Luận văn về tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ đa diện có trễ biến thiên (tt)

1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nghiên cứu tính chất định tính nói chung tính ổn định nói riêng hệ phương trình vi phân có trễ chủ đề nghiên cứu có tính thời vài thập kỉ qua Xuất phát từ thực tế rằng, nhiều lớp hệ mơ hình ứng dụng, từ khoa học đời sống, kinh tế, mơi trường đến mơ hình sinh học mơ hình kĩ thuật vật lí, hóa học, học, điều khiển tự động v.v thường xuất độ trễ thời gian [2] Sự xuất độ trễ ảnh hưởng đến dáng điệu hệ ảnh hưởng đến tính ổn định, tính chất phổ dụng hệ kĩ thuật Vì tốn nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mơ hình điều khiển thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả nước vài thập kỉ gần (chẳng hạn xem [3, 4]) Phương pháp nghiên cứu sử dụng rộng rãi kết công bố gần phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii (LK) [2] Bằng cách xây dựng hàm LK phù hợp, điều kiện để kiểm tra tính ổn định hệ có trễ thiết lập thơng qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) [5] Mặt khác, nhiều lớp hệ mơ hình kỹ thuật, tham số hệ thống thường khơng biết cách xác Một lớp hệ không chắn quan tâm nghiên cứu nhiều kĩ thuật lớp hệ đa diện Hệ đa diện lớp hệ động lực tham số hệ biểu diễn dạng tổ hợp lồi hệ với tham số biết trước mà ta gọi hệ đỉnh của đa diện [6] Về tính ổn định, tất đỉnh ổn định hệ đa diện khơng ổn định Vì vấn đề nghiên cứu tính ổn định hệ đa diện ứng dụng mơ hình điều khiển vấn đề nghiên cứu có tính thời ý nghĩa thực tiễn thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả nước [6–9] Với lý nêu chọn vấn đề " Về tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ đa diện có trễ biến thiên" làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Đưa điều kiện dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) để đảm bảo tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ đa diện giới thiệu báo [15], [9] Phương pháp nghiên cứu Phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii (LK) Dự kiến kết đạt Đưa bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) để đảm bảo tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ đa diện Nội dung nghiên cứu Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ đa diện có trễ biến thiên Nội dung luận trình bày ba chương Chương trình bày số kết liên quan Cụ thể, chương giới thiệu sơ lược mơ hình hệ đa diện số điều kiện ổn định cho lớp hệ đa diện xuất mơ hình học cổ điển Một số kết bổ trợ chúng tơi trình bày chương Trong chương nghiên cứu tính ổn định lớp hệ tuyến tính đa diện có