Về công thức nghiệm và tính ổn định tiệm cận đều của hệ tuyến tính phân thứ khalil có trễ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HỒNG THỊ LAN VỀ CƠNG THỨC NGHIỆM VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN ĐỀU CỦA HỆ TUYẾN TÍNH PHÂN THỨ KHALIL CĨ TRỄ Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Thị Thanh Huyền THÁI NGUYÊN - 2022 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức tích phân đạo hàm phân thứ Khalil 6 1.2 Nghiệm phương trình vi phân phân thứ Khalil tuyến tính hệ số 10 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 14 Chương Công thức biểu diễn nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Khalil có trễ 15 2.1 Cơng thức biểu diễn nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Khalil có trễ 15 2.2 Một ví dụ minh họa 19 Chương Tính ổn định tiệm cận hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Khalil có trễ 20 3.1 Định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil có trễ 20 3.2 Tính ổn định tiệm cận hệ tuyến tính phân thứ Khalil có trễ có nhiễu cấu trúc 23 LỜI NÓI ĐẦU Đạo hàm phân thứ Khalil đưa nghiên cứu R Khalil cộng vào năm 2014 [5] Khác với đạo hàm phân thứ Caputo, đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Khalil có nhiều tính chất giống với đạo hàm theo nghĩa thơng thường [1, 5] Ngồi ra, người ta rằng, đạo hàm phân thứ Khalil phù hợp để mô tả số mơ hình vật lý [2] Do hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học [1, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12] Độ trễ thời gian thường xuyên xuất hệ động lực Nó nguyên nhân trực tiếp dẫn tới giảm hiệu xuất hệ thống, chí cịn tính ổn định hệ động lực Vì việc nghiên cứu hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil có trễ cần thiết có ý nghĩa Trong [12] tác giả đưa công thức nghiệm cho hệ tuyến tính phân thứ khơng thơng qua hàm ma trận mũ có trễ đạo hàm phân thứ Khalil Sau kết của G Xiao J Wang mở rộng sang hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil có trễ nhiễu phi tuyến N.I Mahmudov M Aydın [8] Gần đây, N Kaewbanjak cộng [4] giới thiệu định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil áp dụng định lý để đưa điều kiện đủ cho tính ổn định hệ tuyến tính phân thứ Khalil có trễ Trong luận văn này, trước hết chúng tơi trình bày kết G Xiao J Wang [12] công thức biểu diễn nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính Khalil Sau đó, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định lớp hệ Luận văn gồm có chương với nội dung sau Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm đạo hàm tích phân phân thứ Khalil Một số bổ đề bổ trợ chúng tơi trình bày cuối chương Nội dung chương viết dựa tài liệu [1, 5, 11] Trong chương luận văn, trình bày cơng thức biểu diễn nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Khalil Nội dung chương viết dựa tài liệu [8, 12] Chương kết nghiên cứu luận văn Trước hết, chúng tơi trình bày định lý Razumikhin cho hệ phân thứ Khalil có trễ đưa tác giả tài liệu [4] Sau đó, chúng tơi áp dụng định lý để đưa tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận cho lớp hệ tuyến tính phân thứ Khalil có trễ số có nhiễu dạng cấu trúc Cuối ví dụ số đưa để minh họa cho kết lý thuyết Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Thị Thanh Huyền Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học Những người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q trình thực đề tài luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều AT ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn Tα toán tử đạo hàm phân thứ Khalil cấpα Iαa tốn tử tích phân phân thứ Khalil cấpα Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày số kiến thức đạo hàm phân thứ phù hợp, tích phân phân thứ phù hợp Tiếp theo chúng tơi trình bày cơng thức nghiệm tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính khơng Cuối chương, chúng tơi trình bày tính ổn định hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil phương pháp hàm Lyapunov Nội dung trình bày chương tham khảo tài liệu [1, 5, 9, 11] 1.1 Một số kiến thức tích phân đạo hàm phân thứ Khalil Cho hàm f : [0, +∞) −→ R Khi đạo hàm cấp hàm f t cho df dt (t) = lim f (t+ǫ)−f Một câu hỏi tự nhiên xuất liệu ta sử ǫ ǫ→0 dụng định nghĩa tương tự cho đạo hàm phân thứ cấp α hay khơng, α ∈ (0, 1) tổng quát α ∈ (n, n + 1], n ∈ N Năm 2014, R Khalil cộng giới thiệu loại đạo hàm phân thứ sau Định nghĩa 1.1 [5] Cho hàm f : [0, +∞) −→ R Đạo hàm phân thứ Khalil cấp α định nghĩa sau: f (t + ǫt1−α ) − f (t) (Tα f )(t) = lim , ∀t > 0, α ∈ (0, 1] ǫ→0 ǫ Khi ta nói hàm f α− khả vi Hơn nữa, hàm f α− khả vi khoảng (0, a), với a > lim+ (Tα f )(t) tồn Khi ta định nghĩa t→0 (Tα f )(0) = lim+ (Tα f )(t) t→0 Định lý sau khẳng định hàm f (t) α- khả vi điểm t0 liên tục điểm Định lý 1.1 [5] Nếu hàm f : [0, +∞) −→ R α−khả vi điểm t0 > 0, α ∈ (0, 1) f liên tục điểm t0 Chứng minh Vì f (t0 + ǫt01−α ) − f (t0 ) = f (t0 +ǫt1−α )−f (t0 ) ǫ ǫ nên ta có f (t0 + ǫt01−α ) − f (t0 ) lim ǫ ǫ→0 ǫ→0 ǫ lim[f (t0 + ǫt01−α ) − f (t0 )] = lim ǫ→0 Đặt h = ǫt01−α Khi lim [f (t0 + h) − f (t0 )] = f α (t0 ).0 = h→0 Điều chứng tỏ lim f (t0 + h) = f (t0 ) Do f (t) liên tục t0 h→0 Định lý cho ta số tính chất đạo hàm phân thứ Khalil Định lý 1.2 Cho α ∈ (0, 1) hàm f, g là α−khả vi điểm t > Khi (i) Tα (af + bg) = aTα (f ) + bTα (g), ∀a, b ∈ R, (ii) Tα (f g) = f Tα (g) + gTα (f ),   Tα (g) (iii) Tα fg = gTα (f )−f g2 Ngoài ra, f hàm khả vi theo nghĩa thơng thường (Tα f )(t) = t1−α df dt (t) Chứng minh Ta thấy tính chất (i) suy dễ dàng từ định nghĩa đạo hàm phân thứ Khalil Ta chứng minh tính chất cịn lại Trước hết, ta chứng minh (ii) Cố định t > 0, ta có f (t + ǫt1−α )g(t + ǫt1−α ) − f (t)g(t) (Tα f g)(t) = lim ǫ→0 ǫ f (t + ǫt1−α )g(t + ǫt1−α ) − f (t)g(t + ǫt1−α ) = lim ǫ→0 ǫ 1−α f (t)g(t + ǫt ) − f (t)g(t) + lim ǫ→0 ǫ   1−α f (t + ǫt ) − f (t) = lim g(t + ǫt1−α ) ǫ→0 ǫ g(t + ǫt1−α ) − g(t) + f (t) lim ǫ→0 ǫ = (Tα f )(t) lim g(t + ǫt1−α ) + f (t)(Tα g)(t) ǫ→0 Vì g liên tục t nên lim g(t + ǫt1−α ) = g(t) Vậy ta có (ii) ǫ→0   Ta chứng minh tính chất (iii) Trước hết, ta chứng tỏ Tα g1 = −Tα (g) g21(t) Thật vậy, theo định nghĩa đạo hàm phân thứ Khalil, ta có   = lim Tα ǫ→0 g g(t+ǫt1−α ) − g(t) ǫ g(t) − g(t + ǫt1−α ) = lim ǫ→0 ǫg(t)g(t + ǫt1−α ) g(t + ǫt1−α ) − g(t) = − lim ǫ→0 ǫg(t)g(t + ǫt1−α ) g(t + ǫt1−α ) − g(t) 1 = − lim × − T (g) α ǫ→0 ǫ g(t)g(t + ǫt1−α ) g (t) Sử dụng tính chất (ii), ta có       1 f = Tα f = f (t)Tα + Tα Tα (f ) g g g g(t) Tα (g) + Tα (f ) = −f (t) g (t) g(t) −f (t)Tα (g) + g(t)Tα (f ) = g (t) Cuối cùng, ta chứng minh tính chất cuối Đặt h = ǫt1−α Suy ǫ = tα−1 h Do f (t + ǫt1−α ) − f (t) (Tα f )(t) = lim ǫ→0 ǫ f (t + h) − f (t) f (t + h) − f (t) 1−α 1−α df = lim = t lim = t (t) h→0 h→0 htα−1 h dt Nhận xét 1.1 Một hàm α−khả vi điểm khơng thiết khả vi theo nghĩa thông thường Chẳng hạn, chọn hàm f (t) = 3t       Vì T f (t) = 1, ∀t > nên T f (0) = lim+ T f (t) = Tuy nhiên df dt (0) 3 t→0 không tồn Định nghĩa 1.2 [5] Cho hàm f : [a, +∞) −→ R Đạo hàm phân thứ Khalil cấp α định nghĩa sau: f (t + ǫ(t − a)1−α ) − f (t) , ∀t > 0, α ∈ (0, 1] ǫ→0 ǫ (Tαa f )(t) = lim Để đơn giản, a = 0, ta viết (Tα f )(t) thay (Tα0 f )(t) Ngồi ra, f α−khả vi khoảng (a, b) ta định nghĩa (Tαa f ) (a) = lim+ (Tαa f ) (t) t→a Chú ý f hàm khả vi theo nghĩa thơng thường ta có (Tαa f ) (t) = (t − a)1−α df dt (t) Các tính chất Định lý 1.2 với hàm f Định nghĩa 1.2 cách thay (t − a) t Ví dụ 1.1 Sử dụng Định lý 1.2, ta tính (i) Tαa ((t − a)p ) = p(t − a)p−α , ∀p ∈ R  (t−a)α  (t−a)α a = λeλ α (ii) Tα eλ α      α (t−a)α (iii) Tαa sin ω (t−a) + C = ω cos ω + C , ω, C ∈ R α α      α (t−a)α + C = −ω sin ω + C , ω, C ∈ R (iv) Tαa cos ω (t−a) α α   α (v) Tαa (t−a) = α Tiếp theo, chúng tơi trình bày định nghĩa tích phân phân thứ Khalil 16 Định nghĩa 2.1 Hàm ma trận mũ phân thứ Khalil có trễ eAt τ,α ma trận vuông A định nghĩa sau     0, −∞ < t < −τ,         I, −τ ≤ t ≤ 0, At eτ,α =    α  tα A2 (t−τ )  I + A + +  α 2! α        (k − 1)τ ≤ t < kτ A3 3!  (t−2τ )α α 3 + + Ak k!  (t−(k−1)τ )α α k , (2.2) Bổ đề 2.1 Hàm ma trận mũ phân thứ Khalil có trễ eBt τ,α nghiệm hệ phương trình vi phân Tα0 x(t) = Bx(t − τ ) (2.3) với điều kiện ban đầu x(t) = I, −τ ≤ t < Chứng minh Trước hết, ta chứng tỏ X(t) = eBt τ,α nghiệm hệ (2.3) Thật vậy, từ Định nghĩa 2.1 tính chất đạo hàm phân thứ Khalil, ta có Tα0 eBt τ,α "   # α α (t − τ ) t + Tατ B = Tα0 I + Tα0 B α 2! α "   # α k (t − (k − 1)τ ) + + Tα(k−1)τ B k k! α  2  k−1 α B (t − 2τ )α (t − (k − 1)τ )α Bk (t − τ ) =0+B+B + + + α 2! α (k − 1)! α "     # k−1 α α k−1 α B (t − 2τ ) (t − (k − 1)τ ) B (t − τ ) + + + =B I +B α 2! α (k − 1)! α  = BeBt τ,α Mặt khác, từ (2.2), ta có X(t) = I, ∀t ∈ [−τ.0) Từ ta có điều phải chứng minh 17 Tiếp theo, ta xây dựng ma trận nghiệm cho hệ (2.1) Định lý 2.1 Giả sử AB = BA Khi tα (2.4) 1t X (t) = eA α eB τ,α , với B1 = eA X (t) = e−A (t−τ )α −tα α (−τ )α α B nghiệm hệ (2.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu , −τ ≤ t < 0,  α   A tα  , t ≥ 0, e α t eA α :=  (−t)α   e−A α , −τ ≤ t < Chứng minh Rõ ràng −τ ≤ t < 0, ta có X (t) = e−A (2.5) (−τ )α α Bây ta chứng tỏ X (t) xác định công thức (2.4) nghiệm hệ (2.1) Thật vậy, B1 = eA (t−τ )α −tα α B nên theo Bổ đề , với t ≥ 0, ta có Tα0 X (t) = Tα0 h α e A tα B1 t eτ,α tα i tα B1 t 1t A α + eA α Tα0 eτ,α = eB τ,α Tα e i h tα tα B1 t 1t = A eA α eτ,α + eA α B1 eB τ,α = AX (t) + BX (t − τ ) Định lý chứng minh hoàn toàn Định lý cho ta công thức nghiệm toán Cauchy (2.1) Định lý 2.2 Xét hệ (2.1) Giả sử AB = BA Khi nghiệm tốn Cauchy (2.1) cho α X(t) = X (t)e A τα ϕ(−τ ) + Z −τ  τα  X (t − τ − s)eA α Tα0 ϕ(s) − Aϕ(s) sα−1 ds, X (t) xác định công thức (2.4) 18 Chứng minh Sử dụng phương pháp biến thiên số, với điều kiện ban đầu X(t) = ϕ(t), −τ ≤ t ≤ 0, nghiệm hệ (2.1) cho Z X (t − τ − s)y(s)ds, t ≥ −τ, X(t) = X (t)M + −τ M véc tơ số y(t) hàm véc tơ khả vi liên tục xác định sau Chú ý Z X (t − τ − s)y(s)ds = ϕ(t), −τ ≤ t ≤ X (t)M + −τ Trong biểu thức bên cho t = −τ sử dụng công thức (2.2) (2.4), ta thu τα ϕ(−τ ) = e−A α M, X (−2τ − s) = τα Từ suy M = eA α ϕ(−τ ) ϕ(t) = e α α A τ −(−t) α (t) eB τ,α ϕ(−τ ) + Z     0, −τ < s ≤ 0, α    e−A τα , s = −τ −τ X (t − τ − s)y(s)ds, −τ ≤ t ≤ B (t) Với −τ ≤ t ≤ 0, ta có eτ,α1 = I Do đó, ta có Z t α α A τ −(−t) (t−τ −s) α ϕ(t) = e ϕ(−τ ) + eA(t−τ −s) eB y(s)ds τ,α −τ Z + X (t − τ − s)y(s)ds, −τ ≤ t ≤ t B (t−τ −s) Vì eτ,α1 = I, −τ ≤ s ≤ t X (t − τ − s) = ϕ(t) = e Aτ α −(−t)α α ϕ(−τ ) + Z t     0, t < s ≤ α    e−A τα , s = t, nên ta có eA(t−τ −s) y(s)ds −τ Áp dụng tính chất đạo hàm phân thứ Khalil, ta thu Z t α α τα A τ −(−t) α ϕ(−τ ) + A eA(t−τ −s) y(s)ds + t1−α e−A α y(t) Tα ϕ(t) = Ae −τ 19 τα = Aϕ(t) + t1−α e−A α y(t)  τα  Từ suy y(t) = tα−1 eA α Tα0 ϕ(t) − Aϕ(t) Vậy, với t ≥ −τ , ta có α X(t) = X (t)e A τα ϕ(−τ ) + Z  τα  X (t − τ − s)eA α Tα0 ϕ(s) − Aϕ(s) sα−1 ds −τ Định lý chứng minh 2.2 Một ví dụ minh họa Xét phương trình vi phân phân thứ Khalil có trễ sau     T0,8 x(t) = 2x(t) + x(t − 1), t ∈ [0, T ]    x(0) = ϕ(t) = e−2,5(−t)0,8 , −1 ≤ t ≤ Áp dụng Định lý 2.2, với ≤ t ≤ T , ta có 2,5 x(t) = e X (t)ϕ(−1) + e 0,8 (e 2,5 2,5[(t−1)0,8 −t0,8 ] = e2,5t e1;0,8 Z )t −1   X (t − τ − s) Tα0 ϕ(s) − 2ϕ(s) s−0,2 ds Cho T ∈ Z+ , nghiệm x(t) hệ cho  0,8    e−2,5(−t) , −1 ≤ t ≤ 0,        0,8 0,8 0,8    e2,5t + 1, 25e2,5[−(1−t) −t ] t0,8 , ≤ t < 1,   x(t) = T P 0,8 0,8 0,8  0,8k 2,5k[(t−1) −t ] 2,5t   , (1, 25(t + − k)) 1+ e  k! e   k=1      k − ≤ t < k, k = 1, 2, , T 20 Chương Tính ổn định tiệm cận hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Khalil có trễ Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày phiên định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Khalil có trễ sở tham khảo tài liệu [4] Sau đó, chúng tơi áp dụng định lý để đưa số điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận hệ tuyến tính phân thứ phân thứ Khalil có trễ Đây kết nghiên cứu luận văn 3.1 Định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil có trễ Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil có trễ sau Tαt0 x(t) = f (t, x(t − τ )), t ≥ t0 , (3.1) α ∈ (0, 1] cấp phân thứ hệ, x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, f : R+ × C([−τ, 0]; Rn ) −→ Rn Điều kiện ban đầu hệ (3.1) xác định x(t0 + s) = φ(s), s ∈ [−τ, 0], (3.2) 21 φ(.) ∈ C([−τ, 0]; Rn ) Định nghĩa 3.1 Điểm x0 gọi điểm cân hệ (3.1) f (t, x0 ) ≡ Nhận xét 3.1 Bằng cách sử dụng số tính chất đạo hàm phân thứ Khalil, điểm cân hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil (3.1) chuyển gốc tọa độ Thật vậy, giả sử x 6= điểm cân hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil (3.1) Đặt y(t) = x(t) − x Khi hệ (3.1) trở thành Tαt0 y(t) = Tαt0 (x(t) − x) = Tαt0 x(t) − Tαt0 x = Tαt0 x(t) (3.3) = f (t, x(t − τ )) = f (t, y(t − τ ) + x) = g(t, y(t − τ )) g(t, 0) = y = điểm cân hệ với biến y(t) Do để nghiên cứu tính chất định tính điểm cân hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil, ta cần nghiên cứu tính chất định tính điểm gốc hệ Khơng tính tổng qt, ta ln giả thiết hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil (3.1) có điểm cân Định nghĩa 3.2 Giả sử hệ (3.1) có điểm cân Khi (i) Điểm cân hệ (3.1) gọi ổn định với t0 ∈ R, ǫ > 0, tồn số δ = δ(ǫ, t0 ) cho kφk < δ suy kx(t)k < ǫ, ∀t ≥ t0 (ii) Điểm cân hệ (3.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn số δa = δa (t0 ) > cho kφk < δa suy lim x(t) = t→+∞ (iii) Điểm cân hệ (3.1) gọi ổn định số δ xác định (i) không phụ thuộc vào t0 (iv) Điểm cân hệ (3.