > 0 (1.2) Định nghĩa 1.2 (xem [7]) Cho hai số τ a > 0, N 0 ≥ 0 tín hiệu chuyển mạch σ ∈ Σ + được cho là có thời gian dừng trung bình ((average dwell time), gọi tắt là ADT) τ a với giá trị bị ràng buộc N 0 nếu ∀ t > 0 thì số điểm nhảy N σ (0, t) (số điểm gián đoạn) của σ trong khoảng thời gian (0, t] thỏa mãn
Nσ(0, t) ≤ N0 + t τ a (1.3) Đối với bất kỳ σ ∈ Στ a ,N 0 nếu chúng ta bỏ qua N0 số điểm gián đoạn đầu tiên thì thời gian dừng trung bình giữa hai tín hiệu chuyển mạch liên tiếp bất kỳ ít nhất là τ a Rõ ràng, với mỗi N 0 ≥ 0 bị chặn cố định, nếu τ 1 > τ 2 > 0 thì Σ τ 1 ,N 0 ⊂ Σ τ 2 ,N 0 ⊂ Σ + Ứng với mỗi tín hiệu σ ∈ Σ + có N hệ con vi phân phiếm hàm phi tuyến dạng ˙ x(t) =f k (t, x, x t ), t ≥0, k ∈ N (1.4)
Với bất kỳ điều kiện ban đầu ϕ ∈ C hệ con (1.4) có nghiệm duy nhất x(t) x(t, ϕ), t ≥ −h thỏa mãn x(θ) = ϕ(θ), θ ∈ [−h,0].
Nhận xét 1.1 - Trong tài liệu [6] chỉ ra rằng nếu đối với mỗik ∈ N , f k (t, x, ϕ) bị chặn đều và Lipschitz liên tục đối với các biến x, ϕ trên mọi tập con đóng của tập R+×R n × C.
- Đối với mỗi ϕ ∈ C và σ ∈ Σ + thì hệ chuyển mạch (1.1) có nghiệm toàn cục duy nhất x(t) = x(t, ϕ, σ), t ≥ −h, thỏa mãn điều kiện ban đầu x(θ) =ϕ(θ), θ ∈ [−h,0] (1.5)
- Nghiệm x(t) của hệ chuyển mạch (1.1) là một hàm liên tục tuyệt đối trên
[0,+∞) và khả vi khắp nơi ngoại trừ các điểm chuyển mạch {τ k } của σ, trong đó x(t) chỉ có đạo hàm Di-ni phải và trái D + x(τ k ), D − x(τ k ) nói chung là khác nhau. Định nghĩa 1.3 (xem [21]) Cho một tập hợp các tín hiệu chuyển mạch Σ + Nghiệm của hệ chuyển mạch (1.1) được gọi là ổn định mũ toàn cục (ngắn gọn là GES) trên Σ + nếu tồn tại các số dương M, α sao cho ∀ϕ ∈ C([−h,0],R n ) và ∀σ ∈ Σ + thì các nghiệm x(t, ϕ, σ) của (1.1) thỏa mãn kx(t, ϕ, σ)k ≤ M e −αt kϕk, ∀t ≥ 0 (1.6)
Rõ ràng, với mỗi k ∈ N luật chuyển mạch σ(t) ≡ k, t ≥ 0 của Σ + Do đó, nếu nghiệm của hệ chuyển mạch (1.1) là GES trên tập hợp các tín hiệu chuyển mạch Σ + thì cùng đúng cho tất cả các hệ con tương thích (1.4) Điều ngược lại thường không đúng, ngay cả đối với hệ chuyển mạch tuyến tính Mặt khác, đối với họ hàm F có chứa tất cả các hệ con ổn định và không ổn định thì tồn tại một tín hiệu chuyển mạch σ ∈ Σ + sao cho hệ chuyển mạch tương ứng là GES (xem [9]). Định nghĩa 1.4 (xem [21]) Hệ chuyển mạch phi tuyến (1.1) được gọi là dương nếu ∀ϕ ∈ C + vàσ ∈ Σ + thì nghiệm x(t) =x(t, ϕ, σ) thỏa mãnx(t)≥ 0,∀t ≥ 0.
