Bài toán điều khiển tiêu hao trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NÔNG THỊ THU HỒNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TIÊU HAO TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Thị Thanh Huyền THÁI NGUYÊN - 2022 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Bài toán tiêu hao hệ động lực 10 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 12 Chương Bài toán điều khiển tiêu hao thời gian hữu hạn cho hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến 14 2.1 Phát biểu toán số định nghĩa 14 2.2 Bài toán điều khiển tiêu hao thời gian hữu hạn cho hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến 17 2.3 Một số ví dụ minh họa 25 LỜI NÓI ĐẦU Trong năm gần đây, hệ phương trình vi phân phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học ứng dụng to lớn nhiều lĩnh vực [10, 11, 12] Tính tiêu hao giới thiệu nghiên cứu J.C Willem năm 1972 [20, 21] Khái niệm tổng quát so với khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov, hiệu suất H∞ , tính thụ động Bản chất tính tiêu hao có hàm lượng khơng âm lượng thất bên hệ ln nhỏ tỷ lệ cung cấp lượng bên ngồi Lý thuyết đóng vai trò quan trọng lý thuyết điều khiển với nhiều kết thú vị công bố [3, 5, 19] Bài toán điều khiển tiêu hao thời gian hữu hạn cho số lớp hệ phương trình vi phân bậc nguyên nhận quan tâm nhiều nhà khoa học Một số kết thú vị toán cho số lớp hệ phương trình vi phân bậc nguyên lớp hệ ngẫu nhiên có trễ [4], hệ Takagi-Sugeno mờ [15], hệ quy mô lớn [17] công bố năm gần Gần đây, tác giả [9] đưa số tiêu chuẩn giải toán điều khiển tiêu hao thời gian hữu hạn cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo phi tuyến Luận văn tập trung trình bày tốn điều khiển tiêu hao thời gian hữu hạn cho hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến sở đọc hiểu trình bày lại cách có hệ thống nội dung báo [9] Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ số bổ đề kỹ thuật sử dụng chương luận văn Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho tính tiêu hao hóa hệ điều khiển phân thứ có nhiễu phi tuyến thơng qua điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ quan sát Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [9] Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A⊤ ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} kAk A≥0 A≥B A>0 chuẩn phổ ma trận A, kAk = p λmax (A⊤ A) ma trận A nửa xác định dương, tức hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn nghĩa A − B ≥ ma trận A xác định dương, tức hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn )⊤ ∈ Rn Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t0 I t tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α α t0 Dt Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma ⌈α⌉ số nguyên nhỏ lớn α Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [6, 10, 11] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 ([11]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann- Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho Z t