Tích phân cấp phân số
Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân cấp phân số Khái niệm tích phân cấp phân số là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Định nghĩa 1.1 ([7]) Choα > 0và[a, b] ⊂R, tích phân cấp phân số Riemann- Liouville cấp α của hàm g : [a, b] −→R xác định bởi t 0I t α g(t) := 1 Γ(α)
Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t 0 I t α := I với I là toán tử đồng nhất Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại của tích phân cấp phân số Riemann-Liouville cấp α với 0< α −1 và t > a Với bất kì α > 0, chúng ta có t 0 I t α x(t) = Γ(β+ 1) Γ(α+β+ 1)(t−a) α+β , t > a.
(ii) Cho x(t) =e λt , λ > 0 Với bất kì α > 0, chúng ta có t 0 I t α x(t) =λ −α
Đạo hàm cấp phân số
Phần này giới thiệu về đạo hàm Riemann-Liouville và đạo hàm Caputo, hai dạng đạo hàm phổ biến được áp dụng trong nhiều lĩnh vực. Định nghĩa 1.2 ([7]) Cho số thực dương α và khoảng đóng [a, b] ⊂ R Đạo hàm cấp phân số Riemann-Liouville cấp α của hàm g : [a, b] −→ R xác định bởi
(t−s) n−α−1 g(s)ds,trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dt d n n là đạo hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function) f(t)
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm cấp phân số Riemann- Liouville cấp α của hàm f(t) là
0 D α t f(t) = t −α Γ(1−α). Trước khi đi vào điều kiện tồn tại của đạo hàm cấp phân số Riemann- Liouville, chúng tôi trình bày một kết quả quan trọng sau đây.
Cho[a, b] là một khoảng đóng hữu hạn trongR AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b] Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: f(t)∈ AC[a, b] ⇔f(t) =c+
Z t a ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), do đó một hàm tuyệt đối liên tục f(t) có đạo hàm f 0 (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b].
Với n ∈N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
D = d dt Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1 ([7]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f(t) có dạng như sau: f(t) = t 0 I t α ϕ(t) + n−1
X k=0 c k (t−t 0 ) k , trong đó ϕ(t) ∈L(a, b), c k (k = 0,1, , n−1) là các hằng số tùy ý và t 0I t α ϕ(t) = 1
Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có ϕ(s) =f (n) (s), c k = f (k) (t 0 ) k! (k = 0,1, , n−1).
Sự tồn tại của đạo hàm cấp phân số Riemann-Liouville được cho trong định lý dưới đây. Định lý 1.2 ([7]) Cho α ≥ 0, n = dαe Giả sư f(t) ∈ AC n [a, b] Khi đó đạo hàm cấp phân số RL t 0 D t α f(t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và biểu diễn dưới dạng sau đây
Hệ quả dưới đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2
Hệ quả 1.1 ([7]) Nếu 0< α 0, n= [α] + 1 Nếu f(t) ∈ AC n [a, b] thì t 0 I t α C t
X k=0 f (k) (t 0 ) k! (t−t 0 ) k Đặc biệt, nếu 0< α ≤1 và f(t)∈ AC[a, b] thì t 0I t α C t 0 D t α f(t)
Mối quan hệ giữa đạo hàm cấp phân số Caputo và đạo hàm cấp phân số Riemann-Liouville được cho trong định lý dưới đây. Định lý 1.6 [7] Cho α > 0 và đặt n = dαe Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng ta có:
! , với hầu hết t∈[a, b]. Định lý 1.7 (Bổ đề 2.3, trang 73 trong cuốn sách chuyên khảo của A.A Kilbas và các đồng tác giả [7]) Cho các số dương α > 0, β > 0 Nếu f(t) là một hàm liên tục thì ta có đẳng thức dưới đây t 0I t α t 0I t β f(t)
Tính ổn định tiệm cận và ổn định hóa hệ chuyển mạch tuyến tính không chắc chắn cấp phân số có trễ biến thiên không bị chặn 15 2.1 Tính ổn định tiệm cận hệ chuyển mạch tuyến tính không chắc chắn cấp phân số có trễ biến thiên không bị chặn
Tính ổn định hóa hệ chuyển mạch tuyến tính không chắc chắn cấp phân số có trễ biến thiên không bị chặn
chắc chắn cấp phân số có trễ biến thiên không bị chặn
Xét hệ điều khiển chuyển mạch tuyến tính không chắc chắn cấp phân số có trễ biến thiên dưới đây
(2.8) trong đó x(t) ∈ R n là véc tơ trạng thái của hệ, u(t) ∈ R m là véc tơ điều khiển q(.) : R n −→ S := {1,2, , N} là quy luật chuyển mạch của hệ.