Một số kết quả về vector và ma trận
Ký hiệu sau đây sẽ được sử dụng trong toàn bộ đề tài R,R + và N∗ lần lượt là tập số thực, số thực không âm và số tự nhiên khác không Cho số r ∈ N ∗ kí hiệu r = {1,2, , r} Cho các vector x = (xi), y = (yi) ∈ R n ta viết x ≥ y và x y nếu và chỉ nếu x i ≥y i và x i > y i ∀i ∈ n tương ứng Kí hiệu |x| = (|x i |) và cho các ma trận A = (a ij ), B = (b ij ) ∈ R n×n chúng ta viết A B nếu và chỉ nếu a ij > b ij , ∀i, j ∈ n và |A| = (|a ij |) Không mất tính tổng quát, trong toàn bộ chuẩn của vector x ∈ R n là chuẩn ∞: kxk= kxk ∞ = max
Cho h > 0,C := C([−h,0],R n ), kí hiệu không gian Banach các hàm liên tục ϕ : [−h,0] → R n với chuẩn kϕk = max θ∈[−h,0] kϕ(θ)k và
N BV([−h,0],R) là viết tắt của không gian tuyến tính của tất cả các hàm chuẩn hóa ψ : [−h,0] → R với biến phân bị chặn V ar([−h,0], ψ) thỏa mãn ψ liên tục trái trên (−h,0] và ψ(−h) = 0 và
|ψ(θ k )−ψ(θ k−1 )| < +∞, trong đó supremum được lấy trên tập tất cả các phân hoạch hữu hạn P của khoảng [−h,0] Đối với bất kỳ ψ ∈ N BV([−h,0],R) và bất kỳ hàm liên tục β ∈ C([−h,0],R) chúng ta có
−h d[ψ(θ)]β(θ) ≤ V ar([−h,0], ψ) max θ∈[−h,0]|β(θ)|, (1.7) trong đó tích phân được hiểu theo nghĩa của Riemann-Stieltjes.
Tương tự, N BV([−h,0],R n×n ) là không gian các hàm ma trận η: [−h,0]→
R n×n tuyến tính sao cho η ij (ã) ∈ N BV([−h,0],R),∀i, j ∈n.
Như vậy, với mỗi η ∈ N BV([−h,0],R n×n ) chúng ta có thể xác định ma trận biến phân cấp n không âm là
Nếu hàm f : R +×R n → R n khả vi theo biến x thì Jxf = ( ∂f ∂x i (t,x) j ) ∈ R n×n là kí hiệu Jacobian của hàm f Cuối cùng, với bất kỳ ma trận A ∈ R n×n , chúng tôi đưa ra khái niệm ma trận Metzler hóa, kí hiệu M(A) = (¯a ij ) xác định bởi i, j ∈ n,¯a ii = a ii , và ¯a ij = |a ij | nếu i 6= j.
TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MỘT LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH VI PHÂN HÀM KHÔNG DỪNG 11 2.1 Điều kiện ổn định mũ của hệ chuyển mạch vi phân hàm phi tuyến không dừng
Điều kiện ổn định mũ của hệ chuyển mạch vi phân hàm tuyến tính
Bây giờ giả thiết các hàm f k (t, x, ϕ) là tuyến tính đối với x và ϕ, tức là f k (t, x, ϕ) = A k (t)x+ L k (t, ϕ), t ≥ 0, k ∈ N , (2.37) trong đó A k (t) và L k (t, ϕ) thỏa mãn các giả thiết về tính liên tục như trong Định lý 2.1 Vì J x (f k (t, x, ϕ)) = A(t)x, f k (t,0, ϕ) = L k (t, ϕ) nên theo Định lý 2.1 chúng ta nhận được một kết quả đơn giản sau đây có thể được coi là mở rộng của các kết quả chính được chứng minh cho các hệ tuyến tính không chuyển mạch (Hệ quả 3.3 của [14] và Định lý 3.2[15]) đến các hệ chuyển mạch phiếm hàm tuyến tính với tín hiệu chuyển mạch có thời gian dừng trung bình.
Hệ quả 2.2 (xem [21]) Xét hệ chuyển mạch phiếm hàm có dạng ˙ x(t) =A σ(t) (t)x(t) +
Giả sử tồn tại các vector ξk ∈ R n , ξk 0, k ∈ N và số α > 0 sao cho
M A k (t) +e αh V η k (t,ã) ξ k −αξ k , ∀t≥ 0, ∀k ∈ N (2.39)Thì hệ chuyển mạch (2.38) là GES trên tập hợp các tín hiệu chuyển mạch Σ τ a với ADT τ a > τ ∗ = ln α γ , trong đó γ được xác định bởi (2.8). Điều quan trọng cần lưu ý là ma trận biến phõn V(η k (t,ã)) trong (2.6) và (2.39) có thể được tính toán rõ ràng trong một số trường hợp cụ thể Ví dụ: Cỏc hàm ma trận biến phõn bị chăn ηk(t,ã), k ∈ N trong giả thiết (A3) được đưa ra bởi η k (t, θ) m
C k (t, s)ds, t ≥ 0, θ ∈ [−h,0], (2.40) trong đó với mỗi k ∈ N , i∈ m, B k i (t), C k (t, θ) là các hàm ma trận (n×n) liên tục h ≥ h m k (t) > > h 2 k (t) > h 1 k (t) > 0,∀t ≥0 với các hàm liên tục h i k (t) và χM là hàm đặc trưng của tập hợp M ⊂R Chú ý rằng, trong trường hợp này các toán tử tuyến tính liên quan Lk được xác định bởi (2.4) là
Do đó, bằng một phép đánh giá đơn giản chúng tôi nhận được
|C k (t, s)|ds, (2.42) trong đó bất đẳng đúng miễn là B k i (t) ≥ 0, Ck(t, θ) ≥ 0,∀t ≥ 0,∀θ ∈ [−h,0]. Hơn nữa, trong trường hợp hệ chuyển mạch (2.38) được đưa về hệ chuyển mạch tuyến tính với trễ rời rạc và trễ tích phân có dạng ˙ x(t) =A σ(t) (t)x(t)+ m
Do đó, từ Hệ quả 2.2 chúng ta suy ra ngay lập tức hệ quả sau.
