Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC————— o0o —————ĐẶNG ANH ĐỨCTÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MỘT LỚP HỆ CHUYỂN MẠCHVI PHÂN HÀM PHI TUYẾN KHƠNG DỪNGLUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Trang 2 Đ
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— ĐẶNG ANH ĐỨC TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MỘT LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN KHÔNG DỪNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2024 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— ĐẶNG ANH ĐỨC TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MỘT LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN KHÔNG DỪNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ VĂN NGỌC PGS.TS MAI VIẾT THUẬN THÁI NGUYÊN - 2024 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 2 DANH MỤC KÝ HIỆU VIẾT TẮT 6 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 1.1 Một số khái niệm về hệ chuyển mạch 7 1.2 Một số kết quả về vector và ma trận 9 1.3 Kết luận chương 1 10 Chương 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MỘT LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH VI PHÂN HÀM KHÔNG DỪNG 11 2.1 Điều kiện ổn định mũ của hệ chuyển mạch vi phân hàm phi tuyến không dừng 11 2.2 Điều kiện ổn định mũ của hệ chuyển mạch vi phân hàm tuyến tính 23 2.3 Tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ chuyển mạch có trễ với sector bị chặn 27 2.4 Kết luận chương 2 35 KẾT LUẬN CHUNG 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng của lý thuyết định tính các hệ động lực được bắt đầu nghiên cứu có hệ thống từ những năm cuối thế kỷ XIX bởi nhà toán học A.M Lyapunov cho đến nay vẫn được nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới quan tâm và trở thành bộ phận không thể thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng Từ những năm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển người ta cũng bắt đầu nghiên cứu bài toán ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là các bài toán ổn định hóa các hệ điều khiển Các bài toán ổn định và điều khiển cho hệ chuyển mạch được các nhà nghiên cứu lý thuyết, ứng dụng đặc biệt quan tâm từ 30 năm trở lại đây với một số tác giả tiêu biểu có thể kể như là Liberzon, 2003 ([9]); Shorten và các cộng sự, 2007 ([18]); Lin và Antsaklis, 2009 ([11]); Sun và Ge 2011 ([23]); Fornasini và Valcher, 2012 ([5]); Li và các cộng sự, 2017 ([10]); Anh và Linh, 2018 ([2]); Son và Ngoc 2020, ([19]) Hệ chuyển mạch có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực như điều khiển robot, hệ thống điện, điều khiển máy bay, hệ thống hộp số xe hơi và điều khiển hệ cơ khí Khái niệm hệ chuyển mạch thuộc lớp hệ động lực lai gồm một số hữu hạn các hệ con thời gian liên tục hoặc rời rạc và quy tắc chuyển giữa các hệ con đó Dưới biểu diễn toán học, một hệ thống chuyển mạch thời gian liên tục được mô tả bằng phương trình vi phân dạng x˙ (t) = fσ(t)(t, x, xt), t ≥ 0, x ∈ Kn, σ ∈ Σ+, (1) trong đó K = C hoặc K = R, N := {1, 2, , N } là tập chỉ số, Σ+ là tập hợp các hàm hằng từng khúc, σ : [0, +∞) → N là tín hiệu chuyển mạch hoặc 2 luật chuyển mạch thỏa mãn τmin(σ) = infk∈N(τk+1 − τk) > 0 Trong trường hợp σ là hàm phụ thuộc thời gian thì σ thường được giả thiết liên tục phải Ứng với hệ chuyển mạch (6) ta có N hệ con dạng x˙ (t) = fk(t, x, xt), t ≥ 0, k ∈ N (2) Một trong các bài toán quan trọng nhất nghiên cứu hệ chuyển mạch là tìm các điều kiện để một hệ chuyển mạch ổn định với bất kỳ luật chuyển mạch nào hoặc có thể ổn định hóa được bởi một luật chuyển mạch thỏa mãn các ràng buộc cho trước Các kết quả về hệ chuyển mạch tuyến tính với quy luật chuyển mạch phụ thuộc thời gian trong Kn dạng x˙ (t) = Aσ(t)x(t), t ≥ 0, x(t) ∈ Kn, σ ∈ Σ+, (3) trong đó Aσ(t) ∈ A := {Ak ∈ Kn×n, k ∈ N }, t ≥ 0, là tập hữu hạn cho trước các ma trận vuông cấp n trên trường K được trình bày trong các bài tổng quan (xem Lin & Antsaklis [11], Shorten [18] và cộng sự) Các phương pháp được sử dụng nhiều nhất là phương pháp hàm Lyapunov, bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) và đại số Lie Đối với các hệ chuyển mạch được mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ trong đó tốc độ thay đổi của trạng thái không chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại của hệ thống mà còn phụ thuộc vào trạng thái của nó trong quá khứ có dạng x˙ (t) = A0σ(t)x(t) + A1σ(t)x(t − h(t)), t ≥ 0, σ ∈ Σ+, (4) trong đó h(t) là hàm trễ phụ thuộc thời gian với h > 0 cho trước và 0 ≤ h(t) ≤ h (xem [10]) Phương pháp nghiên cứu tính ổn định của các hệ có trễ bằng phương pháp hàm Lyapunov toàn phương chung (CQLF) cổ điển đã được thay bằng các phương pháp hàm Lyapunov-Krasovski Việc xây dựng hàm Lyapunov-Krasovski chung cho hệ có trễ dạng tổng quát được thay bằng hàm Lyapunov đồng dương tuyến tính chung (tức là V (x) = ξ x, ξ ∈ Rn, ξ 0) (xem [12]) 3 Trường hợp hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng quát với mọi tín hiệu chuyển mạch đã được nhóm Son và cộng sự 2021 ([20]) đưa ra điều kiện ổn định dạng 0 x˙ (t) = A0σ(t)x(t)+ d[ησ(t)(θ)]x(t+θ), t ≥ 0, (5) −h trong đó mỗi t ≥ 0, A0σ(t) ∈ {A0k, k ∈ N } ⊂ Rn×n thuộc họ N ma trận thực và ησ(t) ∈ {ηk, k ∈ N } ⊂ N BV ([−h, 0], Rn×n) thuộc họ N ma trận hàm với các phần tử biến phân bị chặn ηk,ij Nội dung của đề tài là tiếp nối các kết quả đã được nêu trên với việc nghiên cứu tính ổn định mũ cho lớp hệ chuyển mạch vi phân phiếm hàm phi tuyến dạng x˙ (t) = fσ(t)(t, x, xt), t ≥ 0, x ∈ Kn, σ ∈ Σ+, (6) sử dụng phương pháp so sánh nghiệm đưa ra các điều kiện ổn định mũ với các điều kiện đơn giản và dễ kiểm tra thay cho phương pháp hàm Lyapunov hoặc phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii Nội dung của luận văn chia làm 2 chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày các khái niệm về hệ chuyển mạch và một số kết quả về vector và ma trận Chương 2: Tiêu chuẩn ổn định mũ của một lớp hệ chuyển mạch vi phân hàm không dừng Nội dung chương trình bày một số điều kiện ổn định mũ của hệ chuyển mạch vi phân hàm phi tuyến, tuyến tính và hệ chuyển mạch có trễ với sector bị chặn Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Lê Văn Ngọc và PGS.TS Mai Viết Thuận Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học của mình Những người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài luận văn này Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại 4 học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới gia đình thân yêu, cảm ơn những người bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu này Thái Nguyên, ngày 25 tháng 1 năm 2024 Học viên cao học Đặng Anh Đức 5 DANH MỤC KÝ HIỆU VIẾT TẮT N∗ Tập số tự nhiên khác không