Một số kiến thức cơ bản về tích phân và đạo hàm phân thứ
Tích phân phân thứ
Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Định nghĩa 1.1 ([8]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann- Liouville cấp α của hàm x : [a, b]−→R được cho bởi t 0I t α x(t) := 1 Γ(α)
(t−s) α−1 x(s)ds, t∈ (a, b], trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) +∞
Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t 0 I t α := I với I là toán tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
0< α −1 vàt > a Với bất kì α > 0, chúng ta có t 0I t α x(t) = Γ(β+ 1) Γ(α+β+ 1)(t−a) α+β , t > a.
(ii) Cho x(t) =e λt , λ >0 Với bất kì α > 0, chúng ta có t 0I t α x(t) =λ −α
Đạo hàm phân thứ
Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Định nghĩa 1.2 ([8]) Cho số thực dương αvà khoảng đóng[a, b]⊂R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b]−→R được cho bởi
(t−s) n−α−1 x(s)ds,trong đó n:=dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dt d n n là đạo hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function) f(t)
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm f(t) là
0 D t α f(t) = t −α Γ(1−α). Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Cho [a, b] là một khoảng đóng hữu hạn trong R AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên[a, b].Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: f(t)∈ AC[a, b] ⇔f(t) =c+
Z t a ϕ(s)ds (ϕ(s)∈ L(a, b)), do đó một hàm tuyệt đối liên tục f(t) có đạo hàmf 0 (t) =ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b].
Với n∈N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
D = d dt Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1 ([8]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f(t) có dạng như sau: f(t) = t 0I t α ϕ(t) + n−1
X k=0 ck(t−t0) k , trong đó ϕ(t)∈ L(a, b), ck(k= 0,1, , n−1) là các hằng số tùy ý và t 0I t α ϕ(t) = 1
Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có ϕ(s) =f (n) (s), c k = f (k) (t 0 ) k! (k= 0,1, , n−1). Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville. Định lý 1.2 ([8]) Cho α ≥ 0, n = dαe Nếu f(t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm phân thứ RL t
0 D t α f(t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau
Z t t 0 f (n) (s)ds (t−s) α−n+1 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2
Hệ quả 1.1 ([8]) Nếu 0 < α 0, n = [α] + 1 Nếu f(t) ∈AC n [a, b] thì t 0I t α C t 0 D α t f(t)
X k=0 f (k) (t 0 ) k! (t−t0) k Đặc biệt, nếu 0< α≤1 và f(t)∈ AC[a, b] thì t 0I t α C t 0 D α t f(t)
= f(t)−f(t 0 ). Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville. Định lý 1.6 [8] Cho α >0 và đặt n= dαe Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng ta có:
! , với hầu hết t∈[a, b]. Định lý 1.7 (Bổ đề 2.3, trang 73 trong cuốn sách chuyên khảo của A.A Kilbas và các đồng tác giả [8]) Cho các số dương α >0, β >0 Giả sử rằng f(t) là một hàm liên tục Khi đó ta có đẳng thức sau đây t 0I t α t 0I t β f(t)
Tính ổn định tiệm cận vững và đồng bộ hóa xạ ảnh của mạng nơ ron phân thứ có trễ biến thiên 14 2.1 Tính ổn định tiệm cận vững của mạng nơ ron phân thứ có trễ biến thiên
Tính đồng bộ hóa xạ ảnh của mạng nơ ron phân thứ có trễ biến thiên
Trong mục này, chúng tôi xét tính đồng bộ hóa xạ ảnh của mạng nơ ron phân thứ có trễ biến thiên Xét hệ chủ (the master system) (2.1) và hệ phụ thuộc (the slave system) dưới đây
(2.27) trong đó điều khiển u(t) xác định bởi u(t) =−Ψ (y(t)−Ωx(t))−(A+M 1 F 1 (t)N 1 )f (Ωx(t))
(2.28) trong đó Ψ = diag{ψ 1 , , ψ n } > 0 Đặt e(t) = y(t)−Ωx(t), ta thu được hệ sai số dưới đây
(2.29) ở đóh(e(t)) =f(y(t))−f(Ωx(t)), h(e(t−τ(t))) =f(y(t−τ(t)))−f(Ωx(t−τ(t))). Định nghĩa 2.1 Nếu tồn tại một ma trận đường chéo chínhΩ = diag{ω1, ω2, , ωn} sao cho lim t→+∞ky(t)−Ωx(t)k = 0với x(t), y(t) lần lượt là hai nghiệm của hệ (2.1) và (2.27) với các điều kiện ban đầu φ(t) và φ(t)ˆ tương ứng, thì hệ chủ (2.1) và hệ phụ thuộc (2.27) được gọi là đồng bộ hóa xạ ảnh tiệm cận toàn cục (globally asymptotically projective synchronized) với điều khiển u(t) xác định bởi (2.28). Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính đồng bộ hóa xạ ảnh toàn cục giữa hệ chủ (2.1) và hệ phụ thuộc (2.27). Định lý 2.2 Giả sử các Giả thiết (A1) và (A2) thỏa mãn Hệ chủ (2.1) và hệ phụ thuộc (2.27) đồng bộ hóa xạ ảnh tiệm cận toàn cục (globally asymptotically projective synchronized) với điều khiển u(t) xác định bởi (2.28) nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương U ∈ R n×n , hai ma trận đường chéo chính xác định dương K 3 , K 4 , các số dương 3 , 4 , υ 2 > 0, $ 2 > υ 2 , sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính dưới đây được thỏa mãn