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn số δa > cho với s > có số T (s) cho kφk < δa suy kx(t)k < ǫ với t ≥ t0 + T (s), ∀t0 ∈ R 22 Từ sau, thay nói điểm cân hệ (3.1) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định đều, ổn định tiệm cận đều) ta nói hệ (3.1) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định đều, ổn định tiệm cận đều) Định lý Razumikhin cho hệ phân thứ Khalil phát biểu đưa N Kaewbanjak cộng năm 2022 [4] Định lý 3.1 [4] Giả sử κ1 , κ2 , κ3 : R+ −→ R+ hàm liên tục không giảm, κ1 (s) κ2 (s) hàm dương với s > 0, κ1 (0) = κ2 (0) = κ2 (.) hàm tăng chặt Nếu tồn hàm khả vi V : R+ × Rn −→ R+ thỏa mãn κ1 (kxk) ≤ V (t, x) ≤ κ2 (kxk) , ∀t ≥ 0, x ∈ Rn , (3.4) với t0 ∈ R+ , đạo hàm phân thứ Khalil cấp α hàm V (.) dọc theo quỹ đạo nghiệm hệ (3.1) thỏa mãn Tαt0 V (t, x(t)) ≤ −κ3 (kx(t)k), (3.5) mà V (t + s, x(t + s)) ≤ V (t, x(t)), ∀s ∈ [−τ, 0], hệ (3.1) ổn định Nếu κ3 (s) > với s > tồn hàm liên tục không giảm ζ(s) > s với s > thỏa mãn Tαt0 V (t, x(t)) ≤ −κ3 (kx(t)k), (3.6) mà V (t + s, x(t + s)) ≤ ζ (V (t, x(t))) , ∀s ∈ [−τ, 0] hệ (3.1) ổn định tiệm cận Hệ suy trực tiếp từ Định lý 3.1 Hệ đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu tính ổn định tiệm cận hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil có trễ Hệ 3.1 Hệ (3.1) ổn định tiệm cận tồn số dương c1 , c2 , c3 hàm khả vi V : R+ × Rn −→ R+ thỏa mãn hai điều kiện đây: 23 (i) c1 kx(t)k2 ≤ V (t, x(t)) ≤ c2 kx(t)k2 , ∀t ≥ 0, x(t) ∈ Rn (ii) Tαt0 V (t, x(t)) ≤ −c3 kx(t)k2 mà V (t + s, x(t + s)) ≤ pV (t, x(t)), ∀s ∈ [−τ, 0] p > 3.2 Tính ổn định tiệm cận hệ tuyến tính phân thứ Khalil có trễ có nhiễu cấu trúc Trong mục này, áp dụng Hệ qủa 3.1 để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Khalil có trễ nhiễu có cấu trúc Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Khalil có trễ nhiễu có cấu trúc sau     Tα0 x(t) = [A + ∆A(t)] x(t) + [D + ∆D(t)] x(t − τ ), t ≥ 0, (3.7)    x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], α ∈ (0, 1], x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái hệ, τ độ trễ hệ, φ(.) ∈ C([−τ, 0], Rn ) điều kiện ban đầu, A, D ∈ Rn×n ma trận số cho trước ∆A(t) = Ea Fa (t)Ha , ∆D(t) = Ed Fd (t)Hd , Ea , Ed , Ha , Hd ma trận số cho trước có số chiều thích hợp cho phép toán đại số ma trận thực được, Fa (t), Fd (t) ma trận hàm thỏa mãn FaT (t)Fa (t) ≤ I, FdT Fd (t) ≤ I Bằng cách sử dụng định lý Razumikhin cho hệ phân thứ kết hợp với kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính, định lý đưa điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận hệ (3.7) Định lý 3.2 Hệ (3.7) ổn định tiệm cận tồn ma trận đối xứng, xác định dương P , hai số dương ǫ1 , ǫ2 số dương ρ > cho 24 bất đẳng thức ma trận tuyến tính thỏa mãn   Ξ P D P Ea P E d  11     ∗ Ξ22  0     < 0,   ∗ ∗ −ǫ I     ∗ ∗ ∗ −ǫ2 I (3.8) Ξ11 = P A + AT P + ǫ1 HaT Ha + ρP, Ξ22 = −P + HdT Hd Chứng minh Xét hàm Lyapunov sau V (t) = V (t, x(t)) = xT (t)P x(t) Dễ kiểm tra λmin (P )kx(t)k2 ≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P )kx(t)k2 Do điều kiện (i) Hệ 3.1 thỏa