Hệ quả 2.3 (xem [21]) Xét hệ chuyển mạch có trễ (2.43) Giả sử rằng tồn tại các vector ξ k ∈ R n , ξ k 0, k ∈ N và số α > 0 sao cho
|C k (t, s)|ds ξ k −αξ k , ∀t ≥0 (2.44)Thì hệ chuyển mạch tuyến tính (2.43) là ổn định mũ toàn cục trên Σ τ a với thời gian dừng trung bình τ a > τ ∗ = ln α γ , γ xác định bởi (2.8). Áp dụng Hệ quả 2.1 và Hệ quả 2.3 vào (2.43), chúng ta nhận được Hệ quả sau.
Hệ quả 2.4 Xét hệ chuyển mạch không dừng có trễ (2.43) Giả sử tồn tại các ma trận hằng Ab k ,Bb k i ∈ R n×n , i ∈ m, k ∈ N và các ma trận hàm (n×n)
Cb k (θ), k ∈ N , θ ∈ [−h,0] sao cho mỗi k ∈ N , t ≥ 0 chúng ta có A k (t) ≤
Abk,|B k i (t)| ≤ Bb k i ,∀i ∈ m và |C k (t, θ)| ≤ Cbk(θ), θ ∈ [−h,0] Hơn nữa, giả thiết tồn tại các vector ξk 0, k ∈ N sao cho
M(Ab k ) +Vb k ξ k 0, ∀k ∈ N , (2.45) trong đó, Vb k := P m i=1 Bb k i +R −h 0 Cb k (s)ds Thì hệ chuyển mạch tuyến tính (2.43) là ổn định mũ toàn cục trên Σ τ a với ADT τ a > τ ∗ = α ln γ max trong đó, γ xác định bởi (2.8) và α max xác định bởi (2.35), (2.36).
Nếu các vector ξ k , k ∈ N trong các Hệ quả 2.1 đến Hệ quả 2.4 có thể được chọn giống nhau ξk = ξ, k ∈ N thì theo Định lý 2.2 chúng ta thu được các điều kiện đủ cho hệ chuyển mạch phi tuyến (1.1) và các hệ chuyển mạch tuyến tính (2.38), (2.43) ổn định mũ toàn cục trên tập các tín hiệu chuyển mạch Σ + Chẳng hạn, theo Định lý 2.2 và Hệ quả 2.1, Hệ quả 2.3 chúng ta nhận được.
Hệ quả 2.5 (xem [21]) Hệ chuyển mạch tuyến tính (2.43) là ổn định mũ toàn cục trên Σ + nếu tồn tại vector ξ 0, và α > 0 sao cho
(2.46) Đặc biệt, nếu hệ (2.43) bất biến theo thời gian, tức là Ak(t) ≡ Ak, Bk(t) ≡
Bk, Ck(t,ã) ≡ Ck(ã), ∀t ≥ 0, ∀k ∈ N thỡ điều kiện trờn cú thể được thay thế bằng điều kiện
Nhận xét 2.5 - Trường hợp riêng khim = 1và C k (t, s) ≡ C k (t),∀s ∈ [−h,0] thì Hệ quả 2.4 được suy ra kết quả Định lý 1 trong [17] Tương tự, nếu tất cả các giả thiết của Hệ quả 2.4 đúng và hơn nữa ξ k = ξ, ∀k ∈ N thì từ Hệ quả 2.5 là kết quả chính trong [10].
-Các kết quả thu được phần trên của đề tài có thể áp dụng để nghiên cứu tính ổn định mũ của một số hệ chuyển mạch phiếm hàm dương Dưới đây, chúng tôi chứng minh kết quả về tính ổn định mũ của hệ chuyển mạch vi phân phiếm hàm tuyến tính bất biến theo thời gian.
