Về tính ổn định trong thời gian hữu hạn của mạng nơ ron phân thứ với độ trễ tỉ lệ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ PHƯƠNG THẢO VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ VỚI ĐỘ TRỄ TỈ LỆ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Hữu Sáu THÁI NGUYÊN - 2022 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức tích phân đạo hàm phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Một số bổ đề bổ trợ 12 Chương Tính ổn định thời gian hữu hạn mạng nơ ron phân thứ với độ trễ tỉ lệ 15 2.1 Tính ổn định thời gian hữu hạn mạng nơ ron phân thứ với độ trễ tỉ lệ cấp phân thứ α ∈ (0, 1) 15 2.2 Tính ổn định thời gian hữu hạn mạng nơ ron phân thứ với độ trễ tỉ lệ cấp phân thứ α ∈ (1, 2) 26 LỜI NĨI ĐẦU Giải tích phân thứ nhận quan tâm nhiều nhà khoa học ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học công nghiệp [8, 9, 11] Mạng nơ ron phân thứ ứng dụng quan trọng giải tích phân thứ So với mạng nơ ron mơ tả đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả đạo hàm phân thứ mơ tả xác tượng thực tế Do mạng nơ ron phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học, nhiều kết nghiên cứu sâu sắc mạng nơ ron phân thứ công bố năm gần đây, chẳng hạn nghiên cứu tính ổn định tiệm cận [29], nghiên cứu tính ổn định thời gian hữu hạn [22, 23, 27], tính thụ động [6, 18], tốn đảm bảo chi phí điều khiển [20, 21], tính đồng hóa [15] Độ trễ thời gian thường xuyên xuất hệ động lực Nó nguyên nhân trực tiếp dẫn tới giảm hiệu xuất hệ thống, chí cịn tính ổn định hệ động lực Mạng nơ ron với độ trễ hằng, trễ biến thiên bị chặn, trễ phân phối bị chặn nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học có nhiều kết cơng bố Tuy nhiên phân tích tác giả báo [28], độ trễ bị chặn (trễ hằng, trễ biến thiên bị chặn, trễ phân phối bị chặn) khơng thể mơ tả cách xác số tượng giới thực mô hình sinh học, khoa học thơng tin, y học Các mơ hình mơ tả xác hiệu hệ động lực có trễ không bị chặn Độ trễ tỉ lệ loại trễ biến thiên khơng bị chặn Nó sử dụng thành công để mô tả nhiều mạng nơ ron sinh học khoa học thơng tin Do mạng nơ ron với độ trễ tỉ lệ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học [5, 19, 24, 28, 30] Luận văn tập trung trình bày tính ổn định thời gian hữu hạn mạng nơ ron phân thứ với độ trễ tỉ lệ sở đọc hiểu trình bày lại cách có hệ thống nội dung báo [26] Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo, mối liên hệ đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville đạo hàm phân thứ Caputo Một số bổ đề bổ trợ trình bày cuối chương Nội dung chương viết dựa tài liệu [7, 8, 9, 11] Trong chương luận văn, trình bày tính ổn định thời gian hữu hạn mạng nơ ron phân thứ với độ trễ tỉ lệ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [26, 28] Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Hữu Sáu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học Những người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q trình thực đề tài luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể q thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn Danh mục ký hiệu Rn x = (x1 , , xn ) ∈ Rn Rn×r