Về tính thụ động của mạng nơ ron phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ THỊ QUỲNH NGỌC VỀ TÍNH THỤ ĐỘNG CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số :8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Hữu Sáu THÁI NGUYÊN - 2020 Mưc lưc Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Gi£i t‰ch ph¥n thø 7 1.1.1 T‰ch ph¥n ph¥n thø 1.1.2 ⁄o h m ph¥n thø 1.2 Ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov cho h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø 12 1.3 B i toĂn nghiản cứu tnh thử ng cho hằ phữỡng trnh mng nỡ ron thn kinh vợi bc nguyản 1.4 Mºt sŁ bŒ • bŒ trỉ 15 20 Ch÷ìng T‰nh thư ºng cıa h» ph÷ìng tr…nh m⁄ng nì ron ph¥n thø 21 2.1 T‰nh thư ºng ca hằ phữỡng trnh mng nỡ ron phƠn thứ 21 2.2 Mºt v‰ dö minh håa 26 Ch÷ìng T‰nh thư ºng cıa hằ phữỡng trnh mng nỡ ron phƠn thứ cõ tr 28 3.1 Ph¡t bi”u b i to¡n 28 3.2 T‰nh thư ºng cıa h» ph÷ìng tr…nh m⁄ng nì ron ph¥n thø câ tr„ 30 L˝I N´I U Mỉ h…nh m⁄ng nì ron mỉ t£ bi hằ phữỡng trnh vi phƠn vợi o h m bc nguyản ữổc nghiản cứu u tiản bi L.O Chua v L Yang v o n«m 1988 [7, 8] Mỉ hnh n y  nhn ữổc sỹ quan tƠm nghiản cứu ca nhiãu nh khoa hồc nhng nôm gn ¥y nhœng øng dưng rºng lỵn cıa nâ xò l tn hiằu, xò l hnh Ênh, ti ữu hõa v cĂc lắnh vỹc khĂc [8, 17] Nôm 2008, mºt nghi¶n cøu cıa m…nh, A Boroomand v M.B Menhaj [3] lƒn ƒu ti¶n mỉ h…nh hâa m⁄ng nì ron bi hằ phữỡng trnh vi phƠn phƠn thứ (Caputo ho°c Riemann Liouville) So vỵi m⁄ng nì ron mỉ t£ bi hằ phữỡng trnh vi phƠn vợi o h m bc nguyản, mng nỡ ron mổ tÊ bi hằ phữỡng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø (Caputo ho°c Riemann Liouville) câ th” mỉ t£ c¡c °c t‰nh v t‰nh ch§t cıa m⁄ng nì ron mºt c¡ch ch‰nh x¡c hìn [3, 17] Do õ hằ phữỡng trnh mng nỡ ron phƠn thứ  nhn ữổc sỹ quan tƠm nghiản cứu ca nhiãu nh khoa håc Nhi•u k‚t qu£ hay v thó vã hằ phữỡng trnh mng nỡ ron phƠn thứ  ữổc cổng b nhng nôm gn Ơy Nhữ ¢ bi‚t, t‰nh thư ºng l mºt nhœng t‰nh ch§t cì b£n v quan trång cıa måi h» ng lỹc v hằ phữỡng trnh vi phƠn phƠn thứ cơng khỉng l ngo⁄i l» B i to¡n nghi¶n cøu t‰nh thư ºng cıa mºt sŁ lỵp h» nì ron thn kinh vợi bc nguyản  nhn ữổc sỹ quan tƠm nghiản cứu ca nhiãu nh khoa hồc v  câ mºt sŁ k‚t qu£ thó v s¥u s›c ÷ỉc cỉng bŁ tr¶n c¡c t⁄p ch‰ quŁc t‚ câ uy tn nhng nôm gn Ơy [13, 18, 20] Gn Ơy, Z Ding cĂc cng sỹ [9] nghiản cøu t‰nh thư ºng cıa mºt lỵp h» nì ron thn kinh phƠn thứ Bng cĂch tip cn sò dửng phữỡng phĂp h m