R n×n , B i ∈R n×m là các ma trận hằng số cho trước, ϕ(t) là điều kiện ban đầu. Các ma trận ∆A i (t),∆D i (t) thỏa mãn Giả thiết 2.1 Ngoài ra, ma trận ∆B i (t) thỏa mãn ∆B i (t) = E bi F bi (t)H bi , trong đó E bi và H bi là các ma trận cho trước có số chiều thích hợp sao cho các phép toán đại số về ma trận thực hiện được,
F bi (t) là ma trận không biết thỏa mãn F bi T (t)F bi (t) ≤ I,∀t ≥ 0, i = 1,2, , N. Độ trễ τ(t) biến thiên không bị chặn thỏa mãn Giả thiết 2.2.
Trong mục này, ta thiết kế điều khiển ngược phản hồi trạng thái u(t) K q(t) x(t) để ổn định hóa hệ (2.8) Thay điều khiểnu(t) =K q(t) x(t) vào hệ (2.8), ta thu được hệ đóng dưới đây
(2.9) Định lý dưới đây đưa ra một điều kiện đủ ổn định hóa hệ (2.8) Để thuận tiện cho việc trình bày, ta ký hiệu
L i (P) =A i P +P A T i +B i Y i +Y i T B i T +υ 1 E ai E ai T +λP +υ 2 E bi E bi T +υ 3 E di E di T +Z,
!! Định lý 2.3 Hệ đóng (2.9) ổn định tiệm cận nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương P, Z ∈ R n×n , các ma trận Y i ∈ R m×n (i = 1,2, , N), các số dương 1 , 2 , λ, κ, trong đó λ > κ, sao cho các điều kiện dưới đây thỏa mãn
(i) Hệ ma trận {L i (P)} đầy đủ chặt.
Quy luật chuyển mạch giữa các hệ con được cho bởi q(x(t)) = i ∈ S khi mà x(t) ∈ M i Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (2.8) xác định bởi u(t) =Y q(t) P −1 x(t), ∀t≥ 0.
Chứng minh Đối với hệ đóng (2.9), ta xét hàm Lyapunov dưới đây
V(x(t)) =x T (t)P −1 x(t). Áp dụng Bổ đề 1.3, lấy đạo hàm phân thứ cấpα của hàm V(x(t))dọc theo quỹ đạo nghiệm của hệ con thứ i bất kỳ, ta thu được
P −1 Ai+A T i P −1 +P −1 BiKi+K i T B i T P −1 x(t) + 2x T (t)P −1 E ai F ai (t)H ai x(t) + 2x T (t)P −1 E bi F bi (t)H bi K i x(t)
(2.10) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ma trận, ta thu được các ước lượng dưới đây
Từ (2.10)-(2.13), ta có đánh giá sau đây
+ 2x T (t)P −1 D i x(t−τ(t)) +x T (t−τ(t)) υ 3 −1 H di T H di −κP −1 x(t−τ(t)). (2.14) Đặt K i =Y i P −1 và sử dụng phép đổi biến y(t) =P −1 x(t), từ (2.14) ta thu được ước lượng sau đây
L i (P) =A i P +P A T i +B i Y i +Y i T B i T +υ 1 E ai E ai T +λP +υ 2 E bi E bi T +υ 3 E di E di T +Z, ξ T (t) =h x T (t) x T (t−τ(t)) i, Ξ i
, Ξ i 11 =−P −1 ZP −1 +υ 1 −1 H ai T H ai +υ 2 −1 K i T H bi T H bi K i , Ξ i 22 =υ 3 −1 H di T H di −κP −1
Nhân bên trái và bên phải của ma trận Ξ với ma trận diag{P, P} và sử dụng
Bổ đề 1.2, ta thấy điều kiện Ξ i < 0 tương đương với điều kiện (ii) trong Định lý 2.2 Từ đó suy ra
Do tính đầy đủ chặt của hệ ma trận {L i (P)}, ta có N i ∩ N j = ∅,(i 6= j) và
SN i=1N i =R n \{0} Tiếp theo, ta xây dựng các tậpM i ={P x:x ∈ N i } Ta sẽ chỉ ra rằng SN i=1M i =R n \{0} Thật vậy, cho phần tử bất kỳ x ∈R n \{0}, khi đó tồn tại chỉ số i ∈ S sao cho y =P −1 x∈ N i Do đó x=P P −1 x =P y ∈ M i
Vậy SN i=1M i =R n \{0} Từ đó suy ra
Chú ý rằng khix(t)∈ M i thìy(t) =P −1 x(t) ∈ N i và do đóy T (t)L i (P)y(t)≤ 0.