mãn với c1 = λmin (P ), c2 = λmax (P ) Áp dụng Bổ đề 1.3, ta tính đạo hàm phân thứ Khalil cấp α hàm V (t) dọc theo quỹ đạo nghiệm x(t) hệ (3.7) sau Tα0 V (t) = 2xT (t)P Tα0 x(t)   = xT (t) P A + AT P x(t) + 2xT (t)P Ea Fa (t)Ha x(t) (3.9) + 2xT (t)P Dx(t − τ ) + 2xT (t)P Ed Fd (t)Hd x(t − τ ) Áp dụng Bổ đề 1.1, ta thu ước lượng T T T T 2xT (t)P Ea Fa (t)Ha x(t) ≤ ǫ−1 x (t)P Ea Ea P x(t) + ǫ1 x (t)Ha Ha x(t), (3.10) 2xT (t)P Ed Fd (t)Hd x(t − τ ) ≤ T T ǫ−1 x (t)P Ed Ed P x(t) (3.11) T + ǫ2 x (t − τ )HdT Hd x(t − τ ) 25 Từ điều kiện (3.9), (3.10) (3.11), ta có Tα0 V (t)   −1 T T T x(t) (3.12) P + ǫ P E E P + ǫ H H ≤ xT (t) P A + AT P + ǫ−1 P E E d a a d a a + ǫ2 xT (t − τ )HdT Hd x(t − τ ) Vì V (t, x(t)) = xT (t)P x(t) nên theo Hệ 3.1, tồn số dương ρ > cho V (t + s, x(t + s)) < ρV (t, x(t)), ∀s ∈ [−τ, 0] Do ta có ρxT (t)P x(t) − xT (t − τ )P x(t − τ ) > (3.13) Kết hợp điều kiện (3.12) (3.13), ta có Tα0 V (t) ≤ ζ T (t)Ωζ(t), (3.14) T   ζ (t) = x (t) x (t − τ ) ,    Ω11 P D Ω= , T D P Ω22 T T T T Ω11 = P A + AT P + ǫ1 P Ea EaT P + ǫ−1 P Ed Ed P + ǫ1 Ha Ha + ρP, Ω22 = −P + HdT Hd Áp dụng Bổ đề 1.2, ta có Ω < tương đương với điều kiện (3.8) Do điều kiện (ii) Hệ 3.1 thỏa mãn với c3 = −λmax (Ω) Theo Hệ 3.1, hệ (3.7) ổn định tiệm cận Khi ∆A(t) = 0, ∆D(t) = 0, hệ (3.7) trở thành     Tα0 x(t) = Ax(t) + Dx(t − τ ), t ≥ 0,    x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0] (3.15) 26 Nhận xét 3.2 Bài tốn nghiên cứu tính ổn định tiệm cận cho hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học có số cơng bơ toán O Naifar [10] cộng nghiên cứu tính ổn định cho hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil phi tuyến phụ thuộc tham số Bằng kỹ thuật đánh giá bất đẳng thức, tác giả [6] đưa số điều kiện đủ cho tồn nghiệm tính ổn định mũ cho mạng nơ ron Hopfield phân thứ Sau kết cải tiến bới M.V Thuan cộng [7] Chú ý kết [6, 7, 10] nghiên cứu tính ổn định cho số lớp hệ phương trình vi phân thứ Khalil khơng có trễ Định lý 3.2 đưa điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận cho lớp hệ tuyến tính phân thứ có nhiễu cấu trúc có trễ Hệ suy trực tiếp từ Định lý 3.1 Hệ 3.2 Hệ (3.15) ổn định tiệm cận tồn ma trận đối xứng, xác định dương P số dương ρ > cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính thỏa mãn   T P A + A P + ρP P D  <  T D P −P Sau đây, ta đưa ví dụ minh họa cho Định lý 3.1 Ví dụ 3.1 Xét hệ (3.7) α ∈ (0, 1], x(t) ∈ R2       0, 5 −5  A=  , Ea =   , Ha = 0, , Fa (t) = sin t, 0, 0.5 −3       0, 5 0,  D=  , Ed =   , Hd = 0, 0, , Fd (t) = cos t 0, 0, −1 (3.16) 27 Cho ρ = 1, 01 Sử dụng hộp công cụ LMI Control Tool Box MATLAB, ta thấy điều kiện  (3.8) Định lý 3.1 thỏa mãn với ǫ1 = 142.1289, ǫ2 =  113, 6826 −13, 0118 449.9943 P =   Vậy hệ cho ổn định tiệm