A = (aij ) ∈ Rn×n C([q0 , 1], Rn ) không gian vec tơ thực Euclide n chiều n P kxk = |xi | i=1 khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) n P |aij kAk = max 1≤j≤n i=1 không gian hàm liên tục trên[q0 , 1] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t0 I t tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α α C α t Dt , D toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma ⌈α⌉ số nguyên nhỏ lớn α Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trước hết, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Tiếp đến, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn giải toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên Cuối chương, trình bày số bổ đề bổ trợ dùng cho chương hai luận văn Nội dung chương viết dựa tài liệu [7, 8, 9, 11, 28] 1.1 Một số kiến thức tích phân đạo hàm phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 ([9]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho Z t α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước α t0 I t := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lý sau Định lý 1.1 ([9]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 I t x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([9]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có α t0 It x(t) =λ −α +∞ X j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([9]) Cho số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho Z  dn  n−α dn t RL α x(t) = (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 I t t0 Dt x(t) := n n dt Γ(n − α) dt t0 n := ⌈α⌉ số nguyên nhỏ lớn α hàm thông thường cấp n dn dtn đạo Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)     1, t ≥ f (t) =    0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: Z t ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f ′ (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau:  AC n [a, b] = f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b]  d D= dt  Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 ([9]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X k=0 ck (t − t0 )k , ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý Z t α (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) ck = (k = 0, 1, , n − 1) k! Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lý 1.2 ([9]) Cho α ≥ 0, n = ⌈α⌉ Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Z t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 Kết sau suy trực tiếp từ Định lý 1.2 Hệ 1.1 ([9]) Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b]   Z t ′ f (s)ds f (t0 ) RL α + t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville tốn tử tuyến tính Mệnh đề 1.2 ([8]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α tốn tử tuyến tính, tức RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] Chứng minh Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] Z dn t = (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds Γ(n − α) dtn t0 Z Z λ dn t µ dn t n−α−1 = (t − s) f (s)ds + (t − s)n−α−1 g(s)ds Γ(n − α) dtn t0 Γ(n − α) dtn t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) 22 Hăolder, ta cú ku(t)k Z t   ≤ kυ(1)k + (t − s)α−1 es (kCk + ALf )e−s ku(s)k ds Γ(α) Z t + (t − s)α−1 es BLg e−s ku(qs)kds Γ(α)  1b  a1 Z t Z t ≤ kυ(1)k + (kCk + ALf )b e−bs ku(s)kb ds (t − s)a(α−1) eas ds Γ(α) 1 Z t  a1 Z t  1b + (t − s)a(α−1) eas ds (BLg )b e−bs ku(qs)kb ds Γ(α) 1  a1  Z t Z t  1b (t − s)a(α−1) eas ds ≤ kυ(1)k + (kCk + ALf )b e−bs ku(s)kb ds Γ(α) 1 Z t  1b  + (BLg )b e−bs ku(qs)kb ds (2.14) Chú ý Z t (t − s) a(α−1) as e ds = Z t−1 sa(α−1) ea(t−s) ds Z t−1 sa(α−1) e−as ds Z a(t−1) at e = a(α−1) τ a(α−1) e−τ dτ a eat Γ[a(α − 1) + 1] ≤ aa(α−1) =e at (2.15) Từ đánh giá (2.14) (2.15), ta có ku(t)k ≤ kυ(1)k + + Z t  eat Γ[a(α − 1) + 1] Γa (α)aa(α−1)  a1  Z (BLg )b e−bs ku(qs)kb ds  1b  t b −bs (kCk + ALf ) e b ku(s)k ds  1b (2.16) 23 Áp dụng Bổ đề 1.2 với n = ρ = vào (2.16), ta thu ku(t)kb eat Γ[a(α − 1) + 1] ≤ 3b−1 kυ(1)kb + 3b−1 Γa (α)aa(α−1)  1b  Z t (BLg )b e−bs ku(qs)kb ds +   ab  Z t (kCk + ALf )b e−bs ku(s)kb ds b  Z t eat Γ[a(α − 1) + 1] a (kCk + ALf )b e−bs ku(s)kb ds ≤ kυ(1)k + a a(α−1) Γ (α)a  Z qt 1 + (BLg )b e−bs ku(s)kb eb(1− q )s ds q q  ab  at e Γ[a(α − 1) + 1] ≤ 3b−1 kυkb + 3b−1 Γa (α)aa(α−1) Z t  b b e−bs ku(s)kb ds × (kCk + ALf ) + (BLg ) q b−1 b b−1  (2.17) Suy b −bt ku(t)k e Đặt ∗ χ =3 b Γ[a(α − 1) + 1] a ≤ e kυk + Γa (α)aa(α−1) Z t  b b e−bs ku(s)kb ds × (kCk + ALf ) + (BLg ) q b−1 b−1 −bt  b b−1 Γ[a(α − 1) + 1] Γa (α)aa(α−1) Từ điều kiện (2.17), ta có b −bt ku(t)k e ≤3  b−1 −bt e    b b b (kCk + ALf ) + (BLg ) a q b kυk + χ ∗ Z t e−bs ku(s)kb ds Áp dụng bt ng thc Grăonwall, ta cú Z t b −bt b−1 −bt b ku(t)k e ≤ e kυk + χ∗ 3b−1 e−bt e−bs ku(s)kb eχ (t−s) ds = b3 b−1 −bt e b−1 ∗ χ∗ t +3 χ e b + χ∗ b kυk Suy ku(t)k ≤ s b (2.18) b3b−1 + 3b−1 χ∗ e(χb )t kυk b + χ∗ ∗ (2.19) (2.20) 24 Từ suy kυk < r1 điều kiện (H4) thỏa mãn ku(t)k < r2 Vậy hệ (2.2) ổn định thời gian hữu hạn Định lý chứng minh Nhận xét 2.1 Trong [2], L.P Chen cộng nghiên cứu tính ổn định thời gian hữu hạn cho mạng nơ ron phân thứ có trễ số ma trận hệ số không phụ thuộc thời gian R Wu cộng [23] đưa tiêu chuẩn ổn định thời gian hữu hạn cho mạng nơ ron phân thứ có trễ số các ma trận mạng nơ ron phụ thuộc thời gian Các mơ hình nghiên cứu [2, 23] chưa đề cập tới trễ tỉ lệ mơ hình mạng nơ ron Ngồi ra, cách tiếp cận cơng trình khơng phù hợp để nghiên cứu tính ổn định thời gian hữu hạn cho mạng nơ ron phân thứ có trễ tỉ lệ Định lý 2.1 Định lý 2.2 đưa điều kiện đủ cho tính ổn định thời gian hữu hạn cho mạng nơ ron phân thứ với độ trễ tỉ lệ với

bậc phân thứ α thỏa mãn α ∈ 12 , , α ∈ 0, 12 Nhận xét 2.2 Khác với trễ số trễ biến thiên bị chặn, trễ tỉ lệ khơng bị chặn Ngồi ra, trễ tỉ lệ trễ phân phối không bị chặn hai loại phân biệt Thông thường trễ phân phối không bị chặn yêu cầu hàm hạch kij : R → R R +∞ R +∞ thỏa mãn kij (s)ds = 1, skij (s)ds < ∞, i.j = 1, 2, , n trễ tỉ lệ khơng có buộc Điều làm cho trễ tỉ lệ khác biệt khó xử lý so với trễ phân phối không bị chặn Tiếp theo, chúng tơi trình bày hai ví dụ để minh họa cho kết lý thuyết 25 Ví dụ 2.1 Xét mạng nơ ron phân thứ với độ trễ tỉ lệ  2 P P   α  D x (t) = −c x (t) + a (t)f (x (t)) + b1j (t)gj (qj t) + I1 (t), 1 1j j j      Dα x2 (t) = −c2 