Lyapunov cho hằ phƠn thứ v b§t flng thøc ma tr“n tuy‚n t‰nh, c¡c t¡c gi£ [9] ữa mt v i tiảu chu'n cho t‰nh thư ºng cho lỵp h» nì ron thƒn kinh phƠn thứ Lun vôn trung trnh b y t‰nh thư ºng cho h» ph÷ìng tr…nh m⁄ng nì ron phƠn thứ dỹa trản cỡ s ồc hiu v tng hổp cĂc b i bĂo  ữổc cổng b nhng nôm gn Ơy (xem [6, 9]) Ngo i ra, chúng tổi ữa mt s tiảu chu'n mợi cho tnh thử ng ca lợp hằ phữỡng trnh mng nỡ ron phƠn thứ Caputo cõ tr bin thiản Lun vôn gỗm cõ chữỡng gỗm nhng ni dung ch nh nh÷ sau: Trong ch÷ìng 1, chóng tỉi tr…nh b y mt s khĂi niằm vã giÊi tch phƠn thứ nhữ t‰ch ph¥n v ⁄o h m ph¥n thø Riemann Liouville, t‰ch ph¥n v ⁄o h m ph¥n thø Caputo B i to¡n nghi¶n cøu t‰nh thư ºng cho mºt sŁ lợp hằ phữỡng trnh mng nỡ ron cõ tr vợi bc nguyản cụng ữổc chúng tổi giợi thiằu chữỡng n y CuŁi ch÷ìng, chóng tỉi tr…nh b y mºt s b ã b trổ Ni dung chnh ca chữỡng n y ÷ỉc tham kh£o chı y‚u tł c¡c t i li»u [10, 11, 12, 14, 19] Trong ch÷ìng cıa lu“n v«n, chóng tỉi tr…nh b y mºt sŁ i•u ki»n ı cho t ‰nh thư ºng cıa h» phữỡng trnh mng nỡ ron phƠn thứ Ni dung chnh cıa ch÷ìng n y ÷ỉc tham kh£o chı y‚u tł t i li»u [9] Ngo i ra, chóng tỉi cơng ÷a mºt v‰ dö minh håa cho k‚t qu£ lỵ thuyt Chữỡng l kt quÊ mợi ca lun vôn Trong chữỡng n y, chúng tổi ữa mt sŁ ti¶u chu'n cho t‰nh Œn ành ti»m c“n v tnh thử ng cho lợp hằ phữỡng trnh mng nỡ ron phƠn thứ Caputo cõ tr bin thiản iãu kiằn ÷ỉc ÷a ch÷ìng n y khỉng nhœng mð rng cĂc kt quÊ Â cõ m cặn t bÊo th hỡn cĂc kt quÊ Â cõ Lun vôn n y ÷ỉc thüc hi»n t⁄i tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n v ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca TS Mai Vit Thun v TS Nguy„n Hœu S¡u Tỉi xin ÷ỉc b y tä lặng bit ỡn chƠn th nh v sƠu sc tợi th hữợng dÔn khoa hồc ca mnh Nhng ngữới  t vĐn ã nghiản cứu, d nh nhiãu thới gian hữợng dÔn, tn tnh du dt v ch bÊo tỉi suŁt qu¡ tr…nh thüc hi»n • t i lun vôn n y Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn Ban gi¡m hi»u tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n, Ban chı nhi»m khoa To¡n Tin cịng cĂc giÊng viản  tham gia giÊng dy,  to mồi iãu kiằn tt nhĐt tổi hồc v nghiản cứu ỗng thới tổi xin gòi lới cÊm ỡn tợi gia nh thƠn yảu, cÊm ỡn nhng ngữới bn thƠn thit  chôm sõc ng viản khch lằ tỉi suŁt qu¡ tr…nh nghi¶n cøu Sau cịng tỉi xin knh chúc to n th quỵ thy cổ trữớng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n th“t dỗi d o sức khọe, niãm tin tip tửc thỹc hiằn sứ mằnh cao