Theo Định nghĩa 1.4 chỉ ra rằng hệ chuyển mạch (1.1) là dương nếu và chỉ nếu tất cả các hệ con (1.4) của nó là dương Đặc biệt đối với hệ chuyển mạch phiếm hàm tuyến tính dạng ˙ x(t) = A σ(t) x(t) +
−h d θ [η σ(t) (θ)]x(t+θ), t ≥0, σ ∈ Σ, (2.48) là dương khi và chỉ khi tất cả các ma trận A k , k ∈ N là ma trận Metzler và tất cả cỏc hàm η k (ã) ∈ N BV([−h,0],R nìn ), k ∈ N là khụng giảm trờn [−h,0], tức là η k (θ 1 ) ≤ η k (θ 2 ) trong đó −h ≤ θ 1 < θ 2 ≤ 0 Kết quả sau đây đưa ra tiêu chuẩn cho hệ chuyển mạch tuyến tính tích dương (2.48) là GES với các tín hiệu chuyển mạch thời gian dừng trung bình.
Hệ quả 2.6 (xem [21]) Xét chuyển mạch phiếm hàm tuyến tính dương (2.48). Giả sử tồn tại các vector ξ k ∈ R n , ξ k 0, k ∈ N sao cho
Thì hệ chuyển mạch (2.48) ổn định mũ trên tập tín hiệu chuyển mạch Σ τ a thỏa mãn τ a > τ ∗ = α ln γ max trong đó γ xác định bởi (2.8) và α max := min k∈N ,i∈n α k,i với α k,i được định nghĩa là nghiệm của phương trình n
Hơn nữa, nếu tồn tại ξ 0 sao cho (2.49) thoả mãn ξ k = ξ,∀k ∈ N thì hệ (2.48) ổn định mũ toàn cục trên tập hợp các tín hiệu chuyển mạch Σ +
Ngược lại, nếu hệ chuyển mạch tuyến tính dương (2.48) ổn định mũ toàn cụcGES trên một tập hợp các tín hiệu chuyển mạch Σ τ a với τ a > 0 thì tồn tại vector ξ k ∈ R, ξ k 0, k ∈ N sao cho (2.49) được thỏa mãn.
Chứng minh Vì các ma trận hàm η k (θ)là không giảm θ ∈ [−h,0] vàη k (−h) 0 Theo định nghĩa N BV([−h,0],R n×n ) ta có ngay V(η k ) = η k (0) với k ∈ N.
Do đó, theo phần đầu tiên của Hệ quả 2.6 có ngay lập tức từ Hệ quả 2.2 và Định lý 2.2.
Ngược lại, nếu (2.48) là dương và ổn định mũ toàn cục trên Σ τ a , τ a > 0 thì các hệ con tuyến tính (A k , η k ) dương và ổn định mũ toàn cục với mỗi k ∈ N Điều này tương đương với các ma trận Metzler A k +η k (0), k ∈ N là ổn định Hurwitz theo Định lý 4.1 của [13] tương đương với sự tồn tại của vector ξ k 0, k ∈ N thỏa mãn (2.49) Định lý được chứng minh.
Sau đây, chúng tôi đưa ra một ví dụ đơn giản để chỉ ra trường hợp khi các tiêu chí ổn định mũ được trình bày trong [10] không sử dụng được trong khi kết quả của chúng tôi được áp dụng
Ví dụ 2.2 Xét hệ chuyển mạch tuyến tính thời gian biến thiên dạng x(t) =˙
Tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ chuyển mạch có trễ với sector bị chặn
Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng cách tiếp cận được phát triển trongChương 1 có thể được áp dụng để đưa ra điều kiện ổn định mũ tuyệt đối cho một lớp hệ chuyển mạch tuyến tính không dừng có trễ với sector phi tuyến.
Xét hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ dạng ˙ x(t) = P σ(t) (t)ψ(x(t)) +B σ(t) (t)ψ(x(t−h)), t ≥ 0, σ ∈ Σ + (2.51) Ứng với tín hiệu chuyển mạch σ ∈ Σ+ có N hệ con của (2.51) dạng ˙ x(t) =P k (t)ψ(x(t)) +B k (t)ψ(x(t−h)), t ≥0, k = 1, , N (2.52) Ở đõy P k (ã), B k (ã) là cỏc hàm ma trận cấp n phụ thuộc thời gian và hàm phi tuyến ψ : R n → R n liên tục và có dạng đường chéo dạng ψ(x) = (ψ 1 (x 1 ) ψ 2 (x 2 ) ψ n (x n )) > và thỏa mãn sector giới hạn ψ ∈ K[δ, β] := {ψ : δix 2 i ≤ xiψi(xi) ≤ βix 2 i , ∀i ∈ n, ∀x i ∈ R}, (2.53) với một số β i ≥ δ i > 0, i ∈ n Một hàm phi tuyến như thế được gọi là có thể chấp nhận Theo tính liên tục và giả thiết ψ(0) = 0 cho mỗi hàm phi tuyến có thể chấp nhận được thì hệ (2.51) nhận nghiệm x(t) ≡0, t ≥0.