α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước α t0 I t := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lý sau Định lý 1.1 ([11]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 I t x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([11]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có α t0 It x(t) =λ −α +∞ X j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([11]) Cho số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho Z  dn  n−α dn t RL α x(t) = (t − s)n−α−1 x(s)ds, t I t0 Dt x(t) := dtn t Γ(n − α) dtn t0 n := ⌈α⌉ số nguyên nhỏ lớn α dn dtn đạo hàm thông thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, t ≥ f (t) =   0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: Z t ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f ′ (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau:  n AC [a, b] = f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b]  d D= dt  Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 ([11]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X k=0 ck (t − t0 )k , ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý Z t α (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) ck = k! Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lý 1.2 ([11]) Cho α ≥ 0, n = ⌈α⌉ Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Z t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 Kết sau suy trực tiếp từ Định lý 1.2 Hệ 1.1 ([11]) Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b]   Z t ′ f (s)ds f (t0 ) RL α + t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville tốn tử tuyến tính Mệnh đề 1.2 ([10]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α toán tử tuyến tính, tức RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] Chứng minh Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] Z dn t (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds = n Γ(n − α) dt t0 Z n Z t λ dn t µ d = (t − s)n−α−1 f (s)ds + (t − s)n−α−1 g(s)ds Γ(n − α) dtn t0 Γ(n − α) dtn t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) Định nghĩa 1.3 ([10]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho C α t0 Dt x(t) := n−α n D x(t), t0 I t n := ⌈α⌉ số nguyên nhỏ lớn α Dn = dn dxn đạo hàm thông thường cấp n T Đối với hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xd (t)) đạo hàm phân thứ Caputo x(t) định nghĩa theo thành phần sau: C α t0 Dt x(t) :=
T C α C α C α D x (t), D x (t), , D x (t) d t0 t t0 t t0 t Định lý sau cho ta điều kiện đủ cho tồn đào hàm Caputo phân thứ cấp α Định lý 1.3 ([11]) Cho α ≥ 0, n = ⌈α⌉ Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo α hàm phân thứ Caputo C t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] Hơn nữa, ta có α (i) Nếu α 6∈ N C t0 Dt x(t) biểu diễn dạng sau: Z t f (n) (s)ds C α D f (t) = t0 t Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 Đặc biệt, < α < f (t) ∈ AC[a, b], ta có: Z t ′ f (s)ds C α t0 Dt f (t) = Γ(1 − α) t0 (t − s)α n (ii) Nếu α = n ∈ N C t0 Dt f (t) biểu diễn dạng sau: C n t0 Dt f (t) = f (n) (t) Đặc biệt, C t0 Dt f (t) = f (t) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo toán tử tuyến tính Mệnh đề 1.3 ([10]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Caputo cấp α tốn tử tuyến tính, tức C α t0 Dt [λf (t) α C α + µg(t)] = λ C t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t), λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] Chứng minh Tương tự chứng minh Mệnh đề 1.2 Ta dễ dàng chứng minh tính chất sau đạo hàm phân thứ Caputo Mệnh đề 1.4 ([10]) Cho trước số thực dương α Nếu ξ số C α t0 Dt ξ = Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo nghịch đảo trái tốn tử tích phân phân thứ 19  ∆  11  ∆= ∗  ∗ Q  QW −υ3 I ∗ υ2 HwT Hw − ǫI   ,  ∆11 = QA + AT Q + QBKC + C T K T B T Q + υ1−1 QGa GTa Q + υ1 HaT Ha + υ3 ΣT Σ + υ2−1 QGw GTw Q Bằng phép biến đổi ma trận, ta thu    ¯ ∆ Q QW QBKC + C T K T B T Q    11    ∆ =  ∗ −υ3 I +    ∗ ∗ Φ33 0 0    0 ,  ¯ 11 = QA + AT Q + υ −1 QGa GT Q + υ1 H T Ha + υ −1 QGw GT Q + υ3 ΣT Σ, ∆ a a w Φ33 = υ2 HwT Hw − ǫI Bây giờ, ta đưa biến phi tuyến liên quan đến hệ số điều khiển K điều kiện tuyến tính Giả sử Ξ ma trận không suy biến, L ma trận có số chiều thích hợp đặt K = Ξ−1 L, ta có QBKC = (QB − BΞ)Ξ−1 LC + BLC Do    ∆=  ¯ 11 + BLC + C T LT B T ∆    + sym   Q ∗ −υ3 I ∗ ∗ QB − BΞ 0  QW      Φ33   h i   −1 Ξ LC 0    20 Áp dụng Bổ đề 1.4 với   T T T ¯ ∆ + BLC + C L B Q QW  11    E= ∗ −υ3 I ,   ∗ ∗ Φ33   QB − BΞ   h i   −1 G=  , Z = Ξ LC 0 ,   điều kiện ∆ < điều kiện   T T E ζG + Z Ξ   < 0, T ∗ −ζΞ − ζΞ tức         ¯ 11 + BLC + C T LT B T ∆ Q QW Φ14 ∗ −υ3 I ∗ ∗ Φ33 ∗ ∗ ∗      < 0,    Φ44 (2.9) Φ14 = ζ(QB − BΞ) + C T LT , Φ44 = −ζΞ − ζΞT Áp dụng Bổ đề Schur bất đẳng thức (2.4a), ta thu bất đẳng thức (2.9) Do đó, C α Dt V (x(t)) ≤ ǫω T (t)ω(t) (2.10) Lấy tích phân bậc α hai vế (2.10) từ đến t (0 < t < Tf ), ta thu xT (t)Qx(t) ≤ xT (0)Qx(0) + Itα (ǫω T (t)ω(t)) Z t ǫ T = x0 Qx0 + (t − s)α−1 ω T (s)ω(s)ds Γ(α) Z t ǫd T ≤ x0 Qx0 + (t − s)α−1 ds Γ(α) 21 ≤ xT0 Qx0 + ǫd T α Γ(α + 1) f Mặt khác, ta lại có ¯ 21 x(t) xT (t)Qx(t) = xT (t)N QN ¯ T (t)N x(t) = λ1 xT (t)N x(t), ≥ λmin (Q)x ¯ T0 N x0 = λ2 xT0 N x0 ≤ λ2 c1 xT0 Qx0 ≤ λmax (Q)x (2.11) (2.12) Từ đó, suy λ1 xT (t)N x(t) ≤ xT (t)Qx(t) ≤ λ a1 + ǫd Tfα < λ1 c2 Γ(α + 1) Vậy (2.3) với z(t) ≡ ổn định thời gian hữu hạn ứng với (c1 , c2 , Tf , N, d) Định lý chứng minh Khi hệ (2.1) khơng có tác động nhiễu, ta có hệ phân thứ tuyến tính sau     Dtα x(t) = Ax(t) + W ω(t) + Bu(t), t ≥ 0,    y(t) = Cx(t),       x(0) = x0 ∈ Rn , (2.13) α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm véc tơ điều khiển, ω(t) ∈ Rk nhiễu, y(t) ∈ Rp phép đo đầu ra, x0 điều kiện ban đầu A ∈ Rn×n , W ∈ Rn×k , B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n ma trận Hệ sau suy trực tiếp từ Định lý 2.1 Hệ 2.1 Giả sử Giả thiết 2.1 thỏa mãn Cho trước số dương c1 , c2 , Tf ma trận đối xứng, xác định dương N ∈ Rn×n Hệ (2.13) ổn định hóa thời gian hữu hạn (c1 , c2 , Tf , N, d) tồn số dương ζ > 0, ǫ > 0, ma trận đối xứng, xác định dương Q ∈ Rn×n , 22 ma trận khơng suy biến Ξ ∈ Rm×m ma trận L ∈ Rm×p cho   T T M QW ζ(QB − BΞ) + C L     (2.14a)  ∗ −ǫI  < 0,   ∗ ∗ −ζΞ − ζΞT λ2 c + ǫd Tfα < λ1 c2 , Γ(α + 1) (2.14b) M = QA + AT Q + BLC + C T LT B T Hơn nữa, điều khiển phản hồi đầu xác định u(t) = Ξ−1 Ly(t) Tiếp theo, chúng tơi trình bày tiêu chuẩn cho toán điều khiển tiêu hao thời gian hữu hạn cho hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến (2.1) Định lý 2.2 Giả sử Giả thiết 2.1 thỏa mãn Cho trước số dương c1 , c2 , Tf ma trận đối xứng, xác định dương N ∈ Rn×n Hệ đóng (2.3) (R, T, S)−tiêu hao thời gian hữu hạn (c1 , c2 , Tf , N, d) tồn số dương γ > 0, ζ > 0, ǫ > 0, υi > 0, i = 1, 2, 3, ma trận Q ∈ Rn×n , ma trận khơng suy biến Ξ ∈ Rm×m ma trận L ∈ Rm×p cho thỏa mãn bất đẳng thức sau   ¯ Q Φ13 Φ14 QGa QGw  Φ11    ∗ −υ3 I  0      ∗  ¯ 33 ∗ Φ 0     < 0,  ∗  ∗ ∗ Φ 0 44      ∗ ∗ ∗ ∗ −υ1 I      ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −υ2 I λ2 c + γd Tfα < λ1 c2 , Γ(α + 1) −1 ¯ ¯ ¯ = N −1 QN , λ = λ Q (Q), λ2 = λmax (Q), (2.15a) (2.15b) 23 ¯ 11 = QA + AT Q + BLC + C T LT B T + υ1 HaT Ha + υ3 ΣT Σ − DT RD, Φ Φ13 = QW − DT T − DT RM, ¯ 33 = υ2 HwT Hw − (M T T + T T M + M T RM ) − (S − γI), Φ Φ14 Φ44 xác định Định lý 2.1 Hơn nữa, điều khiển phản hồi đầu xác định u(t) = Ξ−1 Ly(t) Chứng minh Khi z(t) ≡ 0, điều kiện (2.4a) (2.4b) suy điều kiện (2.15a) (2.15b), tương ứng Áp dụng Định lý 2.1, ta có hệ (2.3) ổn định thời gian hữu hạn ứng với (c1 , c2 , Tf , N, d) Để hệ (2.3) (R, T, S)−tiêu hao thời gian hữu hạn (c1 , c2 , Tf , N, d), ta cần thỏa mãn điều kiện (ii) Định nghĩa 2.2 Chọn hàm Lyapunov sử dụng kĩ thuật chứng minh tương tự Định lý 2.1, ta thu Dtα V (t) − 2zT (t)T ω(t) − zT (t)Rz(t) − ω T (t)(S − γI)ω(t) ≤ η T (t)Πη(t), η(t) = [xT (t) f T (t, x(t)) ω T (t)]T ,   Π Q Φ13  11    Π =  ∗ −υ3 I  ,   ¯ 33 ∗ ∗ Φ Π11 = QA + AT Q + QBKC + C T K T B T Q + υ1−1 QGa GTa Q + υ1 HaT Ha + υ2−1 QGw GTw Q + υ3 ΣT Σ − DT RD, Φ13 = QW − DT T − DT RM, ¯ 33 = υ2 H T Hw − (M T T + T T M + M T RM ) − (S − γI) Φ w Ở bước này, để nhận điều kiện dựa LMI, ta cần loại bỏ đại lượng phi tuyến liên quan đến ma trận hệ số điều khiển K Bằng cách sử dụng ma trận không suy biến Ξ, tức det(Ξ) 6= đặt K = Ξ−1 L, ta có QBKC = (QB − BΞ)Ξ−1 LC + BLC 24 Từ đó, suy  ¯ 11 + BLC + C T LT B T Π   Π=  ∗   + sym   QB − BΞ 0 Φ13   −υ3 I   ¯ ∗ Φ33  ∗  Q    h i   −1 Ξ LC 0  ,   ¯ 11 = QA + AT Q + υ −1 QGa GTa Q + υ1 HaT Ha Π + υ2−1 QGw GTw Q + υ3 ΣT Σ − DT RD Áp dụng Bổ đề Schur Bổ đề 1.4, điều kiện Π < điều kiện (2.15a) thỏa mãn Từ điều kiện (2.15a), ta suy C α Dt V (x(t)) − 2z T (t)T ω(t) − zT (t)Rz(t) − ω T (t)(S − γI)ω(t) < (2.16) Lấy tích phân hai vế (2.16) t từ đến tf , ta nhận Z tf C α (2zT (t)T ω(t) + zT (t)Rz(t) + ω T (t)(S − γI)ω(t))dt < 0 Itf Dtf V (tf ) − (2.17) Áp dụng Định lý 1.7, ta có C α I t f Dtf V (tf ) = 1−α α C α I tf I t f Dtf V (tf ) = 1−α α C α Itf (0 Itf Dtf V (tf ) = 1−α Itf (V = 1−α I tf V (tf ) − V (0)) (tf ) − It1−α V (0) f Từ điều kiện ban đầu không, ta nhận Z tf 1−α (tf − t)−α xT (0)Qx(0)dt = 0, ∀tf ≥ 0 Itf V (0) = Γ(1 − α) 25 Hơn