Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN HIẾN VỀ BÀI TOÁN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI N[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN VĂN HIẾN VỀ BÀI TỐN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN VĂN HIẾN VỀ BÀI TỐN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS MAI VIẾT THUẬN THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Một số ký hiệu chữ viết tắt ii Lời nói đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Các định lí tồn nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ 1.3 Công thức nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 10 1.4 Một bổ đề bổ trợ 12 Chương Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định 13 2.1 Phát biểu toán số tiêu chuẩn 13 2.2 Ví dụ minh họa 21 Chương Bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ 24 3.1 Phát biểu toán số tiêu chuẩn 24 3.2 Ví dụ minh họa 32 ii Một số ký hiệu chữ viết tắt R, R+ tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vectơ Euclide thực n−chiều Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục [a, b], nhận giá trị Rn AT ma trận chuyển vị ma trận A A = (A)ij phần tử Aij ma trận A diag{l1 , , ln } ma trận đường chéo I ma trận đơn vị A≥0 A ma trận không âm A≥B A−B ≥0 A>0 A ma trận dương α α t0 It , It tốn tử tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville cấp α C α α t0 Dt , Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α kết thúc chứng minh định lí bổ đề Lời nói đầu Mơ hình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên nghiên cứu L.O Chua L Yang vào năm 1988 [5] Mơ hình nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học năm gần ứng dụng rộng lớn xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa lĩnh vực khác [2, 6, 17] Năm 2008, nghiên cứu mình, A Boroomand M.B Menhaj [2] lần mơ hình hóa mạng nơ ron hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) mơ tả đặc tính tính chất mạng nơ ron cách xác [2, 17] Do hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Nhiều kết hay thú vị hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ công bố năm gần (xem [17, 18, 25] tài liệu tham khảo đó) Trong ứng dụng thực tế, ta cần phải xem xét dáng điệu véc tơ trạng thái hệ thống mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ thời gian hữu hạn, giá trị lớn véc tơ trạng thái chấp nhận M.P Lazarevi´c cộng [10, 11] tác giả nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian (FTS) cho hệ động lực mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ Khác với tốn ổn định theo nghĩa Lyapunov, nghiên cứu dáng điệu véc tơ trạng thái hệ phương trình vi phân phân thứ khoảng thời gian vô hạn, khái niệm ổn định hữu hạn thời gian nghiên cứu dáng điệu véc tơ trạng thái khoảng thời gian hữu hạn Cụ thể hệ phương trình vi phân phân thứ gọi FTS ta đưa giới hạn cho điều kiện ban đầu, véc tơ trạng thái hệ không vượt khỏi ngưỡng giới hạn suốt khoảng thời gian cho Bài tốn nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian cho số lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học năm gần [4, 7, 21, 22, 23, 24] Mặt khác, tốn kỹ thuật, ngồi việc tìm cách thiết kế điều khiển làm cho hệ thống ổn định hữu hạn thời gian mà đảm bảo mức độ đầy đủ hiệu suất (guarantees an adequate level of performance) Bài toán gọi tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn hệ động lực Nội dung toán việc thiết kế điều khiển để đảm bảo cho hệ thống điều khiển ổn định hữu hạn thời gian, ta phải dựa điều khiển tìm cận hàm mục tiêu (hàm chi phí) tương ứng Đối với hệ phương trình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với bậc ngun có vài cơng trình nghiên cứu toán (xem [9]) Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ nghiên cứu [18] Luận văn tập trung nghiên cứu toán đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho số lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi trình bày số định lí tồn nghiệm Cuối chương, chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [8, 13, 14] Trong chương luận văn, trình bày số điều kiện đủ cho tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [18] Trong chương luận văn, chúng tơi nghiên cứu tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ Đây đóng góp luận văn Để hoàn thành luận văn này, nỗ lực học hỏi thân, em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ Với tình cảm chân thành em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Mai Viết Thuận - người Thầy tận tình hướng dẫn, bảo, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu cho em suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người trực tiếp tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K11 khóa 2017 - 2019, phịng ban chức năng, Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho em thời gian học tập vừa qua Thái Nguyên, ngày 01 tháng năm 2019 Tác giả luận văn NGUYỄN VĂN HIẾN Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức giải tích phân thứ tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, đạo hàm phân thứ RiemannLiouville, mối liên hệ hai loại đạo hàm Caputo Riemann-Liouville Ngồi ra, chúng tơi trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Các kiến thức trình bày chương tham khảo [1, 13, 16] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho bởi: Z t α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = quy ước α t It := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lí sau: Định lí 1.1 Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có: α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , t > a Γ(α + β + 1) (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có: α t0 It x(t) =λ −α +∞ X j=0 1.1.2 (λt)α+j , t > Γ(α + j + 1) Đạo hàm phân thứ Định nghĩa 1.2 Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho bởi: Z dn t dn n−α (t − s)n−α−1 x(s)ds, := n t0 It x(t) = n dt Γ(n − α) dt t0 n = [α] + số nguyên nhỏ lớn α RL α t0 Dt x(t) dn dtn đạo hàm thông thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function): t ≥ 0; f (t) = t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) là: RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau: Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)) a Do hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] (D = d )} dt Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý Z t α (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có: f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) k! Định lí sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ ϕ(s) = f (n) (s), ck = Riemann–Liouville Định lí 1.2 Cho α ≥ 0, n = [α] + Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau: RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Z t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 Kết sau suy trực tiếp từ Định lí 1.2 Hệ 1.1 Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b] Z t f (t0 ) f (s)ds RL α [ + ] t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) ... với hệ phương trình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với bậc ngun có vài cơng trình nghiên cứu toán (xem [9]) Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN VĂN HIẾN VỀ BÀI TỐN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ Chuyên... hóa mạng nơ ron hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả hệ phương trình vi phân phân