Hơn nữa, trừ khi các trường hợp đặc biệt hàm ψ giả thiết thỏa mãn một số điều kiện nhất định như là với mọi điều kiện ban đầu nào ϕ ∈ C và bất kỳ tín hiệu chuyển mạch σ ∈ Σ+ để hệ (2.51) có duy nhất nghiệm x(t) x(t, σ, ϕ), t ≥ 0. Định nghĩa 2.1 (xem [21]) Hệ chuyển mạch (2.51) được gọi là ổn định mũ tuyệt đối (viết gọn là AES) trên tập hợp các tín hiệu chuyển mạch Σ + nếu nghiệm 0 của hệ là ổn định mũ toàn cục với mọi tín hiệu chuyển mạch σ ∈ Σ + và với mọi hàm phi tuyến chấp nhận được ψ(x) ∈ K[δ, β].
Hệ động lực với sector phi tuyến bị chặn được sử dụng rộng rãi trong việc lập mô hình hệ thống điều khiển tự động và mạng nơ-ron (xem [8]) Trong trường hợp hệ thống không chuyển mạch, các điều kiện của ổn định tiệm cận tuyệt đối đã được khảo sát trong [8], [16] bằng cách sử dụng phương pháp hàmLyapunov Gần đây hơn, các vấn đề tương tự đã được nghiên cứu đối với hệ chuyển mạch phi tuyến có trễ dạng (2.51) trong một số công trình đối với thời gian bất biến, tức là P k (t) ≡ P k , B k (t) ≡ B k ,∀t, chủ yếu sử dụng Lyapunov - Krasovskii (xem [3, 4, 22]) với sector dạng ψ ∈ K(0,∞) := {ψ :ψ i (0) = 0, 0 < x i ψ i (x i ), x i 6= 0 ∀i ∈ n, ∀x i ∈ R}
(2.54) Dưới đây, chúng ta sẽ sử dụng Định lý 2.3 để ra một tiêu chuẩn mới về ổn định mũ tuyệt đối cho hệ chuyển mạch không dừng (2.51) với sector phi tuyến trên tập K[δ, β] dưới thời gian dừng trung bình. Định lý 2.4 (xem [21]) Xét hệ chuyển mạch (2.51) và hàm phi tuyến chấp nhận được ψ ∈ K[δ, β] xác định bởi (2.53) với các số dương cho trước β i ≥ δ i > 0, i ∈ n Giả sử tồn tại các vector ξ k 0 và số α > 0 sao cho
Pek(t) +e αh |B k (t)|D β ξk −αξ k , ∀t≥ 0, ∀k ∈ N , (2.55) trong đó các ma trận hàm Pe k (t) = (pe k,ij (t)), k ∈ N xác định bởi pe k,ii (t) =δ i p k,ii (t), ∀i ∈ n; pe k,ij (t) = β j |p k,ij (t)|, ∀i, j ∈ n, j 6= i (2.56) và D β là ma trận đường chéo dương xác định bởi D β = diag(β 1 , β 2 , , β n ). Khi đó, với mọi giá trị ràng buộc N 0 ≥ 0 bị chặn thì nghiệm 0 của hệ (2.51) ổn định mũ tuyệt đối trên tập các tín hiệu chuyển mạch Σ τ a ,N 0 với thời gian dừng trung bình τ a > τ ∗ = ln α γ trong đó γ được xác định bởi (2.8) Hơn nữa, nếu tồn tại vector ξ 0 sao cho (2.55) đúng với mọi ξ k = ξ, k ∈ N thì nghiệm 0 của (2.51) ổn định mũ tuyệt đối trên tập tín hiệu chuyển mạch Σ +
Chứng minh Đầu tiên, từ (2.55) suy ra pk,ii(t) < 0, ∀i ∈ n,∀k ∈ N Hơn nữa, với mọi hàm phi tuyến ψ chấp nhận được thỏa mãn (2.53) và với mỗi i ∈ n ta có δ i |x i | ≤ ψ i (x i ) signx i = |ψ i (x i )| ≤ β i |x i |, và ψ j (x j ) sign x i ≤ |ψ j (x j )|, ∀x i ∈ R, ∀j ∈ n, j 6= i, (2.57) Với mỗi k ∈ N xác định các hàm liên tục f k (t, x) = P k (t)ψ(x) và g k (t, ϕ) =B k (t)ψ(ϕ(−h)) với t ≥ 0, x ∈ R n , ϕ ∈ C Do đó, bằng cách sử dụng (2.57) và lưu ýp ii (t) < 0 chúng ta suy ra fk,i(t, x) sign xi = pk,ii(t)ψi(xi) sign xi+ n
X j=1,j 6=i pk,ij(t)ψj(xj) sign xi
X i=1 pe k,ij (t)|x j |, ∀t≥ 0, ∀x ∈ R n , với mỗi k ∈ N và i ∈ n Rõ ràng, theo định nghĩa, cho mỗi t ≥ 0, k ∈
N , Pe k (t) = (pe k,ij (t)) là ma trận Metzler Do đó f k (t, x), k ∈ N thỏa mãn giả thiết (A2*) với A k (t) = Pe k (t) Mặt khác, với t ≥ 0 và k ∈ N định nghĩa toán tử tuyến tớnh L k (t,ã) : C → R n bởi
Do đú, L k (t,ã) là cỏc toỏn tử dương cú biểu diễn Riesz tương ứng dạng (2.4) với η k (t,ã) ∈ N BV([−h,0],R nìn + ) xỏc định bởi ηk(t, θ) (0 if θ = −h, ∀t≥ 0
|B k (t)|D β if θ ∈ (−h,0], ∀t≥ 0 (2.59) Đối với mỗi hàm phi tuyến chấp nhận được ψ ∈ K[δ, β] bằng cách sử dụng (2.57) và tớnh dương của toỏn tử L k (t,ã) ta thu được
Vì vậy (2.28) cũng thỏa mãn Hơn nữa, rõ ràng chúng ta có
V(η k (t,ã)) := V ar([−h,0], η k,ij (t,ã)) = |B k (t)|D β Theo các Định lý 2.3, Định lý 2.2 và Nhận xét 2.4 nên định lý hoàn thành được chứng minh.
Ngay cả trong trường hợp hệ bất biến theo thời gian, cách tiếp cận của đề tài vẫn đưa ra tiêu chuẩn ổn định mũ tuyệt đối Bằng cách xét hệ chuyển mạch bất biến thời gian có trễ dạng ˙ x(t) = P σ(t) ψ(x(t)) +B σ(t) ψ(x(t−h)), t ≥0, (2.60) với các hệ con tương ứng ˙ x(t) =P k ψ(x(t)) +B k ψ(x(t−h)), t ≥ 0 k ∈ N (2.61) trong đó,Pk, Bk, k ∈ N là các ma trận cấpnvà các hàm phi tuyếnψ : R n →R n liên tục và dạng đường chéo Trong các tài liệu [22], [3] chủ yếu sử dụng phương pháp Lyapunov-Krasovskii đưa ra điều kiện đủ ổn định mũ tuyệt đối với các giả thiết P k là ma trận Metzler và Hurwitz, B k không âm và ψ ∈ K[δ, β]. Trong kết quả Định lý 2.4 đưa ra điều kiện ổn định mũ tuyệt đối với các sector phi tuyến bị chặn ψ ∈ K[δ, β] nhưng không giả thiết về tính dương của hệ thống.
Hệ quả 2.7 (xem [21]) Xét hệ chuyển mạch (2.60)-(2.61) và ψ ∈ K[δ, β], trong đó β i ≥ δ i > 0, i ∈ n là các số dương Giả sử tồn tại các vector ζ k 0 sao cho
(Pb k +|B k |)ζ k 0, ∀k ∈ N , (2.62) trong đó Pb k = (pb k,ij ), k ∈ N là ma trận xác định bởi pbk,ii = δ i β i pk,ii, ∀i ∈ n và pbk,ij = |p k,ij |, ∀i, j ∈ n, j 6= i (2.63)
Thì với mọi giá trị ràng buộc bị chặn N0 ≥ 0 nghiệm 0 của hệ (2.51) ổn định mũ tuyệt đối trên tập các tín hiệu chuyển mạch Στ a ,N 0 với ADT τa > τ ∗ = α ln γ max mà γ := max ζ k,i ζ l,i : k, l ∈ N , i ∈ n , và α max = min i∈n,k∈N α i,k với α k,i , i ∈ n, k ∈ N là nghiệm của phương trình g k,i (α) : n
Hơn nữa, nếu tồn tại một vector ζ 0 chung thỏa mãn (2.62) cho tất cả ζ k = ζ, k ∈ N thì nghiệm 0 của (2.51) ổn định mũ tuyệt đối trên tập các tín hiệu chuyển mạch Σ+.