R, R+ Tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn Tập các vector thực n chiều K Tập số thực hoặc số phức N Tập các chỉ số xác định {1, 2, , N } ADT Thời gian dừng trung bình (Average Dwell Time) GES Ổn định mũ toàn cục (Globally Exponentially Stable) AES Ổn định mũ tuyệt đối (Absolutely Exponentially Stable) Kn×m Tập các ma trận thực hoặc phức cỡ n × m x Chuẩn của vector x ∈ Rn |A| Ma trận A có các phần tử lấy giá trị tuyệt đối σ Tín hiệu chuyển mạch của hệ chuyển mạch Σ+ Tập các tín hiệu chuyển mạch có thời gian tối thiểu Στa,N0 Tập hợp tất cả các tín hiệu chuyển mạch có thời gian dừng trung bình τa ứng với N0 N BV ([−h, 0], Kp×q) Không gian Banach các hàm ma trận có biến phân bị chặn trên [−h, 0] V ar([−h, 0], ψ) biến phân bị chặn của hàm ψ trên [−h, 0] V (η) = var[−h, 0]ηij(·) Ma trận biến phân của hàm η trên đoạn [−h, 0] 6 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về hệ chuyển mạch, vector và ma trận Nội dung của chương được tham khảo trong các tài liệu [9, 11, 18, 19, 20] 1.1 Một số khái niệm về hệ chuyển mạch Định nghĩa 1.1 (xem [21]) Hệ chuyển mạch thuộc lớp hệ động lực lai gồm một số hữu hạn các hệ con thời gian liên tục hoặc rời rạc và quy tắc chuyển giữa các hệ con đó Hệ này được mô tả bởi phương trình x˙ (t) = fσ(t)(t, x, xt), t ≥ 0, σ ∈ Σ+, (1.1) trong đó t ≥ 0, xt(·) ∈ C họ hàm trễ xác định bởi xt(θ) := x(t + θ), θ ∈ [−h, 0] với h > 0, fσ(t)(·, ·, ·) ∈ F := {fk(·, ·, ·), k ∈ N } họ N các hàm số phi tuyến liên tục trên Rn xác định bởi fk(t, x, ϕ) : R+ × Rn × C → Rn và Σ+ là tập các tín hiệu chuyển mạch gồm các hàm hằng từng khúc, liên tục phải với các điểm gián đoạn τk, k = 1, 2, (được gọi là tín hiệu chuyển mạch) thỏa mãn thời gian dừng tối thiểu (minimum dwell time) sau τmin(σ) := inf (τk+1 − τk) > 0 (1.2) k∈N 7 Định nghĩa 1.2 (xem [7]) Cho hai số τa > 0, N0 ≥ 0 tín hiệu chuyển mạch σ ∈ Σ+ được cho là có thời gian dừng trung bình ((average dwell time), gọi tắt là ADT) τa với giá trị bị ràng buộc N0 nếu ∀ t > 0 thì số điểm nhảy Nσ(0, t) (số điểm gián đoạn) của σ trong khoảng thời gian (0, t] thỏa mãn t (1.3) Nσ(0, t) ≤ N0 + τa Đối với bất kỳ σ ∈ Στa,N0 nếu chúng ta bỏ qua N0 số điểm gián đoạn đầu tiên thì thời gian dừng trung bình giữa hai tín hiệu chuyển mạch liên tiếp bất kỳ ít nhất là τa Rõ ràng, với mỗi N0 ≥ 0 bị chặn cố định, nếu τ1 > τ2 > 0 thì Στ1,N0 ⊂ Στ2,N0 ⊂ Σ+ Ứng với mỗi tín hiệu σ ∈ Σ+ có N hệ con vi phân phiếm hàm phi tuyến dạng x˙ (t) = fk(t, x, xt), t ≥ 0, k ∈ N (1.4) Với bất kỳ điều kiện ban đầu ϕ ∈ C hệ con (1.4) có nghiệm duy nhất x(t) = x(t, ϕ), t ≥ −h thỏa mãn x(θ) = ϕ(θ), θ ∈ [−h, 0] Nhận xét 1.1 - Trong tài liệu [6] chỉ ra rằng nếu đối với mỗi k ∈ N , fk(t, x, ϕ) bị chặn đều và Lipschitz liên tục đối với các biến x, ϕ trên mọi tập con đóng của tập R+ × Rn × C - Đối với mỗi ϕ ∈ C và σ ∈ Σ+ thì hệ chuyển mạch (1.1) có nghiệm toàn cục duy nhất x(t) = x(t, ϕ, σ), t ≥ −h, thỏa mãn điều kiện ban đầu x(θ) = ϕ(θ), θ ∈ [−h, 0] (1.5) - Nghiệm x(t) của hệ chuyển mạch (1.1) là một hàm liên tục tuyệt đối trên [0, +∞) và khả vi khắp nơi ngoại trừ các điểm chuyển mạch {τk} của σ, trong đó x(t) chỉ có đạo hàm Di-ni phải và trái D+x(τk), D−x(τk) nói chung là khác nhau Định nghĩa 1.3 (xem [21]) Cho một tập hợp các tín hiệu chuyển mạch Σ+ Nghiệm của hệ chuyển mạch (1.1) được gọi là ổn định mũ toàn cục (ngắn gọn 8