Có thể nói kỹ thuật chính được sử dụng để nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên đó là phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii kết hợp với các bất đẳng thức tích ph
Tích phân phân thứ
Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Định nghĩa 1.1 ([15]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→R được cho bởi t 0I t α x(t) := 1 Γ(α)
(t−s) α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) +∞
Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t 0 I t α := I với I là toán tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lý sau. Định lý 1.1 ([15]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b] Khi đó, tích phân t 0 I t α x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, t 0 I t α x cũng là một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
(i) Cho x(t) = (t−a) β , ở đây β > −1 và t > a Với bất kì α > 0, chúng ta có t 0I t α x(t) = Γ(β+ 1) Γ(α+β+ 1)(t−a) α+β , t > a.
(ii) Cho x(t) = e λt , λ >0 Với bất kì α > 0, chúng ta có t 0I t α x(t) = λ −α
Đạo hàm phân thứ
Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Định nghĩa 1.2 ([15]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→R được cho bởi
(t−s) n−α−1 x(s)ds,trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dt d n n là đạo hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function) f(t)
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f(t) là
0 D t α f(t) = t −α Γ(1−α). Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b] Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: f(t) ∈AC[a, b] ⇔ f(t) = c+
Z t a ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), do đó một hàm tuyệt đối liên tục f(t) có đạo hàm f 0 (t) =ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b].
Với n ∈N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1 ([15]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f(t) có dạng như sau: f(t) = t 0 I t α ϕ(t) + n−1
X k=0 ck(t−t0) k , trong đó ϕ(t) ∈L(a, b), c k (k = 0,1, , n−1) là các hằng số tùy ý và t 0I t α ϕ(t) = 1
Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có ϕ(s) =f (n) (s), c k = f (k) (t0) k! (k = 0,1, , n−1). Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville. Định lý 1.2 ([15]) Cho α ≥ 0, n = dαe Nếu f(t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm phân thứ RL t
0 D t α f(t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau
Z t t 0 f (n) (s)ds (t−s) α−n+1 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2
Hệ quả 1.1 ([15]) Nếu 0 < α 0 và f(t) ∈C[a, b] Khi đó ta có
Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây Định lý 1.5 ([15]) Cho α >0, n = [α] + 1 Nếu f(t) ∈ AC n [a, b] thì t 0I t α C t
X k=0 f (k) (t 0 ) k! (t−t 0 ) k Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f(t) ∈ AC[a, b] thì t 0I t α C t 0 D α t f(t)
= f(t)−f(t 0 ). Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville. Định lý 1.6 [15] Cho α > 0 và đặt n = dαe Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng ta có:
! , với hầu hết t ∈[a, b]. Định lý 1.7 (Bổ đề 2.3, trang 73 trong cuốn sách chuyên khảo của A.A. Kilbas và các đồng tác giả [15]) Cho các số dương α > 0, β > 0 Giả sử rằng f(t) là một hàm liên tục Khi đó ta có đẳng thức sau đây t 0I t α t 0I t β f(t)
Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ
Trong mục này chúng tôi trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ.
Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler. Định nghĩa 1.4 [14] Cho α ∈C, một hàm E α :C −→ C xác định bởi
X k=0 z k Γ(αk+ 1), được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.1 Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có
Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ. Định nghĩa 1.5 [14] Cho α, β ∈ C, một hàm E α,β : C −→ C xác định bởi
X k=0 z k Γ(αk +β), được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là
Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của A.A Kilbas [15]. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo sau đây
(1.1) trong đó α ∈(0,1), x = (x1, x2, , xn) T ∈ R n là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 là thời điểm ban dầu, và f : [0,+∞)× R n −→ R n là một hàm liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x. Định nghĩa 1.6 ([37]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) nếu và chỉ nếuf(t, x) = 0.
Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọi điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) có thể chuyển về gốc tọa độ 0 Thật vậy, giả sử x 6= 0 là một điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) Đặty(t) = x(t)−x. Khi đó hệ (1.1) trở thành
(1.2) trong đó g(t,0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t) Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng bất kỳ của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo, ta chỉ cần nghiên cứu tính chất định tính của điểm gốc 0 của hệ Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) có điểm cân bằng là 0. Định nghĩa 1.7 ([37]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) có một điểm cân bằng x = 0 Khi đó hệ (1.1) được gọi là ổn định Mittag–Leffler nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn kx(t)k ≤ [m(x0)Eα(−λ(t−t0) α )] b , ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≤ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x∈ R n với hằng số Lipschitz m 0
Nhận xét 1.2 ([37]) Nếu hệ (1.1) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm cận, tức là lim t−→+∞kx(t)k = 0. Định lý dưới đây được đưa ra bởi các tác giả Y Li, Y Q Chen, và
I Podlubny Định lý cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) Đây được xem là phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo. Định lý 1.8 ([21]) Hệ (1.1) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương α1, α2, α3, a, b và một hàm khả vi liên tục V(t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện:
(ii) C t 0 D t α V(t, x(t)) ≤ −α 3 kx(t)k ab , trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0,1) và V(t, x(t)) : [0,+∞)×D −→ R là hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0 trong R n Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong
R n thì hệ (1.1) là Mittag–Leffler ổn định toàn cục.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ Đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ, B Chen và J Chen [6] đã đưa ra một phiên bản mới của Định lý Razumikhin cho hệ phân thứ có trễ Theo như sự hiểu biết của chúng tôi, đây là một trong những phương pháp quan trọng để nghiên cứu tính ổn định và một số tính chất liên quan của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ. Định lý 1.9 [6] Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ
0, f : [t 0 ,+∞)×C([t 0 −τ, t 0 ],R n ) → R n là một hàm liên tục từng khúc theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương trên [t0,+∞), xt 0 φ ∈ C([t 0 − τ, t 0 ],R n ) là điều kiện ban đầu Giả sử tồn tại ba hằng số dương a1, a2, a3 và một hàm khả vi V :R×R n −→ R thỏa mãn
(i)a 1 kxk 2 ≤ V(x)≤ a 2 kxk 2 , và đạo hàm phân thứ cấp α của hàm V(.) thỏa mãn
(ii) C t 0 D t α V(x(t)) ≤ −a 3 kxk 2 khi mà V(x(t+s)) ≤ γV(x(t)), s ∈ [−τ,0], với γ > 1 nào đó.
Khi đó hệ ổn định tiệm cận.
Bài toán điều khiển H ∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên có trễ biến thiên
nguyên có trễ biến thiên
Trong chương này chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán điều khiển H ∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên có trễ biến thiên Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo V.N Phat và H Trinh [25].
Xét hệ nơ ron thần kinh có trễ biến thiên sau đây
(1.3) trong đó τ = max{τ 1 , τ2}, x(t) ∈ R n là véc tơ trạng thái của hệ nơ ron, u(.) ∈ L 2 ([0, s),R m ), s > 0, m ≤ n là véc tơ điều khiển, w(.) ∈
L2([0,∞),R r ), r ≤ n là véc tơ nhiễu đầu vào của hệ nơ ron,z(t) ∈ R l , l ≤ n là véc tơ quan sát của hệ nơ ron Các hàm f(x(t)) = [f 1 (x 1 (t)), f 2 (x 2 (t)), , f n (x n (t))], g(x(t)) = [g 1 (x 1 (t)), g 2 (x 2 (t)), , g n (x n (t))], h(x(t)) = [h 1 (x 1 (t)), h 2 (x 2 (t)), , h n (x n (t))] là các hàm kích hoạt của hệ nơ ron A = diag{a1, a2, , an}, ai >
R l×n là các ma trận hằng số cho trước φ(.) ∈ C([−τ,0],R n ) với chuẩn xác định bởi kφk = maxt∈[−τ,0]kφ(t)k.
Trong mục này, ta giả thiết độ trễ τ1(t), τ2(t) là các hàm liên tục thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây.
Hàm kích hoạt f(.), g(.), h(.) thỏa mãn f(0) = h(0) = g(0) = 0 và thỏa mãn điều kiện dưới đây
(1.4) trong đó ξ i > 0, σ i > 0, η i >0, i = 1,2, , n là các hằng số cho trước. Định nghĩa 1.8 Cho trước sốβ > 0 Hệ (1.3), trong đów(t) = 0, z(t) 0, là β−ổn định hóa nếu tồn tại một điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ trạng thái u(t) =Kx(t) sao cho mọi nghiệm x(t, φ) của hệ đóng sau đây
∃N > 0 : kx(t, φ)k ≤Nkφke −βt , ∀t ≥ 0. Định nghĩa 1.9 Cho các số dương β > 0, γ > 0 Bài toán điều khiển
H ∞ cho hệ (1.3) có nghiệm nếu tồn tại một điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ trạng thái u(t) =Kx(t) thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
(i) Hệ (1.3) với w(t) = 0, z(t) = 0 là β−ổn định hóa.