nữa, 1−α I tf V Do đó, C α Itf Dtf V (tf ) = Γ(1 − α) Z tf (tf − t)−α (xT (t)Qx(t))dt ≥ (tf ) ≥ 0, ∀tf ∈ [0, Tf ] với điều kiện ban đầu không Từ bất đẳng thức (2.17), ta có Z tf (2zT (t)T ω(t) + zT (t)Rz(t) + ω T (t)(S − γI)ω(t))dt > 0 Suy Z tf T T T (2z (t)T ω(t) + z (t)Rz(t) + ω (t)Sω(t))dt > γ Định lý chứng minh Z tf ω T (t)ω(t)dt Nhận xét 2.2 Các bất đẳng thức ma trận (2.4a), (2.4b) Định lý 2.1 (2.15a), (2.15b) Định lý 2.2 biểu diễn thành dạng LMI cố định đại lượng vô hướng ζ Do đó, kết hợp phương pháp nghiên cứu chiều với thuật toán tối ưu lồi chẳng hạn công cụ LMI MATLAB [7] để kiểm tra điều kiện Cách tiếp cận dựa LMI, cách hiệu để giải toán điều khiển hệ phân thứ hai ưu điểm Một cách tiếp cận LMI dễ dàng sáp nhập biến tự vào tiêu chuẩn ổn định làm giảm tính bảo thủ Hai nhiều thơng tin hệ thống chứa điều kiện dựa LMI điều kiện bất đẳng thức đại số Tuy nhiên, xác minh tính khả thi LMI thu được, kích thước LMI tăng gây độ phức tạp tính tốn cao tốn nhiều thời gian ứng dụng thực tế, coi nhược điểm cách tiếp cận Chắc chắn, với phát triển nhanh chóng điện tốn hiệu suất cao, việc tính toán LMI phức tạp ngày dễ dàng 2.3 Một số ví dụ minh họa Trong mục này, chúng tơi trình bày hai ví dụ để minh họa cho kết mục trước Ví dụ 2.1 trình bày để chứng tỏ kết Hệ 2.1 26 ưu việt kết có Ví dụ 2.2 trình bày để minh họa cho kết lý thuyết trình bày Định lý 2.2 Ví dụ 2.1 Xét hệ phân thứ tuyến tính (2.13) với tham số sau       ,W =  ,B =   α = 0.8, A =  0.6 Để so sánh kết Hệ 2.1 với cơng trình công bố [14], xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Với c1 = 5, c2 = 15, N = I, d = Cho trước ζ = Theo Hệ 2.1, hệ (2.13) ổn định thời gian hữu hạn (5, 15, Tf , I, 1) khoảng thời gian hữu hạn <  Tf ≤ Tf max = 3.2 với điều khiển phản −0, 0201 −2, 9929  y(t), t ≥ Chú ý [14], giá hồi đầu u(t) =  −8, 0161 0, 0005 trị lớn Tf Tf max = 0.1 với điều khiển thiết kế toán điều khiển phản hồi trạng thái Trường hợp 2: Với c1 = 5, Tf = 0.1, N = I, d = Cho trước ζ = Theo Hệ 2.1, hệ (2.13) ổn định thời gian hữu hạnđối với (5, c2 , 0.1, I,  1) với c2 ≥ 7.0 điều khiển phản hồi đầu u(t) =  −0, 0201 −2, 9929 −8, 0161 0, 0005  y(t), t ≥ Chú ý [14], giá trị nhỏ c2 c2 = 15 với điều khiển thiết kế toán điều khiển phản hồi trạng thái Do đó, kết Hệ 2.1 hiệu kết [14] Ví dụ 2.2 Xét hệ phân thứ Caputo phi tuyến không chắn sau     Dt0.8 x(t) = [A + Ga Fa (t)Ha ]x(t) + f (t, x(t))         +[W + Gw Fw (t)Hw ]ω(t) + Bu(t), t ≥ 0,    z(t) = Dx(t) + M ω(t),       y(t) = Cx(t),         x(0) = x0 ∈ R2 , (2.18) 27 x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 , z(t) ∈ R, y(t) ∈ R2 , u(t) = (u1 (t), u2 (t)) ∈ √ R2 , ω(t) = 0.1 sin t ∈ R, f (t, x(t)) = (tanh x1 (t), x2 (t))T ∈ R2     h i     A= , Ga = , Ha = , Fa (t) = sin t,     h i 0.5     W = , Gw = , Hw = 0.9 , Fw (t) = cos t, 0.8     h i h i 0  , D = 0.7 0.9 , M = , C =   B= Hệ đóng với điều khiển phản hồi đầu u(t) = Ky(t) hệ (2.18) mô tả     Dt0.8 x(t) = [A + BKC + Ga Fa (t)Ha ]x(t) + f (t, x(t))        +[W + Gw Fw (t)Hw ]ω(t), t ≥ 0, (2.19)    