àp ca mnh l truyãn ⁄t tri thøc cho th‚ h» mai sau Xin ch¥n th nh cÊm ỡn Danh mửc kỵ hi»u R n khỉng gian vec tì thüc Euclide n chi•u ma tr“n chuy”n cıa ma tr“n A A> I (A) ma tr“n ìn t“p hỉp t§t c£ gi¡ trà ri¶ng cıa ma tr“n A max(A) = maxfRe : (A)g min(A) = minfRe : (A)g kAk chu'n phŒ cıa ma tr“n A; kAk = A max(A tøc l > Rn A) h Ax; x i 0; 82 A B ma tr“n A nßa x¡c ành dữỡng, nghắa l A B A>0 ma trn A xĂc nh dữỡng, tức l LM Is kxk bĐt flng thøc ma tr“n tuy‚n t‰nh (Linear matrix inequalities) Rn > n m khỉng gian c¡c h m li¶n tưc tr¶n[a; b] nh“n gi¡ trà R khæng gian c¡c h m liản tửc tuyằt i cĐp m trản[a; b] toĂn tò tch phƠn phƠn thứ Riemann - Liouville cĐp t0 It RLD t t0 t x) E n khæng gian c¡c ma tr“n thüc cï (n r) r AC [a; b] t0 n hAx; xi > 0; 8x R ; x 6= chu'n Euclide cıa v†c tì x = (x1; x2; :::; xn) R C([a; b]; R ) CD p x toĂn tò o h m phƠn thứ Riemann - Liouville cĐp toĂn tò o h m phƠn thứ Caputo cĐp h m Gamma h m Mittag-Leffler hai tham s ; de s nguyản nhọ nhĐt lợn hìn ho°c b‹ng 2l L = diagfl1; l2; l3g 0 L = l2 0 l3 n Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà Trong ch÷ìng n y, chóng tỉi tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m v k‚t qu£ v• t‰nh Œn ành v n nh hõa ca cĂc hằ phữỡng trnh vi phƠn thữớng v hằ phữỡng trnh vi phƠn cõ tr Chúng tỉi cơng tr…nh b y mºt sŁ k‚t qu£ bŒ trổ s ữổc sò dửng chứng minh cĂc kt quÊ chnh ca lun vôn cho cĂc chữỡng sau Kin thức sò dửng chữỡng n y ữổc tham khÊo ð [10, 11, 12] 1.1 Gi£i t‰ch ph¥n thø 1.1.1 T‰ch ph¥n ph¥n thø Trong mưc n y, chóng tỉi trnh b y sỡ lữổc vã khĂi niằm tch phƠn ph¥n thø Kh¡i ni»m t‰ch ph¥n ph¥n thø l mºt m rng tỹ nhiản ca khĂi niằm tch phƠn lp thổng thữớng nh nghắa 1.1 ([12]) Cho > v [a; b] R, tch phƠn phƠn thứ RiemannLiouville cĐp ca h m x : [a; b]! R ÷ỉc cho bði t0 It x(t) := Z t (t s) ) t0 t (a; b]; x(s)ds; +1 â :) l h m Gamma x¡c ành bði )= R t t e dt; > 0: Trong ành nghắa 1.1 = 0, quy ữợc t0 It := I vợi I l toĂn tò ỗng nhĐt Sỹ tỗn ti ca tch phƠn phƠn thứ Riemann Liouville cĐp vợi < < ữổc cho bi nh lỵ sau nh lỵ 1.1 ([12]) GiÊ sò x : [a; b]! R l mºt h m kh£ t‰ch tr¶n [a; b] Khi â, t‰ch ph¥n t0 It x(t) tỗn ti vợi hu ht t [a; b] Hỡn nœa, t0 It x công l mºt h m kh£ t‰ch V‰ dư sau ¥y cho ta t‰ch ph¥n ph¥n thø cıa mºt sŁ h m cì b£n V‰ dư 1.1 ([12]) (i) Cho x(t) = (t a) , ð ¥y > v t0 It t > a Vỵi b§t k… > 0, chóng ta câ + 1) (t a) + ; t > a: x(t) = + +1) t (ii) Cho x(t) = e ; > Vỵi