trễ biến thiên tổng quát Hàm trễ giả thiết hàm liên tục, nhận giá trị đoạn với cận không thiết không Các giả thiết tốc độ biến thiến hàm trễ loại bỏ Dựa cách tiếp cận báo gần [15], phát triển kết cho lớp hệ đa diện Một số điều kiện ổn định phụ thuộc độ trễ thiết lập bất đẳng thức ma trận tuyến tính Trong chương 3, chúng tơi xét tính ổn định hóa lớp hệ đa diện có trễ hỗn hợp biến thiên trạng thái điều khiển Nội dung chương dựa báo [9] Cụ thể, [9] tác giả xét toán điều khiển H∞ cho lớp hệ đa diện nói Dựa cách tiếp cận hàm điều khiển phụ thuộc tham số, tác giả tìm điều kiện để thiết kế hàm điều khiển ngược ổn định hóa hệ Trong chương chúng tơi trình bày tốn ổn định hóa Một hạn chế kết Chương hàm trễ cần thỏa mãn giả thiết độ biến thiên chậm Việc mở rộng cho trường hợp tổng quát theo cách tiếp cận Chương cần tiếp tục nghiên cứu phát triển Thanh Hóa, tháng 10 năm 2016 Tác Giả Chương HỆ ĐA DIỆN VÀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH Trong chương này, chúng tơi trình bày sơ lược hệ tuyến tính đa diện tốn ổn định theo Lyapunov 1.1 Hệ đa diện Xét phương trình vi phân cấp sau xuất hc c in xă(t) + ax(t) + ( + ∆ω)x(t) = 0, t ≥ 0, (1.1) a, ω số dương biết trước, ∆ω đại lượng trước biểu diễn sai số tần số góc ω Thơng thường tham số ∆ω giả thiết thỏa mãn đánh giá |∆ω| ≤ α2 , α số dương cho trước Đặt ∆ω = pα2 Khi p ∈ [−1, 1] Từ ý nghĩa thực tiễn, p đóng vai trò tham số biễu diễn sai số với cường độ α2 tần số góc ω Đặt x1 = x, x2 = x˙ , (1.1) trở thành " # x(t) ˙ = x(t), t ≥ 0, (1.2) −ω − pα2 −a x(t) = [x1 (t) x2 (t)]> Hệ (1.2) hệ phụ thuộc tham số không chắn p Vấn đề đặt làm để nghiên cứu tính ổn định lớp hệ kiểu (1.2) Do giả thiết p ∈ [−1, 1] nên biểu diễn p dạng p = −ξ1 + ξ2 , ξ1 , ξ2 ∈ [0, 1], ξ1 + ξ2 = Mặc dù trường hợp ta viết đơn giản p = − 2ξ1 , nhiên để tổng quát hóa cho trường hợp hệ phương trình có nhiều tham số, chúng tơi dùng cách biểu diễn có phần phức tạp qua hai tham số p = ξ2 − ξ1 Khi " # # " # " 1 +ξ (1.3) = ξ −ω + α2 −a −ω − α2 −a −ω − pα2 −a | {z } {z } | A1 A2 hệ (1.2) viết dạng x(t) ˙ = A(ξ)x(t), t ≥ 0, (1.4) A(ξ) = ξ1 A1 + ξ2 A2 với ξi ∈ [0, 1], i = 1, 2, ξ1 + ξ2 = Hệ (1.4) gọi hệ tuyến tính đa diện với hai đỉnh A1 , A2 Mệnh đề ( [1]) Hệ tuyến tính với ma trận số x(t) ˙ = Ax(t) ổn định tiệm cận theo Lyapunov tồn ma trận P ∈ S+ n thỏa mãn bất đẳng thức Lyapunov sau A> P + P A < (1.5) Bất đẳng thức (1.5) dạng đặc biệt lớp bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) với biến đối xứng xác định dương P Trong trường hợp hệ với ma trận chắn (A biết xác) điều kiện ổn định cho (1.5) tương đương