Từ điều này và (2.16), ta suy ra
V(x(t+s))≤ 0, ∀t≥ 0 (2.17) Áp dụng Bổ đề 1.4, suy ra lim t→+∞V(x(t)) =x T (t)P −1 x(t) = 0 Mặt khác, ta lại có
Vì lim t→+∞V(x(t)) = 0 nên lim t→+∞kx(t)k = 0 Định lý được chứng minh hoàn toàn.
Theo Bổ đề 2.1, hệ ma trận {L i (P)} đầy đủ chặt nếu tồn tại các số dương γ i ∈(0,1) thỏa mãn
Từ đó ta thu được định lý dưới đây. Định lý 2.4 Hệ đóng (2.9) ổn định tiệm cận nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương P, Z ∈ R n×n , các ma trận Y i ∈ R m×n (i = 1,2, , N), các số dương 1 , 2 , λ, κ, trong đó λ > κ, sao cho các điều kiện dưới đây thỏa mãn (i)
Quy luật chuyển mạch giữa các hệ con được cho bởi q(x(t)) = i ∈ S khi mà x(t) ∈ M i Ngoài ra, diều khiển ngược ổn định hóa hệ (2.8) xác định bởi u(t) =Y q(t) P −1 x(t), ∀t≥ 0.
Nhận xét 2.4 Bài toán ổn định hóa cho một số lớp hệ chuyển mạch cấp phân số đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả trong những năm gần đây Trong
[15], Zhang và Wang thiết kế điều khiển ngược phản hồi trạng và quy luật chuyển mạch giữa các hệ con để ổn định hóa hệ chuyển mạch tuyến tính không chắc chắn Sử dụng kỹ thuật điều khiển thiết lập lại (reset control technique), Mohadeszadeh cùng các cộng sự [10] nghiên cứu bài toán ổn định hóa cho hệ tuyến tính chuyển mạch cấp phân số Sử dụng kỹ thuật điều khiển kích hoạt sự kiện, một vài tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ chuyển mạch cấp phân số được đưa ra bởi Meng cùng các cộng sự trong tài liệu [9] Chú ý rằng độ trễ không được đề cập đến trong các lớp hệ được nghiên cứu trong [9, 10, 15] Như chúng ta đã biết, độ trễ thường xuyên xuất hiện trong các động lực trong thực tế Nó là nguyên nhân trực tiếp dẫn đến hiệu suất kém của hệ thống, thậm chí nó còn làm cho hệ thống không ổn định.
Vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa của hệ chuyển mạch cấp phân số có trễ là một bài toán cần thiết và đầy thách thức Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Halanay cho giải tích cấp phân số và kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính, chúng tôi đã đưa ra một vài tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa cho lớp hệ chuyển mạch cấp phân số có trễ biến thiên không bị chặn (Định lý 2.3 và 2.4) Đây là một kết quả nghiên cứu mới của đề tài luận văn.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một ví dụ minh họa cho Định lý 2.4.
