ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— LÊ THỊ NHUNG VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ VỚI HÀM KÍCH HOẠT TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 04/2019 ĐẠI HỌC THÁ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— LÊ THỊ NHUNG VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ VỚI HÀM KÍCH HOẠT TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 04/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— LÊ THỊ NHUNG VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ VỚI HÀM KÍCH HOẠT TỔNG QT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS MAI VIẾT THUẬN Thái Nguyên, 4/2019 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Các định lí tồn nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 11 1.3 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ 13 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 16 Chương Tính ổn định hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát 17 2.1 Sự tồn nghiệm 17 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Mittag-Leffler toàn cục 22 2.3 Ví dụ minh họa 24 Chương Tính ổn định hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát 27 3.1 Sự tồn nghiệm 27 3.2 Tiêu chuẩn ổn định 30 3.3 Ví dụ minh họa 33 LỜI NĨI ĐẦU Mơ hình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên nghiên cứu L.O Chua L Yang vào năm 1988 [7] Mơ hình nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học năm gần ứng dụng rộng lớn xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa lĩnh vực khác [3, 8, 15] Năm 2008, nghiên cứu mình, A Boroomand M.B Menhaj [3] lần mơ hình hóa mạng nơ ron hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) mơ tả đặc tính tính chất mạng nơ ron cách xác [3, 15] Do hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Nhiều kết hay thú vị hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ công bố năm gần (xem [15, 18, 19, 27] tài liệu tham khảo đó) Như biết, tính ổn định tính chất quan trọng hệ động lực hệ phương trình vi phân phân thứ khơng ngoại lệ Tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học năm gần (xem [2, 10, 12, 14, 17] tài liệu tham khảo đó) Đối với lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ, vài kết thú vị sâu sắc công bố năm gần [20, 22, 25, 26] Bằng cách sử dụng biến đổi Laplace sử dụng số tính chất đạo hàm phân thứ Caputo, H Wang cộng [20] nghiên cứu tính ổn định tiệm cận cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ Trong [25], tác giả nghiên cứu tính ổn định Mittag–Leffler lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt khơng liên tục Tính ổn định cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ phức nghiên cứu [26] Bằng cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính, tác giả [27] nghiên cứu tính ổn định Mittag–Leffler hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ khơng có trễ với hàm kích hoạt thỏa mãn điều kiện Lipschitz Gần đây, tính ổn định hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát nghiên cứu [23] với cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ So với cách tiếp cận sử dụng biến đổi Laplace tìm nghiệm đa thức đặc trưng báo [20, 25], cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính có ưu kiểm tra điều kiện ổn định phần mềm MATLAB Ngoài ra, với cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính, tốn ổn định hóa cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ giải khơng khó khăn Luận văn tập trung trình bày tính ổn định cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát sở đọc hiểu tổng hợp báo công bố năm gần Luận văn gồm có chương Cụ thể: Trong chương 1, tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi trình bày số định lí tồn nghiệm Cuối chương, chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [10, 12, 13] Trong chương luận văn, tơi trình bày số điều kiện đủ cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [23] Trong chương luận văn, tơi trình bày số điều kiện đủ cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [23] Luận văn thực trường ĐH Khoa Học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn Tiến sĩ Mai Viết Thuận.Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q trình thực đề tài Tôi xin trân trọng cảm ơn BGH trường ĐH Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu,cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể q thầy cô trường ĐH Khoa Học Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn 5 Danh mục ký hiệu R, R+ tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} kAk chuẩn phổ ma trận A, kAk = A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn )> ∈ Rn Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) p λmax (A> A) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t It tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số dαe số nguyên nhỏ lớn α Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [9, 10, 12, 13] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 ([13]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho Z t α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước α t0 It := I với I tốn tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lí sau Định lí 1.1 ([13]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([13]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có α t0 It x(t) −α =λ +∞ X j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([13]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho RL α t0 Dt x(t) dn n−α dn := n t0 It x(t) = dt Γ(n − α) dtn Z t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 n := dαe số nguyên nhỏ lớn α dn dtn đạo hàm thơng thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function) 1, t ≥ f (t) = 0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: d } D= dt AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 ([13]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý Z t α (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngồi ra, từ điều kiện ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) ck = k! Định lí sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lí 1.2 ([13]) Cho α ≥ 0, n = [α] + Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Kết sau suy trực tiếp từ Định lí 1.2 Z t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— LÊ THỊ NHUNG VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ VỚI HÀM KÍCH HOẠT TỔNG QT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn... ron phân thứ giải khơng khó khăn Luận văn tập trung trình bày tính ổn định cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát sở đọc hiểu tổng hợp báo công bố năm gần Luận văn. .. phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ Trong [25], tác giả nghiên cứu tính ổn định Mittag–Leffler lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt khơng liên tục Tính ổn định cho hệ