Điều khiển h∞ cho hệ phương trình vi phân phân thứ khalil

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI THỊ THU ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ KHALIL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2022 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI THỊ THU ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ KHALIL Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS MAI VIẾT THUẬN TS NGUYỄN THỊ NGỌC OANH THÁI NGUYÊN - 2022 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức tích phân đạo hàm phân thứ Khalil 6 1.2 Nghiệm phương trình vi phân phân thứ Khalil tuyến tính hệ số 10 1.3 Tính ổn định hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil 13 Chương Điều khiển H∞ cho hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil có nhiễu phi tuyến 19 2.1 Phát biểu toán số định nghĩa 19 2.2 Hiệu suất H∞ 21 2.3 Bài toán điều khiển H∞ 26 LỜI NÓI ĐẦU Năm 2014, R Khalil [4] cộng đưa loại đạo hàm phân thứ chứa đạo hàm theo nghĩa cổ điển trường hợp đặc biệt Một số tính chất quan trọng đạo hàm phân thứ Khalil qui tắc hàm hợp, hàm mũ, bất đẳng thức Gronwall, cơng thức tính tích phân phần tích phân phân thứ Khalil, mở rộng chuỗi lũy thừa Talor biến đổi Laplace trình bày cách hệ thống cơng trình T Abdeljawad [1] Một số nhà khoa học đạo hàm tích phân phân thứ Khalil có nhiều ứng dụng vật lý kỹ thuật Do đạo hàm tích phân phân thứ Khalil trở thành chủ đề quan trọng nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học [6, 10] Chẳng hạn, tốn nghiên cứu tính ổn định ổn định tiệm cận cho lớp hệ tuyến tính phân thứ Khalil nghiên cứu [10] A.B Makhlouf cộng [6] nghiên cứu toán ổn định thời gian hữu hạn bị chặn thời gian hữu hạn cho lớp hệ tuyến tính phân thứ Khalil Như biết, nhiều nguyên nhân việc mơ hình hóa khơng xác, xấp xỉ tuyến tính, nhiễu bên ngồi, sai số đo đạc, nhiễu loạn thường tránh khỏi hệ thống vật lý thực Do nghiên cứu hiệu suất suy giảm nhiễu thơng qua phương pháp kiểm sốt H∞ toán quan trọng nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Nhiều kết nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho nhiều lớp hệ phương trình vi phân với bậc ngun cơng bố năm gần [3, 5, 8, 9, 11, 14, 15] Bài toán điều khiển H∞ cho hệ nơ ron thần kinh thời gian hữu hạn nghiên cứu [12] Chú ý kết [12] thu hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Năm 2021, M.V Thuan [13] cộng nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil có nhiễu phi tuyến cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính Luận văn tập trung trình bày số tiêu chuẩn giải toán điều khiển H∞ cho hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil có nhiễu phi tuyến sở đọc hiểu trình bày lại cách chi tiết nội dung báo tài liệu [13] Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, trước hết, trình bày số khái niệm giải tích phân thứ Khalil bao gồm đạo hàm tích phân phân thứ Khalil Tiếp theo, chúng tơi trình bày cơng thức nghiệm tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính khơng Cuối chương, chúng tơi trình bày tính ổn định hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil phương pháp hàm Lyapunov Nội dung chương viết dựa tài liệu [1, 4, 7, 10] Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn giải toán điều khiển H∞ cho hệ phương trình vi phân phi tuyến phân thứ Khalil Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [13] Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học Những người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q trình thực đề tài luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể q thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều AT ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) khơng gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn Tα toán tử đạo hàm phân thứ Khalil cấpα Iαa tốn tử tích phân phân thứ Khalil cấpα Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày số kiến thức đạo hàm phân thứ phù hợp, tích phân phân thứ phù hợp Tiếp theo chúng tơi trình bày cơng thức nghiệm tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính không Cuối chương, trình bày tính ổn định hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil phương pháp hàm Lyapunov Nội dung trình bày chương tham khảo tài liệu [1, 4, 7, 10] 1.1 Một số kiến thức tích phân đạo hàm phân thứ Khalil Cho hàm f : [0, +∞) −→ R Khi đạo hàm cấp hàm f t cho df dt = lim f (t+ )−f (t) Một câu hỏi tự nhiên xuất liệu ta sử →0 dụng định nghĩa tương tự cho đạo hàm phân thứ cấp α hay khơng, α ∈ (0, 1) tổng quát α ∈ (n, n + 1], n ∈ N Năm 2014, R Khalil cộng giới thiệu loại đạo hàm phân thứ sau Định nghĩa 1.1 [4] Cho hàm f : [0, +∞) −→ R Đạo hàm phân thứ Khalil cấp α định nghĩa sau: (Tα f )(t) = lim f (t + t1−α ) − f (t) →0 , ∀t > 0, α ∈ (0, 1] Khi ta nói hàm f α− khả vi Hơn nữa, hàm f α− khả vi khoảng (0, a), với a > lim+ (Tα f )(t) tồn Khi ta định nghĩa t→0 (Tα f )(0) = lim+ (Tα f )(t) t→0 Định lý sau khẳng định hàm f (t) α- khả vi điểm t0 liên tục điểm Định lý 1.1 [4] Nếu hàm f : [0, +∞) −→ R α−khả vi điểm t0 > 0, α ∈ (0, 1) f liên tục điểm t0 Chứng minh Vì f (t0 + t01−α ) − f (t0 ) = lim[f (t0 + →0 t01−α ) − f (t0 )] = lim f (t0 + t1−α )−f (t0 ) nên ta có f (t0 + t1−α ) − f (t0 ) →0 lim →0 Đặt h = t01−α Khi lim [f (t0 + h) − f (t0 )] = f α (t0 ).0 = h→0 Điều chứng tỏ lim f (t0 + h) = f (t0 ) Do f (t) liên tục t0 h→0 Định lý cho ta số tính chất đạo hàm phân thứ Khalil Định lý 1.2 Cho α ∈ (0, 1) hàm f, g là α−khả vi điểm t > Khi (i) Tα (af + bg) = aTα (f ) + bTα (g), ∀a, b ∈ R, (ii) Tα (f g) = f Tα (g) + gTα (f ), (iii) Tα f g = gTα (f )−f Tα (g) g2 Ngoài ra, f hàm khả vi theo nghĩa thơng thường (Tα f )(t) = t1−α df dt (t) Chứng minh Ta thấy tính chất (i) suy dễ dàng từ định nghĩa đạo hàm phân thứ Khalil Ta chứng minh tính chất cịn lại Trước hết, ta chứng minh (ii) Cố định t > 0, ta có (Tα f g)(t) = lim f (t + t1−α )g(t + t1−α ) − f (t)g(t) →0 = lim f (t + t1−α )g(t + t1−α ) − f (t)g(t + t1−α ) →0 + lim f (t)g(t + t1−α ) − f (t)g(t) →0 = lim →0 f (t + t1−α ) − f (t) g(t + t1−α ) g(t + t1−α ) − g(t) + f (t) lim →0 = (Tα f )(t) lim g(t + t1−α ) + f (t)(Tα g)(t) →0 Vì g liên tục t nên lim g(t + t1−α ) = g(t) Vậy ta có (ii) →0 Ta chứng minh tính chất (iii) Trước hết, ta chứng tỏ Tα g = −Tα (g) g21(t) Thật vậy, theo định nghĩa đạo hàm phân thứ Khalil, ta có Tα g = lim g(t+ t1−α ) − g(t) →0 g(t) − g(t + t1−α ) →0 g(t)g(t + t1−α ) g(t + t1−α ) − g(t) = − lim →0 g(t)g(t + t1−α ) g(t + t1−α ) − g(t) = − lim × = lim →0 1 − Tα (g) 1−α g(t)g(t + t ) g (t) Sử dụng tính chất (ii), ta có Tα f g 1 Tα (f ) = f (t)Tα + g g g(t) Tα (g) = −f (t) + Tα (f ) g (t) g(t) −f (t)Tα (g) + g(t)Tα (f ) = g (t) = Tα f Cuối cùng, ta chứng minh tính chất cuối Đặt h = t1−α Suy = tα−1 h Do (Tα f )(t) = lim f (t + t1−α ) − f (t) →0 f (t + h) − f (t) f (t + h) − f (t) df = t1−α lim = t1−α (t) α−1 h→0 h→0 ht h dt = lim Nhận xét 1.1 Một hàm α−khả vi điểm khơng thiết khả vi theo nghĩa thông thường Chẳng hạn, chọn hàm f (t) = 3t Vì T f (t) = 1, ∀t > nên T f (0) = lim+ T f (t) = Tuy nhiên không tồn t→0 df dt (0) 23 Định lý 2.2 Hệ (2.3) ổn định mũ với hiệu suất H∞ mức γ tồn ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n , bốn số dương cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau  Ψ11 P Ea P P P Ed   ∗ − I 0    ∗ ∗ − 2I 0    ∗ ∗ ∗ − 3I    ∗ ∗ ∗ ∗ − 4I  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1, 2, 3, thỏa mãn  PD        < 0,      Ψ55 (2.11) Ψ11 = P A + AT P + Ψ55 = T Gw Gw + T Ha Ha T Hd Hd + T Ga Ga + C T C, − γI Chứng minh Khi ω(t) ≡ 0, điều kiện (2.11) suy điều kiện (2.5) Do từ Định lý 2.1, ta suy hệ (2.3) với ω(t) ≡ 0, y(t) ≡ ổn định mũ Để chứng tỏ hệ (2.3) đạt hiệu suất H∞ mức γ > 0, ta chọn hàm Lyapunov giống chứng minh Định lý 2.1 Sử dụng điều kiện ban đầu không Định lý 1.3, ta có ước lượng sau tf tα−1 (y T (t)y(t) − γω T (t)ω(t))dt Jtf = tf tα−1 (Tα V (x(t)) + y T (t)y(t) − γω T (t)ω(t))dt − V (x(tf )) = Vì V (x(tf )) = xT (tf )P x(tf ) ≥ nên ta thu tf tα−1 (Tα V (x(t)) + y T (t)y(t) − γω T (t)ω(t))dt Jtf ≤ (2.12) Mặt khác, ta có Tα V (x(t)) = 2xT (t)P Tα x(t) = xT (t)[P A + AT P ]x(t) + 2xT (t)P Ea Fa (t)Ha x(t) + 2xT (t)P f (t, x(t)) + 2xT (t)P g(t, ω(t)) + 2xT (t)P Dω(t) + 2xT (t)P Ed Fd (t)Hd ω(t) (2.13) 24 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ma trận kết hợp với điều kiện (Ass1) (Ass2), ta thu −1 T x (t)P P x(t) 2xT (t)P g(t, ω(t)) ≤ + 3ω −1 T T x (t)P Ed Ed P x(t) 2xT (t)P Ed Fd (t)Hd ω(t) ≤ T (t)GTw Gw ω(t), + 4ω T (2.14) (t)HdT Hd ω(t) (2.15) Kết hợp điều kiện (2.8), (2.9), (2.14) (2.15) với (2.13), ta thu Tα V (x(t)) ≤ xT (t) P A + AT P + T Ha Ha + −1 T P Ea Ea P x(t) (2.16) Tα V (x(t)) + y T (t)y(t) − γω T (t)ω(t) ≤ ξ T (t)Ξξ(t), (2.17) +( −1 + −1 )P P + + ω T (t)[ GTw Gw + T Ga Ga + −1 T P Ed Ed P T Hd Hd ]ω(t) + 2xT (t)P Dω(t) Từ ta có ξ T (t) = xT (t) ω T (t) ,   Ξ11 P D , Ξ= ∗ Ξ22 Ξ11 = P A + AT P + + Ξ22 = T Ha Ha −1 T P Ed Ed P T Gw Gw T −1 P Ea Ea P +( −1 + −1 )P P + T Ga Ga + C T C, T Hd Hd + + − γI Áp dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiện Ξ < tương đương với điều kiện (2.11) Từ (2.11) (2.12), ta có tf tα−1 (y T (t)y(t) − γω T (t)ω(t))dt < 0, ∀tf ≥ Jtf = Trong bất đẳng thức trên, cho tf → +∞, ta thu +∞ tα−1 (y T (t)y(t) − γω T (t)ω(t))dt < J∞ = 25 Suy +∞ α−1 T t y (t)y(t)dt < γ +∞ α−1 T t ω (t)ω(t)dt Vậy, hệ (2.3) ổn định mũ với hiệu suất H∞ mức γ Sau chúng tơi trình bày ví dụ minh họa cho kết lý thuyết Ví dụ 2.1 Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến phân thứ Khalil sau     Tα x(t) = [A + Ea Fa (t)Ha ] x(t) + [D + Ed Fd (t)Hd ]ω(t)       +f (t, x(t)) + g(t, ω(t)) (2.18)   y(t) = Cx(t), t ≥ 0,        x(0) = x0 , α ∈ (0, 1), x(t) ∈ R2 , ω(t) ∈ R2 , y(t) ∈ R     0.1 −4  , Ea =   , A= −5 0.3 Ha = 0.3 0.9 , Fa (t) = cos t,     0.6  , Ed =   , Fd (t) = sin t, D= 0.8 C = 0.5 Nhiễu phi tuyến f (t, x(t)), g(t, ω(t)) thỏa mãn điều kiện (Ass2) với Ga = 0.1 0.3 , Gw = 0.5 0.8 Bằng hộp công cụ LMI Control Tool Box MATLAB, điều kiện (2.11) Định lý 2.2 thỏa mãn với 1.6210, = 1.3157, = 1.5331, = 1.4788, γ = 2.1613   0.2432 0.0682  P = 0.0682 0.2899 Theo Định lý 2.2, hệ (2.18) ổn định mũ với hiệu suất H∞ mức γ = 2.1613 = 26 2.3 Bài toán điều khiển H∞ Trong mục này, ta thiết kế điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ trạng thái u(t) = Kx(t) cho hệ đóng sau    Tα x(t) = [A + BK + ∆A(t) + ∆B(t)K] x(t)        +[D + ∆D(t)]ω(t) + f (t, x(t))    +g(t, ω(t)) + h(t, Kx(t)), t ≥ 0,       y(t) = Cx(t), t ≥ 0,       x(0) = x , (2.19) ổn định mũ với hiệu suất H∞ mức γ Trước hết, chúng tơi trình bày tiêu chuẩn ổn định hóa