x2 (t) + j=1 P a2j (t)fj (xj (t)) + j=1 j=1 P b2j (t)gj (qj t) + I2 (t), j=1 (2.21) t > 1, f1 (u) = f2 (u) = g1 (u) = g2 (u) = 0, (|u + 1| − |u − 1|) , α = 0, 6, c1 = 0, 2, c2 = 0, 3, a11 (t) = 0, sin t, a12 (t) = 0, sin t, a21 (t) = 0, cos t, a22 (t) = 0, cos t, b11 (t) = 0, sin t, b12 (t) = 0, cos t, b21 (t) = 0, cos t, b22 (t) = 0, cos t, I1 (t) = 0, sin t, I2 (t) = 0, sin t, q1 = 0, 2, q2 = 0, Bằng tính tốn trực tiếp, ta tính Lf = Lg = 1, kCk = 0, 3, A = 0, 5, B = 0, 5, χ = 5, 5470 Cho r1 = 0, 1, r2 = 1, ta thấy điều kiện 6+3χe(χ+2)t χ+2 < r2 r1 với T = 0, 7024 Vậy điều kiện Định lý 2.1 thỏa mãn Do hệ (2.21) ốn định thời gian hữu hạn tương ứng với (0, 1; 1; 0, 7024) Ví dụ 2.2 Xét mạng nơ ron phân thứ với độ trễ tỉ lệ  2 P P   α  a1j (t)fj (xj (t)) + b1j (t)gj (qj t) + I1 (t),  D x1 (t) = −c1 x1 (t) +     Dα x2 (t) = −c2 x2 (t) + j=1 P a2j (t)fj (xj (t)) + j=1 j=1 P j=1 b2j (t)gj (qj t) + I2 (t), (2.22) t > 1, f1 (u) = f2 (u) = g1 (u) = g2 (u) = u, α = 0, 3, c1 = 0, 1, c2 = 0, 2, a11 (t) = 0, 2| sin 2t|, a12 (t) = 0, 1| sin 2t|, a21 (t) = 0, 4| cos 2t|, a22 (t) = 0, 1| cos 2t|, b11 (t) = 0, 3| sin 2t|, b12 (t) = 0, 5| cos 2t|, b21 (t) = 0, 3| cos 2t|, b22 (t)− 0, 6| cos 2t|, I1 (t) = 0, sin2 t, I2 (t) = 0, cos2 t, q1 = 0, 4, q2 = 0, Cho r1 = q b−1 b−1 ∗ (χ∗ +b)t 0, 2, r2 = 1, 5, ta thấy điều kiện b b3 +3 b+χχ∗ e < rr12 với T = 0, 5477 Vậy điều kiện Định lý 2.2 thỏa mãn Do hệ (2.22) ốn định thời gian hữu hạn tương ứng với (0, 2; 1, 5; 0, 5477) 26 2.2 Tính ổn định thời gian hữu hạn mạng nơ ron phân thứ với độ trễ tỉ lệ cấp phân thứ α ∈ (1, 2) Mục trình bày hai tiêu chuẩn cho tính ổn định thời gian hữu hạn cho mạng nơ ron phân thứ có trễ tỉ lệ với bậc phân thứ α ∈ (1, 2) Nội dung chương viết dựa báo Z Yang cộng [28] Xét mạng nơ ron phân thứ với độ trễ tỉ lệ sau cấp phân thứ α ∈ (1, 2) sau α D xi (t) = −di xi (t) + n X sij fj (xj (t)) + j=1 n X j=1 rij gj (xj (qt)) + Ii , i = 1, , n, t ≥ 1, (2.23) α ∈ (1, 2) cấp phân thứ mạng nơ ron, xi (t) trạng thái nơ ron thứ i thời điểm t; di tham số tự điều chỉnh (the self-regulating parameter) mạng nơ ron; sij rij trọng số kết nối nơ ron thứ i nơ ron thứ j thời điểm t thời điểm trễ tương ứng; hệ số trễ tỉ lệ q thỏa mãn < q < 1; fj (.) gj () hàm kích hoạt mạng nơ ron; Ii đầu vào bên nơ ron thứ i Dạng ma trận hệ (2.23) cho Dα x(t) = −Dx(t) + SF (x(t)) + RG(x(qt)) + I (2.24) Ta cần giả thiết nghiên cứu tính ổn định thời gian hữu hạn mạng nơ ron phân thứ với độ trễ tỉ lệ (2.23) Giả thiết 2.2 Các hàm fj (.), gj (.), (j = 1, , n) thỏa mãn điều kiện Lipschitz sau |fj (x) − fj (y)| ≤ ξ|x − y|, |gj (x) − gj (y)| ≤ η|x − y|, ∀x, y ∈ R, ξ, η số dương 27 Giả sử x(t) y(t) hai nghiệm ứng với hai điều kiện khác hệ (2.24) Đặt z(t) = x(t) − y(t) Ta giả thiết z(t) thỏa mãn điều kiện z(t) = ϕ(t), t ∈ [q, 1], (2.25) z ′ (t) = ψ(t), t ∈ [q, 1], (2.26) ϕ(.), ψ(.) ∈ C([q, 1], Rn ) Định nghĩa 2.2 Cho số dương δ, ǫ(δ < ǫ) số dương T Hệ (2.24) ổn định thời gian hữu hạn ứng với (δ, ǫ, T ) max{kϕk, kψk} < δ kz(t)k < ǫ, ∀t ∈ [1, T ] Để thuận tiện cho việc trình bày tiếp theo, ta ký hiệu ! n X |sij | , d∗ = max (|di |) , s∗ = max 1≤i≤n