Chứng minh Đặt ξ k = D β −1 ζ k từ (2.62) chúng ta thu được
Do tính liên tục suy ra tồn tại một α > 0 đủ nhỏ để
Nên Hệ quả 2.7 hoàn toàn được chứng minh tương tự như Định lý 2.4 và Hệ quả 2.1.
Nhận xét 2.6 Trong trường hợp đặc biệt, theo Hệ quả 2.7 tồn tại của vector ζ 0 thỏa mãn hệ N bất đẳng thức tuyến tính
(Pb k +|B k |)ζ 0, k ∈ N (2.65) là đủ đảm bảo rằng hệ chuyển mạch phi tuyến (2.60) ổn định mũ tuyệt đối với bất kỳ σ ∈ Σ+ và ψ ∈ K[δ, β] Điều kiện (2.65) ít hạn chế và dễ kiểm tra hơn những điều kiện được đưa ra [22], [3] khi áp dụng được cho sector K[δ, β]. Chẳng hạn, điều kiện trong Định lý 2 của [22] yêu cầu ζ 0 thỏa mãn N hệ đối ngẫu bất đẳng thức tuyến tính
(P k +B)e > ζ 0, k ∈ N ,with Be = max k∈N |b k,ij | (2.66) trong khi Định lý 3.1 của [3] vector ζ 0 như vậy phải thỏa mãn N 2 hệ đối ngẫu
Ví dụ sau đây minh họa việc sử dụng Định lý 2.4 để khẳng định tính ổn định hàm mũ tuyệt đối của hệ chuyển mạch có trễ dạng (2.51).
Ví dụ 2.3 Xét hệ chuyển mạch(2.60) với n = 2, N = 2, h = 1 trong đó ψ ∈ K[δ, β] , δ i = 1, β i = 2, i = 1,2 và
Dễ dàng chỉ ra không tồn tại vector ζ 0 thỏa mãn (2.66) và Định lý 2 của
[22] không thể áp dụng Ngoài ra, có thể kiểm tra rằng không có vector ζ 0 thỏa mãn (P k +B k ) > ζ 0, k = 1,2 và điều kiện (2.67) Do đó, Định lý 3.1 của [3] không thể được sử dụng để xây dựng một hàm Lyapunov-Krasovskii cho hệ chuyển mạch này Mặt khác, sử dụng (2.63) ta có
Dễ dàng chỉ ra vector ζ = (7 4) > thoả mãn (2.65), do đó chúng ta có thể áp dụng Hệ quả 2.7 để khẳng định rằng hệ chuyển mạch có trễ được xem xét là ổn định tuyệt đối với bất kỳ tín hiệu chuyển mạch σ ∈ Σ + và bất kỳ sector phi tuyến bị chặn ψ ∈ K[δ, β].Ví dụ, hàm phi tuyến ψ(x) = (ψ 1 (x 1 ) ψ 2 (x 2 )) > xác định ψ 1 (x 1 ) =x 1 + x1cos 2 x1
1 + sin 2 x 1 , ψ 2 (x 2 ) = x 2 +x 2 e −x 2 2 là chấp nhận được và thỏa mãn sector ràng buộc (2.53) với δi = 1, βi = 2, i 1,2 Do đó, với mọi hàm điều kiện ϕ ∈ C và với mọi tín hiệu chuyển mạch σ ∈ Σ + nghiệm tương ứng của hệ chuyển mạch phi tuyến trên tiến tới 0 với tốc độ mũ.
Trong trường hợp chúng ta chọn một tín hiệu σ 1 ∈ Σ + và điều kiện đầu ϕ 1 (θ) = (−cos(θ) cos(θ)) > , θ ∈ [−1,0] thì quỹ đạo tương ứng được hiển thị trong Hình 2.2 Chúng ta chọn một tín
Hình 2.2: Quỹ đạo nghiệm của Ví dụ 2.2 dưới tín hiệu chuyển mạch σ 1 và điều kiện ban đầu ϕ 1 (θ) = (− cos(θ) cos(θ)) > , θ ∈ [−1, 0] hiệu σ 2 ∈ Σ + và điều kiện đầu ϕ2(θ) = (−cos(θ) 0.8) > , θ ∈ [−1,0] thì quỹ đạo tương ứng hiển thị trong Hình 2.3 được mô phỏng bằng cách sử dụng mã MATLAB dde23.