b§t k… > 0, chóng ta câ +1 ( t) +j ; t > 0: Xj t0 It x(t) = =0 1.1.2 + j + 1) ⁄o h m ph¥n thø Möc n y tr…nh b y mºt c¡ch ng›n gån v• ⁄o h m Riemann Liouville v ⁄o h m Caputo Ơy l hai loi o h m ữổc sò dửng rng rÂi nhiãu lắnh vỹc nh nghắa 1.2 ([12]) Cho trữợc mt s thỹc dữỡng v mt kho£ng [a; b] R ⁄o h m ph¥n thø Riemann Liouville c§p cıa h m x : [a; b]! R ÷æc cho bði t RL Dt x(t) := dn dt t0 It n x(t) = n dn n ) dtn Z t (t s)n x(s)ds; t0 n â n := d e l sŁ nguy¶n nhä nhĐt lợn hỡn hoc bng v d dt n l o h m thổng thữớng cĐp n V dử 1.2 Cho h m bữợc ỡn v (unit-step function) > 1; n‚u t f(t) = < > 0; n‚u t < 0: : Bng cĂch sò dửng nh nghắa 1.2, ta t‰nh ⁄o h m ph¥n thø Riemann Liouville c§p cıa h m f(t) l RL D f(t) = 0t t ) : Trữợc trnh b y iãu kiằn cho sỹ tỗn ti ca o h m ph¥n thø Riemann Liouville, chóng tỉi nh›c l⁄i mºt sŁ k‚t qu£ sau Cho [a; b] l mºt kho£ng hœu h⁄n R: AC[a; b] l khæng gian c¡c h m tuy»t Łi li¶n tưc tr¶n [a; b]: Kolmogorov v Fomin  ch mi liản hằ gia cĂc h m tuy»t Łi li¶n tưc v c¡c h m kh£ t‰ch Lebesgue nh÷ sau: Zt f(t) AC[a; b] , f(t) = c + ’(s)ds (’(s) L(a; b)); a â mºt h m tuy»t tr¶n [a; b]: Łi li¶n tưc f(t) câ ⁄o h m f (t) = ’(t) hƒu kh›p nìi n Vỵi n N; ta nh nghắa lợp h m AC [a; b] nhữ sau: n AC [a ; b] = ff : [a ; b]! R; (D g: D = dt d n f)(t) AC[a ; b] n M»nh • sau ¥y cho ta mºt sŁ °c t‰nh cıa lỵp h m AC [a; b] n M»nh • 1.1 ([12]) Khỉng gian AC [a; b] chøa t§t c£ c¡c h m f(t) câ d⁄ng nh÷ sau: n 1X f(t) = t I ’(t) + t k k ck(t t0) ; =0 â ’(t) L(a; b); ck(k = 0; 1; : : : ; n 1) l c¡c h‹ng s tũy ỵ v n1 Z t s) (s)ds: t0 It ’(t) = t0 (t (n 1)! Ngo i ra, t cĂc iãu kiằn trản ta cõ (n) = ’(s) = f (s); ck (k) f (t0) (k = 0; 1; : : : ; n 1): k! ành lỵ sau Ơy cho ta mt tiảu chu'n cho sỹ tỗn ti ca o h m phƠn thứ Riemann Liouville n nh lỵ 1.2 ([12]) Cho h m phƠn thứ RL D f(t) t0 0; n = d e: N‚u f(t) AC [a; b]; õ o tỗn ti hu khp nỡi trản [a; b] v cõ th ữổc biu t din dữợi dng sau n RL t 0Dt k=0 f(t) = X K‚t qu£ sau ¥y + f (k)(t0) k t (t t0)k + ) ÷ỉc suy trỹc tip t n ) nh lỵ 1.2 Z t0 (t s) n+ (n) f (s)ds : ch†o ch‰nh, x¡c ành d÷ìng, tøc l > 0; (i = 1; : : : ; n), W; D R n n n T mºt n v†c n hm ma tr“n h‹ng sŁ, u(t) R l v†c tì ƒu v o (input vector), y(t) R l tì ƒu (output vector); g(x(t)) = (g1(x1(:)); : : : ; gn(xn(:))) l 2R l 29 n k‰ch ho⁄t cıa m⁄ng nì ron, (t) C([a; b]R ) l iãu kiằn ban u nghiản cứu t nh thử ºng cıa h» (3.1) ta cƒn c¡c gi£ thi‚t sau ¥y: Gi£ thi‚t 3.1 A(t) = E1F1(t)H1; W (t) = E2F2(t)H2; D(t) = E3F3(t)H3, â E1; E2; E3; H1; H2; H3 l cĂc ma trn hng s cho trữợc câ sŁ chi•u th‰ch hỉp, F1(t); F2(t); F3(t) l c¡c ma trn h m s khổng bit thọa mÂn iãu kiằn dữợi Ơy T T T F1 (t)F1(t) I; F2 (t)F2(t) I; F3 (t)F3(t) I: Gi£ thi‚t 3.2 C¡c h m k‰ch ho⁄t gj(:); j = 1; 2; : : : ; n l c¡c h m bà ch°n v tỗn ti cĂc hng s kj > cho vỵi måi x1; x2 R; x1 6= x2, iãu kiằn sau Ơy ữổc thọa mÂn gj(x1) x1 Gi£ thi‚t 3.3 º tr„ (t) l gj(x2) kj; gj(0) = 0; 8j = 1; 2; : : : ; n: x2 h m liản tửc thọa mÂn iãu kiằn dữợi Ơy õ l (3.2) (t) ; (3.3) mt hng s dữỡng cho trữợc nh nghắa 3.1 Hằ (3.1) ÷ỉc gåi l thư ºng (passive) n‚u: (i) H» (3.1) khỉng câ v†c tì ƒu v o u(t) v vc tỡ u y(t), tức l hằ dữợi ¥y Dt x(t) = [A + A(t)]x(t) + [W + W (t)]g(x(t)) > +[D + D(t)]g(x(t > (3.4) (t))); t 0; > > < > > > > : x(t) = (t); t [ ; 0]; Œn ành tiằm cn (ii) Vợi iãu kiằn ban u bng 0, tức l (t) 0; 8t [ ; 0], tỗn t⁄i mºt sŁ > cho b§t flng thøc dữợi Ơy ữổc thọa mÂn Zt T y (s)u(s)ds Zt T u (s)u(s)ds; 8t > 0: Trong c¡c mưc ti‚p theo, chóng tỉi tr…nh b y mºt i•u ki»n ı cho t‰nh thư ºng cıa h» (3.1) 30 3.2 T‰nh thư ºng cıa h» ph÷ìng tr…nh mng nỡ ron phƠn thứ cõ tr Trữợc ht, chúng tổi ữa mt iãu kiằn cho tnh n ành ti»m c“n cıa h» (3.1) khæng câ v†c tì ƒu v o u(t) v v†c tì ƒu y(t) nh lỵ 3.1 GiÊ sò cĂc GiÊ thit 3.1, 3.2 v 3.3 ữổc thọa mÂn Hằ (3.4) n nh tiằm cn nu tỗn ti hai ma trn i xứng, x¡c ành d÷ìng P; Q R nn , c¡c ma tr“n câ sŁ chi•u th‰ch hỉp X; Y; Z v c¡c sŁ i > 0; (i = 1; : : : ; 6); > cho c¡c b§t flng thức ma trn dữợi Ơy ữổc thọa mÂn X Y3 = T Z 0; Y ^ 11 T PW 33 PD A Q+ Y PE1 PE2 PE3 0 0 P+K ^ WTQ 44 0 Z 2Q T D ^ Q 1I 0 0 0 0 2I 0 3I 0 0 0 0 0 5I â = T PA 0 4I AP +( 1+ 4)H1 H1+K + P + ^ I; T 33 = ( + 5)H2 H2 ^ I; T 44 = ( + 6)H3 H3 11 0 ^ 0 < 0; (3.6) QE1 QE2 QE3 6 0 0 0 (3.5) 0 6I 7 7 7 X; K = diagfk1; k2; : : : ; kng: Chøng minh X†t h m Lyapunov sau ¥y cho h» (3.4): T V (t; x(t)) = x (t)P x(t): V… P l mt ma trn i xứng, xĂc nh dữỡng nản ta câ min(P p döng BŒ )kx(t)k V (t) max(P )kx(t)k : ã 1.3, ta tnh ữổc o h m Caputo c§p cho h m V (t) dåc 31 theo quÿ ⁄o nghi»m cıa h» (3.4) nh÷ sau T Dt V (t; x(t)) 2x (t)P Dt x(t) T = x (t) [ P A T AP ] x(t) 2x (t)P E1F1(t)H1x(t) T T T (t))) (3.7) + 2x (t)P W g(x(t)) + 2x (t)P E2F2(t)H2g(x(t)) + 2x (t)P Dg(x(t T + 2x (t)P E3F3(t)H3g(x(t p dưng BŒ • 1.1, ta thu (t))): ữổc cĂc Ănh giĂ sau Ơy T 2x (t)P E1F1(t)H1x(t) 1 T T T T (3.8) T (3.9) x (t)P E1E1 P x(t) + 1x (t)H1 H1x(t); T 2x (t)P E2F2(t)H2g(x(t)) T T T x (t)P E2E2 P x(t) + 2g (x(t))H2 H2g(x(t)); T 2x (t)P E3F3(t)H3g(x(t T (t))) T T T x (t)P E3E3 P x(t) + 3g (x(t Vỵi ma tr“n =4 Y X Y T (t)))H3 H3g(x(t (t))): (3.10) 0, ta cõ ữợc lữổng sau Ơy Z Zt T (t) (t) 1T (t) (t) + = T (t) T t (t) (t) (t) (t (t s) T (t) (t)ds s)s=t s=t (t) (t) = (t) (3.11) T (t) (t) 0; h i gj( ) â T T (t) = x (t) (Dt x(t)) T Tł Gi£ thi‚t 3.2, ta câ kj; j = 1; 2; : : : ; n Do â vỵi K = diagfk1; k2; : : : ; kng, ta cõ cĂc Ănh giĂ dữợi Ơy T T x (t)K x(t) g (x(t))g(x(t)) 0; T T x (t (t))K x(t (t)) g (x(t (t)))g(x(t (t))) 0: (3.12) (3.13) 32 M°t kh¡c, ta l⁄i câ T (Dt x(t)) Q [ Dt x(t) Ax(t) + W g(x(t)) + Dg(x(t T (t)))] T (3.14) (Dt x(t)) QE1F1(t)H1x(t) + (Dt x(t)) QE2F2(t)H2g(x(t)) T + (Dt x(t)) QE3F3(t)H3g(x(t p dưng BŒ • 1.1, ta thu (t))) = 0: ữổc cĂc Ănh giĂ sau Ơy T (Dt x(t)) QE1F1(t)H1x(t) T T T (3.15) T (Dt x(t)) QE1E1 QDt x(t) + 4x (t)H1 H1x(t); T (Dt x(t)) QE2F2(t)H2g(x(t)) T T T T g(x(t)); (Dt x(t)) QE2E2 QDt x(t) + 5g (x(t))H2 H2 (Dt x(t)) QE3F3(t)H3g(x(t (3.16) T T (t))) T T T (t)))H3 H3g(x(t (Dt x(t)) QE3E3 QDt x(t) + 6g (x(t (t))): (3.17) T V… V (t; x(t)) = x (t)P x(t) nản theo nh lỵ Razumikhin cho hằ phƠn thứ cõ tr ( nh lỵ 1.9), vợi s > thọa mÂn V (t + s; x(t + s)) < V (t; x(t)); 8s [ ; 0]: Suy T T (3.18) x (t)P x(t) x (t (t))P x(t (t)) > 0: Tł c¡c i•u kiằn (3.7) tợi iãu kiằn (3.18), ta thu ữổc Ănh gi¡ sau T Zt Dt V (t; x(t)) (t) (t) T (t s) (t) (t)ds; t ¥y (t) â T h T T T (t) = x (t) x (t 11 =6 P +K T (t)) g (x(t)) PWPD A 0 33 g (x(t T Q WT Q 6 ; 44 T D Q 6 +1 Y 6 (t))) (Dt x(t)) 7 55 7 T (3.19) i ; 33 ðâ 11 = PA T T T AP + PE1E1 P + ( + 4)H1 H1 + PE2E2 P T + PE3E3 P + K + P + X; T I; 33 = ( + 5)H2 H2 44 T = ( + 6)H3 H3 I; 1 55 = Rt V… t (t) (t s) T T QE1E Q + QE2E Q + 2Q: T (t) ( T t)ds n¶n ta câ (t) (t): Dt V (t; x(t)) Sß dưng B ã Schur (B ã 1.2), ta thĐy iãu kiằn ki»n (3.6) Tł T QE3E Q + Z (3.20) < tữỡng ữỡng vợi iãu õ suy Dt V (t; x(t)) < V“y h» (3.4) Œn ành ti»m cn Nhn xt 3.1 Bng cĂch sò dửng nh lỵ Razumikhin cho hằ phƠn thứ kt hổp vợi bĐt flng thức ma trn tuyn tnh, nh lỵ 3.1 ữa mt tiảu chu'n cho tnh n nh mụ ca lợp h» m⁄ng nì ron ph¥n thø Caputo câ tr„ bi‚n thiản Tiảu chu'n ữổc ữa nh lỵ 3.1 phư thuºc v o c“n tr¶n cıa º tr„ v b“c ph¥n thø Trong [5, 21], c¡c t¡c gi£ ÷a c¡c i•u ki»n ı cho t‰nh Œn ành ca mt s lợp hằ mng nỡ ron phƠn thứ Tuy