với điều kiện tập giá trị riêng λ(A) nằm bên nửa mặt phẳng phức trái Khi ta nói A ma trận ổn định (hay ma trận Hurwitz) Với trường hợp hệ đa diện hai đỉnh (1.4) ta có kết sau Mệnh đề ( [11]) Hệ (1.4) ổn định tiệm cận bền vững (ổn định với tham số ξ1 , ξ2 ) A1 , A2 ma trận ổn định Tuy nhiên, thực tế hệ thường có số chiều lớn xấp xỉ mơ hình từ thực tiễn (thường phương trình phi tuyến) sai số tham số không giống dẫn đến việc biểu diễn dạng đa diện (1.4) có số đỉnh lớn Do vấn đề đặt tìm điều kiện để kiểm tra tính ổn định bền vững hệ thông qua ma trận đỉnh Bây ta xét lớp hệ tổng quát (1.4) dạng x(t) ˙ = A(q)x(t), t ≥ 0, (1.6) q ∈ Q hộp đóng Rn , x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái hệ P Do A(q) phụ thuộc affine theo q nên viết A(q) = A0 + pi=1 Ai qi , Ai = A(qi ei ) ei vectơ đơn vị trục ith Rn Giả sử qi cho điều kiện |qi | ≤ q¯i với q¯i ≥ số biết trước (sai số cho phép) Khi A(q) thuộc đa diện lồi Từ thiết lập này, ta xét tốn: Cho trước ma trận Mi ∈ Rn×n , i = 1, 2, , q , ký hiệu ( ) m m X X Ω = M (ξ) = ξi Mi : ξi ≥ 0, ξi = i=1 i=1 Xác định điều kiện để M (ξ) Ω ma trận ổn định (Hurwitz) Hay trường hợp riêng, giả sử Mi ma trận ổn định, liệu M (ξ) có ma trận ổn định khơng, tức trường hợp tổng qt Mệnh đề 1.1.2 có cịn không? Rất tiếc, với n ≥ 3, câu trả lời khơng Ta xét ví dụ sau [12] Cho ma trận       −1 −1 0 −1 −1       M1 =  −1  , M2 =  −1  , M3 =  −1 −1 −1 0.1 −1 0.1 1 0.1 Rõ ràng Mi , i = 1, 2, 3, ma trận Hurwitz Hơn tổ hợp lồi Mi , Mj , i 6= j (còn gọi cạnh đa diện Ω) ma trận Hurwitz Tuy nhiên, ma trận (trọng tâm)   −1 0 1   M = M1 + M2 + M3 =  −1  3 0 0.1 không ma trận Hurwitz Điều cho thấy cần điều kiện ‘mạnh hơn’ giả thiết tính ổn định đỉnh cạnh Chẳng hạn đỉnh ổn định với ma trận nghiệm bất đẳng thức Lyapunov mệnh đề sau Mệnh đề Hệ (1.6) với A(q) ∈ Ω ổn định mũ bền vững tồn ma trận P ∈ S+ n thỏa mãn Mi> P + P Mi < 0, ∀i = 1, 2, , m (1.7) Nhận xét 1.1 Đối với hệ đa diện, việc yêu cầu đỉnh ổn định với ma trận P bất đẳng thức Lyapunov điều kiện ngặt Điều đưa đến toán xác định lớp điều kiện đảm bảo tính ổn định vững hệ mà không cần giả thiết ma trận P chung 7 1.2 Hệ đa diện có trễ Trong mục chúng tơi giới thiệu mơ hình điều khiển học dẫn tới hệ điều khiển dạng đa diện có trễ Ví dụ lấy từ báo [9] Xét mơ hình điều khiển lắc ngược Hình 1.1 Xe (the cart motor) dịch chuyển mặt phẳng ngang tác động lực điều khiển F M , m khối lượng xe cầu lắc (the blob mass), x khoảng cách dịch chuyển xe, θ góc lệch cứng lắc so với phương đứng ` chiều dài cứng với khối lượng không đáng kể (massless rigid connector) Phương trình