Hình 2.3: Quỹ đạo nghiệm của Ví dụ 2.2 dưới tín hiệu chuyển mạch σ 2 và điều kiện ban đầu ϕ 2 (θ) = (− cos(θ) 0.8) > , θ ∈ [−1, 0]
Kết luận chương 2
Trong phần này, chúng tôi đã đưa ra một số tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục (GES) đối với một số lớp hệ chuyển mạch vi phân phiếm hàm phi tuyến không dừng và tiêu chuẩn ổn định mũ tuyệt đối (AES) đối với một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ với sector bị chặn Cuối cùng là một số ví dụ mô phỏng cho các kết quả thu được.
KẾT LUẬN CHUNG Đề tài luận văn “Tính ổn định mũ của một lớp hệ chuyển mạch vi phân hàm phi tuyến không dừng” Chúng tôi đã trình bày tính ổn định hàm mũ toàn cục đối với hệ chuyển mạch phi tuyến được mô tả bằng phương trình vi phân hàm. Một số điều kiện ổn định mũ toàn cục được đưa ra bằng cách sử dụng nguyên tắc so sánh nghiệm và thời gian dừng trung bình của các tín hiệu chuyển mạch. Các kết quả thu được có thể áp dụng cho các lớp hệ chuyển mạch tuyến tính và phi tuyến có trễ tổng quát, trễ rời rạc và trễ tích phân với các điều kiện ổn định mũ dễ kiểm tra Hơn nữa, kết quả của đề tài có thể ứng dụng cho một số lớp hệ chuyển mạch có trễ rời rạc ổn định mũ tuyệt đối và một số ví dụ mô phỏng minh họa cho các kết quả lý thuyết thu được.
• Nội dung đề tài luận văn thu được bao gồm:
- Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
- Chương 2: Tiêu chuẩn ổn định mũ của một lớp hệ chuyển mạch vi phân hàm không dừng
• Nội dung đề tài thực hiện đúng theo đề cương đã đăng ký.
• Hướng nghiên cứu tiếp theo chúng tôi nghiên cứu tính ổn định vững của hệ chuyển mạch có trễ.
[1] Lê Văn Ngọc (2020), Tính ổn định và ổn định vững của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] P.K Anh, P.T Linh (2017), “Stability of periodically switched discrete- time linear singular systems”, J Difference Equ Appl, 23, pp 1680-1693.
[3] A Aleksandrov, O Mason (2014), “Absolute stability and Lyapunov- Krasovskii functionals for switched nonlinear systems with time-delay”,
[4] A Aleksandrov, E Aleksandrova and A Zhabko (2017), “Stability analysis of some classes of nonlinear switched systems with time delay”, Interna- tional Journal of Systems Science, 48, pp 2111- 2119.
[5] E Fornasini, M.E Valcher (2011), “Stability and stabilizability criteria for discrete-time positive switched systems”,IEEE Transactions on Automatic Control, 57(5), pp 1208-1221.
[6] J Hale, S.V Lunel (1993), Introduction to Functional Differential Equa- tions, Springer-Verlag, New York.
[7] J.P Hespanha, A.S Morse (1999), “Stability of switched systems with av- erage dwell-time”, In Proceedings of the 38th IEEE conference on decision and control, 3, pp 2655-2660.
[8] E Kaszkurewicz, A Bhaya (2000), Matrix Diagonal Stability in Systems and Computation, Birkh¨auser, Boston, Basel, Berlin.
[9] D Liberzon (2003),Switching in Systems and Control, Birkh¨auser, Boston, Mass, USA.
[10] Y Li, Y Sun, and F Meng (2017), “New criteria for exponential stability of switched time-varying systems with delays and nonlinear disturbances”, Nonlinear Anal Hybrid Syst, 26, pp 284-291.
[11] H Lin, P.J Antsaklis (2009), “Stability and stabilizability of switched lin- ear systems: A survey of recent results”, IEEE Transactions on Automatic Control, 54(2), pp 308-332.
[12] X Liu, C Dang (2011), “Stability analysis of positive switched linear sys- tems with delays”,IEEE Transactions on Automatic Control,56, pp 1684- 1690.
[13] P.H.A Ngoc, T Naito, and J.S Shin (2007), “Characterizations of positive linear functional differential equations”, Funkcialaj Ekvacioj,50, pp 1-17.
[14] P.H.A Ngoc, C.T Tinh, and T.B Tran (2019), “Further results on expo- nential stability of functional differential equations”,International Journal of Systems Science, 50, pp 1368-1377.
[15] P.H.A Ngoc, T.B Tran, C.T Tinh and N.D Huy (2019), “Novel criteria for exponential stability of linear non-autonomous functional differential equations”, Journal of Systems Science and Complexity, 32, pp 479-495.
[16] S.K Persidskii (1970), “Concerning problem of absolute stability”, Autom.Remote Control, 30, pp 1889-1895.