(ii) Tồn tại một số c 0 > 0 sao cho bất đẳng thức dưới đây thỏa mãn với mọi điều kiện ban đầu φ(.) ∈ C([−τ,0],R n ) và véc tơ nhiễu đầu vào w(.)∈ L 2 ([0,∞),R n ). Để nghiên cứu bài toán điều khiển H ∞ cho hệ (1.3), ta giả thiết
= 0, D T D = I m Định lý dưới đây đưa ra một tiêu chuẩn cho bài toán điều khiển H ∞ cho mạng nơ ron thần kinh (1.3) trong trường hợp độ trễ là hàm khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện (H1). Định lý 1.10 [25] Giả sử giả thiết (H1) thỏa mãn Cho trước số β > 0. Bài toán điều khiển H∞ cho hệ nơ ron thần kinh (1.3) có nghiệm nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ R n×n , hai ma trận đường chéo chính xác định dương D1, D2 sao cho các bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau đây được thỏa mãn
H = diag{η1, η2, , ηn}, α1 = λmin(P), σ 2 = max{σ i 2 , i = 1,2, , n}, η 2 = max{η i 2 , i = 1,2, , n}, α 2 = λ max (P) +σ 2 à 1 τ 1 +λ max (W 2 I )η 2 à 2 τ 2 e 2βτ 2 , N rα2 α 1 Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định cho bởi u(t) = 1
Trong trường hợp độ trễ là hàm liên tục nhưng không nhất thiết khả vi, định lý dưới đây đưa ra một điều kiện đủ giải bài toán điều khiển H∞ cho hệ (1.3). Định lý 1.11 [25] Giả sử giả thiết (H2) thỏa mãn Bài toán điều khiển
H ∞ cho hệ nơ ron thần kinh (1.3) có nghiệm nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương P, hai ma trận đường chéo chính xác định dương
D 1 , D 2 sao cho các bất đẳng thức ma trận dưới đây được thỏa mãn
F = diag{ξ1, ξ2, , ξn}, p = λmax(P), w = λmax(W 2 I ), σ 2 = max{σ i 2 , i = 1,2, , n}, η 2 = max{η i 2 , i = 1,2, , n}.
Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định cho bởi u(t) = 1
Nhận xét 1.3 Định lý 1.7 đưa ra một tiêu chuẩn giải bài toán điều khiển H∞ cho hệ (1.3) trong trường hợp độ trễ là hàm khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện(H1)bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov– Krasovskii và kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính Bằng cách sử dụng định lý Razumikhin và kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính, Định lý 1.8 đưa ra lời giải cho bài toán điều khiển H∞ cho hệ (1.3) trong trường hợp độ trễ là hàm liên tục không nhất thiết khả vi Chú ý rằng các tiêu chuẩn trong các Định lý 1.7 và Định lý 1.8 áp dụng cho hệ nơ ron thần kinh với đạo hàm bậc nguyên Trong Chương 2 của luận văn, chúng tôi sẽ trình bày một vài tiêu chuẩn giải bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Caputo có trễ biến thiên bằng cách sử dụng định lý Razumikhin cho hệ phân thứ và kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
Điều khiển H ∞ cho mạng nơ ron Hopfield phân thứ có trễ biến thiên 22 2.1 Phát biểu bài toán và một số định nghĩa
Thiết kế điều khiển H ∞ cho hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ biến thiên
thứ có trễ biến thiên Để giải bài toán thiết kế điều khiển H ∞ cho hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ biến thiên (2.1), trước hết, chúng tôi trình bày một điều kiện đủ cho tính ổn định hóa của hệ (2.1) khi không có tác động của nhiễu bên ngoài, tức là ω(t) ≡ 0. Định lý dưới đây cho ta một tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa của hệ (2.1) khi không có tác động của nhiễu bên ngoài. Định lý 2.1 Giả sử Giả thiết 2.1 thỏa mãn Hệ đóng (2.3) khi không có tác động của nhiễu bên ngoài ổn định tiệm cận nếu tồn tại các ma trận