chuyển động hệ (EqM) cho m`ă mg sin + mă x cos = (1.8) (M + m)ă x + m`ă cos θ − m`θ˙2 sin θ = F Hình 1.1: Hệ điều khiển mơ hình lắc ngược Một cách tiếp cận phổ biến nghiên cứu dáng điệu hệ kĩ thuật phương pháp xấp xỉ tuyến tính [16] Một xấp xỉ (1.8), với tham số không chắn, mô tả h `ă g(1 + ) + x ă=0 (1.9) (M + m)ă x + m`ă m`w = F, w = θ˙2 sin θ kí hiệu nhiễu đầu vào ρ tham số liên quan đến sai ˙ > , số Kí hiệu biến trạng thái x = [x1 x2 x2 x4 ]> = [x x˙ θ θ] (1.9) viết lại dạng x(t) ˙ = Aρ x(t) + BF (t) + Cw(t), (1.10)  0  Aρ =  0 0 0 mg − M (1 + ρ) (M +m)g M ` (1 + ρ)  0  , 1       B =  M ,   − M1 `    m`    C =  M    m −M Cùng với (1.10)h ta xét hàm quan isát (do mục đích sử dụng) z(t) = Eρ x(t), Eρ = + ρ + ρ Từ thực tiễn, tín hiệu điều khiển (từ xa) thực qua mạng truyền tải (chẳng hạn sóng vơ tuyến wifi), tín hiệu điều khiển thường bị trễ khoảng h > Tức lực điều khiển xe có dạng F = F (u(t), u(t − h)) Để minh họa, ta giả sử khoảng 30% tín hiệu bị trễ cơng thức truyền tuyến tính, lực F (t) cho F (t) = 0.7(1 + ρ)u(t) + 0.3(1 + ρ)u(t − h) Giả sử |ρ| ≤ ρ với ρ¯ ≥ số biết trước (sai số cho phép thiết kế) Khi hệ (1.10) diễn tả dạng hệ đa diện hai đỉnh Như phân tích [16], hệ đa diện thường cho mô tả sát thực tiễn cách biểu diễn qua hệ với đại lượng không chắn bị chặn theo chuẩn Hệ đa diện mô tả (1.10) cho  x(t) ˙ = A0 (ξ)x(t) + B0 (ξ)u(t) + B1 (ξ)u(t − h) + C(ξ)w(t), (1.11) z(t) = E(ξ)x(t),   0   0 0  , A02 =  0 1 0 i> h 0.7(1−ρ) 0.7(1−ρ) , B = − M` 02 M h i C1 = C2 = C, E1 = − ρ − ρ , E2  0  A01 =  0 h B01 = 0 0 mg − M (1 − ρ) (M +m)g M ` (1 − ρ) 0 0 mg − M (1 + ρ) (M +m)g M ` (1 + ρ) 0.7(1+ρ) M h  0  , 1 i> − 0.7(1+ρ) M` , i = 1+ρ 1+ρ , B11 = 3/7B01 , B12 = 3/7B02 , B21 = B22 = Ta có A0 (ξ) = ξ1 A01 + ξ2 A02 = Aρ , ρ = (ξ2 − ξ1 )¯ ρ Bằng cách tính trực tiếp định thức ta   (M + m)g (1 + ρ) det(λI4 − Aρ ) = λ2 λ2 − M` Với ρ < + ρ > với |ρ| ≤ ρ Do ( ) r r (M + m)g (M + m)g λ(Aρ ) = 0, 0, − (1 + ρ), (1 + ρ) M` M` Điều chứng tỏ hệ mở (tức hệ khơng có tín hiệu điều khiển) hệ khơng ổn định Từ đặt tốn thiết kế hàm điều khiển u(t) ổn định hóa hệ Vấn đề trình bày chương dựa báo [9] 10 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP HỆ ĐA DIỆN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Trong chương chúng tơi nghiên cứu tính ổn định lớp hệ tuyến tính đa diện có trễ biến Cụ thể hơn, lớp hàm trễ nghiên cứu chương có dạng tổng quát, hàm liên tục h(t) nhận giá trị đoạn [h1 , h2 ], ≤ h1 ≤ h2 số biết trước diễn tả cận độ trễ Các giả thiết độ biến thiên h(t), chẳng hạn giả thiết ˙ trễ biến thiên chậm h(t) ≤ δ < kết biết [8–10, 