z(t) = Dx(t) + M ω(t), t ≥ 0,        x(0) = x0 ∈ R2 Ta có hàm phi tuyến f (t, x(t)) thỏa mãn điều kiện (2.2) với Σ = diag{1, 1} nhiễu đầu vào ω(t) thỏa mãn Giả thiết 2.1 với d = 0.1 Cho c1 = 1, c2 = h i h i h i 3, Tf = 5, R = −5 , T = , S = 10 N = I Bây giờ, chúng tơi xét tốn điều khiển tiêu hao cho hệ (2.18) với tham số Cho trước ζ = Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI MATLAB [7], điều kiện (2.15a), (2.15b) thỏa mãn với ζ = 1, γ = 1, 1054, υ1 = 4, 5596, υ2 = 2, 1759, υ3 = 4, 4688  Q=  L= 2, 0801 −0, 2400 −0, 2400 1, 6397  , Ξ =  −70, 4820 −2, 1976 −3, 4998  19, 6831   0, 9842 12, 9127 −14, 1477 1, 0836  , Theo Định lý 2.2, hệ đóng (2.19) (R, T, S)−tiêu hao thời gian hữu 28 17 x 10 xT(t)Nx(t) 2.5 1.5 0.5 0 0.5 1.5 2.5 Time(sec) 3.5 4.5 Hình 2.1: Quỹ đạo xT (t)N x(t) hệ mở 0.35 0.3 0.25 0.2 T x (t)Nx(t) 0.15 0.1 0.05 0 0.5 1.5 2.5 Time(sec) 3.5 4.5 Hình 2.2: Quỹ đạo xT (t)N x(t) hệ đóng hạn (1, 3, 5, I, 0.1) điều khiển phản hồi đầu   −0, 1697 −1, 3961  y(t), t ∈ [0, 5] u(t) =  −5, 4454 −0, 0638 Các Hình vẽ 2.1 2.2 quỹ đạo trạng thái xT (t)N x(t) cho hệ mở hệ đóng với điều kiện ban đầu x0 = (−0, 9; 0, 8)T ∈ R2 , tương ứng Dễ dàng thấy hệ đóng (2.19) (R, T, S)−tiêu hao thời gian hữu hạn (1, 3, 5, I, 0.1) với số γ = 1.1054 Để kiểm tra hiệu suất (R, T, S)− tiêu hao khoảng thời gian hữu hạn cho trước, định nghĩa hàm 29 250 200 γ(t) 150 γ=1.1054 100 50 0 0.5 1.5 2.5 Time(sec) 3.5 4.5 Hình 2.3: Quỹ đạo hàm γ(t) hệ đóng hiệu suất tiêu hao R tf T T T (2z (t)T ω(t) + z (t)Rz(t) + ω (t)Sω(t))dt , tf ∈ [0, 5] γ(t) = R tf T (t)ω(t)dt ω Hình vẽ 2.3 cho thấy hàm hiệu suất tiêu hao γ(t) ln lớn γ = 1.1054, có nghĩa điều kiện (ii) Định nghĩa 2.2 thỏa mãn 30 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo; • Trình bày số tiêu chuẩn cho toán điều khiển tiêu hao thời gian hữu hạn cho hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến; • Trình bày 02 ví dụ số với mơ để minh họa cho kết lý thuyết Độ trễ thời gian thường xuyên xuất hệ thống thực tế Nó nguyên nhân trực tiếp dẫn tới không ổn định hiệu suất hệ thống Vì việc nghiên cứu tốn điều khiển tiêu hao cho lớp hệ phương trình vi phân thứ có trễ cần thiết có ý nghĩa khoa học Hướng phát triển đề tài luận văn nghiên cứu toán cho số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên 31 Tài liệu tham khảo [1] S Boy, L.E Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan, Linear matrix inequalities in system and control theory, SIAM, Philadelphia, 1994 [2] X H Chang, L Zhang, and J.H Park (2015), “Robust static output feedback H∞ control for uncertain fuzzy systems”, Fuzzy Sets and Systems, 273, pp 87–104 [3] L Chen, H Yin, R Wu, L Yin, and Y Chen (2019), “Robust dissipativity and dissipation of a class of fractional-order uncertain linear systems”, IET Control Theory & Applications, 13(10), pp 1454–1465 [4] G Chen, Y Gao, and S Zhu (2017), “Finite-time dissipative control for stochastic interval systems with time-delay and Markovian switching”, Applied Mathematics and Computation, 310, pp 