P, Z ∈ S n ++, một ma trận X ∈ S 3n +, ba ma trận Λ i = diag{λ i1 , λ i2 , , λ in } ∈
D n ++(i = 1,2,3) và một ma trận Y ∈ R n×n thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính dưới đây
Ω1 =sym e T 1 P e5−e T 1 Ze5 +e T 1 ZGe3 +e T 1 ZCe4−e T 5 ZAe1+e T 5 ZGe3
Hơn nữa, ma trận điều khiển ổn định hóa hệ xác định bởi
Chứng minh Xét hàm Lyapunov dưới đây cho hệ (2.3) với ω(t)≡ 0:
Dễ dàng kiểm tra được λmin(P)kz(t)k 2 ≤ V(t, z(t)) ≤ λmax(P)kz(t)k 2 Suy ra điều kiện (i) trong Định lý 1.9 được thỏa mãn Vì V(t) là một hàm lồi khả vi trên R n và V(t,0) = 0 nên áp dụng Bổ đề 1.3, ta tính được đạo hàm Caputo cấp α của hệ (2.3) với ω(t)≡ 0 như sau:
(2.5) trong đó η(t) = [z T (t)z T (t − h(t))f T (z(t))f T (z(t − h(t))) (D α t z(t)) T ] T Với ma trận X ∈ S 3n +, ta có ước lượng sau đây h α α −1 ξ T (t)Xξ(t)−
Mặt khác, với ma trận Z ∈S n ++, ta có đẳng thức dưới đây
Từ Giả thiết 2.1, với λji >0, (j = 1,2,3, i = 1,2, , n), ta có
Vì V(t, z(t)) = z T (t)P z(t) nên theo Định lý 1.9 tồn tại số dương ρ > 1 sao cho
Kết hợp các điều kiện (2.5)–(2.9) và đặt Y =ZK, ta thu được
Vì ρ > 1 là một số tùy ý và vế phải D t α V(t, z(t)) không phụ thuộc vào ρ nên cho ρ → 1 + , bất đẳng thức (2.10) trở thành
Vì Rt t−h(t)(t−s) α−1 ξ T (t)Xξ(t)ds ≥ 0, nên ta có
Từ (2.4), ta có D t α V(t, z(t)) < 0 Vậy, điều kiện (ii) trong Định lý 1.9 cũng thỏa mãn Vậy hệ (2.3), khi không có tác động của nhiễu bên ngoài, ổn định tiệm cận.
Bây giờ, dựa trên tiêu chuẩn ổn định hóa bên trên và một số tính chất của giải tích phân thứ, chúng tôi trình bày bài toán thiết kế điều khiển
H ∞ cho hệ (2.1) Để thuận tiện cho việc trình bày, ta ký hiệu rj h
0 p×5n I p i Định lý dưới đây cho ta một tiêu chuẩn giải bài toán thiết kế điều khiển
H ∞ cho hệ (2.1). Định lý 2.2 Cho số dương γ Bài toán điều khiển H∞ cho hệ (2.1) có nghiệm nếu tồn tại các ma trận P, Z ∈ S n ++, một ma trận X ∈ S 3n + , ba ma trận Λi = diag{λ i1 , λi2, , λin} ∈ D n ++(i = 1,2,3) và một ma trận
Y ∈ R n×n thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau đây Ξ = h α α −1 Θ T XΘ + Ξ 1 + Ξ 2 + Ξ 3 < 0, (2.13) trong đó Θ h r 1 T r T 2 r T 5 iT
,Θ1 = r3 −Σ1r1, Θ 2 = Σ 2 r 1 −r 3 , Θ 3 = r 4 −Σ 1 r 2 , Θ 4 = Σ 2 r 2 −r 4 , Θ 5 = r 3 −r 4 −Σ 1 (r 1 −r 2 ), Θ 6 = Σ 2 (r 1 −r 2 )−r 3 +r 4 , Ξ 1 = sym r 1 T P r 5 −r 1 T Zr 5 +r 1 T ZGr 3 +r T 1 ZCr 4 +r 1 T ZDr 6 −r 5 T ZAr 1 +r 5 T ZGr 3 +r 5 T ZCr 4 +r T 5 ZDr 6 +r T 5 Y r 1
Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ cho bởi u(t) = Z −1 Y z(t), t ≥ 0.
Chứng minh Khi ω(t) ≡ 0, điều kiện (2.13) suy ra điều kiện (2.4) Do đó, từ Định lý 2.1, hệ đóng tương ứng ổn định tiệm cận Để giải bài toán thiết kế điều khiển H ∞ cho hệ (2.1), ta chọn hàm Lyapunov tương tự như trong chứng minh Định lý 2.1 Sử dụng các kỹ thuật tương tự như chứng minh Định lý 2.1, ta thu được ước lượng dưới đây
Lấy tích phân hai vế của (2.15) theo t với cận từ 0 tới Tf, ta thu được
Z T f 0 γω T (t)ω(t)dt