Ví dụ 2.2 Xét hệ điều khiển chuyển mạch tuyến tính không chắc chắn cấp phân số có trễ biến thiên không bị chặn (2.8) với 2 hệ con với các tham số α∈ (0,1),
0.3 0.3 i , F a2 (t) = cost. Độ trễ τ(t) = 0.4t+ cost Dễ thấy Giả thiết 2.2 thỏa mãn với h = 1 Sử dụng MATLAB, ta thấy các điều kiện (i) và (ii) trong Định lý 2.2 thỏa mãn với θ 1 = 0.3, θ 2 = 0.7, κ = 1, λ= 2, 1 = 23.3045, 2 = 23.6283, 3 = 23.2591,
Từ đó ta tính được
Ta xây dựng các miền chuyển mạch như sau
Quy luật chuyển mạch giữa hai hệ con cho bởi q(x(t))
Theo Định lý 2.4, hệ đóng tương ứng ổn định tiệm cận bởi điều khiển ngược phản hồi trạng thái xác định bởi u(t) =K q(t) , trong đó
Luận văn đã đạt được những kết quả sau:
• Trình bày lại một số khái niệm cơ bản về giải tích cấp phân số bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm cấp phân số Caputo;
• Trình bày bất đẳng thức Halanay cho giải tích cấp phân số;
• Đưa ra một số tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận cho hệ chuyển mạch tuyến tính không chắc chắn cấp phân số có trễ biến thiên không bị chặn;
• Đưa ra một số điều kiện đủ cho tính ổn định hóa cho hệ chuyển mạch tuyến tính không chắc chắn cấp phân số có trễ biến thiên không bị chặn;
• Đưa ra 02 ví dụ số để minh họa cho các kết quả lý thuyết.
[1] S Boyd, L El Ghaoui, E Feron and V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia.
[2] X Chen, Y Chen, B Zhang, D Qiu (2016), “A modeling and analy- sis method for fractional-order DC-DC converters”, IEEE Transactions on Power Electronics, 32(9), pp.7034–7044.
[3] M.A Duarte-Mermoud, N Aguila-Camacho, J.A Gallegos and R Castro- Linares (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lya- punov uniform stability for fractional order systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), pp 650–659.
[4] D Ma, J Zhao (2015), “Stabilization of networked switched linear systems:
An asynchronous switching delay system approach”, Systems & Control Letters, 77, pp 46–54.
[5] B.B He, H.C Zhou, C.H Kou, Y Chen (2018), “New integral inequalities and asymptotic stability of fractional-order systems with unbounded time delay”, Nonlinear Dynamics, 94, pp 1523–1534.
[6] T Kaczorek (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory,Springer.
[7] A.A Kilbas, H.M Srivastava and J.J Trujillo (2006), Theory and Appli- cations of Fractional Differential Equations, Springer.
[8] Z Li, X Zhao, J Yu (2016), “On robust control of continuous-time sys- tems with state-dependent uncertainties and its application to mechanical systems”, ISA Transactions, 60, pp 12–20.
[9] X Meng, B Jiang, H.R Karimi, C Gao (2023), “An event-triggered mech- anism to observer-based sliding mode control of fractional-order uncertain switched systems”, ISA Transactions, 135, pp 115–129.
[10] M Mohadeszadeh, N Pariz, M.R Ramezani-Al, L.V Hien (2022), “Stabi- lization of fractional switched linear systems via reset control technique”, ISA Transactions, 130, pp 216–225.
[11] N.T Thanh, V.N Ngoc Phat (2019), “Switching law design for finite-time stability of singular fractional-order systems with delay”,IET Control The- ory & Applications, 13(9), pp 1367–1373.
[12] Y.E Wang, X.M Sun, F Mazenc (2016), “Stability of switched nonlinear systems with delay and disturbance”, Automatica, 69, pp 78–86.
[13] Z Wang, D Xue, F Pan (2021), “Observer-based robust control for singular switched fractional order systems subject to actuator saturation”, Applied Mathematics and Computation, 411, p 126538.
[14] R Yang, S Liu, X Li, T Huang (2023), “Stability analysis of delayed fractional-order switched systems”, Transactions of the Institute of Mea- surement and Control, 45(3), pp 502–511.