169–181 [5] Z Ding, and Y Shen (2016), “Global dissipativity of fractional-order neural networks with time delays and discontinuous activations”, Neurocomputing, 196, pp 159–166 [6] M A Duarte-Mermoud, N Aguila-Camacho, J A Gallegos, and R Castro-Linares (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lyapunov uniform stability for fractional order systems”, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 22, pp 650–659 [7] P Gahinet, A Nemirovskii, A.J Laub, M Chilali (1995), LMI Control Toolbox for use with MATLAB, The MathWorks, Natick 32 [8] D.J Hill, P.J Moylan (1976), “The stability of nonlinear dissipative systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, 21(5), 708–711 [9] D.T Hong, N.H Sau, and M.V Thuan (2021), “Output feedback finitetime dissipative control for uncertain nonlinear fractional-order systems”, Asian Journal of Control, Doi: 10.1002/asjc.2643 [10] T Kaczorek (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer [11] A.A Kilbas, H.M Srivastava and J.J Trujillo (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer [12] Y Li, Y.Q Chen and I Podlubny (2010), “Stability of fractional-order nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized Mittag-Leffler stability”, Computers & Mathematics with Applications, 59, pp 1810–1821 [13] Y Ma and M Chen (2016), “Finite time non-fragile dissipative control for uncertain TS fuzzy system with time-varying delay”, Neurocomputing, 177, pp 509–514 [14] Y Ma, B Wu, Y Wang (2016), “Finite-time stability and finite-time boundedness of fractional order linear systems”, Neurocomputing, 173, 2076–2082 [15] R Sakthivel, T Saravanakumar, B Kaviarasan, and Y Lim (2017), “Finite-time dissipative based fault-tolerant control of Takagi–Sugeno fuzzy systems in a network environment”, Journal of the Franklin Institute, 354(8), pp 3430–3454 [16] N.H Sau, N.T Thanh, N.T.T Huyen and M.V Thuan (2022), “Finitetime passivity for Atangana–Baleanu–Caputo fractional-order systems 33 with nonlinear perturbations”, Circuits, Systems, and Signal Processing, Doi: 10.1007/s00034-022-02135-y [17] V Tharanidharan, R Sakthivel, Y.K Ma, L.S Ramya, and S.M Anthoni (2019), “Finite-time decentralized non-fragile dissipative control for largescale systems against actuator saturation”, ISA transactions, 91, pp 90– 98 [18] M.V Thuan, N.H Sau and N.T.T Huyen (2020), “Finite-time H∞ control of uncertain fractional-order neural networks”, Computational and Applied Mathematics, 39(59), pp 1–18 [19] G Velmurugan, R Rakkiyappan, V Vembarasan, J Cao, and A Alsaedi (2017), “Dissipativity and stability analysis of fractional-order complexvalued neural networks with time delay”, Neural Networks, 86, pp 42–53 [20] J.C Willems (1972), “Dissipative dynamical systems-part 1: general theory”, Archive for Mechanics Analysis, 45(5), pp 321–351 [21] J.C Willems (1972), “Dissipative dynamical systems part II: Linear systems with quadratic supply rates”, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 45(5), pp 352–393