dạng mũ cho hệ (2.1) ω(t) ≡ 0, y(t) ≡ Định lý 2.3 Giả sử điều kiện (Ass1) (Ass2) thỏa mãn Hệ đóng (2.19) với ω(t) ≡ 0, y(t) ≡ ổn định mũ tồn ma trận đối xứng, xác định dương X ∈ Rn×n , ma trận Y ∈ Rm×n bốn số dương four 1, 2, 3, cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính thỏa mãn   M11 XHaT Y T HbT XGTa Y T GTu    ∗  − I 0      ∗ (2.20) ∗ − 2I 0    < 0,    ∗ ∗ ∗ − 3I    ∗ ∗ ∗ ∗ − 4I M11 = AX + XAT + BY + Y T B T + T Ea Ea + Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ cho u(t) = Y X −1 x(t), t ≥ T Eb Eb +( + )I 27 Chứng minh Khi y(t) ≡ 0, ω(t) ≡ 0, hệ đóng (2.19) trở thành    Tα x(t) = [A + BK + ∆A(t) + ∆B(t)K] x(t) + [D + ∆D(t)]ω(t)    (2.21) +f (t, x(t)) + g(t, ω(t)) + h(t, Kx(t)), t ≥ 0,      x(0) = x Xét hàm Lyapunov cho hệ (2.21) V (x(t)) = xT (t)X −1 x(t) Dễ dàng kiểm tra λmin (X −1 ) x(t) ≤ V (x(t))λmax (X −1 ) x(t) Do điều kiện (H1) Định lý 1.8 thỏa mãn với c1 = λmin (X −1 ), c2 = λmax (X −1 ) Ngoài ra, rõ ràng V (.) hàm α−khả vi, tức điều kiện (H2) Định lý 1.8 thỏa mãn Áp dụng Bổ đề 1.3, ta tính đạo hàm phân thứ Khalil cấp α hệ (2.21) dọc theo quỹ đạo nghiệm sau Tα V (x(t)) = 2xT (t)X −1 Tα x(t) = xT (t)[X −1 A + AT X −1 + X −1 BK + K T B T X −1 ]x(t) + 2xT (t)X −1 Ea Fa (t)Ha x(t) (2.22) + 2xT (t)X −1 Eb Fb (t)Hb Kx(t) + 2xT (t)X −1 f (t, x(t)) + 2xT (t)X −1 h(t, Kx(t)) Sử dụng giả thiết (Ass1) (Ass2) kết hợp với bất đẳng thức Cauchy cho ma 28 trận ta thu ước lượng sau 2xT (t)X −1 Ea Fa (t)Ha x(t) ≤ T −1 T −1 x (t)X Ea Ea X x(t) + −1 T T x (t)Ha Ha x(t), + −1 T T T x (t)K Hb Hb Kx(t), 2xT (t)X −1 Eb Fb (t)Hb Kx(t) ≤ T −1 T −1 x (t)X Eb Eb X x(t) 2xT (t)X −1 f (t, x(t)) T −1 −1 ≤ 3x ≤ T −1 −1 x (t)X X x(t) (t)X X x(t) + (2.23) −1 T f (t, x(t))f (t, x(t)) + −1 T T x (t)Ga Ga x(t), + −1 T h (t, Kx(t))h(t, Kx(t)) 2xT (t)X −1 h(t, Kx(t)) ≤ T −1 −1 x (t)X X x(t) ≤ 4x T (t)X −1 X −1 x(t) + −1 T T T x (t)K Gu Gu Kx(t) Kết hợp (2.23) với (2.22), ta có Tα V (x(t)) ≤ xT (t)Mx(t), (2.24) M = X −1 A + AT X −1 + X −1 BK + K T B T X −1 + −1 Eb EbT X −1 + + 2X + −1 T T K Gu Gu K −1 T T K Hb Hb K +( + 1X −1 )X Ea EaT X −1 + −1 X −1 + −1 T Ha Ha −1 T Ga Ga Suy Tα V (x(t)) ≤ λmax (M) x(t) Bây giờ, nhân bên trái bên phải M với ma trận X đặt K = Y X −1 , ta thu M = XMX = AX + XAT + BY + Y T B T + + −1 T T Y Hb Hb Y +( + )I + T Ea Ea + −1 T XHa Ha X −1 T XGa Ga X + + T Eb Eb −1 T T Y Gu Gu Y Chú ý điều kiện M < tương đương với điều kiện M < Áp dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiện M < tương đương với (2.20) Vậy điều kiện 29 (H3) Định lý 1.8 thỏa mãn với c3 = −λmax (M) > Vậy hệ đóng(2.19) với ω(t) ≡ 0, y(t) ≡ ổn định mũ Định lý chứng minh