Chứng minh VớiK 3 , K 4 là các ma trận đường chéo chính xác định dương, từ Giả thiết (A1) ta thu được các đánh giá sau đây
Xét hàm Lyapunov dưới đây cho hệ sai số (2.29):
Chứng minh tương tự như Định lý 2.1, ta thu được ước lượng dưới đây
Sử dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiệnΣ 0 Hệ sai số được xác định như sau
(2.37) trong đó các tham số được chọn như sau α∈ (0,1), τ(t) = 1 3 t+ cos 2 t, t≥0,
Sử dụng hộp công cụ LMI Control Tool box trong MATLAB, ta thấy các điều kiện trong Định lý 2.2 thỏa mãn với $ 2 = 1.06, υ 2 = 1.05, 3 = 63.7002, 4 = 8.4244và
Từ đó suy ra điểm cân bằng 0 của hệ sai số (2.37) ổn định tiệm cận vững Vì vậy hệ chủ (2.34) và hệ phụ thuộc (2.35) đồng bộ hóa xạ ảnh tiệm cận toàn cục(globally asymptotically projective synchronized) với điều khiểnu(t)xác định bởi(2.36).
Luận văn đã đạt được những kết quả sau:
• Trình bày lại một số khái niệm cơ bản về giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, bất đẳng thức Halanay mở rộng cho đạo hàm phân thứ;
• Đưa ra một tiêu chuẩn mới cho tính ổn định tiệm cận vững cho mạng nơ ron phân thứ có nhiễu với độ trễ biến thiên không bị chặn;
• Đưa ra một tiêu chuẩn cho tính đồng bộ họa xạ ảnh giữa hệ chủ và hệ phụ thuộc;
• Đưa ra 03 ví dụ số để minh họa cho các kết quả lý thuyết.
[1] H.B Bao and J.D Cao (2015), “Projective synchronization of fractional-order memristor-based neural networks”, Neural Networks, 63, pp 1–9.
[2] A Boroomand and M.B Menhaj (2008), “Fractional-order Hopfield neu- ral networks”, In: International conference on neural information processing, Springer, Berlin, Heidelberg, pp 883–890.
[3] S Boyd, L El Ghaoui, E Feron, and V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia.
[4] L Chen, T Huang, J.T Machado, A.M Lopes, Y Chai, and R Wu (2019),
“Delay-dependent criterion for asymptotic stability of a class of fractional- order memristive neural networks with time-varying delays”, Neural Net- works, 118, pp.289–299.
[5] M.A Duarte-Mermoud, N Aguila-Camacho, J.A Gallegos, and R Castro- Linares (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lya- punov uniform stability for fractional order systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), pp 650–659.
[6] T Kaczorek (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory,Springer.
[7] E Kaslik and S Sivasundaram (2012), “Nonlinear dynamics and chaos in fractional-order neural networks”, Neural Networks, 32, pp 245–256
[8] A.A Kilbas, H.M Srivastava, and J.J Trujillo (2006), Theory and Applica- tions of Fractional Differential Equations, Springer.
[9] B.B He, H.C Zhou, C.H Kou, and Y Chen (2018), “New integral inequalities and asymptotic stability of fractional-order systems with unbounded time delay”, Nonlinear Dynamics, 94, pp 1523–1534.
[10] M Li, X Yang, Q Song, and X Chen (2022), “Robust asymptotic stabil- ity and projective synchronization of time-varying delayed fractional neu- ral networks under parametric uncertainty”, Neural Processing Letters, Doi: 10.1007/s11063-022-10825-6.
[11] S Yang, J Yu, C Hu, and H Jiang (2018), “Quasi-projective synchroniza- tion of fractional-order complex-valued recurrent neural networks”, Neural Networks, 104, pp 104–113.
[12] Y Yang, Y He, Y Wang, and M Wu (2018), “Stability analysis of fractional- order neural networks: an LMI approach”, Neurocomputing, 285, pp 82–93.
[13] L Zhang, Y Yang, and F Wang (2017), “Projective synchronization of fractional-order memristive neural networks with switching jumps mismatch”, Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications, 471, pp 402–415.
[14] H Zhang, R Ye, S Liu, J Cao, A Alsaedi, and X Li (2018), “ LMI-based ap- proach to stability analysis for fractional-order neural networks with discrete and distributed delays”,International Journal of Systems Science,49(3), pp.537–545.