nhiản, cĂc iãu kiằn ữổc ữa hoc khổng phư thuºc v o º tr„ ho°c khỉng phư thuºc v o bc phƠn thứ V vy iãu kiằn ữổc ữa nh lỵ 3.1 t bÊo th hìn c¡c k‚t qu£ ¢ câ Ti‚p theo, chóng tỉi tr…nh b y ti¶u chu'n cho t‰nh thư ºng cıa hằ (3.1) bng cĂch sò dửng nh lỵ 3.1 v mt s tnh chĐt ca o h m phƠn thứ Caputo v tch phƠn phƠn thứ Riemann-Liouville nh lỵ 3.2 GiÊ sò cĂc GiÊ thit 3.1, 3.2 v 3.3 ữổc thọa mÂn Hằ (3.1) thử ng nu tỗn ti hai ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng P; Q R nn , c¡c ma tr“n câ sŁ chi•u th‰ch hæp X; Y; Z, c¡c sŁ i > 0; (i = 1; : : : ; 6); > v > cho c¡c b§t flng thøc ma tr“n dữợi Ơy ữổc thọa mÂn Y X =4 Y T Z 0; (3.21) 34 11 T PW PD A Q+ Y PE1 PE2 PE3 P+K 33 0 WT Q 0 0 0 0 Z2Q0 0 T 44 DQ 1I 0 3I 0 P 0 0 0 0 I 0 0 7 0 0 6I â T PA 44 = ( + 6)H3 H3 < 0; (3.22) = 4I 11 I 0 2I 6 0 QE1 QE2 QE3 Q 0 7 AP +( 1+ 4)H1 H1+K + P + T I; 33 = ( + 5)H2 H2 T 7 I X; I; K = diagfk1; k2; : : : ; kng: Chøng minh Khi u(t) v y(t) i•u ki»n (3.22) suy i•u ki»n (3.6) Do â theo nh lỵ 3.1 hằ (3.1) vợi u(t) v y(t) Œn ành ti»m c“n ” nghi¶n cøu t‰nh thư ºng cho h» (3.1) ta chån h m Lyapunov giŁng nh÷ chứng minh nh lỵ 3.1 Sò dửng cĂc k thut tữỡng tỹ nhữ chứng minh nh lỵ 3.1, ta thu ữổc Ănh giĂ dữợi Ơy T Dt x(t) T 2y (t)u(t) T u (t)u(t) Zt (t) (t) t (t) (t T s) (t) (t)ds; (3.23) â (t) vữổc cho nhữ chứng minh nh lỵ 3.1 v T h T T x (t 11 (t) = x (t) = (t))) (Dt x(t)) T PW PD A Q+ Y P P+K 6 (t)) gT (x(t)) gT (x(t 33 6 44 6 Z D TQ T 2Q Q 7 7 7 6 I 7 â 11 = PA T T i u (t) ; I < 0; T WQ T T AP + PE1E1 P + ( + 4)H1 H1 + PE2E2 P 35 T + PE3E3 P + K + P + X; T I; 33 = ( + 5)H2 H2 R ¥y V… T 44 = ( + 6)H3 H3 55 = t (t) t (t I; T 1 s) T QE1E Q + QE2E Q + T 2Q: nản t (3.23) ta thu ữổc ÷ỵc l÷ỉng sau (t) (t)ds T T T Dt x(t) 2y (t)u(t) u (t)u(t) Sò dửng B ã Schur, ta thĐy iãu kiằn (3.22) T õ suy T Dt x(t) T QE3E Q + Z (3.24) 0: (t) (t); 8t < tữỡng ữỡng vợi iãu kiằn T (3.25) 2y (t)u(t) u (t)u(t) 0; 8t 0: LĐy tch phƠn hai v‚ cıa (3.25) tł tỵi t, ta thu ÷æc Z t yT (s)u(s)ds It Dt V (t) Z t T u (s)u(s)ds < 0: (3.26) Theo nh lỵ 1.7, ta cõ It Dt V (t) = It It Dt V (t) (It Dt V (t)) (V (t) V (0)) = It V (t) = It = It Ta l⁄i câ Z It 1 V (t) = t (3.27) It V (0): T (t s) x (s)P x(s)ds 0: (3.28) ) Tł i•u ki»n ban ƒu b‹ng 0, tøc l It (t) = 0; t [ V (0) Z t = (t ; 0], ta câ T s) x (0)P x(0)ds ) = ) Z t (t s) x0T P x0ds = 0: Tł (3.26) (3.29), ta câ It Dt V (t) 0; 8t 0: Tł â suy Zt Zt T T y (s)u(s)ds