cận −13, 0118 145, 5417 28 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ Khalil bao gồm đạo hàm tích phân phân thứ Khalil; • Trình bày cơng thức nghiệm cho tốn Cauchy hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil tuyến tính khơng hệ số hằng; • Trình bày cơng thức biểu diễn nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Khalil có trễ; • Trình bày định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil có trễ; • Đưa điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận hệ tuyến tính phân thứ Khalil có trễ có nhiễu cấu trúc 29 Tài liệu tham khảo [1] T Abdeljawad (2015), “On conformable fractional calculus”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 279, pp 57–66 [2] D.R Anderson, E Camrud, and D.J Ulness (2019), “On the nature of the conformable derivative and its applications to physics”, Journal of Fractional Calculus and Applications, 10(2), pp 92–135 [3] S Boyd, L.E Ghaoui, E Feron and V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [4] N Kaewbanjak, W Chartbupapan, K Nonlaopon, and K Mukdasai (2022), “The Lyapunov-Razumikhin theorem for the conformable fractional system with delay”, AIMS Mathematics, 7(3), pp 4795–4802 [5] R Khalil, M Al Horani, A Yousef and M Sababheh (2014), “A new definition of fractional derivative”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 264, pp 65–70 [6] A Kă utahyaloglu, and F Karakoác (2021), Exponential stability of Hopfield neural networks with conformable fractional derivative”, Neurocomputing, 456, pp 263–267 [7] N.T.T Huyen, N.H Sau, and M.V Thuan (2022), “LMI conditions for fractional exponential stability and passivity analysis of uncertain Hopfield 30 conformable fractional-order neural networks”, Neural Processing Letters, 54(2), pp 1333–1350 [8] N.I Mahmudov, and M Aydın (2021), “Representation of solutions of nonhomogeneous conformable fractional delay differential equations”, Chaos, Solitons & Fractals, 150, p 111190 [9] F Martínez, I Martínez, M.K.A Kaabar and S Paredes (2021), “Solving systems of conformable linear differential equations via the conformable exponential matrix”, Ain Shams Engineering Journal, 12(4), pp 4075– 4080 [10] O Naifar, G Rebiai, A.B Makhlouf, M.A Hammami, and A GuezaneLakoud (2020), “Stability analysis of conformable fractional-order nonlinear systems depending on a parameter”, Journal of Applied Analysis, 26(2), pp 287–296 [11] A Souahia, A.B Makhlouf and M Ali Hammami (2017), “Stability analysis of conformable fractional-order nonlinear systems”, Indagationes Mathematicae, 28(6), pp 1265–1274 [12] G Xiao, and J Wang (2021), “Representation of solutions of linear conformable delay differential equations”, Applied Mathematics Letters, 117, p 107088