13], loại bỏ Phương pháp sử dụng chương phát triển từ báo gần [15] dựa phương pháp hàm Lyapunov cách tiếp cận bất đẳng thức ma trận tuyến tính Cụ thể, dựa việc xây dựng phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii phụ thuộc tham số áp dụng bất đẳng thức tích phân cải tiến [4, 15] kết hợp với kĩ thuật đánh giá hàm lồi để khắc phục khó khăn trễ biến thiên nhanh đoạn thu số điều kiện ổn định phụ thuộc độ trễ (các cận h1 , h2 ) lớp hệ nói Xét lớp hệ tuyến tính đa diện có trễ biến thiên dạng sau:  x˙ = A (ξ)x(t) + A (ξ)x(t − h(t)), t ≥ 0, (2.1) x(t) = φ(t), t ∈ [−h2 , 0], x(t) ∈ Rn biến trạng thái, φ ∈ C([−h2 , 0], Rn ) điều kiện đầu, h(t) hàm trễ thỏa mãn điều kiện ≤ h1 ≤ h(t) ≤ h2 , ∀t ≥ 0, (2.2) với h1 , h2 số biết trước biểu diễn cận/ngưỡng trễ Các ma trận A0 (ξ) A1 (ξ) hệ trước giả thiết thuộc tổ hợp lồi Ω cho X  p p X Ω= ξi [A0i A1i ], ξi ≥ 0, ξi = , (2.3) i=1 i=1 p ∈ N∗ số đỉnh đa diện A0i , A1i , i ∈ [p] , {1, 2, , p}, ma trận số cho trước 11 Để thuận tiện cho việc trình bày h điều kiện ổn định choi (2.1), ký hiệu ma trận khối ei = 0n×(i−1)n In 0n×(7−i)n ∈ Rn×7n (i = 1, 2, , 7), chẳng hạn e1 = [In 0n×6n ] ma trận gồm n dòng đầu ma trận đơn vị I7n Các ma trận khác xác định tương tự Chúng ký hiệu ma trận Aξ = A0 (ξ)e1 + A1 (ξ)e3 ma trận sau     R x(t) t     x(s)ds     x(t − h )   h1 t−h R  t−h   1  χ(t) = col  ,  h(t)−h1 R t−h(t) x(s)ds  ,    x(t − h(t))   t−h(t)  x(s)ds    t−h h −h(t) 2 x(t − h2 )     e1 Aξ     Υ(h) =  h1 e5  , Υ0 = e1 − e2  , (h − h1 )e6 + (h2 − h)e7 e2 − e4 " # " # e1 − e2 e2 − e3 Υ1 = , Υ2 = , h1 (e1 − e5 ) e2 + e3 − 2e6 " # " # e3 − e4 e1 − e2 , Υ3 = , Υ4 = e3 + e4 − 2e7 e1 + e2 − 2e5 Ω0 (h) = Υ(h)> Pξ Υ0 + Υ> Pξ Υ(h), > > ∆ = [Υ> Υ3 ] , > > > Ω1 = e> Q1ξ e1 − e2 Q1ξ e2 + e2 Q2ξ e2 − e4 Q2ξ e4 ,
2 Ω2 = A> h R + h R h12 = h2 − h1 , ξ 1 12 Aξ , Ω3 = Υ> diag{R1 , 3R1 }Υ4 Định lí sau cho điều kiện ổn định phụ thuộc tham số độ trễ hệ (2.1) n Định lí 2.1 Giả sử tồn ma trận Pi ∈ S3n + , Q1i , Q2i ∈ S+ , i ∈ [p], R1 , R2 ∈ Sn+ ma trận X ∈ R2n×2n cho bất đẳng 12 thức ma trận tuyến tính  ˜ R2 Ψ= ∗ sau thỏa mãn với h ∈ {h1 , h2 }  X  ≥ 0, ˜ R2 Ω(h) = Ω0 (h) + Ω1 + Ω2 − Ω3 − ∆> Ψ∆ < 0, (2.4) (2.5) ˜ = diag{R2 , 3R2 } Khi (2.1) ổn định tiệm cận với trễ biến R thiên h(t) ∈ [h1 , h2 ] Nhận xét 2.1 Định lí 2.1 cho điều kiện ổn định phụ thuộc độ trễ hệ đa diện (2.1) Tuy nhiên, điều kiện (2.5) chứa tham số không chắn Cụ thể, ma trận Υ0 , Pξ , Q1ξ Q2ξ chứa tham số không chắn ξ Trên sở điều kiện (2.5), vận dụng cách tiếp cận [9], tính ổn định hệ (2.1) cho điều kiện không phụ thuộc tham số Ký hiệu Ai = A0i e1 + A1i e3 , h i> > > > Υ0i = Ai (e1 − e2 ) (e2 − e4 ) , e (h) = Υ(h)> Pi Υ0j + Υ> Pi Υ(h), Ω ij 0j e = e> Q1i e1 − e> Q1i e2 + e> Q2i e2 − e> Q2i e4 , Ω i 2