r∗ = max 1≤j≤n 1≤j≤n n X i=1 i=1 ! |rij | , λ1 = d∗ + ξs∗ , λ2 = ηr∗ Định lý 2.3 [28] Cho α ∈ (1, 2), số dương δ, ǫ(δ < ǫ) số dương T Hệ (2.24) ổn định thời gian hữu hạn ứng với (δ, ǫ, T ) max{kϕk, kψk} < δ √ M1 = 3(1 + t)eM1 (t−1) 2α ǫ < , ∀t ∈ [1, T ], δ (2.27) 3(λ21 +λ22 ) 2Γ2 (α)(2α−1) Chứng minh Cho x(t) y(t) hai nghiệm hệ (2.23) với điều kiện ban đầu khác Đặt z(t) = x(t) − y(t) Giả sử z(t) thỏa mãn điều kiện (2.25) (2.26) Khi α D zi (t) = −di zi (t) + n X j=1 sij [fj (xj (t)) − fj (yj (t))] + n X j=1 rij [gj (xj (qt)) − gj (yj (qt))] 28 Áp dụng Định lý 1.5, ta thu đánh giá  Z t α−1 zi (t) = ϕi (1) + ψi (1)t + − di zi (τ ) (t − τ ) Γ(α)  n n X X rij [gj (xj (qτ )) − gj (yj (qτ ))] dτ sij [fj (xj (τ )) − fj (yj (τ ))] + + j=1 j=1 Từ Giả thiết 2.2, ta thu ước lượng sau Z t |zi (t)| ≤ |ϕi (1)| + |ψi (1)|t + (t − τ )α−1 Γ(α) ! n n X X × |di ||zi (t)| + ξ|sij ||zj (τ )| + η|rij ||zj (qτ )| dτ j=1 j=1 Suy kz(t)k = n X i=1 |zi (t)| ≤ kϕ(1)k + kψ(1)kt + Γ(α) Z t (t − τ )α−1 (2.28) × [d∗ kz(τ )k + ξs∗ kz(τ )k + ηr∗ kz(qτ )k] dτ Z t ≤ (1 + t)δ + (t − τ )α−1 (λ1 kz(τ )k + λ2 kz(qτ )k) dτ Γ(α) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta thu 2  2(α−1) (t − τ ) dτ kz(t)k ≤ (1 + t)δ + Γ(α) Z t (λ1 kz(τ )k + λ2 kz(qτ )k)  21 Sử dụng bất đẳng thức Minkowski vài tính tốn đơn giản, ta thu (t − 1)α− √ kz(t)k ≤ (1 + t)δ + Γ(α) 2α − " Z  21  21 # Z t t kz(τ )k2 dτ kz(qτ )k2 dτ + λ2 × λ1 1 29 Áp dụng Bổ đề 1.2, ta thu 3(t − 1)2α−1 kz(t)k2 ≤ 3δ (1 + t)2 + Γ (α)(2α − 1)   Z t Z t 2 2 kz(qτ )k dτ kz(τ )k dτ + λ2 × λ1 2α−1 3(t − 1) = 3δ (1 + t) + Γ (α)(2α − 1)  Z t   2 2 λ1 kz(τ )k + λ2 kz(qτ )k dτ × 2 (2.29) Đặt ω(t) = kz(t)k2 , a(t) = 3[(1 + t)δ]2 , b(t) = 3(t−1)2α−1 Γ2 (α)(2α−1) , d(t) = λ21 , u(t) = λ22 , υ(t) = kϕk2 Dễ thấy, a(t), b(t) υ(t) hàm không giảm a(1) ≥ υ(1) Khi bất đẳng thức (2.29) trở thành Z t ω(t) ≤ a(t) + b(t) [d(τ )ω(τ ) + u(τ )ω(qτ )]dτ (2.30) Áp dụng Bổ đề 1.5, ta thu ω(t) ≤ a(t)eb(t) Rt (d(τ )+u(τ ))dτ Suy kz(t)k ≤ M1 = 3(λ21 +λ22 ) 2Γ2 (α)(2α−1) √ 2α 3δ(1 + t)eM1 (t−1) , Bất đẳng thức kết hợp với điều kiện (2.27) suy kz(t)k < ǫ, ∀t ∈ [1, T ] Do hệ cho ổn định thời gian hữu hạn Nhận xét 2.3 Với bậc phân thứ α ∈ (1, 2) có nhiều tác giả nghiên cứu toán ổn định thời gian hữu hạn cho số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ với trễ bị chặn [3, 17, 25] Phương pháp sử dụng cơng trình sử dụng bất đẳng thức tích phân Gronwall mở rộng khơng bao gồm trễ Ngồi ra, tất điều kiện cơng trình chứa hàm Mittag-Leffler Định lý 2.3 đưa điều kiện đủ cho tính ổn định 30 thời gian hữu hạn cho mạng nơ ron phân thứ với độ trễ tỉ lệ bậc phân thứ α ∈ (1, 2) cách sử dụng bất đẳng thức Gronwall (Bổ đề 1.5) Hơn nữa, điều kiện Định lý 2.3 biểu diễn dạng bất đẳng thức đại số khơng phụ thuộc hàm Mittag-Leffler Vì điều kiện hiệu dễ áp dụng tính tốn thực tế Tiếp theo, chúng tơi trình bày ví dụ để minh họa cho Định lý 2.3 Ví dụ 2.3 Xét mạng nơ ron phân thứ (2.24) với tham số α = 0, 95, x(t) = T (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) , D = diag{0, 015; 0, 025; 0, 01}, q = 0, 5,    −0, 02 −0, 05 −0, 01    , S= −0, 021 −0, 024 −0, 035     −0, 027 −0, 031 −0, 03    −0, 03 −0, 045 −0, 015    R= −0, 012 −0, 02 −0, 05    −0, 02 −0, 013 −0, 02 Các hàm kích hoạt chọn sau T F (x(t)) = (cos x1 (t), cos x2 (t), cos x3 (t)) , T G(x(qt)) = (tanh x1 (qt), x2 (qt), x3 (qt)) , I = (0, 01; 0, 01; 0, 02)T Bằng số tính tốn đơn giản, ta lấy ξ = η = Với t ∈ [0, 5; 1], ta chọn x(t) = (−3, 246 + 0, 15t; 2, 108 − 0, 21t; −1, 354 − 0, 2t)T , x′ (t) = (0, 15; −0, 21; −0, 2)T , y(t) = (−3, 146 + 0, 135t; 2, 158 − 0, 2t, −1, 363 − 0, 23t)T , y ′ (t) = (0, 135; −0, 2; −0, 23)T 31 Từ tham số trên, ta tính λ1 = 0, 13, λ2 = 0, 085 M1 = 0, 013 Cho δ = 0, 2, ǫ = T = 1, 8655 Ta kiểm tra điều kiện Định lý 2.3 thỏa mãn Vậy hệ cho ổn định thời gian hữu hạn ứng với (0, 2; 1; 1, 8655) 32 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo; • Trình bày hai tiêu chuẩn cho tính ổn định thời gian hữu hạn cho mạng nơ ron phân thứ có trễ tỉ lệ với bậc phân thứ α thỏa mãn

α ∈ 12 , , α ∈ 0, 21 ; • Trình bày tiêu chuẩn cho tính ổn định thời gian hữu hạn cho mạng nơ ron phân thứ có trễ tỉ lệ với bậc phân thứ α ∈ (1, 2), • Trình bày 03 ví dụ số để minh họa cho kết lý thuyết 33 Tài liệu tham khảo [1] S Boyd, L El Ghaoui, E Feron and V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [2] L.P Chen, C Liu, R.C Wu, Y.G He, and Y Chai (2016), “Finite-time stability criteria for a class of fractional-order neural networks with delay”, Neural Comput Appl., 27, pp 549–556 [3] C Chen, S Zhu, Y Wei, and C Chen (2020), “Finite-time stability of delayed memristorbased fractional-order neural networks”, IEEE Trans Cybern., 50(4), 1607–1616 [4] C Corduneanu (1971), Principles of differential and integral equations, Allyn and Bacon, Boston, MA [5] N Cui, H.J Jiang, C Hu, and A Abdurahman (2018), “Global asymptotic and robust stability of inertial neural networks with proportional delays”, Neurocomputing, 272, pp 326–333 [6] Z Ding, Z Zeng, H Zhang and L Wang (2019), “New results on passivity of fractional-order uncertain neural networks”, Neurocomputing, 351, pp 51–59 [7] M.A Duarte-Mermoud, N Aguila-Camacho, J.A Gallegos and R CastroLinares (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lya- 34 punov uniform stability for fractional order systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), pp 650–659 [8] T Kaczorek (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer [9] A.A Kilbas, H.M Srivastava and J.J Trujillo (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer [10] M Kuczma (2009), An introduction to the theory of functional equations and inequalities: Cauchy’s equation and Jensen’s inequalitie, Birkhauser, Basel [11] Y Li, Y.Q Chen and I Podlubny (2010), “Stability of fractional-order nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized Mittag-Leffler stability”, Computers & Mathematics with Applications, 59, pp 1810–1821 [12] Y.J Ma, B.W Wu and Y.E Wang (2015), “Finite-time stability and finitetime boundedness of fractional order linear systems”, Neurocomputing, 173, pp 2076–2082 [13] X Peng and H Wu (2020), “Non-fragile robust fnite-time stabilization and H∞ performance analysis for fractional-order