Bây giờ, chúng tơi trình bày tiêu chuẩn giải tốn điều khiển H∞ cho hệ phương trình vi phân phi tuyến phân thứ Khalil (2.1) Định lý 2.4 Giả sử điều kiện (Ass1) (Ass2) thỏa mãn Hệ đóng (2.19) ổn định mũ với hiệu suất H∞ mức γ tồn ma trận đối xứng, xác định dương X ∈ Rn×n , ma trận Y ∈ Rm×n , bốn số dương 1, 2, 3, cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn   T T T T T T T Ξ XHa Y Hb XGa Y Ga D XC  11   ∗ − I  0 0      ∗  ∗ − I 0 0      ∗ ∗ ∗ − 3I 0    < 0,    ∗  ∗ ∗ ∗ − I 0      ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ Ξ 66   ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (2.25) −I Ξ11 = AX + XAT + BY + Y T B T + T Ea Ea + T Eb Eb +( + + 1)I + Ed EdT , Ξ66 = HdT Hd + GTw Gw − γI Ngoài ra, điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ trạng thái cho u(t) = Y X −1 x(t), t ≥ Chứng minh Khi ω(t) ≡ 0, y(t) ≡ 0, điều kiện (2.25) suy (2.20) Do đó, từ Định lý 2.3 ta suy hệ đóng (2.19) với ω(t) ≡ 0, y(t) ≡ ổn định mũ Để chứng tỏ hệ đóng (2.19) đạt hiệu suất H∞ mức γ, ta chọn hàm Lyapunov tương tự chứng minh Định lý 2.3 Sử dụng Định lý 1.3 kết hợp với điều kiện ban đầu không, ta thu ước lượng sau tf tα−1 (y T (t)y(t) − γω T (t)ω(t))dt Jtf = 30 tf tα−1 (Tα V (x(t)) + y T (t)y(t) − γω T (t)ω(t))dt − V (x(tf )) = Vì V (x(tf )) = xT (tf )X −1 x(tf ) ≥ nên ta thu tf tα−1 (T α V (x(t)) + y T (t)y(t) − γω T (t)ω(t))dt Jtf ≤ (2.26) Mặt khác, ta có Tα V (x(t)) + y T (t)y(t) − γω T (t)ω(t) ≤ xT (t)[M + C T C]x(t) + 2xT (t)X −1 Dω(t) + 2xT (t)X −1 Ed Fd (t)Hd ω(t) + 2xT (t)X −1 g(t, ω(t)) − γω T (t)ω(t), (2.27) M xác định chứng minh Định lý 2.3 Từ giả thiết (Ass1), (Ass2) bất đẳng thức Cauchy cho ma trận, ta thu ước lượng 2xT (t)X −1 Ed Fd (t)Hd ω(t) ≤ xT (t)X −1 Ed EdT X −1 x(t) + ω T (t)HdT Hd ω(t), 2xT (t)X −1 g(t, ω(t)) (2.28) ≤ xT (t)X −1 X −1 x(t) + g T (t, ω(t))g(t, ω(t)) ≤ xT (t)X −1 X −1 x(t) + ω T (t)GTw Gw ω(t) Kết hợp điều kiện (2.27) (2.28), ta thu Tα V (x(t)) + y T (t)y(t) − γω T (t)ω(t) ≤ ζ T (t)N ζ(t), (2.29) ζ T (t) = xT (t) ω T (t) ,   −1 N11 X D , N = ∗ N22 N11 = X −1 A + AT X −1 + X −1 BK + K T B T X −1 + + 2X −1 Eb EbT X −1 + −1 T T K Hb Hb K +( + Ea EaT X −1 + −1 T Ha Ha + 1)X −1 X −1 + −1 T Ga Ga 1X −1 31 + −1 T T K Gu Gu K + C T C + X −1 Ed EdT X −1 , N22 = HdT Hd + GTw Gw − γI Bây giờ, nhân bên trái bên phải N với diag{X, I} chuyển vị đặt K = Y X −1 kết hợp với sử dụng Bổ đề Schur, ta thu điều kiện N < tương đương với (2.25) Kết hợp (2.25) (2.26), ta thu tf tα−1 (y T (t)y(t) − γω T (t)ω(t))dt < 0, ∀tf ≥ Jtf = Trong biểu thức bên trên, cho tf → +∞, ta thu +∞ tα−1 (y T (t)y(t) − γω T (t)ω(t))dt < J∞ = Suy +∞ α−1 T t y (t)y(t)dt