> 2 e = A h R1 + h R2 Aj , Ω ij i 12 e (h) + Ω e +Ω e − Ω3 − ∆> Ψ∆ Mij = Ω ij i ij n Định lí 2.2 Giả sử tồn ma trận Pi ∈ S3n + , Q1i , Q2i ∈ S+ , i ∈ [p], R1 , R2 ∈ Sn+ , X ∈ R2n×2n ma trận đối xứng nửa xác định dương N ∈ Rn×n cho (2.4) LMIs sau thỏa mãn với h ∈ 13 {h1 , h2 } Mii + N < 0, i ∈ [p], (2.6a) Mij + Mji − N < 0, ≤ i < j ≤ p, (2.6b) p−1   N 0n×6n  N =   Khi (2.1) ổn định tiệm cận với trễ biến ∗ 06n×6n thiên h(t) ∈ [h1 , h2 ] Nhận xét 2.2 Các điều kiện (2.6a)-(2.6b) áp dụng cho hệ đa diện dạng (2.1) với số đỉnh p > Trong trường hợp đặc biệt, p = (hệ chắn), điều kiện ổn định hệ cho Định lí 2.1 Nhận xét 2.3 Như phân tích Chương 1, hệ đa diện, tính ổn định đỉnh nói chung khơng đảm bảo tính ổn định (bền vững) hệ đa diện (trừ trường hợp p = p = 2) Điều kiện (2.6a) đảm bảo tính ổn định tất đỉnh, điều kiện (2.6b) điều kiện ràng buộc cạnh/mặt để đảm bảo hệ đa diện ổn định (bền vững) Nhận xét 2.4 Một cách tiếp cận khác, thay sử dụng điều kiện ổn định đỉnh (2.6a) điều kiện ràng buộc cạnh (2.6b), ta sử dụng phương pháp hàm Lyapunov chung (các ma trận Pi , Q1i Q2i chung cho đỉnh) Khi đó, theo Bổ đề Schur, điều kiện (2.5)   > > Ω0 (h) + Ω1 − Ω3 − ∆ Ψ∆ Aξ R   > b Ξi (h) + Ω1 − Ω3 − ∆ Ψ∆ Ai R   < 0, ∗ −R i ∈ [p], (2.8) > > > b Ξi (h) = Υ(h)> P Υ0i +Υ> 0i P Υ(h) Ω1 = e1 Q1 e1 −e2 Q1 e2 +e2 Q2 e2 − e> Q2 e4 Ví dụ minh họa Phần cuối chương chúng tơi xét ví dụ số để minh họa cho điều kiện ổn định thu Chúng minh họa trường hợp trễ biến thiên nhanh đoạn điều kiện dựa hàm Lyapunov chung cho Hệ 2.1 Xét hệ đa diện ba đỉnh dạng (2.1) với ma trận đỉnh cho " # " # " # −4 −3 −5 A01 = , A02 = , A03 = , −1 −5 −2 0.5 −6 " # " # " # −1 −1 A11 = , A12 = , A13 = −1 1 1 Hàm trễ cho h(t) = 0.5 + 0.75| sin(ωt)|, ω số dương Rõ ràng h(t) hàm liên tục R+ , không khả vi vô hạn điểm dạng kπ ω Do điều kiện ổn định báo công bố [?,8,9,13] không áp dụng cho trường hợp Sử dụng gói cơng cụ LMI Toolbox Matlab, điều kiện (2.4) (2.8) nghiệm với ma trận 15  P Q1 R1 X  67.3989 5.5462 −3.7866 −0.2098 −3.1472 −2.8624   0.7170 −5.5111 6.2460   5.5462 39.0561 4.9413   −3.7866 4.9413 56.2226 5.1096 42.0256 0.5999  , = −0.2098 0.7170  5.1096 1.8483 3.6870 0.4291     −3.1472 −5.5111 42.0256 3.6870 39.8693 2.1875  −2.8624 6.2460 0.5999 0.4291 2.1875 5.4587 " # " # 115.0904 14.5043 67.3857 10.5174 , = , Q2 = 14.5043 84.9151 10.5174 24.4002 # # " " 12.7769 2.7391 4.6295 0.3685 , , R2 = = 2.7391 5.3074 0.3685 0.0350   −12.3468 −2.7143 −1.7139 0.3369  −2.6956 −5.3039 −0.1374 0.0269    =   1.0652 0.0837 −9.7055 −2.5062 −0.3653 −0.0287 −2.9124 −2.5695 Theo Hệ 2.1, hệ đa diện cho ổn định tiệm cận Hình 2.1 vẽ số quỹ đạo nghiệm hệ (2.1) với điều kiện đầu (1, −1)> hàm trễ h(t) = 0.5 + 0.75| sin(8t)| ứng với số tổ hợp khác ma trận hệ số Rõ ràng quỹ đạo nghiệm hội tụ điểm cân x = Điều mơ tính ổn định tiệm cận hệ đa diện (2.1) Hình 2.2: Quỹ đạo nghiệm (2.1) với h(t) = 0.5 + 0.75| sin(8t)| 16 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương chúng tơi xét tính ổn định lớp hệ tuyến tính đa diện có trễ biến thiên Hàm trễ giả thiết hàm liên tục, nhận giá trị đoạn mà không hạn chế độ biến thiên độ trễ Điều cho phép điều kiện ổn định thu áp dụng cho mơ hình trễ biến thiên nhanh không khả vi Bằng việc phát triển kết gần [15] cho lớp hệ đa diện thu số lớp điều kiện ổn định phụ thuộc độ trễ Một ví dụ cuối chương minh họa cho điều kiện 17 Chương ỔN ĐỊNH HĨA LỚP HỆ TUYẾN TÍNH ĐA DIỆN CÓ TRỄ HỖ HỢP TRÊN TRẠNG THÁI VÀ ĐIỀU KHIỂN Trong báo [6], tác giả nghiên cứu tốn ổn định hóa cho lớp hệ đa diện có trễ số trạng thái điều khiển Bằng xây dựng lớp hàm Lyapunov-Krasovskii phụ thuộc tham số, tác giả đưa số điều kiện dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính để thiết kế hàm điều khiển phụ thuộc tham số dạng u(t) = K(ξ)x(t) ổn định hóa dạng mũ cho lớp hệ nói Trong [9], tác giả phát triển kết báo [6] [8] cho toán điều khiển H∞ lớp hệ đa diện có trễ biến thiên trạng thái điều khiển Trong chương nghiên cứu trình bày kết tốn ổn định hóa cho lớp hệ đa diện có trễ hỗn hợp trạng thái điều khiển Mong muốn tác giả phát triển kết [9] cho lớp hệ với trễ tổng quát dựa cách tiếp cận từ Chương Theo kết từ Chương 2, việc thiết kế hàm điều khiển ngược phụ thuộc tham số dạng u(t) = K(ξ)x(t) phải dựa việc loại bỏ kết hợp biến ma trận Lyaopunov Pi , R1 , R2 với ma trận đạt Ki Rất tiếc, tác giả chưa khắc phục khó khăn gặp phải biến đổi điều kiện ma trận để loại kết hợp nói Vì vậy, nội dung chương trình dựa báo [9] người hướng dẫn cộng Ở xét tốn ổn định hóa mà khơng xem xét điều kiện tối ưu mức toán điều khiển H∞ [9] Xét lớp hệ đa diện với trễ biến thiên trạng thái điều khiển dạng Z t x(t) ˙ = A0 x(t) + A1 x(t − h(t)) + A2 x(s)ds + B0 u(t) t−r(t) + B1 u(t − h(t)) + B2 Z t u(s)ds, t ≥ 0, (3.1) t−r(t) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], x(t) ∈ Rn biến trạng thái, u(t) ∈ Rm hàm điều khiển, h(t), r(t) 18 hàm trễ thỏa mãn điều kiện ≤ h(t) ≤ h, ≤ r(t) ≤ r, h = max{h, r} Như [9], hàm trễ giả thiết thỏa mãn điều kiện biến thiên chậm, tức tồn số δ < cho ˙ h(t) ≤ δ, r(t) ˙ ≤ δ, t ≥ Các ma trận trạng thái Ak , Bk , k = 0, 1, 2, thuộc tổ hợp lồi Ω cho   p p X X Ω = [Ak , Bk ](ξ) := ξi [Aki , Bki ], ξi ≥ 0, ξi = i=1 i=1 với Aki , Bki , i ∈ [p], ma trận số cho trước Hàm điều khiển ngược cho hệ (3.1) thiết kế dạng u(t) = K(ξ)x(t), t ≥ (3.2) Hệ (3.1) gọi ổn định hóa tồn hàm điều khiển ngược dạng (3.2) cho hệ đóng tương ứng (3.1) ổn định tiệm cận Chúng định nghĩa số ma trận sau: Aij = A0i Pj + Pj A> 0i ,
> > > Bij = B0i Yj + Yj> B0i + (1 − δ)−1 B1i B1j + rB2i B2j , Γij = Aij + Bij + Qj + hRj , i h √ √ > Hij = A1i Pj hA2i Pj + rYj , Dj = diag {(1 − δ)Qj , Rj , Im } , " # " # N 0n×(2n+m) Γij Hij Mij = , N = ∗ −Dj ∗ 0(2n+m)×(2n+m) Để đơn giản viết biểu thức, chúng tơi kí hiệu ma trận P = p X i=1 ξi Pi , Q= p X i=1 ξi Qi , R= p X i=1 ξi Ri , Y = p X ξi Yi i=1 Định lí sau cho điều kiện ổn định hóa hệ (3.1) 19 Định lí 3.1 Hệ (3.1) ổn định hóa tồn ma trận đối xứng xác định dương Pi , Qi , Ri ∈ Sn+ , i ∈ [p], ma trận đối xứng nửa xác định dương N ∈ Rn×n ma trận Yi ∈ Rm×n , i ∈ [p], cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn Mii + N < 0, i ∈ [p], Mij + Mji − N < 0, p−1 (3.3a) ≤ i < j ≤ p Hàm điều khiển ngược cho p p X  X −1 u(t) = ξi Yi ξi Pi x(t), i=1 t ≥ (3.3b) (3.4) i=1 Nhận xét 3.1 Xét trường hợp đặc biệt, p = 1, Định lí 3.1 cho điều kiện tồn nghiệm toán H∞ cho lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ biến thiên trạng thái điều khiển Kết phát biểu hệ Xét lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ sau Z t x(s)ds + B0 u(t) x(t) ˙ = A0 x(t) + A1 x(t − h(t)) + A2 t−r(t) + B1 u(t − h(t)) + B2 Z t (3.5) u(s)ds, t ∈ R+ , t−r(t) A0 , Bk , k = 0, 1, 2, ma trận cho trước, hàm trễ h(t), r(t) giả thiết hệ (3.1) Hệ 3.1 Hệ (3.5) ổn định hóa tồn ma trận đối xứng xác định dương P, Q, R ∈ Rn×n ma trận Y ∈ Rm×n thỏa mãn điều kiện sau   A1 P Φ13  Φ11   < 0, ∗ −(1 − δ)Q −Φ22 (3.6) 20 > > Φ11 = A0 P + P A> + B0 Y + Y B0   −1 > > + (1 − δ) B1 B1 + rB2 B2 + Q + hR, √ √ + rY > ], Φ13 = [ hA2 P Φ22 = diag{R, Im } Hàm điều khiển ổn định hóa hệ (3.5) cho u(t) = Y P −1 x(t), t ≥ Xét lớp đặc biệt (3.1) với p = 1, hệ (3.1) trở thành Z t x(t) ˙ = A0 x(t) + A1 x(t − h(t)) + A2 x(s)ds t−r(t) + B0 u(t) + B1 u(t − h(t)) + B2 Z t u(s)ds, quadt ≥ t−r(t) (3.7) Kết cho Định lí 3.1 đưa đến điều kiện ổn định hóa cho hệ (3.7) hệ sau Hệ 3.2 Hệ (3.7) ổn định hóa tồn ma trận đối xứng xác định dương P, Q, R ma trận Y 6= thỏa mãn bất đẳng thức sau  A1 P Π    ∗ −(1 − δ)Q   ∗ ∗   ∗ ∗ √ hA2 P −R ∗ √ >  + rY     ≤0     −Im (3.8)
> > > −1 > + rB B Π = A0 P +P A> +B Y +Y B + − δ) B B 1 2 +Q+hR 0