delayed neural networks with discontinuous activations under the asynchronous switching”, Neural Comput Appl., 32, pp 4045–4071 [14] I Podlubny (1999), Fractional differential equations, Academic, New York [15] A Pratap, R Raja, J Cao, C.P Lim and O Bagdasar (2019), “Stability and pinning synchronization analysis of fractional order delayed Cohen- 35 Grossberg neural networks with discontinuous activations”, Appl Math Comput 359, pp 241–260 [16] R Rakkiyappan, J Cao and G Velmurugan (2015), “Existence and uniform stability analysis of fractional-order complex-valued neural networks with time delays”, IEEE Trans Neural Netw Learn Syst., 26(1), pp 84– 97 [17] R Rakkiyappan, G Velmurugan, and J Cao (2014), “Finite-time stability analysis of fractional-order complex-valued memristor-based neural networks with time delays”, Nonlinear Dyn., 78, pp 2823–2836 [18] N.H Sau, M.V Thuan and N.T.T Huyen (2020), “Passivity analysis of fractional-order neural networks with time-varying delay based on LMI approach”, Circuits, Systems, and Signal Processing, 39, pp 5906–5925 [19] Q.K Song, Q.Q Yu, Z.J Zhao, Y.R Liu, and F.E Alsaadi (2018), “Dynamics of complex-valued neural networks with variable coefficients and proportional delays”, Neurocomputing, 275, pp 2762–2768 [20] M.V Thuan and D.C Huong (2019), “Robust guaranteed cost control for time-delay fractional-order neural networks systems”, Optim Control Appl Meth., 40, pp 613–625 [21] M.V Thuan, T.N Binh and D.C Huong (2020), “Finite-time guaranteed cost control of Caputo fractional-order neural networks”, Asian J Control, 22(2), pp 696–705 [22] M.V Thuan, N.H Sau and N.T.T Huyen (2020), “Finite-time H∞ control of uncertain fractional-order neural networks”, Computational and Applied Mathematics, 39(59), pp 1-18 36 [23] R Wu, Y Lu and L Chen (2015), “Finite-time stability of fractional delayed neural networks”, Neurocomputing, 149, pp 700–707 [24] C.J Xu, and P.L Li (2017), “New stability criteria for high-order neural networks with proportional delays”, Communications in Theoretical Physics, 67 (3), p 235 [25] C.J Xu, P.L Li, and Y.C Pang (2017), “Finite-time stability for fractional-order bidirectional associative memory neural networks with time delays”, Commun Theor Phys., 67, pp 137–142 [26] C Xu, and P Li (2019), “On finite-time stability for fractional-order neural networks with proportional delays”, Neural Processing Letters, 50(2), pp 1241–1256 [27] X Yang, Q Song, Y Liu and Z, Zhao (2015), “Finite-time stability analysis of fractional-order neural networks with delay”, Neurocomputing, 152, pp 19–26 [28] Z Yang, J Zhang, J Hu, and J Mei (2021), “New results on finite-time stability for fractional-order neural networks with proportional delay”, Neurocomputing, 442, pp 327–336 [29] S Zhang, Y Yu and J Yu (2017), “LMI conditions for global stability of fractional-order neural networks”, IEEE Trans Neural Netw Learn Syst., 28(10), pp 2423–2433 [30] L Zhou (2015), “Novel global exponential stability criteria for hybrid BAM neural networks with proportional delays”, Neurocomputing, 161, pp 99– 106